0-5 Hodge 理論・アーベル多様体・エタールコホモロジーの初歩

$M$ をコンパクト Kähler 多様体（例えば $\mathbb C$ 上射影的で滑らかなスキーム $X$ の解析化 $M=X^h$）とする。複素係数コホモロジーは
$$H^n(M,\mathbb C)=\bigoplus_{p+q=n}H^{p,q}(M)$$
と直和に分かれる。ここで $H^{p,q}(M)$ は型 $(p,q)$ の閉微分形式で代表される類の全体であり、Kähler 計量を選べば型 $(p,q)$ の調和形式の空間と同一視される。分解は計量によらない。複素共役は $\overline{H^{p,q}(M)}=H^{q,p}(M)$ をみたす。$h^{p,q}=\dim_{\mathbb C}H^{p,q}(M)$ を Hodge 数といい、$b_n=\sum_{p+q=n}h^{p,q}$ が Betti 数である。任意の複素多様体で、$\bar\partial$ に関する Poincaré の補題と $C^\infty$ 形式の層が細層であることから、$H^q(M,\Omega^p_M)$ は Dolbeault コホモロジー $H^{p,q}_{\bar\partial}(M)$（$\bar\partial$ 閉な $(p,q)$ 形式を $\bar\partial$ 完全なもので割った空間）に同型であり、コンパクト Kähler ならそれは Hodge 分解の成分と同型である：$H^{p,q}(M)\cong H^q(M,\Omega^p_M)$（Dolbeault の同型）。

$F^pH^n(M,\mathbb C)=\bigoplus_{p'\ge p}H^{p',n-p'}(M)$ と置く。これは減少フィルトレーションで、$\operatorname{gr}^p_FH^n(M,\mathbb C)=H^{p,n-p}(M)$ であり、$H^n(M,\mathbb C)=F^p\oplus\overline{F^{\,n-p+1}}$ をみたす。格子 $H^n(M,\mathbb Z)/\text{torsion}$ とこの条件をみたす $F^\bullet$ の組を重さ $n$ の Hodge 構造といい、分解は $H^{p,q}=F^p\cap\overline{F^{q}}$ として復元される。$F^\bullet$ は次の Hodge–de Rham スペクトル系列が収束先に誘導するフィルトレーションと一致する。

標数が $2$ でも $3$ でもない体 $k$ 上の楕円曲線 $E$ は、$\Delta=g_2^3-27g_3^2\ne0$ をみたす $g_2,g_3\in k$ により、射影平面の 3 次曲線
$$y^2=4x^3-g_2x-g_3$$
と無限遠点 $O=(0:1:0)$ の組として表せる。$E$ は種数 $1$ の完備で滑らかな曲線で、$O$ を原点とする群である。$k=\mathbb C$ のとき、格子 $\Lambda=\mathbb Z\omega_1+\mathbb Z\omega_2\subset\mathbb C$ に対する Weierstrass の $\wp$ 関数
$$\wp(z)=\frac1{z^2}+\sum_{\lambda\in\Lambda\smallsetminus\{0\}}\Bigl(\frac1{(z-\lambda)^2}-\frac1{\lambda^2}\Bigr)$$
は $\Lambda$ を周期にもつ有理型関数で、$\Lambda$ の点だけを $2$ 位の極にもち、$\wp'^2=4\wp^3-g_2\wp-g_3$（$g_2=60\sum\lambda^{-4}$、$g_3=140\sum\lambda^{-6}$）をみたす。$z\mapsto(\wp(z),\wp'(z))$ は複素トーラス $\mathbb C/\Lambda$ から $E^h$ への群の同型を与え、逆に $\Delta\ne0$ の任意の $g_2,g_3\in\mathbb C$ はある格子から得られる（一意化定理）。

$E\colon y^2=4x^3-g_2x-g_3$ 上で、$\omega=dx/y$ は $E$ 全体で正則で零点をもたない（第一種微分、不変微分）。$\eta=x\,dx/y$ は $O$ だけに $2$ 位の極をもち、そこでの留数は $0$ である（第二種微分：すべての極で留数が $0$ の有理型微分）。$k=\mathbb C$ で $x=\wp(z)$、$y=\wp'(z)$ とすると $\omega=dz$、$\eta=\wp(z)\,dz$ である。完備で滑らかな曲線では代数的 de Rham コホモロジー $H^1_{dR}(E)$ は、第二種微分の空間を完全微分 $df$（$f$ は有理関数）の空間で割ったものと同一視でき、$\omega$ と $\eta$ はその基底をなす。$\omega$ は $F^1H^1_{dR}(E)=H^0(E,\Omega^1_E)$ を張り、$\eta$ の像が $H^1(E,\mathcal O_E)$ を張る。

体 $k$ 上のアーベル多様体 $A$ とは、$k$ 上完備で滑らかな、幾何的に連結な群スキームをいう。自動的に可換で射影的である。次元を $g$ と書く。Picard 関手は $k$ 上局所有限型の群スキーム $\operatorname{Pic}_{A/k}$ で表現され、その単位成分 $A^\vee=\operatorname{Pic}^0_{A/k}$ は再び $g$ 次元のアーベル多様体である（双対アーベル多様体）。$A^\vee$ は $A$ 上の代数的に $0$ に同値な直線束を分類し、$(A^\vee)^\vee\cong A$ である。豊富な直線束 $L$ は同種写像 $\varphi_L\colon A\to A^\vee$、$a\mapsto t_a^*L\otimes L^{-1}$ を定める。$k=\mathbb C$ では $A^h=t_A/\Lambda$（$\Lambda$ は階数 $2g$ の格子）と書ける。

標数 $p>0$ の体上の $g$ 次元アーベル多様体 $A$ で、$A[p]=\ker(p\cdot\mathrm{id}_A)$ は位数 $p^{2g}$ の有限平坦可換群スキームで、被約でない。相対 Frobenius $F\colon A\to A^{(p)}$ と Verschiebung $V\colon A^{(p)}\to A$ は $V\circ F=p\cdot\mathrm{id}_A$ をみたす。有限群スキーム $G$ が高さ $1$ であるとは、相対 Frobenius $F_G\colon G\to G^{(p)}$ が零射であることをいう。高さ $1$ の有限群スキームは、その Lie 代数を制限 $p$-Lie 代数（$p$ 乗写像 $\xi\mapsto\xi^{[p]}$ を備えた Lie 代数）と見たもので完全に決まる。$\mathfrak g$ に対応する高さ $1$ の群を $G(\mathfrak g)$ と書く。アーベル多様体では $\ker F_A=G(t_A)$ である（$t_A$ の $p$ 乗写像は不変ベクトル場の $p$ 回の合成）。

$S$ 上の有限局所自由な可換群スキーム $G$ に対し、$G^D=\underline{\operatorname{Hom}}_{S\text{-gr}}(G,\mathbb G_m)$ は再び有限局所自由な可換群スキームで、$(G^D)^D\cong G$、位数は保たれる（例：$(\mathbb Z/n)^D=\mu_n$）。アーベル多様体では同種写像 $\varphi$ の核の Cartier 双対は $\varphi^\vee$ の核であり、特に $A[n]^D\cong A^\vee[n]$。Frobenius と Verschiebung は双対で入れ替わるので $(\ker V_A)^D\cong\ker F_{A^\vee}=G(t_{A^\vee})$ であり、$F$ が誘導する完全列 $0\to\ker F_A\to A[p]\to\ker V_A\to0$ は
$$0\to G(t_A)\to A[p]\to G(t_{A^\vee})^D\to0$$
と書ける。これが原論文（AB2）の完全列である。

底スキーム $S$ 上のアーベルスキーム $f\colon A\to S$ とは、滑らかで固有な群スキームで幾何的ファイバーが連結なものをいう（各ファイバーはアーベル多様体）。単位切断 $e$ により $\check t_{A/S}=e^*\Omega^1_{A/S}\cong f_*\Omega^1_{A/S}$、$t_{A^\vee/S}\cong R^1f_*\mathcal O_A$ は階数 $g$ の局所自由層で、ファイバーごとの退化と底変換との両立から局所自由層の完全列
$$0\to\check t_{A/S}\to H^1_{dR}(A/S)\to t_{A^\vee/S}\to0$$
が得られる（$H^1_{dR}(A/S)=\mathbf R^1f_*\Omega^\bullet_{A/S}$ は階数 $2g$）。その拡大類
$$\xi_{A/S}\in\operatorname{Ext}^1_{\mathcal O_S}(t_{A^\vee/S},\check t_{A/S})=H^1(S,\check t_{A^\vee/S}\otimes\check t_{A/S})$$
を本書では Hodge 拡大の類と呼ぶ（Kodaira–Spencer 写像とは別の対象）。

$X$ を体 $k$ 上分離的で有限型なスキーム、$\bar k$ を代数閉包、$\ell$ を $\operatorname{char}k$ と異なる素数とし、$H^n_{\text{ét}}(X_{\bar k},\mathbb Z_\ell)=\varprojlim_mH^n(X_{\bar k,\text{ét}},\mathbb Z/\ell^m)$、$H^n_{\text{ét}}(X_{\bar k},\mathbb Q_\ell)=H^n_{\text{ét}}(X_{\bar k},\mathbb Z_\ell)\otimes\mathbb Q_\ell$ と置く。これらは有限生成 $\mathbb Z_\ell$ 加群・有限次元 $\mathbb Q_\ell$ ベクトル空間で、$\operatorname{Gal}(\bar k/k)$ が連続に作用する。$b_n(X)=\dim_{\mathbb Q_\ell}H^n_{\text{ét}}(X_{\bar k},\mathbb Q_\ell)$ を $\ell$ 進 Betti 数という。$X$ が固有かつ滑らかなら $b_n(X)$ は $\ell$ によらない（Deligne の Weil 予想の証明、1974 年の帰結。原論文の時点では知られていなかった）。