0-2 Kähler 微分と超コホモロジー

環準同型 $A\to B$ に対し、$B$ 加群 $\Omega^1_{B/A}$ と $A$ 線型な導分 $d\colon B\to\Omega^1_{B/A}$（$d(bb')=b\,db'+b'\,db$、$a\in A$ について $da=0$）の対で、任意の $B$ 加群 $M$ について $\operatorname{Hom}_B(\Omega^1_{B/A},M)\cong\operatorname{Der}_A(B,M)$ をみたすものを Kähler微分の加群という。$\Omega^1_{B/A}$ は記号 $db$（$b\in B$）で生成され、関係式は $d$ の $A$ 線型性と Leibniz 則だけである。$p$ 次の微分形式の加群は外冪 $\Omega^p_{B/A}=\bigwedge^p_B\Omega^1_{B/A}$ で、$b\,db_1\wedge\cdots\wedge db_p$ の形の元で生成される。基本性質：多項式環では $\Omega^1_{A[x_1,\dots,x_n]/A}$ は $dx_1,\dots,dx_n$ を基底とする自由加群である。局所化と底変換に可換である（$\Omega^1_{S^{-1}B/A}=S^{-1}\Omega^1_{B/A}$、$\Omega^1_{(B\otimes_AA')/A'}=\Omega^1_{B/A}\otimes_AA'$）。$A\to B\to C$ に対して完全列 $\Omega^1_{B/A}\otimes_BC\to\Omega^1_{C/A}\to\Omega^1_{C/B}\to0$ が、$C=B/I$ に対して余法完全列 $I/I^2\to\Omega^1_{B/A}\otimes_BC\to\Omega^1_{C/A}\to0$ がある。スキームの射 $X\to S$ に対しては、affine 開集合ごとの $\Omega^1_{B/A}$ を貼り合わせた準連接層 $\Omega^1_{X/S}$ が定まり、$X$ が体 $k$ 上局所有限型なら $\Omega^1_{X/k}$ は連接層である。$\Omega^p_{X/S}=\bigwedge^p\Omega^1_{X/S}$ と書く。

$A\to B$ に対し、$A$ 線型写像 $d\colon\Omega^p_{B/A}\to\Omega^{p+1}_{B/A}$ で、$p=0$ では Kähler 微分の $d$ に一致し、$d(\omega\wedge\eta)=d\omega\wedge\eta+(-1)^p\omega\wedge d\eta$（$\omega\in\Omega^p_{B/A}$）と $d\circ d=0$ をみたすものがただ一つある（外微分）。具体的には $d(b\,db_1\wedge\cdots\wedge db_p)=db\wedge db_1\wedge\cdots\wedge db_p$ であり、この式が生成元の表し方によらず定まることが要点である。こうしてできる複体 $0\to B\xrightarrow{d}\Omega^1_{B/A}\xrightarrow{d}\Omega^2_{B/A}\xrightarrow{d}\cdots$ を de Rham 複体 $\Omega^\bullet_{B/A}$ という。$d$ は $B$ 線型ではない（$d(b\omega)=db\wedge\omega+b\,d\omega$）。スキームでは $\Omega^\bullet_{X/S}$ は、各項が $\mathcal O_X$ 加群の層だが微分が $f^{-1}\mathcal O_S$ 線型（$S=\operatorname{Spec}k$ なら $k$ 線型）でしかない複体であり、$X$ 上の $k$ ベクトル空間の層（アーベル群の層）の複体として扱う。したがってコホモロジー層 $\mathcal H^q(\Omega^\bullet_{X/k})$ と超コホモロジー $\mathbf H^n(X,\Omega^\bullet_{X/k})$ は $k$ ベクトル空間（の層）であって $\mathcal O_X$ 加群ではない。標数 $p>0$ では $d(b^p)=pb^{p-1}db=0$ なので閉形式が多く、たとえば $k[x]$ で $x^{p-1}dx$ は閉じているが完全でない。

位相空間 $X$ 上のアーベル群の層の下に有界な複体 $K^\bullet$ に対し、擬同型 $K^\bullet\to I^\bullet$（$I^\bullet$ は下に有界な入射層の複体）を取り、$\mathbf H^n(X,K^\bullet)=H^n(\Gamma(X,I^\bullet))$ と定める（超コホモロジー）。これは $I^\bullet$ の取り方によらず、導来圏の言葉では $\mathbf R\Gamma(X,K^\bullet)$ の $n$ 次コホモロジーである。$I^\bullet$ は Cartan–Eilenberg 分解から作れる：各 $K^p$ の入射分解 $K^p\to I^{p,\bullet}$ を、余境界・輪体・コホモロジーに誘導される分解も入射分解になるように選んだ二重複体 $I^{\bullet,\bullet}$ で、その全複体 $\operatorname{Tot}(I^{\bullet,\bullet})$ が $K^\bullet$ の入射分解になる。基本性質：(a) 1 つの層 $\mathcal F$ を 0 次に置いた複体では $\mathbf H^n(X,\mathcal F)=H^n(X,\mathcal F)$。(b) 擬同型 $K^\bullet\to L^\bullet$ は同型 $\mathbf H^n(X,K^\bullet)\cong\mathbf H^n(X,L^\bullet)$ を誘導する。(c) 複体の短完全列から超コホモロジーの長完全列が出る。(d) $\Gamma(X,-)$ について非輪状な層（flasque 層など）だけからなる下に有界な複体 $L^\bullet$ と擬同型 $K^\bullet\to L^\bullet$ があれば $\mathbf H^n(X,K^\bullet)=H^n(\Gamma(X,L^\bullet))$。(e) 単独の $\mathcal O_X$ 加群のコホモロジーは、アーベル群の層として計算しても $\mathcal O_X$ 加群として計算しても同じである（入射 $\mathcal O_X$ 加群は flasque だから）。de Rham 複体は微分が $\mathcal O_X$ 線型でないのでアーベル群の層の複体として扱うが、各項の $H^q(X,\Omega^p_{X/k})$ は連接層コホモロジーとして計算してよい。同じ構成を $\Gamma(X,-)$ の代わりに順像 $f_*$ に対して行えば導来順像 $\mathbf Rf_*K^\bullet$ になる。

スペクトル系列 $(E_r^{p,q},d_r)$ が $E_r$ で退化するとは、$s\ge r$ のすべての $d_s$ が $0$ であることをいい、このとき $E_r=E_\infty$ である。収束する系列の到達項 $H^n$ には減少フィルトレーション $F^pH^n$ があり、付随次数 $\operatorname{gr}^p_FH^n=F^pH^n/F^{p+1}H^n$ が $E_\infty^{p,n-p}$ と同型になる。超コホモロジーの第 1 スペクトル系列では $F^pH^n=\operatorname{im}(\mathbf H^n(X,\sigma_{\ge p}K^\bullet)\to\mathbf H^n(X,K^\bullet))$ である。すべての項が体上有限次元なら $\dim E_{r+1}^{p,q}\le\dim E_r^{p,q}$ で、等号がすべての $(p,q)$ で成り立つことと $d_r=0$ とが同値だから、$E_1$ 退化はすべての $n$ について $\dim H^n=\sum_{p+q=n}\dim E_1^{p,q}$ と同値である。$E_1$ が 1 行 $q=0$ だけなら $E_2$ で退化し、$H^n=E_2^{n,0}$ である。退化しても分かるのは付随次数だけで、$H^n$ をフィルトレーションつきで復元するには次の拡大類の問題が残る。

アーベル圏の対象 $H$ の有限な減少フィルトレーション $H=F^0\supset F^1\supset\cdots\supset F^m\supset F^{m+1}=0$ は、付随次数 $\operatorname{gr}^pH=F^p/F^{p+1}$ だけでは決まらない。2 段の場合、$0\to F^1\to H\to H/F^1\to0$ は加群の拡大であり、その同型類は Ext関手の群 $\operatorname{Ext}^1(H/F^1,F^1)$ の元（拡大類）で分類される。拡大類が $0$ であることと、フィルトレーションと両立する分解 $H\cong F^1\oplus H/F^1$ があることとが同値である。体上のベクトル空間の圏では $\operatorname{Ext}^1=0$ なので分裂は必ずあるが、分裂の選び方は一意でなく、対象に関手的（自然）な分裂があるかどうかは別の問題である。スキーム $S$ 上の局所自由層の拡大 $0\to\mathcal F\to\mathcal H\to\mathcal E\to0$ の類は $\operatorname{Ext}^1_{\mathcal O_S}(\mathcal E,\mathcal F)\cong H^1(S,\mathcal E^\vee\otimes\mathcal F)$ の元で、$S$ が体のスペクトルでなければ $0$ とは限らない。

$X$ の開被覆 $\mathfrak U=(U_i)_{i\in I}$（$I$ は全順序）とアーベル群の前層 $\mathcal P$ に対し、Čech 複体は $\check C^p(\mathfrak U,\mathcal P)=\prod_{i_0<\cdots< i_p}\mathcal P(U_{i_0}\cap\cdots\cap U_{i_p})$、微分は制限写像の交代和で、そのコホモロジーを $\check H^p(\mathfrak U,\mathcal P)$ と書く（Čechコホモロジー）。層 $\mathcal F$ に対しては自然な写像 $\check H^p(\mathfrak U,\mathcal F)\to H^p(X,\mathcal F)$ があり、$p=0$ では同型、$p=1$ では単射である。Čech 型スペクトル系列：下に有界な複体 $K^\bullet$ と、前層 $\underline{\mathbf H}^q(K^\bullet)\colon V\mapsto\mathbf H^q(V,K^\bullet|_V)$ について
$$E_2^{p,q}=\check H^p(\mathfrak U,\underline{\mathbf H}^q(K^\bullet))\Rightarrow\mathbf H^{p+q}(X,K^\bullet)$$
が収束する。これは二重複体 $\check C^p(\mathfrak U,I^q)$（$K^\bullet\to I^\bullet$ は入射分解）の 2 つのスペクトル系列から得られる（flasque 層の Čech コホモロジーは正の次数で消える）。Leray の定理：すべての有限個の交わり $U_{i_0\cdots i_p}$ で $\mathbf H^q(U_{i_0\cdots i_p},K^\bullet)=0$（$q>0$）なら $\check H^p(\mathfrak U,\underline{\mathbf H}^0(K^\bullet))\cong\mathbf H^p(X,K^\bullet)$ である。とくに分離的スキーム $X$ の affine 開被覆 $\mathfrak U$（交わりも affine）と準連接層 $\mathcal F$ について $\check H^p(\mathfrak U,\mathcal F)\cong H^p(X,\mathcal F)$ であり、さらに Čech–de Rham 二重複体 $\check C^p(\mathfrak U,\Omega^q_{X/k})$ の全複体のコホモロジーは $H^n_{dR}(X)$ に等しい（層化した Čech 複体が $\Gamma(X,-)$ について非輪状な分解を与えるため）。

層 $\mathcal F$ が flasque（脆弱）であるとは、開集合の包含 $V\subset U$ に対する制限写像 $\mathcal F(U)\to\mathcal F(V)$ がすべて全射であることをいう。アーベル群の層の圏と $\mathcal O_X$ 加群の圏には入射対象が十分にあり、入射層は flasque である。flasque 層は $\Gamma(X,-)$ と任意の $f_*$ について非輪状（$H^q(X,\mathcal F)=0$、$R^qf_*\mathcal F=0$、$q>0$）で、開集合への制限も $f_*$ による像も flasque である。したがって $H^q(X,-)$、$R^qf_*$、超コホモロジー、$\mathbf Rf_*$ はいずれも flasque 分解で計算できる。任意の層には標準的な flasque 分解（Godement 分解、$\mathcal F\to\prod_{x\in X}i_{x*}\mathcal F_x$ から始める）がある。

アーベル群の射影系 $(A_n,\ \rho_n\colon A_{n+1}\to A_n)_{n\ge0}$ について、射影極限 $\varprojlim A_n$ と $\varprojlim^1A_n$ は写像 $\prod_nA_n\to\prod_nA_n$、$(a_n)\mapsto(a_n-\rho_n(a_{n+1}))$ の核と余核であり、$\varprojlim^i=0$（$i\ge2$）である。射影系の短完全列からは $\varprojlim$ と $\varprojlim^1$ を結ぶ 6 項の完全列が出る。Mittag-Leffler条件とは、各 $n$ について像 $\operatorname{im}(A_m\to A_n)$ が $m\gg n$ で一定になることで、これが成り立てば $\varprojlim^1A_n=0$ である。すべての $\rho_n$ が全射なら成り立ち、$A_n$ が体上有限次元のベクトル空間（または Artin 加群、有限群）なら常に成り立つ。空間 $X$ が開集合の増大列 $X=\bigcup_nX_n$ の和なら、下に有界な複体 $K^\bullet$ について Milnor の完全列 $0\to\varprojlim^1_n\mathbf H^{q-1}(X_n,K^\bullet)\to\mathbf H^q(X,K^\bullet)\to\varprojlim_n\mathbf H^q(X_n,K^\bullet)\to0$ がある（flasque 分解の切断は制限について全射なので、6 項完全列に帰着する）。