0-6 記号と約束

本書の全頁で共通に使う記号と約束をまとめた頁である。記号は各頁でも必要な箇所で短く繰り返し、頁の中で変えるときはその頁で断る。前提となる概念の要点は本書『0-2 Kähler 微分と超コホモロジー』から『0-5 Hodge 理論・アーベル多様体・エタールコホモロジーの初歩』までに、読む順序は本書『0-1 本書の読み方』にある。

一般の約束

体と標数

• 基礎体 $k$：断りがなければ任意の体である。標数 $0$ を仮定するときは明記する。$k$ の標数が正のときはそれを $p$ と書き、第 4 章・第 5 章の「標数 $p$」は $\operatorname{char}k=p>0$ を意味する。$\ell$ はつねに $k$ の標数と異なる素数、$\bar k$ は $k$ の代数閉包である。
• 第 3 章では $k$ を $\mathbb C$ の部分体（たとえば数体）として固定し、$k$ 上のスキーム $X_0$ とその底変換 $X=X_0\otimes_k\mathbb C$ を区別する。原論文が任意の体を $K$ と書く箇所でも本書は $k$ と書く。

スキームの仮定

• $X$：断りがなければ $k$ 上局所有限型で滑らかなスキームである。分離性と準コンパクト性は仮定しない。仮定するときは「分離的」「代数的」などと明記する。原論文の prescheme は今日のスキームのことで（EGA I の scheme は分離的 prescheme を指した）、本書はすべてスキームと呼ぶ。「代数的スキーム」は $k$ 上有限型のスキームをいう。
• $U\subset X$ は開部分スキーム、$f\colon U\to X$ はその包含、$Y=X-U$ は閉部分集合である。第 2 章では $Y$ が局所的に $1$ 個の方程式で定義されることを仮定し、$Y$ を定める連接イデアル層を $\mathcal J$ と書く。$g\colon X'\to X$ は特異点解消（射影的双有理射）で、$Y'=g^{-1}(Y)$、$U'=g^{-1}(U)\cong U$ とする。第 5 章では $S$ を底スキーム、$f\colon X\to S$ を滑らかな射とする。文字 $f$ の二重の使い方は原論文どおりである。
• 点 $x\in X$ について $\mathcal O_{X,x}$ は局所環、$\mathfrak m_x$ は極大イデアル、$\kappa(x)$ は剰余体（原論文の $k(x)$）、$X^p$ は余次元 $p$ の点の集合である。

「滑らか」「非特異」「完備」の用法

• 「滑らか」は EGA IV の smooth である。本書は「非特異」を体上の滑らかさの言い換えとして使う。原論文の regular は $\mathbb C$ 上または標数 $0$ の体上で使われ、そこでは正則と滑らかは同じである。任意標数を扱う第 5 章では原論文と同じく smooth だけを仮定する。
• 「完備」は $k$ 上固有（proper）である。原論文の complete と compact algebraic はどちらも完備を意味する。解析空間の「コンパクト」は位相的コンパクトである。「正規交叉のみ」の因子は、各点の近傍で局所座標の積 $z_1\cdots z_r=0$ で定義される被約因子（原論文が Atiyah–Hodge AH55 の用語で simple divisor と呼ぶもの）である。

解析化と比較写像

• $k=\mathbb C$ のとき、$X^h$ は $X$ に付随する複素解析空間（解析化）である。$X$ が滑らかなら $X^h$ は複素多様体である。$\mathcal O_{X^h}$ は正則関数の層、$\mathcal F^h$、$f^h$、$\mathfrak U^h$ は層・射・開被覆の解析化である（原論文と同じ肩付きの $h$）。
• $\mathbb C_{X^h}$、$\mathbb Q_{X^h}$、$\mathbb Z_{X^h}$ は $X^h$ 上の定数層である。$H^n(X^h,\mathbb C)$ は特異コホモロジーと一致する。
• $\rho\colon H^n_{dR}(X)\to H^n(X^h,\mathbb C)$ は比較写像（原論文の式 (5)。原論文は記号を与えない）である。構成は本書『1-2 解析化と比較写像』にある。

微分形式と複体

複体 $K^\bullet$ の $n$ 次の項を $K^n$、コホモロジー層を $\mathcal H^n(K^\bullet)$ と書く。

コホモロジーの書き分け

層コホモロジーと超コホモロジー

• 添字の無い $H^n(X,\mathcal F)$ は Zariski 位相の層コホモロジーである。複素解析空間では通常の位相の層コホモロジーを表す。エタールコホモロジーには必ず $H^n_{\text{ét}}$ と添字を付ける。
• $\mathbf H^n(X,K^\bullet)$ は複体 $K^\bullet$ の超コホモロジー $H^n(\mathbf R\Gamma(X,K^\bullet))$ である。太字の $\mathbf H$ と $\mathbf R$ は導来関手を表し、$K^\bullet$ が次数 $0$ に置かれた $1$ つの層なら通常の層コホモロジーに戻る。計算法（入射分解、二重複体、スペクトル系列）は本書『0-2 Kähler 微分と超コホモロジー』にある。
• $\mathbf Rf_*$ は導来順像、$R^qf_*\mathcal F$ はその $q$ 次、$\mathbf R^nf_*(K^\bullet)=\mathcal H^n(\mathbf Rf_*K^\bullet)$ は複体の超順像である。原論文も $R^qf_*$ と $\mathbf R^qf_*$ を区別して印字する。
• $H^q_x(\mathcal E)$ は点 $x$ に台をもつ局所コホモロジー $\varinjlim_n\operatorname{Ext}^q(\mathcal O_{X,x}/\mathfrak m_x^n,\mathcal E_x)$、$\mathbf H^n_Z(X,K^\bullet)$ は閉集合 $Z$ に台をもつ超コホモロジーである。

de Rham コホモロジーと Hodge コホモロジー

• $H^n_{dR}(X)=H^n_{dR}(X/k)=\mathbf H^n(X,\Omega^\bullet_{X/k})$ は代数的 de Rham コホモロジーである（原論文の $H^n(X)$、式 (1)）。全次数をまとめて $H^\bullet_{dR}(X)$ と書く。$X$ が affine なら $H^n_{dR}(X)=H^n(\Gamma(X,\Omega^\bullet_{X/k}))$ である（式 (4)）。
• $H^{p,q}(X)=H^q(X,\Omega^p_{X/k})$ は Hodge コホモロジー、$H^n_{Hdg}(X)=\bigoplus_{p+q=n}H^{p,q}(X)$ はその $n$ 次の部分である（原論文の $H^\bullet(X,\Omega^\bullet_{X/k})$、式 (2)）。
• Hodge–de Rham スペクトル系列は $E_1^{p,q}=H^q(X,\Omega^p_{X/k})\Rightarrow H^{p+q}_{dR}(X)$ である（式 (3)）。「退化する」はすべての $r\ge1$ で $d_r=0$ となることをいう。$F^pH^n_{dR}(X)$ はこの系列が定める Hodge フィルトレーションである。
• $\check H^p(\mathfrak U,\mathcal H^q)$ は開被覆 $\mathfrak U$ の Čechコホモロジーで、係数は前層 $V\mapsto H^q_{dR}(V)$ である（原論文の $H^p(\mathfrak U,\mathcal H^q)$、式 (6)）。原論文は解析側の前層 $V^h\mapsto H^q(V^h,\mathbb C)$ にも同じ $\mathcal H^q$ を使うが、本書は $\mathcal H^q_{an}$ と書き分ける。
• $H^n_{dR}(f)=H^n_{dR}(X/S)=\mathbf R^nf_*(\Omega^\bullet_{X/S})$ は滑らかな射 $f\colon X\to S$ の相対 de Rham 層（原論文の $H^n(f)$、式 (13)）、$H^n_{dR}(X,\mathcal E)=\mathbf H^n(X,\Omega^\bullet_{X/k}\otimes\mathcal E)$ は係数付き de Rham コホモロジーである（原注 (13)）。
• $b_n(X)=\dim_{\mathbb Q_\ell}H^n_{\text{ét}}(X_{\bar k},\mathbb Q_\ell)$ は $\ell$ 進 Betti 数である（$\ell\ne\operatorname{char}k$。原注 (11) が引くエタールコホモロジーによる）。

アーベル多様体と周期

• $A$ は $k$ 上のアーベル多様体、$A^\vee$ はその双対アーベル多様体である（原論文の $X$、$X^*$）。$t_A=\operatorname{Lie}A$ は原点での接空間、$\check t_A=t_A^\vee=H^0(A,\Omega^1_{A/k})$ はその双対（不変微分の空間）である（原論文の $t_X$、$\check t_X$）。$t_{A^\vee}=H^1(A,\mathcal O_A)$ は双対アーベル多様体の接空間である（原論文の $t_{X^*}$）。
• $A[p]=\ker(p\cdot\mathrm{id}_A)$ は $p$ 捩れ部分群スキーム（原論文の ${}_pX$）、$G(\mathfrak g)$ は制限 $p$ Lie 代数 $\mathfrak g$ に付随する高さ $1$ の radicial 群スキーム、$D(G)$ は有限平坦群スキーム $G$ の Cartier 双対である。$S$ 上のアーベルスキーム $A\to S$ について $\xi_{A/S}\in H^1(S,\check t_{A^\vee}\otimes\check t_A)$ は Hodge フィルトレーションの拡大類である（原論文の $\xi_{X/S}$。本書『4-2 アーベル多様体の $H^1$ と拡大類』）。
• $g$ は曲線の種数またはアーベル多様体の次元で、$b_1=2g$ である。楕円曲線については $\wp$ を Weierstrass の $\wp$ 関数、$\omega=dx/y$ を不変微分（第一種）、$\eta=x\,dx/y$ を第二種の微分、$\omega_1,\omega_2$ と $\eta_1,\eta_2$ をそれぞれの周期とする（原注 (10)。本書『3-3 $k$ 構造と周期』）。

原論文の引き方

番号と頁

• 「原論文」は Grothendieck Gro66 を指す。書簡の抜粋なので節番号はない。定理は Theorem 1・Theorem 1′・Theorem 2・Corollary（場合 a)・b)）の 4 つ、番号付きの式は (1)〜(13) と原注内の (8′)・(8″)・(10′)・(R)・$(\mathrm S^\bullet)$・(H)・$(\mathrm S_\bullet)$、原注は (1)〜(13) で、これらを「Theorem 1′」「式 (5)」「原注 (12)」のように引く。番号のない箇所は「印字 p. 98」のように印字頁（95〜103）で引く。
• 原注は (13) を除き 1963 年 11 月、(13) は 1965 年 7 月の追記である（原注 (1)）。本文は 1963 年 10 月 14 日付の書簡である。時期の違いが意味をもつ箇所（撤回、追記）では本書はそれを明記する。

原論文の記号との対応表

頁の読み方の約束

頁の構成と引用

• 第 1 章以降の各頁は「この頁で示すこと」「背景と動機」「定義と準備」「主結果と証明」「例と反例」「その後の発展」「原論文との対応表」の順に並ぶ。引く文献は本書共通の参考文献一覧にあり、本文中では [[ラベル]] で示す。頁をまたぐ参照は「本書『n-m 頁名』」と書く。
• 証明のうち他の文献の結果に頼る段は「引用」と明記し、各頁の「定義と準備」の「引用する事実」に一覧で示す。原論文が省いた段を本書で補ったときは、そのことを明記する。

状態語と原論文の確信度

• 各主張には本書の判定として状態語を一つ付ける。「完結」は本書の中で証明し切ったもの、「条件付き」は引用した定理に依るもの（何を引用したかを添える）、「未完結」は証明を閉じられなかったもの、「偽」はそのままでは成り立たないもの（反例と正しい形を添える）である。
• これとは別に、原論文自身の確信度を「定理」（証明または証明の筋がある）、「主張」（断定形だが証明なし）、「期待」（hope）、「推測」（likely、presumably、probably、seems unlikely など）、「予想」（conjecture、it is believed）、「問題」（疑問文、would be interesting）、「撤回」（後の原注で過大と認めたもの）の 7 つで添える。原論文で「推測」だった主張が後代に定理になっていても、本書の状態語はその頁で証明を閉じたかどうかだけで決まる。
• 「その後の発展」の節は原論文の主張と分けて書き、何年の時点の知見かを明記する。本書が文献を開いて確かめていないものは「本書は確かめていない」と書く。

後代の名称

• Gauss–Manin 接続、混合 Hodge 構造、coniveau スペクトル系列、Deligne–Illusie の退化定理、結晶コホモロジーなどの後代の名称は「その後の発展」の節で使い、原論文の主張として帰属しない。本文でこれらの名称を使うときは後代の名称であることを断る。

原論文の誤植のうち数学に関わるもの

原論文の印字の誤りのうち数学的な読みに関わるものを挙げる。本書はどの箇所も「本書の読み」で扱い、該当する頁でも「原論文は〜と印字」と断る。根拠は紙面内で閉じるものに限り、いずれも断定は避けて「可能性が高い」とする。綴りの誤りや字体の不統一は省く。

このほか、印字 p. 101 の「sub-vector space $H^\bullet(X)$」は $H^n_{dR}(X)$ と読み、原注 (13) 末尾の「note (12)」は内容上 p. 100 の式 (12)（Leray スペクトル系列）を指すと読む。