0-1 本書の読み方

本書を読むのに要る分野（Kähler 微分と超コホモロジー、スキームと連接層コホモロジー、複素解析空間と GAGA、特異点解消、Hodge 理論、楕円曲線と周期、アーベル多様体、エタールコホモロジーと $\ell$ 進 Betti 数、局所コホモロジーと Cousin 分解、接続と微分方程式）を一覧にし、頁ごとに要る前提の対応表と、読む順序の案をまとめる。各概念の要点と教科書の案内は本書『0-2 Kähler 微分と超コホモロジー』から『0-5 Hodge 理論・アーベル多様体・エタールコホモロジーの初歩』までの四頁に、全頁に共通する記号と約束は本書『0-6 記号と約束』に分けて置く。

本書の使い方

本書は、Grothendieck の論文「On the de Rham cohomology of algebraic varieties」（Publications Mathématiques de l'IHÉS 第 29 巻、1966 年、95–103 頁。本書では Gro66 と引く）を道案内にして、代数的 de Rham コホモロジーの理論を主題ごとに解説する。原論文は、複素数体上の非特異な代数多様体の複素係数コホモロジーが代数的な微分形式の複体だけで計算できるという比較定理（Theorem 1 と Theorem 1′）を示し、そこから第二種積分、周期、Hodge–de Rham スペクトル系列、相対 de Rham コホモロジーへ話を広げる。本書は書簡の順序ではなく、定義（第 1 章）、比較定理とその証明（第 2 章）、第二種積分と周期（第 3 章）、Hodge–de Rham スペクトル系列（第 4 章）、相対理論と標数 $p$（第 5 章）の五つの主題に組み直した。本頁は全体の地図と読む順序を、本書『0-2 Kähler 微分と超コホモロジー』『0-3 スキームと連接層コホモロジー』『0-4 複素解析空間と GAGA』『0-5 Hodge 理論・アーベル多様体・エタールコホモロジーの初歩』は分野ごとの各概念の要点を、本書『0-6 記号と約束』は全頁に共通する記号と約束をまとめる。
原論文は、1963 年 10 月 14 日付で M. F. Atiyah に宛てて書かれた書簡の抜粋に、同年 11 月と 1965 年 7 月の注（原注 (1)〜(13)）を付けたものである。したがって節番号も定理番号も体系的には振られておらず、本書が原論文を引くときは「Theorem 1」「Theorem 2」「Corollary」「式 (n)」「原注 (n)」と、印字頁（95–103）で指す。書簡であるがゆえに、多くの段は「標準的な議論で」「容易な明示計算で」「同様の議論が通る」の一言で済まされ、定理の仮定（分離性や準コンパクト性、$Y$ が局所的に 1 個の方程式で定まること）も文脈から読み取る必要がある。本書の各頁は、その一言ずつを開いて証明を書き、仮定を明示し、各主張が本書の中で証明し切れたもの（完結）、引用した定理に依るもの（条件付き）、証明を閉じられなかったもの（未完結）、そのままでは成り立たないもの（偽）のどれに当たるかを区別する。判定の基準は本書『0-6 記号と約束』にある。
本書を作る過程で見つかったことの一つは、原論文の Corollary の場合 b)、すなわち「$X$ が Stein なら消滅条件 (8) が成り立つ」という主張が、そのままでは偽であることである。原論文は正則凸コンパクト集合の上での消滅から「したがって $X$ 全体でも」と一行で移るが、この移行は極の位数が有界でない帰納極限の層に対しては通らず、$X=\mathbb C^2$、$Y=\{z_1=0\}$ で実際に $H^1(X,\mathcal O_X(*Y))\ne0$ になる（本書『2-2 極をもつ微分形式と局所比較定理』の反例「Stein 空間で消滅条件が破れる例」）。一方で、この破れは Theorem 1 の証明には及ばない。Theorem 1 は場合 a)（射影的な $X$ と豊富因子の台 $Y$）だけを使って証明されており、本書『2-4 代数的な別証明と affine 補集合の消滅』では、Theorem 1 が Corollary の a) に含まれること、さらに原注 (6) の道をたどれば特異点解消の大域版と正規交叉での明示計算だけで Theorem 1 が Theorem 2 にも Grauert–Remmert の定理にも依らずに証明できることを示す。誤りの所在と、それが何に影響し何に影響しないかを分けて書くのが本書の方針である。
もう一つ、原論文の後半（印字 p. 103）には、滑らかで固有な射の相対 de Rham 層が局所自由で底変換と可換だろう、体上なら次元が $\ell$ 進 Betti 数に一致するだろう、という期待が標数を問わない形で書かれている。この期待は、原論文自身が原注 (12) で撤回した。Serre が指摘した標数 $p$ の曲面（$\mathbb Z/p$ が自由に作用する $\mathbb P^3$ の非特異曲面の商）は $\dim H^1_{dR}=1$ かつ $b_1=0$ で、固有であっても de Rham コホモロジーの次元が Betti 数を超える。本書『5-1 相対 de Rham 層と Serre の反例』はこの計算を閉じ、標数 $0$ では期待が定理になること（Theorem 1′ と Artin の比較定理による）と、標数 $p$ では固有性を外すと連接性さえ破れること（affine 直線）をあわせて示す。原論文の期待や推測のうち、後に定理になったもの（Katz–Oda による Gauss–Manin 接続の代数的構成、Deligne–Illusie による標数 $p$ での退化の定理）は各頁の「その後の発展」で後代の結果として引き、原論文の主張として帰属しない。
使い方は三通りを想定している。

1. 最初に通して読む：次の「本書を読むのに要る分野」で全体の地図をつかみ、本書『0-2 Kähler 微分と超コホモロジー』から『0-5 Hodge 理論・アーベル多様体・エタールコホモロジーの初歩』までの各概念の要点は見出しだけ拾う。
2. 頁を読んでいて分からない語に出会ったら引く：各概念の要点は分野ごとに頁を分けて並べ、各項目に本書での使いどころを付けた。
3. どこから読むかを決める：本頁の「頁ごとの前提の対応表」と「読む順序の案」を見る。
   第 0 章の各項目は、定義または定理の要点をボックスに書き、続けて本書での使いどころと案内を書く。案内の教科書は [[ラベル]] の形で引き、書誌は本書の参考文献一覧にまとめてある。用語解説記事へのリンク（de Rham コホモロジー、スペクトル系列、局所コホモロジー、エタールコホモロジー など）は、記事が未作成のものもリンクの形で示してある。第 1 章以後の各頁は、その頁で示すこと、背景と動機、定義と準備、主結果と証明、例と反例、その後の発展、原論文との対応表、という同じ形で書いてあり、「定義と準備」の中の「引用する事実」に、その頁が証明せずに使う事実を第 0 章の頁名とともに列挙してある。ある頁の前提を確かめたいときは、まずそこを見ればよい。
   すべての概念を先に学んでから本文に入る必要はない。第 1 章と第 2 章は、Kähler 微分と超コホモロジー、スキームと連接層コホモロジー、複素解析空間と GAGA の基本があれば読み始められ、特異点解消は言明だけを引用として使う。Hodge 理論と楕円曲線の周期は第 3 章に、アーベル多様体は第 4 章に、エタールコホモロジーと接続は第 5 章に入る前に補えばよい。

本書を読むのに要る分野

分野ごとに、本書で要る水準の目安を示す。「◎」は本書の多くの頁で証明の中で使うもの、「○」は一部の頁で使うもの、「△」は背景や言明の理解のために触れるだけのものである。

分野ごとの各概念の要点は、Kähler 微分と超コホモロジーとスペクトル系列を本書『0-2 Kähler 微分と超コホモロジー』、スキームと連接層コホモロジーと特異点解消の言明を本書『0-3 スキームと連接層コホモロジー』、複素解析空間と GAGA と Stein 空間を本書『0-4 複素解析空間と GAGA』、Hodge 理論と楕円曲線の周期とアーベル多様体とエタールコホモロジーを本書『0-5 Hodge 理論・アーベル多様体・エタールコホモロジーの初歩』に置く。局所コホモロジーと Cousin 分解、接続と微分方程式は第 0 章に頁を設けず、使う頁の「定義と準備」で定義する。

頁ごとの前提の対応表

行は本書の頁、列は前提の分野である。「◎」はその頁の証明の中心で使うもの、「○」は一部の段や引用で使うもの、空欄はほとんど使わないものを表す。印は各頁の「この頁で示すこと」と「引用する事実」に列挙された事実から付けた。「頁の前提」の列には、その頁の前に読んでおくとよい本書の頁を挙げた（第 0 章の頁は省く）。

印の根拠を分野ごとに補っておく。Kähler 微分・超コホモロジーの列は、『2-4 代数的な別証明と affine 補集合の消滅』と『3-3 $k$ 構造と周期』を除く全頁で、超コホモロジーのスペクトル系列、擬同型の不変性、flasque 層、Čech 型または Leray 型のスペクトル系列のどれかが証明の中心にある。スキーム・連接層の列で◎を付けたのは、affine 上の消滅と分離的スキームの affine 開集合の交わり（『1-1 de Rham 複体と超コホモロジー』『2-1 affine 被覆による帰着』）、affine 射と射影閉包と固有な場合の GAGA（『2-4 代数的な別証明と affine 補集合の消滅』）、滑らかな曲線の局所環（『3-1 第二種の微分形式と Leray スペクトル系列』）、体の拡大による底変換と Lefschetz の原理（『3-3 $k$ 構造と周期』『4-1 退化と自然な分裂の不在』）、固有射の連接性と $\mathbb P^3$ のコホモロジー（『5-1 相対 de Rham 層と Serre の反例』）を使う頁である。解析空間・GAGA・Stein の列で◎を付けたのは、解析化と正則 Poincaré の補題（『1-2 解析化と比較写像』）、Cartan の定理 B と Oka の連接定理（『2-2 極をもつ微分形式と局所比較定理』）、Grauert–Remmert の比較定理と多変数 Laurent 展開（『2-3 特異点解消と Grauert–Remmert による証明』）、固有な場合の GAGA（『2-4 代数的な別証明と affine 補集合の消滅』）、de Rham の定理と GAGA（『3-3 $k$ 構造と周期』）、固有底変換と Ehresmann の定理と正則 Frobenius の定理（『5-2 Gauss–Manin 接続と係数付き理論』）を使う頁である。特異点解消は『2-3 特異点解消と Grauert–Remmert による証明』で解析空間の局所解消を、『2-4 代数的な別証明と affine 補集合の消滅』で代数的な大域解消を引用し、『2-2 極をもつ微分形式と局所比較定理』では Theorem 2 の言明の条件として触れるだけである。
Hodge 理論の列は、『3-3 $k$ 構造と周期』が Hodge 分解と $H^{n,0}$ の位置を、『4-1 退化と自然な分裂の不在』が Hodge 分解と解析的な退化を証明の中心で使い、『1-2 解析化と比較写像』『4-2 アーベル多様体の $H^1$ と拡大類』『5-2 Gauss–Manin 接続と係数付き理論』は例と定義と予想の言明で触れる。楕円曲線・周期の列は、『3-3 $k$ 構造と周期』が Weierstrass 関数と Legendre の関係を、『4-1 退化と自然な分裂の不在』が短 Weierstrass 型の同型と虚数乗法を使い、『3-1 第二種の微分形式と Leray スペクトル系列』の留数判定と『4-2 アーベル多様体の $H^1$ と拡大類』の相対 Weierstrass 型は一部の段で使う。アーベル多様体の列は『4-2 アーベル多様体の $H^1$ と拡大類』だけが中心で、『3-3 $k$ 構造と周期』は周期の予想の拡張で、『4-1 退化と自然な分裂の不在』はアーベル多様体での退化の言明で触れる。エタール・$\ell$ 進の列は『5-1 相対 de Rham 層と Serre の反例』が Artin の比較定理、Hochschild–Serre スペクトル系列、Artin–Schreier 列を使い、『5-2 Gauss–Manin 接続と係数付き理論』は Tate 予想の変種の言明で触れる。局所コホモロジー・Cousin と接続の列は、それぞれ『3-2 Cousin 分解と余次元スペクトル系列』と『5-2 Gauss–Manin 接続と係数付き理論』だけで使う。
表から読み取れることを三つ挙げておく。

• 超コホモロジーとスペクトル系列はほぼ全頁で中心にある：Hodge–de Rham スペクトル系列の構成、擬同型が超コホモロジーの同型を誘導すること、Čech 型スペクトル系列の比較定理の三つは、最初に身につけておく価値がある。
• 解析の側の道具が本質的に要るのは第 2 章である：『2-2 極をもつ微分形式と局所比較定理』と『2-3 特異点解消と Grauert–Remmert による証明』は複素解析空間の上で議論し、Stein 空間、Cartan の定理 B、Grauert–Remmert の比較定理を証明の中で使う。第 3 章以後は比較定理の結果だけを引き、解析の道具に戻る場面は少ない。
• 第 3 章以後は分野が頁ごとに入れ替わる：局所コホモロジー（『3-2 Cousin 分解と余次元スペクトル系列』）、周期（『3-3 $k$ 構造と周期』）、Hodge 理論（『4-1 退化と自然な分裂の不在』）、アーベル多様体（『4-2 アーベル多様体の $H^1$ と拡大類』）、エタールコホモロジー（『5-1 相対 de Rham 層と Serre の反例』）、接続（『5-2 Gauss–Manin 接続と係数付き理論』）と、頁ごとに新しい分野が一つずつ入る。第 2 章までを読み終えたら、関心のある頁の列を見て、足りない分野だけを第 0 章で補えばよい。

読む順序の案

最短の道筋

本書の中心の流れは次の五頁である。
『1-1 de Rham 複体と超コホモロジー』→『1-2 解析化と比較写像』→『2-1 affine 被覆による帰着』→『2-2 極をもつ微分形式と局所比較定理』→『2-3 特異点解消と Grauert–Remmert による証明』
『1-1 de Rham 複体と超コホモロジー』で代数的 de Rham コホモロジーを超コホモロジーとして定義して Hodge–de Rham スペクトル系列と affine の場合の計算を得、『1-2 解析化と比較写像』で比較写像 $\rho$ を構成して完備な場合を GAGA で閉じ、『2-1 affine 被覆による帰着』で一般の Theorem 1′ を affine の場合の Theorem 1 に帰着し、『2-2 極をもつ微分形式と局所比較定理』で極をもつ微分形式の複体と局所比較定理 Theorem 2 を導入して Theorem 1 をその系に帰着し、『2-3 特異点解消と Grauert–Remmert による証明』で Theorem 2 を証明する。ここまでで比較定理の証明が閉じる。『2-4 代数的な別証明と affine 補集合の消滅』は、原注 (6) に従って Theorem 2 を経ない別証明を与える頁で、解析空間の議論を避けたい読者は『2-2 極をもつ微分形式と局所比較定理』の局所比較定理の言明だけを読んでから『2-4 代数的な別証明と affine 補集合の消滅』へ進んでもよい。その場合、正規交叉因子に沿う極をもつ形式の局所計算だけを『2-3 特異点解消と Grauert–Remmert による証明』から引く。
この五頁の後は、関心に応じて次の道のどれかへ進む。

各頁の冒頭の「この頁で示すこと」に主結果と原論文の番号・印字頁の対応、および完結／条件付き／未完結／偽の判定がまとめてあるので、まずそこだけを全頁通して読み、原論文のどの主張がどこまで閉じているかの全体像を先につかむのも一つの方法である。原論文の順に読みたい読者のためには、各頁末尾の「原論文との対応表」が、本書のボックスと原論文の定理・式・原注・印字頁を結んでいる。

背景が薄い読者のための準備の順

本書の前提を一から身につけるときは、次の順を勧める。括弧内は主な参照先で、該当する第 0 章の頁を添える。

1. 可換環論と Kähler 微分：局所化、ネーター環、正則局所環、離散付値環、Kähler 微分の加群とその基本完全列（Mat89 第 9 章を中心に全体）。本書『0-2 Kähler 微分と超コホモロジー』の前半。
2. ホモロジー代数と層コホモロジー：導来関手、複体の超コホモロジー、二重複体のスペクトル系列、flasque 層、Čech コホモロジー、帰納極限と射影極限（Wei94 第 2・3・5 章、God58 第 II 章）。本書『0-2 Kähler 微分と超コホモロジー』の後半。
3. スキーム論と連接層コホモロジー：スキームと射の性質、準連接層とそのコホモロジー、affine 上の消滅、固有射の連接性、Serre の消滅定理、滑らかな射と微分形式の層（Har77 第 II・III 章、EGA3、EGA4、Stacks）。本書『0-3 スキームと連接層コホモロジー』。ここまでで『1-1 de Rham 複体と超コホモロジー』が読める。
4. 複素解析空間と GAGA：多変数正則関数、連接解析層、Stein 空間と Cartan の定理 A・B、Poincaré の補題と de Rham の定理、解析化と Serre の GAGA（GuR65、GR84、Huy05、BT82 第 I 章、Ser56）。本書『0-4 複素解析空間と GAGA』。ここまでで『1-2 解析化と比較写像』『2-1 affine 被覆による帰着』『2-2 極をもつ微分形式と局所比較定理』が読める。
5. 特異点解消の言明と Grauert–Remmert の比較定理：Hironaka の定理の主張、正規交叉因子、射影射に対する連接層コホモロジーの解析化と代数化の比較（Hir64、Kol07、Car61b）。本書『0-3 スキームと連接層コホモロジー』の特異点解消の項と『0-4 複素解析空間と GAGA』の Grauert–Remmert の項。ここまでで第 2 章が読める。
6. Hodge 理論の初歩：コンパクト Kähler 多様体の Hodge 分解、Hodge フィルトレーション、Hodge–de Rham スペクトル系列の退化、Hodge 対称性、Hodge 予想の主張（GH78 第 0・1 章、Voi02）。本書『0-5 Hodge 理論・アーベル多様体・エタールコホモロジーの初歩』の Hodge 理論の項。『3-3 $k$ 構造と周期』『4-1 退化と自然な分裂の不在』の前に。
7. 楕円曲線と周期：Weierstrass 表示、不変微分、$\wp$ 関数と周期格子、Legendre の関係、Schneider の定理の主張（Sil09 第 III・VI 章、Sch37）。同じ頁の楕円曲線の項。『3-1 第二種の微分形式と Leray スペクトル系列』『3-3 $k$ 構造と周期』『4-1 退化と自然な分裂の不在』の前に。
8. 局所コホモロジーと Cousin 分解：点に台をもつ局所コホモロジー、Cousin 複体、留数（Har66 第 IV 章、Har77 第 III 章 §7）。『3-2 Cousin 分解と余次元スペクトル系列』の前に。この頁は定義を自分で置くので、先に読むのは主張の形だけでよい。
9. アーベル多様体：双対アーベル多様体、Picard スキームの接空間、$p$ 捩れ群スキームと Cartier 双対、アーベルスキームとコホモロジーの底変換（Mum70 §4・§5・§9・§13）。同じ頁のアーベル多様体の項。『4-2 アーベル多様体の $H^1$ と拡大類』の前に。
10. エタールコホモロジー：エタール射、エタール層、$\ell$ 進コホモロジーと Betti 数、$\mathbb C$ 上の比較定理、Hochschild–Serre スペクトル系列、Artin–Schreier 列、Tate 予想の主張（Mil80 第 I〜III 章と第 VI 章、SGA4 XI・XVI）。同じ頁のエタールコホモロジーの項。『5-1 相対 de Rham 層と Serre の反例』の前に。
11. 接続と微分方程式：接続・曲率・可積分性、水平切断の局所系、正則 Frobenius の定理、Ehresmann の定理、正則特異点（Del70 第 I・II 章、Voi02 第 9 章）。『5-2 Gauss–Manin 接続と係数付き理論』の前に。
    代数的 de Rham コホモロジーそのものについて本書の後に読む文献としては、特異な多様体を含む一般論を与えた Hartshorne Har75、退化を標数 $p$ の持ち上げで示す Deligne–Illusie DI87 とその解説 Ill96、Gauss–Manin 接続の代数的構成を与えた Katz–Oda KO68 と Katz Kat70、標数 $p$ の理論へ続く Grothendieck の講演 Gro68 と Berthelot–Ogus BO78 がある。本書の各頁の「その後の発展」で引くのは主にこれらであり、原論文の主張が今日どこまで一般化されたか、どの期待が定理になりどの期待が撤回されたかは、そこで時点を添えて述べる。