0-4 複素解析空間と GAGA
本書で引用として使う複素解析幾何の概念（複素解析空間と解析化 $X\mapsto X^h$、連接解析層、正則 Poincaré の補題と de Rham の定理、Stein 空間と Cartan の定理 A・B、尽くし列と $\varprojlim^1$、Serre の GAGA、Grauert–Remmert の比較定理、極をもつ有理型微分形式）の要点を集めた頁である。各項目は定義または主張の要点をボックスに書き、続けて本書での使いどころと案内を書く。スキーム側の前提（滑らかな射、affine 上の消滅、射影射の連接性、Serre の消滅定理、特異点解消）は本書『0-3 スキームと連接層コホモロジー』にある。
複素解析空間と解析化
複素解析空間
$\mathbb C^n$ の開集合 $D$ とその上の有限個の正則関数 $f_1,\dots,f_r$ に対し、共通零点集合 $Z=\{f_1=\cdots=f_r=0\}$ に層 $\mathcal O_D/(f_1,\dots,f_r)\mathcal O_D$ を制限した $\mathbb C$ 上の環付き空間を局所モデルという。局所モデルを貼り合わせて得られる（Hausdorff、第二可算な）環付き空間 $(X,\mathcal O_X)$ を複素解析空間という。各点の局所環 $\mathcal O_{X,x}$ は Noether 局所環で、収束冪級数環 $\mathbb C\{z_1,\dots,z_n\}$ の剰余環である。$X$ が被約であるとは、各 $\mathcal O_{X,x}$ が冪零元をもたないことをいい、このとき $\mathcal O_X$ は連続関数の層の部分層と見なせる。$X$ の閉解析的部分集合とは、各点の近傍で有限個の正則関数の共通零点集合として書ける閉集合 $Y$ をいい、$Y$ が局所的に 1 個の方程式で定義されるとは、各点 $x\in X$ の近傍 $V$ とその上の正則関数 $\varphi$ で $Y\cap V=\{\varphi=0\}$ となるものがあることをいう。
- 使いどころ：本書『2-2 極をもつ微分形式と局所比較定理』の Theorem 2 は、被約な複素解析空間 $X$、その閉解析的部分集合 $Y$、$U=X-Y$ が非特異で $X$ で稠密、$Y$ が局所 1 方程式、という設定で述べられる。$X$ 自身は特異点をもってよい。局所 1 方程式の仮定は、Stein 開集合 $V$ について $V\cap U=\{\varphi\ne0\}$ が再び Stein になる（$V\times\mathbb C$ の閉解析的部分空間 $\{\varphi w=1\}$ と同一視できる）ことを保証し、包含 $f\colon U\to X$ を affine 射の解析版として扱うのに使う（本書『2-3 特異点解消と Grauert–Remmert による証明』）。
- 案内：GR84 第 1 章、GuR65 第 V 章、Ser56 §2。
解析化
$\mathbb C$ 上局所有限型のスキーム $X$ に対し、複素解析空間 $X^h$ と $\mathbb C$ 上の局所環付き空間の射 $\varphi\colon X^h\to X$ で、次の普遍性をもつものが一意に存在する。任意の複素解析空間 $T$ について、$\varphi$ との合成は解析空間の射 $T\to X^h$ と局所環付き空間の射 $T\to X$ の間の全単射を与える。$X=\operatorname{Spec}\mathbb C[x_1,\dots,x_n]/(f_1,\dots,f_r)$ なら $X^h$ は $\mathbb C^n$ の中の共通零点集合に $\mathcal O_{\mathbb C^n}/(f_1,\dots,f_r)$ を載せた局所モデルであり、一般の $X$ は affine 開被覆で貼り合わせる。$X^h$ の台は閉点の集合 $X(\mathbb C)$ に通常の位相を入れたものである。$X\mapsto X^h$ は関手で、次が成り立つ。
- 各閉点 $x$ で $\mathcal O_{X,x}\to\mathcal O_{X^h,x}$ は忠実平坦で、完備化の同型 $\widehat{\mathcal O}_{X,x}\cong\widehat{\mathcal O}_{X^h,x}$ を誘導する。
- $X$ が滑らかであることと $X^h$ が複素多様体であることは同値で、$X$ が被約なら $X^h$ も被約である。$X$ が分離的なら $X^h$ は Hausdorff、$X$ が固有なら $X^h$ はコンパクト、$X$ が affine なら $X^h$ は Stein である。
- $\mathcal O_X$ 加群 $\mathcal F$ に $\mathcal F^h=\varphi^*\mathcal F=\varphi^{-1}\mathcal F\otimes_{\varphi^{-1}\mathcal O_X}\mathcal O_{X^h}$ を対応させる関手は完全で、連接層を連接層に送り、$H^q(X,\mathcal F)\to H^q(X^h,\mathcal F^h)$ という自然な準同型を誘導する。$X$ が滑らかなら $(\Omega^p_{X/\mathbb C})^h\cong\Omega^p_{X^h}$ で、外微分と両立する。
- 使いどころ：本書全体。比較写像 $\rho\colon H^n_{dR}(X)\to H^n(X^h,\mathbb C)$（原論文の式 (5)）は、$\Omega^\bullet_{X/\mathbb C}\to\varphi_*\Omega^\bullet_{X^h}$ と正則 Poincaré の補題（次節）を合わせて作る（本書『1-2 解析化と比較写像』）。項目 3 の完全性は、代数側の完全列や帰納極限表示を解析側に移すたびに使う（本書『2-4 代数的な別証明と affine 補集合の消滅』）。「affine なら Stein」は Theorem 1 を Corollary の場合 b) の特別な場合と見る道である（本書『2-2 極をもつ微分形式と局所比較定理』）。
- 案内：Ser56 §2、Har77 付録 B、SGA 1 の Exposé XII（本書は文献表に入れていない）、GR84。
連接解析層
複素解析空間 $X$ 上の $\mathcal O_X$ 加群 $\mathcal F$ が連接であるとは、局所的に有限個の切断で生成され、かつ有限個の切断の間の関係の層 $\ker(\mathcal O_X^r\to\mathcal F)$ が常に局所有限生成であることをいう。Oka の定理は、$\mathbb C^n$ の開集合上で $\mathcal O$ 自身が（$\mathcal O$ 加群として）連接であること、Cartan の定理は、閉解析的部分集合を定めるイデアル層が連接であることを述べる。したがって任意の複素解析空間で $\mathcal O_X$ は連接で、局所有限表示の $\mathcal O_X$ 加群と連接 $\mathcal O_X$ 加群は一致し、連接層の間の射の核・余核・像、連接層のテンソル積と $\mathcal{H}om$ はすべて連接である。$X$ が被約で既約な場合、連接層は稠密な開集合上で局所自由である。
- 使いどころ：$\mathcal E$ が連接で $\mathcal J$ が連接イデアル層なら $\mathcal{H}om_{\mathcal O_X}(\mathcal J^n,\mathcal E)$ が連接であることが、極をもつ有理型切断の層 $\mathcal E(*Y)=\varinjlim_n\mathcal{H}om(\mathcal J^n,\mathcal E)$ を連接層の帰納極限として扱う根拠になる（本頁最後の節、本書『2-2 極をもつ微分形式と局所比較定理』、『2-3 特異点解消と Grauert–Remmert による証明』）。Cartan の定理 B と GAGA も連接層についての主張である。
- 案内：連接層、GR84 第 1〜4 章、GuR65 第 IV 章、Ser56 §1。
正則 Poincaré の補題と de Rham の定理
複素多様体の上では、正則微分形式の複体が定数層 $\mathbb C$ の分解になる。これが代数的 de Rham コホモロジーと位相的なコホモロジーを結ぶ最初の橋である。
正則 Poincaré の補題
$M$ を複素多様体、$\Omega^\bullet_M$ を正則微分形式の層の複体（微分は外微分 $d$）とする。層の複体の列
$$0\to\mathbb C\to\mathcal O_M\xrightarrow{d}\Omega^1_M\xrightarrow{d}\Omega^2_M\to\cdots\to\Omega^{\dim M}_M\to0$$
は完全である。すなわち $\mathbb C\to\Omega^\bullet_M$ は擬同型で、したがって超コホモロジーについて自然な同型 $\mathbf H^n(M,\Omega^\bullet_M)\cong H^n(M,\mathbb C)$ が成り立つ。
要点のみ述べる。主張は層についてなので、$M$ が多重円板 $D=\{|z_i|< r_i\}\subset\mathbb C^n$ で、$D$ 上の閉じた正則 $p$ 形式 $\omega$（$p\ge1$）が $D$ 上で完全であることを示せばよい。$\omega$ が $dz_1,\dots,dz_k$ だけを含むとして $k$ に関する帰納法で示す。$d\omega=0$ から、$\omega$ の係数は $z_{k+1},\dots,z_n$ に依らない（依れば $dz_j\wedge(\cdots)$ の項が残る）。$\omega=dz_k\wedge\alpha+\beta$（$\alpha,\beta$ は $dz_1,\dots,dz_{k-1}$ だけを含む）と書き、$\alpha$ の各係数を $z_k$ について $0$ から $z_k$ まで冪級数の項ごとに積分して $\gamma$ を作る。積分は同じ多重円板で収束するので $\gamma$ は $D$ 上の正則形式で、$\omega-d\gamma$ は $dz_1,\dots,dz_{k-1}$ だけを含む閉形式になる。$k=0$ では $\omega$ は $df=0$ をみたす関数、すなわち定数である。超コホモロジーの主張は、擬同型が超コホモロジーの同型を誘導すること（本書『0-2 Kähler 微分と超コホモロジー』）から従う。
- 使いどころ：本書『1-2 解析化と比較写像』の P5（解析的 de Rham コホモロジーが $H^n(X^h,\mathbb C)$ に一致する）はこの補題そのものであり、比較写像 (5) の到達先を定める。補題は $M$ が非特異のときだけ成り立ち、特異点をもつ解析空間では $\Omega^\bullet_X$ は $\mathbb C_X$ の分解にならない。この点が原論文で $U$ を非特異と仮定する理由である。
- 案内：Poincaréの補題、de Rham コホモロジー、Huy05、GH78 第 0 章、Voi02 第 8 章。
de Rham の定理と特異コホモロジー
$M$ をパラコンパクト Hausdorff な $C^\infty$ 多様体、$\mathcal A^\bullet_M$ を複素数値 $C^\infty$ 微分形式の層の複体とする。$C^\infty$ Poincaré の補題（星型領域上の閉形式は完全）により $\mathbb C\to\mathcal A^\bullet_M$ は分解であり、$\mathcal A^p_M$ は $1$ の分割をもつので細層で、正の次数のコホモロジーをもたない。したがって $H^n(M,\mathbb C)\cong H^n(\Gamma(M,\mathcal A^\bullet_M))$（$C^\infty$ de Rham コホモロジー）である。さらに、微分形式を特異チェインの上で積分することが、$C^\infty$ de Rham コホモロジーから複素係数の特異コホモロジー $H^n_{\mathrm{sing}}(M,\mathbb C)$ への同型を与える（de Rham の定理）。$M$ が複素多様体のとき、包含 $\Omega^\bullet_M\subset\mathcal A^\bullet_M$ はどちらも $\mathbb C$ の分解なので擬同型で、正則 Poincaré の補題の同型 $\mathbf H^n(M,\Omega^\bullet_M)\cong H^n(M,\mathbb C)$ はこの包含を経由して $C^\infty$ 形式の言葉で書ける。
- 使いどころ：本書では $H^n(X^h,\mathbb C)$ を定数層の層コホモロジーとして定義する（記号表）。$X$ が分離的なら $X^h$ はパラコンパクト Hausdorff なので、これは特異コホモロジーと一致し、Theorem 1 の「複素コホモロジー」を古典的な意味にとれる。代数的微分形式を $C^\infty$ 形式と見てサイクル上で積分する操作、すなわち周期は、この同型を経由して定義される（本書『3-3 $k$ 構造と周期』）。$X$ が分離的でないときは $X^h$ は Hausdorff でなく、本書は層コホモロジーの定義だけを使う。
- 案内：de Rham の定理、BT82 第 I・II 章、God58 第 II 章、Har77 III.1–III.4。
Stein 空間と Cartan の定理
affine スキームの上で連接層の高次コホモロジーが消えることの解析版が、Stein 空間についての Cartan の定理 B である。本書では、Stein 空間そのものより、正則凸コンパクト集合の上での消滅と、それを空間全体へ広げる極限の議論を使う。
Stein 空間と正則凸コンパクト集合
複素解析空間 $X$ のコンパクト集合 $K$ の正則凸包を $\hat K=\{x\in X\mid |f(x)|\le\sup_K|f| \text{ for all } f\in\Gamma(X,\mathcal O_X)\}$ と定める。$X$ が正則凸であるとは、任意のコンパクト集合 $K$ について $\hat K$ がコンパクトであることをいう。$X$ がStein空間であるとは、$X$ が正則凸で、かつ $X$ 上の大域正則関数が点を分離し、各点で局所座標（局所モデルへの埋め込み）を与えることをいう。$\mathbb C^n$ の閉解析的部分空間、$\mathbb C^n$ の正則領域、Stein 空間の閉解析的部分空間、Stein 空間の中の $\{\varphi\ne0\}$（$\varphi$ は正則関数）はすべて Stein である。コンパクト集合 $K\subset X$ が正則凸であるとは $\hat K=K$ をいい、$X$ が Stein なら正則凸コンパクト集合 $K$ は Stein 開近傍の基本系をもつ。
- 使いどころ：Corollary の場合 b)（$X$ が Stein なら条件 (8) が成り立ち、(9) が同型）について原論文が与える論証は、正則凸コンパクト集合の上での消滅から始める。原論文が「holomorphically convex compact subsets」と名指しだけで使う事実がこれである。ただし本書『2-2 極をもつ微分形式と局所比較定理』で示すとおり、場合 b) の主張そのものは $\dim X\ge2$ で成り立たない（反例 $X=\mathbb C^2$、$Y=\{z_1=0\}$）。
- 案内：GuR65 第 VII 章、GR84、Ser56 §1。
Cartan の定理 A・B
$X$ を Stein 空間、$\mathcal F$ を $X$ 上の連接層とする。定理 A：各点 $x$ で茎 $\mathcal F_x$ は大域切断 $\Gamma(X,\mathcal F)$ の像で $\mathcal O_{X,x}$ 加群として生成される。定理 B：$q\ge1$ で $H^q(X,\mathcal F)=0$ である。逆に、連接層の $H^1$ がすべて消える複素解析空間は Stein である。したがって Stein 空間 $X$ 上の連接層の完全列 $0\to\mathcal F'\to\mathcal F\to\mathcal F''\to0$ は大域切断の完全列を与え、$K\subset X$ が正則凸コンパクトなら $H^q(K,\mathcal F)=\varinjlim_{V\supset K}H^q(V,\mathcal F)=0$（$q\ge1$、$V$ は $K$ の Stein 開近傍を動く）である。
- 使いどころ：affine スキーム上の連接層コホモロジーの消滅（本書『0-3 スキームと連接層コホモロジー』）の解析版として、Theorem 2 の証明の中で $R^qf_*$ や $R^qg_*$ の消滅を局所的に確かめる段（本書『2-3 特異点解消と Grauert–Remmert による証明』）と、Corollary の場合 b)（本書『2-2 極をもつ微分形式と局所比較定理』）で使う。
- 案内：GuR65 第 VIII 章、GR84、Ser56 §1。
尽くし列と $\varprojlim^1$
位相空間 $X$ が開集合の増大列 $X_1\subset X_2\subset\cdots$ で尽くされ、$\mathcal F$ を $X$ 上のアーベル群の層とする。$\mathcal F$ の flasque 分解をとると、各段の切断の制限写像は全射なので Mittag-Leffler 条件をみたし、各 $q$ で短完全列
$$0\to{\varprojlim_i}^{1}H^{q-1}(X_i,\mathcal F)\to H^q(X,\mathcal F)\to\varprojlim_iH^q(X_i,\mathcal F)\to0$$
が得られる。ここで $\varprojlim^1$ は射影極限の第 1 導来関手で、アーベル群の射影系 $(A_i)$ が Mittag-Leffler 条件（各 $i$ で像 $\operatorname{im}(A_j\to A_i)$ が $j$ について安定する）をみたせば $\varprojlim^1A_i=0$ である。とくに、$X$ が Stein 空間、$X_i$ が相対コンパクトな Stein 開集合で各 $X_i\subset X_{i+1}$ が Runge 対をなす尽くし列、$\mathcal F$ が連接層なら、$\Gamma(X_i,\mathcal F)$ は自然な Fréchet 位相をもち、制限写像 $\Gamma(X_{i+1},\mathcal F)\to\Gamma(X_i,\mathcal F)$ は稠密な像をもつので、Fréchet 空間の射影系についての Mittag-Leffler の定理により $\varprojlim^1\Gamma(X_i,\mathcal F)=0$ となり、上の短完全列と定理 B から $H^q(X,\mathcal F)=0$（$q\ge1$）が出る。
- 使いどころ：Corollary の場合 b) の証明で、原論文は「正則凸コンパクト集合 $K$ の上で $\Omega^q_X(*Y)$ 係数のコホモロジーが消え、hence also $X$ 上でも消える」とだけ書く。$\Omega^q_X(*Y)$ は連接ではなく連接層の帰納極限なので、$K$ ごとの消滅を $X$ 全体へ広げる段には尽くし列と $\varprojlim^1$ の処理が要り、この $\varprojlim^1$ は一般には消えない。本書『2-2 極をもつ微分形式と局所比較定理』は、この段が閉じないだけでなく主張自体が偽であることを、$X=\mathbb C^2$、$Y=\{z_1=0\}$ で $H^1(X,\mathcal O_X(*Y))\ne0$ となる反例で示す。
- 案内：Wei94 §3.5（$\varprojlim^1$ と Mittag-Leffler 条件）、Har66 第 I 章、GuR65 第 VIII 章（連接層の切断の Fréchet 位相）、完全列、帰納極限。
GAGA と Grauert–Remmert の比較定理
Poincaré の補題は複体の側の橋であり、GAGA は連接層のコホモロジーの側の橋である。完備な場合は二つを合わせるだけで比較定理が出るが、affine や一般の場合には、GAGA を相対化した Grauert–Remmert の定理が要る。
Serre の GAGA
$X$ を $\mathbb C$ 上の射影的スキームとする。
- 任意の連接 $\mathcal O_X$ 加群 $\mathcal F$ と任意の $q$ について、自然な準同型 $H^q(X,\mathcal F)\to H^q(X^h,\mathcal F^h)$ は同型である。
- 関手 $\mathcal F\mapsto\mathcal F^h$ は、$X$ 上の連接層の圏から $X^h$ 上の連接解析層の圏への圏同値である。すなわち、連接層の間の射は $\operatorname{Hom}(\mathcal F,\mathcal G)\cong\operatorname{Hom}(\mathcal F^h,\mathcal G^h)$ をみたし、$X^h$ 上の任意の連接解析層はある連接 $\mathcal O_X$ 加群の解析化と同型である。
系として、$X^h$ の閉解析的部分空間は代数的（$X$ の閉部分スキームの解析化）であり（Chow の定理）、射影的スキームの間の射は解析的な射と一致する。Grothendieck は同じ主張を $\mathbb C$ 上固有な（完備な）スキームに拡張した。
- 使いどころ：$X$ が完備で滑らかなら、Hodge–de Rham スペクトル系列の $E_1$ 項 $H^q(X,\Omega^p_{X/\mathbb C})$ が GAGA により $H^q(X^h,\Omega^p_{X^h})$ に一致し、正則 Poincaré の補題と合わせて比較写像 $\rho$ が同型になる。これが R8（完備な場合は GAGA だけで比較定理が出る）である（本書『1-2 解析化と比較写像』、『2-1 affine 被覆による帰着』）。原注 (6) の別証明（G6a、G6b）は、affine 多様体 $U_0$ を射影的正則な $X_0$ の正規交叉因子の補集合として書き、$X_0$ 上で GAGA を使う（本書『2-4 代数的な別証明と affine 補集合の消滅』）。
- 案内：Serre の GAGA、Ser56 §3（原注 (4)）、Car57（完備な場合への拡張、原注 (6)）、Har77 付録 B、SGA 1 の Exposé XII（固有射への一般化。本書は文献表に入れていない）。
Grauert–Remmert の比較定理
$X$ を複素解析空間、$g\colon X'\to X$ を射影的な射（$X'$ が $X\times\mathbb P^N$ の閉解析的部分空間で、$g$ が射影の制限であるもの）とする。
- 連接性：$X'$ 上の任意の連接層 $\mathcal E'$ と任意の $q$ について、$R^qg_*\mathcal E'$ は $X$ 上の連接層である。
- 局所環上の代数化：点 $x\in X$ をとり、$\tilde A=\mathcal O_{X,x}$（Noether 局所環）、$\tilde X=\operatorname{Spec}\tilde A$ とおく。$x$ の近傍で $X'\subset X\times\mathbb P^N$ を定める斉次方程式（係数は $\mathcal O_{X,x}$ の元）は $\tilde X$ 上の射影的スキーム $\tilde X'\subset\mathbb P^N_{\tilde X}$ を定める。$\tilde X'$ 上の連接層 $\tilde{\mathcal E}'$ に、$g^{-1}(x)$ の近傍で定まる $X'$ 上の連接解析層の芽 $\mathcal E'$ を対応させる自然な関手があり、これは $\tilde X'$ 上の連接層の圏から $g^{-1}(x)$ の近傍の連接解析層の芽の圏への圏同値である。
- 比較：この対応の下で、各 $q$ について自然な同型 $(R^qg_*\mathcal E')_x\cong H^q(\tilde X',\tilde{\mathcal E}')$ が成り立つ。すなわち、解析的な高次順像の茎は、局所環 $\mathcal O_{X,x}$ の上の射影的スキームの代数的な連接層コホモロジーで計算できる。
底 $X$ が 1 点のとき、これは Serre の GAGA（射影的な場合）に戻る。
- 使いどころ：Theorem 2 の証明の要（本書『2-3 特異点解消と Grauert–Remmert による証明』）。特異点解消 $g\colon X'\to X$ は射影的双有理射で、$X'$ 上の連接層 $\mathcal E'$ について $R^qg_*(\mathcal E'(*Y'))=0$（$q\ge1$）を示す段（L11b）で、$\mathcal E'(*Y')=\varinjlim_n\mathcal{H}om(\mathcal J'^n,\mathcal E')$ の各項 $\mathcal E'_n$ に対する $(R^qg_*\mathcal E'_n)_x$ を、項目 3 により $\tilde X'$ 上の代数的コホモロジー $H^q(\tilde X',\tilde{\mathcal E}'_n)$ に置き換える。$\tilde X$ の上では $Y$ が 1 方程式なので $\tilde U'\to\tilde X'$ が affine 射になり、affine 射の高次順像の消滅と affine スキーム上の消滅（本書『0-3 スキームと連接層コホモロジー』）で閉じる。原注 (7) は、この定理を底が 1 点の場合の GAGA の相対版と見るべきだと述べる（N7）。項目 2 の圏同値と項目 3 の言明は、原注 (7) が引く Grauert–Remmert の論文と Grothendieck の Séminaire Cartan の報告に依るもので、本書はその該当箇所を確かめておらず、引用として使う。
- 案内：GR57（原注 (7)）、Car61b（Grothendieck による報告。相対 GAGA の形での言明）、GR84（Grauert の固有写像の連接性定理を含む現代的な解説）。
有理型微分形式と極の位数
比較定理の局所版 Theorem 2 は、$Y$ に沿って極をもつ有理型微分形式の複体についての主張である。定義は本書『2-2 極をもつ微分形式と局所比較定理』で改めて置くが、記法と 1 変数の計算はここで示しておく。
極をもつ有理型微分形式
$X$ を被約な複素解析空間、$Y$ を局所 1 方程式で定義される閉解析的部分集合、$U=X-Y$ を非特異で $X$ で稠密とし、$f\colon U\to X$ を包含とする。$\mathcal J\subset\mathcal O_X$ を $Y$ を定める連接イデアル層とする。$X$ 上の連接層 $\mathcal E$ に対し、$Y$ に極をもつ $\mathcal E$ の有理型切断の層を $\mathcal E(*Y)=\varinjlim_n\mathcal{H}om_{\mathcal O_X}(\mathcal J^n,\mathcal E)$ と定める。局所的に $Y=\{\varphi=0\}$ なら、$\mathcal E(*Y)$ の切断は $\omega'/\varphi^n$（$\omega'$ は $\mathcal E$ の切断、$n\ge0$）の形に書ける $U$ 上の $\mathcal E$ の切断である。$\varphi^n\omega$ が $\mathcal E$ の切断になる最小の $n$ を $\omega$ の（$\varphi$ に関する）極の位数という。$X$ が非特異なら $\mathcal E=\Omega^p_X$ にこれを当てて $\Omega^p_X(*Y)$ を得る。一般には $\Omega^p_U$ が $Y$ の各点の近傍で連接層 $\mathcal E$ に延びることを仮定し（原注 (5)）、$\Omega^p_X(*Y)\subset f_*\Omega^p_U$ を局所的に $\omega'/\varphi^n$ と書ける切断の部分層とする。原注 (5) はこれが $\mathcal E$ の選び方に依らないと述べるが、延長 $\mathcal E$ を任意に取り替えると成り立たない（本書『2-2 極をもつ微分形式と局所比較定理』の反例 $e^{1/z}$）。延長の間に $U$ 上で同型になる射があれば一致する。外微分は $\Omega^\bullet_X(*Y)$ を保ち（$d(\omega'/\varphi^n)=d\omega'/\varphi^n-n\,d\varphi\wedge\omega'/\varphi^{n+1}$）、複体 $\Omega^\bullet_X(*Y)\subset f_*\Omega^\bullet_U$ ができる。$U$ 上ではこれは $\Omega^\bullet_U$ そのものである。
- 使いどころ：Theorem 2 は、各 $q$ でコホモロジー層の射 $\mathcal H^q(\Omega^\bullet_X(*Y))\to R^qf_*(\mathbb C_U)$ が同型であるという主張である（本書『2-2 極をもつ微分形式と局所比較定理』の N5・T2）。$\Omega^p_X(*Y)$ は連接ではないが連接層の帰納極限であり、コンパクト集合上のコホモロジーや固有射の高次順像が帰納極限と可換であることを通して、連接層についての定理 B や Grauert–Remmert の定理が使える。
- 案内：有理型関数、GR84、Har77 II.6（代数側の類似）、EGA4（Kähler 微分。原注 (5) の Séminaire Cartan Exposé 14 は Car61a）。
1 変数の対数的極の計算
$\mathbb C\{z\}$ を収束冪級数環、$\mathbb C\{z\}[z^{-1}]$ をその $z$ による局所化（主要部が有限な収束 Laurent 級数の環）とする。これは $X=\mathbb C$、$Y=\{0\}$ のときの $\mathcal O_X(*Y)$ の原点での茎である。複体 $\mathbb C\{z\}[z^{-1}]\xrightarrow{d}\mathbb C\{z\}[z^{-1}]\,dz$（$d(f)=f'\,dz$）のコホモロジーは
$$H^0=\mathbb C,\qquad H^1=\mathbb C\cdot\frac{dz}{z}$$
である。すなわち、原点に極をもつ 1 変数の有理型微分形式は、$dz/z$ の定数倍を除いて完全であり、$\sum_na_nz^n\,dz$ の類は留数 $a_{-1}$ で決まる。これは、$U=\mathbb C-\{0\}$ の原点の近傍での $R^qf_*(\mathbb C_U)$ の茎 $\varinjlim_\varepsilon H^q(\{0<|z|<\varepsilon\},\mathbb C)$（$q=0,1$ で $\mathbb C$、$q\ge2$ で $0$）と一致する。代数側の $\mathbb C[z,z^{-1}]$ でも同じ計算が成り立つ。
- 使いどころ：Theorem 2 の証明の最後の段（NC、A-H の lemma 17 に当たる正規交叉での明示計算）は、この 1 変数の計算の積である。$Y'$ が正規交叉なら局所座標で $Y'=\{z_1\cdots z_r=0\}$ と書け、$\Omega^\bullet_{X'}(*Y')$ の茎のコホモロジーは $\bigwedge^\bullet(\mathbb C\,dz_1/z_1\oplus\cdots\oplus\mathbb C\,dz_r/z_r)$ になる。本書はこの計算を『2-3 特異点解消と Grauert–Remmert による証明』で証明し、ここでは言明だけを置く。代数側では、$\mathbb G_m=\operatorname{Spec}\mathbb C[z,z^{-1}]$ の $H^1_{dR}$ が $dz/z$ で張られる計算として本書『1-1 de Rham 複体と超コホモロジー』の例に現れる。
- 案内：本書『2-3 特異点解消と Grauert–Remmert による証明』、AH55（lemma 17）、Del70 第 II 章（対数的 de Rham 複体としての現代的な扱い。本書は確かめていない）。
参考文献
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