4-2 アーベル多様体の $H^1$ と拡大類
任意の体 $k$ 上のアーベル多様体 $A$ について、Hodge–de Rham スペクトル系列の全次数 $1$ に関わる微分がすべて消えることを群構造だけから示し、$H^1_{dR}(A)$ が余接空間 $\check t_A$ による双対アーベル多様体の接空間 $t_{A^\vee}$ の拡大であることを導く。この拡大が $\operatorname{End}(A)$ 加群の拡大として何を意味するか、標数 $p$ で $p$ 捩れ群 $A[p]$ の拡大と結びつくだろうという原論文の推測、アーベルスキーム $A/S$ の拡大類 $\xi_{A/S}$ の構成に足りないものと、相対次元 $1$ では $\xi_{A/S}$ が消えるという観察を扱う。
前提知識: アーベル多様体, 双対アーベル多様体, スペクトル系列, 群スキーム, Cartier双対, 加群の拡大
この頁で示すこと
$k$ を任意の体、$A$ を $k$ 上の $g$ 次元アーベル多様体、$m\colon A\times A\to A$ を群法則、$e$ を原点、$p_1,p_2\colon A\times A\to A$ を射影とする。$\check t_A=H^0(A,\Omega^1_A)$ は不変 $1$ 形式の空間、$t_{A^\vee}=H^1(A,\mathcal O_A)$ は双対アーベル多様体の原点での接空間、$R=\operatorname{End}(A)$ は自己準同型環である（本書『0-5 Hodge 理論・アーベル多様体・エタールコホモロジーの初歩』）。
本頁の主結果は次の五つである。
- アーベル多様体の $H^1$ の完全列（原論文 印字 p. 102、DG2 の全次数 $\le1$ と AB1）：任意の標数で、Hodge–de Rham スペクトル系列の $E_1^{1,0}$・$E_1^{0,1}$ に関わる微分はすべて消え、$0\to H^0(A,\Omega^1_A)\to H^1_{dR}(A)\to H^1(A,\mathcal O_A)\to0$ は右 $R$ 加群の完全列である。［条件付き：不変微分の基本性質と $H^1(\mathcal O)$ の Künneth の公式を引用］
- $H^1_{dR}(A)$ の次元（原論文 印字 p. 102、AB1）：$\dim_kH^1_{dR}(A)=2g$ である。［条件付き：上の完全列と、$t_{A^\vee}\cong H^1(A,\mathcal O_A)$ および $\dim A^\vee=g$ を引用］
- 拡大の項の同定（原論文 印字 p. 102、AB1）：上の列は $0\to\check t_A\to H^1_{dR}(A)\to t_{A^\vee}\to0$ と書ける。［条件付き：$t_{A^\vee}\cong H^1(A,\mathcal O_A)$ を引用］
- 標数 $p$ での非分裂と $p$ 捩れ群（原論文 印字 p. 102、番号なしの完全列、AB2）：標数 $p>0$ ではこの拡大は常には分裂しないだろう、そして $0\to G(t_A)\to A[p]\to G(t_{A^\vee})^D\to0$ と結びつくだろう、という原論文の推測。［未完結：原論文の推測を記録する。本書は証明も反証もしない］
- 相対次元 $1$ での拡大類の消滅（原論文 印字 p. 102、$\xi_{X/S}$ の段落、AB3）：アーベルスキーム $A/S$ の相対 Hodge 列が局所自由層の完全列として存在するなら、その類 $\xi_{A/S}\in H^1(S,\check t_{A^\vee/S}\otimes\check t_{A/S})$ は、$S$ 上 $6$ が可逆で相対次元が $1$ のとき $0$ である。［条件付き：相対 Hodge 列の存在と底変換（本書は構成を閉じていない）、楕円曲線の局所的な短 Weierstrass 型を引用］
本頁で閉じるのは、1 の微分の消滅（群法則 $m$ で $A\times A$ に引き戻し、Künneth の分解の「対角ブロック」に閉じ込める議論。原論文は証明を書かない）と、5 の分裂の構成である。2 と 3 は双対アーベル多様体の接空間の同定にだけ依る。4 は原論文の推測で、本頁は本書『0-5 Hodge 理論・アーベル多様体・エタールコホモロジーの初歩』の $A[p]$ の完全列へ橋を架けるにとどめる。原論文の「$\xi_{X/S}$ はおそらく常に $0$ でない」は推測として記録し、5 の観察と対照する。
背景と動機
原論文（印字 p. 102）は、標数 $0$ の射影的で滑らかな $X$ で Hodge–de Rham スペクトル系列が退化すること（本書『4-1 退化と自然な分裂の不在』）を述べた直後に、$X$ がアーベル多様体なら任意の標数で同じことが成り立つと付け加え、自然な分裂は無いので、こうして得られる拡大は興味深い数論的不変量に見える、と続ける。その最初の例が、任意の体 $K$ 上のアーベル多様体 $X$ の $H^1(X)$ で、これは $t_{X^*}=H^1(X,\mathcal O_X)$ の $\check t_X$ による拡大であり、$R=\operatorname{End}(X)$ 加群の拡大と見られる、というものである。原論文はここで証明を一切書かない。
この段落には三つの層がある。退化の言明（DG2）は全次数 $1$ に限れば群構造だけから証明でき、本頁はそれを閉じる。$k$ ベクトル空間の短完全列はつねに分裂するので、拡大が不変量になるのは $R$ 加群として、あるいは底スキーム $S$ 上の局所自由層の列として見たときに限る。標数 $p$ での推測（AB2）と $\xi_{X/S}$ の非零性（AB3）は、原論文の言葉でも「seems unlikely」「probably」の段階にあり、本頁は推測として記録する。
定義と準備
記号と Hodge フィルトレーション
本頁を通じて $V=\check t_A=H^0(A,\Omega^1_A)$ とする。$A\times A$ も $2g$ 次元のアーベル多様体で、その不変 $1$ 形式の空間は $V_1\oplus V_2$（$V_i=p_i^*V$）である。Hodge–de Rham スペクトル系列 $E_1^{p,q}=H^q(A,\Omega^p_A)\Rightarrow H^{p+q}_{dR}(A)$ の abutment のフィルトレーションを $F^\bullet$ と書く（本書『0-2 Kähler 微分と超コホモロジー』）。全次数 $1$ では $F^1H^1_{dR}=E_\infty^{1,0}$、$F^2H^1_{dR}=0$、$H^1_{dR}/F^1=E_\infty^{0,1}$ である。$R=\operatorname{End}(A)$ の元 $\varphi$ は de Rham 複体の射 $\varphi^*$ を誘導し、$(\varphi\psi)^*=\psi^*\varphi^*$ なので、$H^1_{dR}(A)$ は $c\cdot\varphi=\varphi^*c$ により右 $R$ 加群になる（加法性は主結果の証明の段 5 で示す）。
$f\colon A\to S$ を底スキーム $S$ 上のアーベルスキームとする。$\check t_{A/S}=f_*\Omega^1_{A/S}$、$t_{A^\vee/S}=R^1f_*\mathcal O_A$ は階数 $g$ の局所自由層で、局所自由層の完全列
$$0\to\check t_{A/S}\to H^1_{dR}(A/S)\to t_{A^\vee/S}\to0$$
がある（引用する事実 5）。これを $A/S$ の相対 Hodge 列と呼び、その 加群の拡大 としての類
$$\xi_{A/S}\in\operatorname{Ext}^1_{\mathcal O_S}(t_{A^\vee/S},\check t_{A/S})=H^1(S,\check t_{A^\vee/S}\otimes\check t_{A/S})$$
を Hodge 拡大の類と呼ぶ。$\xi_{A/S}=0$ であることと、相対 Hodge 列が $\mathcal O_S$ 加群の列として分裂することは同値である。$S=\operatorname{Spec}k$ なら $\operatorname{Ext}^1_k=0$ なので $\xi_{A/k}=0$ で、類が意味をもつのは $S$ が点でないときである。
引用する事実
次の事実は証明せずに引用する。出典は主に本書『0-5 Hodge 理論・アーベル多様体・エタールコホモロジーの初歩』と Mum70 で、該当箇所は本頁では確認していない。
- アーベル多様体の基本性質（Mum70 §4、§9）：$H^0(A,\mathcal O_A)=k$。平行移動により $\Omega^1_A\cong\mathcal O_A\otimes_kV$、したがって $H^q(A,\Omega^p_A)\cong H^q(A,\mathcal O_A)\otimes_k\bigwedge^pV$、$\dim V=g$。不変 $1$ 形式 $v\in V$ について $m^*v=p_1^*v+p_2^*v$。同じことが $A\times A$ でも成り立ち、$\check t_{A\times A}=V_1\oplus V_2$。
- $H^1(\mathcal O)$ の Künneth の公式（EGA3 III 6.7）：$H^1(A\times A,\mathcal O)=p_1^*H^1(A,\mathcal O)\oplus p_2^*H^1(A,\mathcal O)$ で、$p_1^*$、$p_2^*$ は単射である。
- 双対アーベル多様体の接空間（Mum70 §13）：$t_{A^\vee}=\operatorname{Lie}\operatorname{Pic}^0_{A/k}\cong H^1(A,\mathcal O_A)$。$A^\vee$ は $g$ 次元のアーベル多様体なので $\dim t_{A^\vee}=g$、したがって $\dim H^1(A,\mathcal O_A)=g$。
- スペクトル系列の関手性（本書『0-2 Kähler 微分と超コホモロジー』）：$k$ スキームの射 $\varphi$ は Hodge–de Rham スペクトル系列の射 $\varphi^*$ を誘導し、すべての $d_r$ と可換で、フィルトレーションを保つ。$E_1^{0,q}\to E_1^{1,q}$ の $d_1$ は $H^q(d)$、$E_1^{p,0}\to E_1^{p+1,0}$ の $d_1$ は大域切断の外微分である。カップ積 $H^1(\mathcal O)\otimes H^0(\Omega^1)\to H^1(\Omega^1)$ は引き戻しと両立する。
- 相対 Hodge 列（本書『0-5 Hodge 理論・アーベル多様体・エタールコホモロジーの初歩』）：アーベルスキーム $f\colon A\to S$ について $H^1_{dR}(A/S)=\mathbf R^1f_*\Omega^\bullet_{A/S}$ は階数 $2g$ の局所自由層で底変換と両立し、定義（Hodge 拡大の類）の完全列がある。根拠になるのはコホモロジーと底変換の定理（Mum70 §5、EGA3 III 7）であるが、本書はこの列の構成を閉じていない（注意「構成に足りないもの」）。
- 楕円曲線の短 Weierstrass 型（Sil09 III.1、III.3。底スキーム上の形は本書は確かめていない）：$S$ 上 $6$ が可逆なら、$S$ 上の楕円曲線 $E$ は Zariski 局所的に $y^2=4x^3-g_2x-g_3$（$\Delta=g_2^3-27g_3^2$ は単数）と原点 $O$ の組で表され、二つの短 Weierstrass 型の取り替えは $(x,y)\mapsto(u^2x,u^3y)$（$u\in\mathcal O(S)^\times$）に限る。$\omega=dx/y$ は $\Omega^1_{E/S}$ の生成元である。各ファイバー（体上）では $[\omega]$ と $\eta=x\,dx/y$ の類 $[\eta]$ が $H^1_{dR}$ の基底で、$[\omega]$ が $H^0(\Omega^1)$ を張る。
主結果と証明
全次数 $1$ の微分の消滅
原論文が証明を書かない退化の言明のうち、全次数 $1$ に関わる部分を閉じる。鍵は、群法則 $m$ で $A\times A$ に引き戻すと、$A$ から来る類は Künneth の分解の「対角ブロック」に入るのに対し、微分の像は「非対角ブロック」に成分をもつ、という比較である。
$A$ を任意の体 $k$ 上の $g$ 次元アーベル多様体とする。
(i) すべての不変 $1$ 形式は閉である。したがって $H^0(A,\Omega^p_A)=\bigwedge^pV$ の元はすべて閉で、$d\colon H^0(\Omega^p)\to H^0(\Omega^{p+1})$ は $0$ である。
(ii) $d_1\colon E_1^{0,1}=H^1(A,\mathcal O_A)\to E_1^{1,1}=H^1(A,\Omega^1_A)$ は $0$ である。
(iii) $d_2\colon E_2^{0,1}=H^1(A,\mathcal O_A)\to E_2^{2,0}=H^0(A,\Omega^2_A)$ は $0$ である。
(iv) したがって
$$0\to H^0(A,\Omega^1_A)\to H^1_{dR}(A)\to H^1(A,\mathcal O_A)\to0$$
は完全である。
(v) $H^1_{dR}(A)$ は $c\cdot\varphi=\varphi^*c$ により右 $R$ 加群（$R=\operatorname{End}(A)$）になり、(iv) の列は右 $R$ 加群の完全列である。とくに $[n]^*$ は $H^1_{dR}(A)$ に $n$ 倍で作用する。
段 1（不変 $1$ 形式は閉）．$v\in V$ とし、$\xi=dv\in H^0(A,\Omega^2_A)=\bigwedge^2V$ とおく（引用する事実 1）。$d$ は引き戻しと可換なので $m^*\xi=d(p_1^*v+p_2^*v)=p_1^*\xi+p_2^*\xi$ である。他方、$m^*$ は外積を保つので、$\bigwedge^2V\to\bigwedge^2(V_1\oplus V_2)$ としての $m^*$ は $v\mapsto p_1^*v+p_2^*v$ の外冪である。$\bigwedge^2(V_1\oplus V_2)=\bigwedge^2V_1\oplus(V_1\otimes V_2)\oplus\bigwedge^2V_2$ と分解し、$\xi=\sum_jv_j\wedge w_j$ と書くと、$m^*\xi$ の $V_1\otimes V_2$ 成分は $\sum_j(p_1^*v_j\otimes p_2^*w_j-p_1^*w_j\otimes p_2^*v_j)$、すなわち反対称化 $\bigwedge^2V\to V\otimes V$ による $\xi$ の像である。反対称化は任意の標数で単射である（基底 $e_i\wedge e_j$（$i< j$）の像 $e_i\otimes e_j-e_j\otimes e_i$ は一次独立）。ところが $p_1^*\xi+p_2^*\xi$ の $V_1\otimes V_2$ 成分は $0$ なので、$\xi=0$。$\bigwedge^pV$ の元は不変 $1$ 形式の外積の和なので、Leibniz 則により閉である。
段 2（$d_1$ の消滅）．$d_1\colon E_1^{0,1}\to E_1^{1,1}$ は $H^1(d)$ である。$a\in H^1(A,\mathcal O)$ をとり、$b=H^1(d)(a)\in H^1(A,\Omega^1)=H^1(A,\mathcal O)\otimes V$ とおく。まず $m^*a=p_1^*a+p_2^*a$ を示す。Künneth（引用する事実 2）により $m^*a=p_1^*a_1+p_2^*a_2$ と一意に書ける。$(\mathrm{id},e)\colon A\to A\times A$ を施すと、$m\circ(\mathrm{id},e)=\mathrm{id}$、$p_1\circ(\mathrm{id},e)=\mathrm{id}$、$p_2\circ(\mathrm{id},e)$ は $\operatorname{Spec}k$ を経由して $H^1$ を殺すので $a=a_1$。同様に $(e,\mathrm{id})$ から $a=a_2$。よって $m^*b=H^1(d)(m^*a)=p_1^*b+p_2^*b$ で、これは $H^1(A\times A,\Omega^1)=(p_1^*H^1\oplus p_2^*H^1)\otimes(V_1\oplus V_2)$ の対角ブロック $p_1^*H^1\otimes V_1\oplus p_2^*H^1\otimes V_2$ に入る。他方 $b=\sum_ia_i\otimes v_i$ と書くと、カップ積と引き戻しの両立（引用する事実 4）により $m^*b=\sum_i(p_1^*a_i+p_2^*a_i)\otimes(p_1^*v_i+p_2^*v_i)$ で、その $p_1^*H^1\otimes V_2$ 成分 $\sum_ip_1^*a_i\otimes p_2^*v_i$ は同型 $H^1(\mathcal O)\otimes V\cong p_1^*H^1\otimes V_2$ による $b$ の像である。この成分は $0$ なので $b=0$。
段 3（$d_2$ の消滅）．段 1 により $E_2^{2,0}=H^0(\Omega^2)/dH^0(\Omega^1)=\bigwedge^2V$、段 2 により $E_2^{0,1}=H^1(A,\mathcal O)$ で、$A\times A$ でも同じである。$\xi=d_2(a)\in\bigwedge^2V$ とおく。$d_2$ は $m^*$、$p_i^*$ と可換なので（引用する事実 4）、$m^*\xi=d_2(p_1^*a+p_2^*a)=p_1^*\xi+p_2^*\xi$。段 1 と同じ反対称化の議論により $\xi=0$。
段 4（完全列と次元）．$E_1^{1,0}=H^0(\Omega^1)$ に入る $d_1$ は $E_1^{0,0}=k$ からの定数の微分で $0$、出る $d_1$ は段 1 により $0$、$r\ge2$ の $d_r$ は $q<0$ または $p<0$ の項に関わるので $0$。よって $E_\infty^{1,0}=H^0(\Omega^1)$。$E_1^{0,1}=H^1(\mathcal O)$ から出る $d_1$、$d_2$ は段 2・3 により $0$、$r\ge3$ の $d_r$ と入る微分は零の項に関わる。よって $E_\infty^{0,1}=H^1(\mathcal O)$。$F^1H^1_{dR}=E_\infty^{1,0}$、$H^1_{dR}/F^1=E_\infty^{0,1}$ が (iv) の列である。
段 5（$R$ 加群の構造）．$\varphi^*$ は de Rham 複体の射なのでスペクトル系列とフィルトレーションを保ち、(iv) の三項に両立して作用する。加法性を示す。段 4 を $A$ と $A\times A$ に適用すると、$p_1^*\oplus p_2^*\colon H^1_{dR}(A)^{\oplus2}\to H^1_{dR}(A\times A)$ はフィルトレーションを保ち、$\mathrm{gr}^1$ では $V\oplus V\to V_1\oplus V_2$、$\mathrm{gr}^0$ では Künneth の同型を誘導するので、五項補題により同型である。$c\in H^1_{dR}(A)$ について $m^*c=p_1^*c_1+p_2^*c_2$ と書き、段 2 と同じく $(\mathrm{id},e)^*$、$(e,\mathrm{id})^*$ を施すと（$H^1_{dR}(\operatorname{Spec}k)=0$）$c_1=c_2=c$。よって $\varphi+\psi=m\circ(\varphi,\psi)$ から $(\varphi+\psi)^*c=(\varphi,\psi)^*(p_1^*c+p_2^*c)=\varphi^*c+\psi^*c$。$[n]=m\circ([n-1],[1])$ と帰納法により $[n]^*c=nc$。
これで、原論文が「任意の標数で同じことが成り立つ」と述べた退化のうち、$H^1_{dR}(A)$ に関わる部分は群法則だけで閉じた。全次数 $2$ 以上の微分は同じ議論だけでは閉じず、本書『4-1 退化と自然な分裂の不在』に未完結として残る。次元の計算は、右項の次元が双対アーベル多様体の次元に依るので、定理から分けて系にする。
上の定理（アーベル多様体の $H^1$ の完全列）の設定で $\dim_kH^1_{dR}(A)=2g$ である。
$\dim H^0(A,\Omega^1_A)=\dim V=g$（引用する事実 1）。$\dim H^1(A,\mathcal O_A)=\dim t_{A^\vee}=\dim A^\vee=g$（引用する事実 3）。上の定理 (iv) の完全列で $g+g=2g$。
定理の証明は群法則と Künneth だけで済んだが、この系は $t_{A^\vee}\cong H^1(A,\mathcal O_A)$ を経由するので条件付きである。次に、列の両端を原論文の記号に読み替える。
拡大の項の同定
上の定理（アーベル多様体の $H^1$ の完全列）の列は、右 $R$ 加群の完全列
$$0\to\check t_A\to H^1_{dR}(A)\to t_{A^\vee}\to0$$
と書ける。すなわち $H^1_{dR}(A)$ は $t_{A^\vee}$ の $\check t_A$ による拡大である。
左項 $H^0(A,\Omega^1_A)$ は不変 $1$ 形式の空間で、原点での余接空間 $\check t_A$ と同一視される（引用する事実 1）。右項 $H^1(A,\mathcal O_A)$ は $t_{A^\vee}$ である（引用する事実 3）。$R$ の作用はどちらの同一視とも両立する（$\varphi^*$ は原点での余接写像と、$\operatorname{Pic}^0$ 上の $\varphi^*$ の微分を与える）。
原論文（印字 p. 102 中段）は、この拡大を「$t_{X^*}$ の $t_X$（$X$ の原点での接空間の双対）による拡大」と印字し、$t_X$ に双対の印を付けていない。括弧内の説明と、同じ頁の $\xi_{X/S}$ の式で $\check t_X$ と印字されていることから、これは $\check t_X$ の誤植と読む（読解ノート 9-17）。本書は常に $\check t_A$ と書く。同じ段落の $A[p]$ の完全列に現れる $t_X$、$t_{X^*}$ は接空間そのもの（制限 $p$-Lie 代数）で、こちらは印字のとおりである。
ここまでで拡大の存在と両端の同定が済んだ。しかし $k$ ベクトル空間としてはどんな短完全列も分裂するので、拡大を不変量と呼ぶには、何に関する拡大かを決める必要がある。
上の系（拡大の項の同定）の列について、次の三つは区別する必要がある。(a) 右 $R$ 加群の拡大として。$R=\mathbb Z$ なら上の定理（アーベル多様体の $H^1$ の完全列）(v) により $[n]^*=n$ で拡大は分裂し、$R$ が大きい（虚数乗法など）ときに初めて意味をもつ（本頁の例「虚数乗法をもつ楕円曲線」）。(b) $A$ について関手的な分裂の有無として（本書『4-1 退化と自然な分裂の不在』）。(c) 底スキーム $S$ 上の族として。$\xi_{A/S}$ がこれを測る。原論文はこの区別を書かない。
標数 $p$ での推測の記録
原論文は、標数 $p\ne0$ ではこの拡大が常に分裂するとは思えないと述べ、$p$ 捩れ群スキームの完全列と何らかの形で結びついているだろうと続ける。証明も、結びつきの形も書かれていない。
$k$ を標数 $p>0$ の体、$A$ を $k$ 上のアーベル多様体とする。原論文（印字 p. 102）の推測は次の二つである。
(1) 拡大 $0\to\check t_A\to H^1_{dR}(A)\to t_{A^\vee}\to0$ は、常に分裂するとは限らない（分裂の意味は書かれていない）。
(2) この拡大は、有限群スキームの完全列
$$0\to G(t_A)\to A[p]\to G(t_{A^\vee})^D\to0$$
と何らかの形で結びついている。ここで $A[p]=\ker(p\cdot\mathrm{id}_A)$、$G(\mathfrak g)$ は制限 $p$-Lie 代数 $\mathfrak g$ に付随する高さ $1$ の群スキーム、$D$ は Cartier双対 である。
本書はどちらも証明しない。(2) の完全列そのものは、相対 Frobenius と Verschiebung から $0\to\ker F_A\to A[p]\to\ker V_A\to0$ として得られ、$\ker F_A=G(t_A)$、$\ker V_A\cong G(t_{A^\vee})^D$ である（本書『0-5 Hodge 理論・アーベル多様体・エタールコホモロジーの初歩』、Mum70 §14–§15）。
この推測は本書『0-5 Hodge 理論・アーベル多様体・エタールコホモロジーの初歩』の $A[p]$ の完全列と、上の系（拡大の項の同定）の列とを、同じ二つの空間 $t_A$、$t_{A^\vee}$（とその双対）で結ぶ。両者の対応を定理にしたのは後代の Dieudonné 理論で、「その後の発展」で紹介する。本頁の例「虚数乗法をもつ楕円曲線」は、(a) の意味の分裂が部分環 $\mathbb Z[i]\subset R$ の作用だけで決まる場合を示し、あわせて $R$ 全体としての分裂はその計算だけでは決まらないことを注意する。
アーベルスキームの拡大類
原論文は最後に、体を底スキーム $S$ に置き換え、局所自由層の拡大とその類 $\xi_{X/S}$ を得る、と述べる。列の存在は本書では引用にとどまる。
定義（Hodge 拡大の類）の完全列を本頁の定理から導くには、(1) 各ファイバーで上の定理（アーベル多様体の $H^1$ の完全列）が成り立つこと、(2) $R^qf_*\Omega^p_{A/S}$ と $\mathbf R^1f_*\Omega^\bullet_{A/S}$ が局所自由で底変換と両立すること（コホモロジーと底変換の定理。ファイバーごとの $h^{p,q}$ が一定であることを使う）、(3) 単位切断による同定 $f_*\Omega^1_{A/S}=\check t_{A/S}$、$R^1f_*\mathcal O_A=t_{A^\vee/S}$ の三つが要る。(1) は本頁で閉じたが、(2)・(3) は引用である（引用する事実 5）。以下の命題はこの列の存在を認めたうえでの観察である。
列の存在を認めると、相対次元 $1$ では類が消えることが楕円曲線の Weierstrass 型から分かる。本書『4-1 退化と自然な分裂の不在』の $\eta=x\,dx/y$ による分裂が、底スキーム上でも貼り合うからである。
$S$ 上 $6$ が可逆とし、$f\colon E\to S$ を相対次元 $1$ のアーベルスキーム（楕円曲線）とする。このとき相対 Hodge 列 $0\to\check t_{E/S}\to H^1_{dR}(E/S)\to t_{E^\vee/S}\to0$ は $\mathcal O_S$ 加群の列として分裂し、$\xi_{E/S}=0$ である。分裂は短 Weierstrass 型の $\eta=x\,dx/y$ の類が張る直線束 $L\subset H^1_{dR}(E/S)$ で与えられ、$L$ は短 Weierstrass 型の選び方によらない。
段 1（局所的な類 $[\eta]$ の構成）．$S$ を affine な開集合 $U=\operatorname{Spec}B$ で覆い、各 $U$ 上で $E_U$ が短 Weierstrass 型 $y^2=4x^3-g_2x-g_3$（$g_2,g_3\in B$）で表されるようにする（引用する事実 6）。射影座標 $(X:Y:Z)$、$x=X/Z$、$y=Y/Z$ で $U_1=\{Z\ne0\}=E_U\smallsetminus\{O\}$、$U_2=\{Y\ne0\}=E_U\smallsetminus\{y=0\}$ とおくと、どちらも $U$ 上 affine（$\mathbb P^2_U$ の超平面切断の補集合）で $E_U=U_1\cup U_2$ である。$\omega=dx/y$ は $\Omega^1_{E_U/U}$ の大域的な生成元である。$2y\,dy=(12x^2-g_2)\,dx$ を使って
$$d\Bigl(\frac{x^2}y\Bigr)=\frac{2xy\,dx-x^2\,dy}{y^2}=\frac{4x^4-3g_2x^2-4g_3x}{2y^2}\,\omega=\frac12\eta-\frac{2g_2x^2+3g_3x}{2y^2}\,\omega$$
が $U_{12}=U_1\cap U_2$ 上で成り立つ（最後の等号は分子を $y^2=4x^3-g_2x-g_3$ で割った）。そこで
$$\alpha_1=\eta\ (U_1\text{ 上}),\qquad\alpha_2=\frac{2g_2x^2+3g_3x}{y^2}\,\omega\ (U_2\text{ 上}),\qquad h_{12}=-\frac{2x^2}{y}\in\mathcal O(U_{12})$$
とおく。$x^2/y^2=(X/Y)^2$、$x/y^2=(X/Y)(Z/Y)$ は $U_2$ 上正則なので $\alpha_2$ は $U_2$ 上（$O$ でも）正則な相対 $1$ 形式であり、$\alpha_2-\alpha_1=-2\,d(x^2/y)=dh_{12}$ が成り立つ。相対次元 $1$ なので $d\alpha_i=0$ は自動である。したがって $(\alpha_1,\alpha_2;h_{12})$ は affine 被覆 $\{U_1,U_2\}$ に関する Čech–de Rham 複体の $1$ コサイクルで、類 $[\eta]\in H^1_{dR}(E_U/U)$ を定める（本書『0-2 Kähler 微分と超コホモロジー』）。$[\omega]$ は大域切断 $\omega$ の定める類である。
段 2（局所的な分裂）．$U$ の各点 $s$ でのファイバー $E_s$ において、$[\omega]$、$[\eta]$ は上の構成の底変換であり、$H^1_{dR}(E_s)$ の基底をなす（引用する事実 6）。$H^1_{dR}(E_U/U)$ は階数 $2$ の局所自由層で底変換と両立するので（引用する事実 5）、中山の補題により $[\omega]$、$[\eta]$ は $U$ 上の局所基底である。$[\omega]$ は $\check t_{E/S}$ を張るので、$L_U=\mathcal O_U\cdot[\eta]$ は $\check t_{E/S}|_U$ の補直線束であり、$L_U\to t_{E^\vee/S}|_U$ は同型である。
段 3（貼り合わせ）．二つの短 Weierstrass 型の取り替えは $(x,y)\mapsto(u^2x,u^3y)$（$u\in B^\times$）に限る（引用する事実 6）。$x'=u^2x$、$y'=u^3y$ とすると $g_2'=u^4g_2$、$g_3'=u^6g_3$、$\omega'=u^{-1}\omega$、$\eta'=u\,\eta$ で、開集合 $U_1$、$U_2$ は変わらず、段 1 のコサイクル $(\alpha_1,\alpha_2;h_{12})$ は全体が $u$ 倍になる（$\alpha_2'=u\,\alpha_2$、$h_{12}'=-2x'^2/y'=u\,h_{12}$）。よって類 $[\eta]$ は単数倍しか変わらず、直線束 $L_U$ は短 Weierstrass 型の選び方によらない。したがって $L_U$ は $S$ 全体で貼り合って $L\subset H^1_{dR}(E/S)$ を定め、$H^1_{dR}(E/S)=\check t_{E/S}\oplus L$ である。これが $\mathcal O_S$ 加群としての分裂で、$\xi_{E/S}=0$。
原論文は $\xi_{X/S}$ について、おそらく常に $0$ ではなく、標数 $0$ で $S$ が固有でもそうだろう、と述べる。上の命題（相対次元 $1$ での拡大類の消滅）により、$6$ が可逆な底の上の楕円曲線では、$S$ が固有でも標数 $0$ でも $\xi_{E/S}=0$ である。推測が「ある $X/S$ で $\xi\ne0$」の意味なら、それは相対次元 $2$ 以上、または剰余標数 $2$、$3$ の場合にしか起こりえない。本書は相対次元 $2$ 以上で $\xi_{A/S}\ne0$ となる例を知らず、推測の当否を判定しない。なお $\xi_{A/S}$ は Kodaira–Spencer 写像（Gauss–Manin 接続から得られる $\check t_{A/S}\to\Omega^1_S\otimes t_{A^\vee/S}$）とは別の対象で、後者は楕円曲線の非等自明な族で $0$ でない（「その後の発展」）。
例と反例
以下の例は、主結果の楕円曲線での具体形、$R$ 加群としての拡大が意味をもつ場合、標数 $p$ の $A[p]$ の構造、そして群構造を外したときに何が破れるかを示す。
$k$ を標数 $2$、$3$ でない体、$E\colon y^2=4x^3-g_2x-g_3$ とする。$H^1_{dR}(E)$ は第二種の微分（すべての極で留数が $0$ の有理型微分）を完全微分で割ったもので、$\omega=dx/y$、$\eta=x\,dx/y$ の類が基底である（本書『0-5 Hodge 理論・アーベル多様体・エタールコホモロジーの初歩』）。上の定理（アーベル多様体の $H^1$ の完全列）の列は
$$0\to k[\omega]\to k[\omega]\oplus k[\eta]\to k\,\overline{[\eta]}\to0$$
で、$\check t_E=k[\omega]$、$t_{E^\vee}=H^1(E,\mathcal O_E)$ は $\eta$ の像 $\overline{[\eta]}$ が張る。$[n]^*$ は両方の基底元に $n$ 倍で作用し、たとえば $[-1]\colon(x,y)\mapsto(x,-y)$ について $[-1]^*\omega=-\omega$、$[-1]^*\eta=-\eta$ である。直線 $k[\eta]$ は短 Weierstrass 型の取り替え $(x,y)\mapsto(u^2x,u^3y)$ で変わらないので、この列は $E$ の同型に関して関手的に分裂する（本書『4-1 退化と自然な分裂の不在』）。上の命題（相対次元 $1$ での拡大類の消滅）はこの分裂を底スキーム上に延ばしたものである。
次は $R$ 加群としての拡大が $k$ 線型構造から情報を足す例で、注意（拡大が意味をもつ三つの見方）の (a) に当たる。
$k$ を標数 $2$、$3$ でない体で $i=\sqrt{-1}\in k$ をもつものとし、$E\colon y^2=4x^3-4x$（$\Delta=64\ne0$）とする。$[i]\colon(x,y)\mapsto(-x,iy)$ は $E$ の自己同型で（$(iy)^2=-y^2=4(-x)^3-4(-x)$）、$R=\operatorname{End}(E)\supset\mathbb Z[i]$ である。引き戻しは
$$[i]^*\omega=\frac{d(-x)}{iy}=i\,\omega,\qquad[i]^*\eta=\frac{(-x)\,d(-x)}{iy}=-i\,\eta$$
で、$[i]^*$ は $\check t_E=k[\omega]$ に固有値 $i$、商 $t_{E^\vee}$ に固有値 $-i$ で作用する。$i\ne-i$ なので $H^1_{dR}(E)$ は $[i]^*$ の固有空間の直和 $k[\omega]\oplus k[\eta]$ に分解し、$\mathbb Z[i]$ 加群の拡大として列は一意に分裂して、その分裂は $k[\eta]$ に一致する。ただしこれは部分環 $\mathbb Z[i]\subset R$ についての分裂である。標数 $0$ で $E$ が $\mathbb Z[i]$ 以外の自己準同型をもたないなら $R=\mathbb Z[i]$ で、$R$ 加群としても分裂する。標数 $p\equiv3\pmod4$ では $E$ は超特異で、$R$ は四元数環の整環になり $\mathbb Z[i]$ より大きいと言明される（Sil09 V.3、V.4。本書は確かめていない）。このとき $R$ 加群として分裂するかどうかは上の計算だけからは決まらず、次の例のとおり $E[p]$ の列は分裂しないと言明されるので、推測（標数 $p$ での非分裂と $p$ 捩れ群）の「分裂」を $R$ 加群としての分裂と読む余地は残る。
推測（標数 $p$ での非分裂と $p$ 捩れ群）の右辺の $A[p]$ の列が、曲線の種類で形を変えることを言明として添える。
$k$ を標数 $p>0$ の代数閉体、$E$ を $k$ 上の楕円曲線とする。$t_E$ は $1$ 次元で、制限 $p$-Lie 代数としての $p$ 乗写像は $0$ か非零かのどちらかである。非零なら（通常楕円曲線）$G(t_E)\cong\mu_p$、$G(t_{E^\vee})^D\cong\mathbb Z/p$ で、列 $0\to\mu_p\to E[p]\to\mathbb Z/p\to0$ は分裂し $E[p]\cong\mu_p\times\mathbb Z/p$ である。零なら（超特異楕円曲線）$G(t_E)\cong\alpha_p\cong\alpha_p^D$ で、$E[p]$ は $\alpha_p$ の $\alpha_p$ による分裂しない拡大である。以上は標準的な言明であり（Mum70 §15、Sil09 V.3）、本書は確かめていない。二つの場合の違いが $H^1_{dR}(E)$ の側にどう映るかが推測の問いで、答えは「その後の発展」の Oda の定理にある。
最後は、上の定理（アーベル多様体の $H^1$ の完全列）の証明が群構造にどれほど依るかを示す反例である。
外す条件は「$A$ が群である」こと。標数 $p>0$ では、群構造のない滑らかな射影曲面で、閉でない大域正則 $1$ 形式をもつものが Mumford Mum61 により構成されたと言明される（1961 年。本書は確かめていない）。そのような曲面では $d_1\colon E_1^{1,0}=H^0(\Omega^1)\to E_1^{2,0}=H^0(\Omega^2)$ が $0$ でなく、$F^1H^1_{dR}$ は $H^0(\Omega^1)$ より小さい。
- 満たす条件：$k$ 上滑らかで射影的。
- 破る条件：群構造（$m^*v=p_1^*v+p_2^*v$ を満たす不変形式の空間で $\Omega^1$ が生成されること）。
- 破る結論：全次数 $1$ での退化、したがって $0\to H^0(\Omega^1)\to H^1_{dR}\to H^1(\mathcal O)\to0$ の完全性。標数 $0$ では群構造がなくても本書『4-1 退化と自然な分裂の不在』の退化定理により列は完全である。
その後の発展
以下は原論文の主張ではなく、後代の結果の紹介である（本頁の執筆時点 2026 年の知識による。文献はいずれも本書では開いておらず、該当箇所は確かめていない）。
- $H^1_{dR}$ と Dieudonné 加群（Oda Oda69、1969 年）：完全体 $k$（標数 $p$）上のアーベル多様体 $A$ について、$H^1_{dR}(A)$ は $A[p]$ の Dieudonné 加群と同型で、Hodge フィルトレーション $\check t_A\subset H^1_{dR}(A)$ が Frobenius・Verschiebung の核と像に対応することが示された。これにより推測（標数 $p$ での非分裂と $p$ 捩れ群）の (2) は同型として定式化され、(1) の「分裂」は Frobenius と両立する分裂として意味をもつようになった。本頁の例「通常楕円曲線と超特異楕円曲線の $E[p]$」の違いは、この対応の下で $H^1_{dR}$ の側に移る。
- アーベル多様体の教科書（Mumford Mum70、1970 年）：双対アーベル多様体、$t_{A^\vee}=H^1(A,\mathcal O_A)$、Frobenius と Verschiebung、$A[p]$ の構造、通常と超特異の区別が体系的に述べられ、本頁が引用した事実の標準的な出典である。
- Kodaira–Spencer 写像と $p$ 曲率（Katz Kat72、1972 年。Gauss–Manin 接続の代数的構成は Katz–Oda KO68、1968 年）：$H^1_{dR}(A/S)$ の Gauss–Manin 接続と Hodge フィルトレーションから Kodaira–Spencer 写像 $\check t_{A/S}\to\Omega^1_{S}\otimes t_{A^\vee/S}$ が得られる。これは族の変形を測り、楕円曲線の非等自明な族で $0$ でない。本頁の $\xi_{A/S}$（接続を使わない $\mathcal O_S$ 加群の拡大類）とは別の不変量である。標数 $p$ では接続の $p$ 曲率が Hodge フィルトレーションと結びつく（本書『5-2 Gauss–Manin 接続と係数付き理論』）。
- 結晶コホモロジー（Berthelot Ber74、Berthelot–Ogus BO78、1974・1978 年）：Dieudonné 加群と $H^1_{dR}$ の対応は、結晶コホモロジーと $p$ 可除群の Dieudonné 加群の対応へ持ち上げられる。
原論文との対応表
本頁が対応する原論文は On the de Rham cohomology of algebraic varieties Gro66 である。原論文には節番号も定理番号もないので、印字頁と段落で引く。
| 本頁 | 原論文 | 印字頁 |
|---|---|---|
| 定理（アーベル多様体の $H^1$ の完全列）の (i)〜(iv) | 「The same holds in any characteristic if X is an abelian variety」（DG2 の全次数 $\le1$） | 102 |
| 定理（アーベル多様体の $H^1$ の完全列）の (v)、系（$H^1_{dR}(A)$ の次元）、系（拡大の項の同定）、注意（原論文の印字 $t_X$ について） | 「an extension of $t_{X^*}$ … by $t_X$」「extension of R-modules」（AB1、読解ノート 9-17） | 102 |
| 推測（標数 $p$ での非分裂と $p$ 捩れ群） | 「it seems unlikely that this extension should always split」と番号なしの完全列（AB2） | 102 |
| 定義（Hodge 拡大の類）、注意（構成に足りないもの） | 「abelian scheme X over an arbitrary ground scheme S」、$\xi_{X/S}$（AB3） | 102 |
| 命題（相対次元 $1$ での拡大類の消滅）、注意（原論文の「おそらく常に $0$ でない」との対照） | 「which probably is not always zero」（AB3 の推測） | 102 |
| 例（楕円曲線の $H^1_{dR}$ の完全列） | 「in the case when X is an elliptic curve」（SP1）と原注 (10) | 102 |
参考文献
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