2-2 極をもつ微分形式と局所比較定理

段 1（分解の間の射）．$L^\bullet$ は $\mathbb C_U$ の分解、$\mathcal L^\bullet$ は入射分解なので、増大射と両立する複体の射 $\theta\colon L^\bullet\to\mathcal L^\bullet$ が存在する。合成 $\Omega^\bullet_U\to L^\bullet\xrightarrow{\theta}\mathcal L^\bullet$ と与えられた $\Omega^\bullet_U\to\mathcal L^\bullet$ は、どちらも分解 $\Omega^\bullet_U$ から入射分解 $\mathcal L^\bullet$ への増大射と両立する射なので、鎖ホモトピックである。
段 2（誘導される写像）．鎖ホモトピーは $f_*$ と $\Gamma$ を施しても鎖ホモトピーなので、$f_*\Omega^\bullet_U\to f_*\mathcal L^\bullet$ の二つの射はコホモロジー層にも大域切断のコホモロジーにも同じ写像を誘導する。一方 $\theta$ は $\mathbb C_U$ の二つの flasque 分解の間の増大射と両立する射なので、$f_*\theta$ と $\Gamma(U,\theta)$ が誘導する写像は、$R^qf_*\mathbb C_U$ と $H^q(U,\mathbb C)$ をそれぞれの分解で計算したときの標準的な同一視である。したがって $\mathcal L^\bullet$ で定めた写像は (10) の誘導する (7)、(9) に一致する。

Oka の連接定理（連接層の核・像・余核・$\mathcal{H}om$・イデアルの冪は連接で、$\mathcal O_{X,y}$ はネーター）と Rückert の零点定理（連接イデアル $I\subset\mathcal O_{X,y}$ の零点集合の上で消える正則関数 $h$ は $h^m\in I$ をみたす $m$ をもつ）を引用する（本書『0-4 複素解析空間と GAGA』）。零点定理の系として、台が $Y$ に含まれる連接層 $\mathcal F$ は局所的に $\varphi$ の冪で消される（連接層の消滅イデアルは連接で、その零点集合は台に等しいので、$\varphi$ はその上で消え、$\varphi^m$ が消滅イデアルに入る）。
段 1（局所方程式の取り替え）．二つの局所方程式 $\varphi_1,\varphi_2$ が同じ零点集合をもてば、零点定理により $\varphi_1^m=h\varphi_2$ の形に書けるので、$\omega'/\varphi_2^n=h^n\omega'/\varphi_1^{mn}$ となり、条件は $\varphi$ の選び方に依らない。$\omega'$ と $n$ の違いは、条件が存在量化であることに吸収される。和は $(\varphi^{n_2}\omega'_1+\varphi^{n_1}\omega'_2)/\varphi^{n_1+n_2}$、$\mathcal O_X$ 倍は $(a\omega')/\varphi^n$ で、条件は局所的なので部分層である。
段 2（帰納系の共終性）．$\mathcal J$ の零点集合が局所的に $V(\varphi)$ に等しいので、零点定理を両向きに使って、各点の近傍で $\varphi^a\in\mathcal J$、$\mathcal J^b\subset(\varphi)$ となる $a,b$ が取れる（後者は $\mathcal J$ の有限個の局所生成元それぞれに零点定理を当てる）。よって帰納系 $\{\mathcal{H}om(\mathcal J^n,\mathcal E)\}_n$ と $\{\mathcal{H}om((\varphi^n),\mathcal E)\}_n$ は互いに共終で、極限は等しい。
段 3（主イデアルの場合）．$\varphi$ は零因子でないので $(\varphi^n)\cong\mathcal O_X$（$\varphi^n\mapsto1$）であり、$\mathcal{H}om((\varphi^n),\mathcal E)\cong\mathcal E$（$u\mapsto u(\varphi^n)$）、制限写像は $\mathcal E\xrightarrow{\varphi}\mathcal E$ になる。したがって極限は $\varinjlim(\mathcal E\xrightarrow{\varphi}\mathcal E\xrightarrow{\varphi}\cdots)$ で、その局所切断は組 $(e,n)$（$e$ は $\mathcal E$ の切断）を $(e,n)\sim(\varphi e,n+1)$ で割ったものである。$(e,n)\mapsto e/\varphi^n|_U$ は $\mathcal E(*Y)$ への射で、定義の形から局所的に全射である。単射性：$e/\varphi^n$ が $W\cap U$ 上 $0$ なら、$e$ が生成する部分層 $\mathcal O_We\subset\mathcal E|_W$ は連接（$\mathcal O_W\to\mathcal E|_W$ の像）で $W\cap U$ 上 $0$、台は $Y$ に含まれるので、零点定理の系により局所的に $\varphi^m(\mathcal O_We)=0$ である。ゆえに $\varphi^me=0$、$(e,n)\sim(\varphi^me,n+m)=0$ である。$\mathcal J$ に依らないことは段 2 の共終性から従う。
段 4（射の誘導）．$\alpha$ は $\omega'/\varphi^n\mapsto\alpha(\omega')/\varphi^n$ により $\mathcal E_1(*Y)\to\mathcal E_2(*Y)$ を誘導し、これは $f_*(\alpha|_U)$ の制限なので単射である。全射性：$\operatorname{coker}\alpha$ は連接で $U$ 上 $0$、台が $Y$ に含まれるので、零点定理の系により局所的に $\varphi^m\operatorname{coker}\alpha=0$ である。よって $\mathcal E_2$ の切断 $e_2$ について $\varphi^me_2=\alpha(e_1)$ となる $e_1$ があり、$e_2/\varphi^n=\alpha(e_1)/\varphi^{n+m}$ となる。

要点のみ述べる。証明本体は本書『2-3 特異点解消と Grauert–Remmert による証明』にある（そこでは (10) を $\mathbb C_U$ の入射分解で書くが、上の補題（分解の取り替え）により同じ写像である）。主張は層の同型なので $X$ 上局所的に示せばよい。各点の近傍で解析的な特異点解消 $g\colon X'\to X$（射影的双有理射で、$X'$ は非特異、$Y'=g^{-1}(Y)$ は正規交叉因子、$g$ は $U'=g^{-1}(U)$ の上で同型）をとる。正規交叉因子については (7) は Laurent 級数の明示計算で同型になる。$g_*\Omega^\bullet_{X'}(*Y')\cong\Omega^\bullet_X(*Y)$ と $R^qg_*(\Omega^p_{X'}(*Y'))=0$（$q>0$）を Grauert–Remmert の比較定理で示し、非輪状な項をもつ複体の間の擬同型が $g_*$ で保たれることから $X$ での (7) の同型が従う。

段 1（超コホモロジーの同型）．局所比較定理により (10)：$\Omega^\bullet_X(*Y)\to f_*L^\bullet$ は擬同型なので、超コホモロジーの同型 $\mathbf H^q(X,\Omega^\bullet_X(*Y))\to\mathbf H^q(X,f_*L^\bullet)$ を誘導する。
段 2（右辺）．$f_*L^p$ は flasque なので、$\mathbf H^q(X,f_*L^\bullet)=H^q\Gamma(X,f_*L^\bullet)=H^q\Gamma(U,L^\bullet)=H^q(U,\mathbb C)$ である。
段 3（左辺）．スペクトル系列 $E_1^{p,q}=H^q(X,\Omega^p_X(*Y))\Rightarrow\mathbf H^{p+q}(X,\Omega^\bullet_X(*Y))$ は (8) により行 $q=0$ だけになり、辺写像 $H^n\Gamma(X,\Omega^\bullet_X(*Y))\to\mathbf H^n(X,\Omega^\bullet_X(*Y))$ は同型である。
段 4（写像の一致）．段 1〜3 の合成は、$\Gamma(X,\Omega^\bullet_X(*Y))\to\Gamma(X,f_*L^\bullet)$ がコホモロジーに誘導する写像、すなわち (9) である（辺写像の自然性）。

段 1（帰納系の同定）．$Y$ は $D_0$ の局所方程式で定まるので局所 1 方程式である。$\mathcal J=\mathcal O_X(-D_0)$ は零点集合 $Y$ の可逆イデアル層なので、命題（有理型切断の層の帰納極限表示）の 2 により、任意の連接層 $\mathcal E$ について $\mathcal E(*Y)=\varinjlim_n\mathcal{H}om(\mathcal J^n,\mathcal E)=\varinjlim_n\mathcal E(nD_0)$、ここで $\mathcal E(nD_0)=\mathcal E\otimes\mathcal O_X(nD_0)$ である。
段 2（代数的な延長）．$\Omega^q_{X_0}$ を $X_0$ の Kähler 微分の外冪（連接層）とすると、自然な射 $(\Omega^q_{X_0})^h\to\Omega^q_X$ は $U$ 上同型なので、命題の 3 により $\Omega^q_X(*Y)=(\Omega^q_{X_0})^h(*Y)=\varinjlim_n(\Omega^q_{X_0}(nD_0))^h$ である。
段 3（極限と GAGA）．$X$ はコンパクトなので、コホモロジーは帰納極限と可換であり、GAGA により
$$H^p(X,\Omega^q_X(*Y))=\varinjlim_nH^p\bigl(X,(\Omega^q_{X_0}(nD_0))^h\bigr)=\varinjlim_nH^p\bigl(X_0,\Omega^q_{X_0}(nD_0)\bigr).$$
段 4（Serre の消滅）．$\mathcal O_{X_0}(D_0)$ は豊富なので、$p>0$ について右辺の各項は $n\ge n_0(p,q)$ で $0$ になり、極限も $0$ である。これが (8) で、(9) の同型は上の定理（消滅条件の下での大域比較）による。

段 1（完全列）．直和 $\bigoplus_m\mathcal O$ は直積 $\prod_m\mathcal O$ の部分層で、開集合 $V$ 上の切断は族 $(s_m)_m$（$s_m\in\mathcal O(V)$）のうち局所有限なもの、すなわち $V$ の各点が、有限個を除くすべての $s_m$ が恒等的に $0$ になる近傍をもつものである。商層を $\mathcal P$ とし、短完全列 $0\to\bigoplus\mathcal O\to\prod\mathcal O\to\mathcal P\to0$ の長完全列を見る。$\Gamma(\mathbb C,\prod\mathcal O)=\prod_m\mathcal O(\mathbb C)\to\Gamma(\mathbb C,\mathcal P)$ が全射でなければ、連結準同型により $H^1(\mathbb C,\bigoplus\mathcal O)\ne0$ である。
段 2（切断の構成）．$D_k=\{|z|< k\}$ とし、$D_k$ 上の族 $s^{(k)}=(s^{(k)}_m)_m$ を $s^{(k)}_m=1/(z-m)$（$m>k$）、$s^{(k)}_m=0$（$m\le k$）で定める。$m>k$ なら $1/(z-m)$ は $D_k$ 上正則なので $s^{(k)}\in\prod\mathcal O(D_k)$ である。$k< k'$ のとき、$D_k$ 上で $s^{(k)}-s^{(k')}$ は $k< m\le k'$ の有限個の成分しかもたないので $\bigoplus\mathcal O$ の切断であり、$s^{(k)}$ と $s^{(k')}$ の類は $\mathcal P(D_k)$ で一致する。層の公理により、これらの類は $\sigma\in\Gamma(\mathbb C,\mathcal P)$ に貼り合う。
段 3（持ち上がらないこと）．$\sigma$ が $(F_m)_m\in\prod\mathcal O(\mathbb C)$ の類だとする。左完全性により、各 $k$ で $(F_m-s^{(k)}_m)_m$ は $D_k$ 上の $\bigoplus\mathcal O$ の切断、すなわち局所有限な族である。連結な開集合の上では、局所有限な正則関数の族は有限個を除いて恒等的に $0$ である（一点の近傍で恒等的に $0$ なら、一致の定理により全体で $0$）。$k=1$ について、有限個を除くすべての $m\ge2$ で $D_1$ 上 $F_m=1/(z-m)$ となる。$F_m$ は整関数なので、一致の定理により $\mathbb C-\{m\}$ 上 $F_m=1/(z-m)$ となるが、右辺は $z=m$ の近くで有界でない。矛盾。ゆえに $\sigma$ は持ち上がらず、$H^1(\mathbb C,\bigoplus\mathcal O)\ne0$ である。

段 1（コンパクト集合の上）．命題（有理型切断の層の帰納極限表示）により $\mathcal E(*Y)=\varinjlim_n\mathcal E_n$、$\mathcal E_n=\mathcal{H}om(\mathcal J^n,\mathcal E)$ は連接である。コンパクトな $K$ の上でコホモロジーは帰納極限と可換なので $H^p(K,\mathcal E(*Y)|_K)=\varinjlim_nH^p(K,\mathcal E_n|_K)$、また $H^p(K,\mathcal E_n|_K)=\varinjlim_{W\supset K}H^p(W,\mathcal E_n)$ である。$K$ は Stein 開近傍の基本系をもち、その上で定理 B により $H^p(W,\mathcal E_n)=0$ なので、すべて $0$ である。
段 2（1 次元）．$\dim X=1$ とする。$Y$ は局所的に零因子でない正則関数の零点集合なので離散閉集合である。$\mathcal Q=\mathcal E(*Y)/\mathcal E$ とおくと、$\mathcal Q$ は $Y$ に台をもち、$y\in Y$ での茎は $\mathcal E_y[1/\varphi]/\mathcal E_y$ である。$Y$ が離散閉なので、開集合 $V$ 上の $\mathcal Q$ の切断は茎の族 $\prod_{y\in Y\cap V}\mathcal Q_y$ にほかならず（各 $y$ の近傍で $Y$ は $y$ だけなので、茎の族は $V-Y$ 上の $0$ と貼り合う）、制限写像は射影で全射である。すなわち $\mathcal Q$ は flasque で $H^p(X,\mathcal Q)=0$（$p>0$）。$0\to\mathcal E\to\mathcal E(*Y)\to\mathcal Q\to0$ の長完全列と定理 B（$H^p(X,\mathcal E)=0$）から $H^p(X,\mathcal E(*Y))=0$ を得る。
段 3（$\mathbb C^2$ での商層）．$X=\mathbb C^2$、$Y=\{z_1=0\}\cong\mathbb C$（座標 $z_2$）、$i\colon Y\to X$ を包含、$\mathcal Q=\mathcal O_X(*Y)/\mathcal O_X$ とする。$Y$ の点の近傍の正則関数 $g$ を $z_1$ について展開して $g=\sum_{j\ge0}g_j(z_2)z_1^j$（$g_j=\frac1{j!}\partial_1^jg|_{z_1=0}$ は $Y$ 上の正則関数）と書き、$g/z_1^N$ に主要部 $\sum_{j< N}g_j(z_2)z_1^{j-N}$ を対応させると、層の射 $\mathcal Q\to i_*\bigl(\bigoplus_{m\ge1}\mathcal O_Y\,z_1^{-m}\bigr)$ が定まる（主要部の係数は、$U$ 上での $z_1$ についての Laurent 展開の負冪の係数 $c_{-m}(z_2)=\frac1{2\pi i}\oint(g/z_1^N)z_1^{m-1}\,dz_1$ なので表示 $g/z_1^N$ に依らず、$N$ は局所的に有界なので主要部の族は局所有限であり、$\mathcal O_X$ の切断は $0$ に行く）。茎で見ると、主要部が $0$ であることは $z_1^N$ が $g$ を割ること、すなわち $g/z_1^N\in\mathcal O_X$ と同値なので単射であり、与えられた主要部 $\sum_{m=1}^Mh_m(z_2)z_1^{-m}$ は $g=\sum_mh_mz_1^{M-m}$、$N=M$ から得られるので全射である。ゆえに $\mathcal Q\cong i_*\bigl(\bigoplus_{m\ge1}\mathcal O_Y\bigr)$ である。
段 4（長完全列）．$0\to\mathcal O_X\to\mathcal O_X(*Y)\to\mathcal Q\to0$ の長完全列で、定理 B により $H^1(X,\mathcal O_X)=H^2(X,\mathcal O_X)=0$ なので $H^1(X,\mathcal O_X(*Y))\cong H^1(X,\mathcal Q)$ である。$i$ は閉埋め込みなので $i_*$ は完全で flasque 層を flasque 層に送り、$H^1(X,i_*\mathcal A)=H^1(Y,\mathcal A)$ である。よって $H^1(X,\mathcal O_X(*Y))\cong H^1\bigl(\mathbb C,\bigoplus_{m\ge1}\mathcal O\bigr)$ で、これは上の補題により $0$ でない。

段 1（茎の表示）．写像 (7) が同型であることは茎で確かめればよい。$x\in X$ をとる。$x$ は Stein 開近傍の基本系 $\{V\}$ をもち、各 $V$ は $Y\cap V$ について局所比較定理の仮定をみたす（$V\cap U$ は $V$ で稠密な複素多様体）。コホモロジー層の茎は切断の複体のコホモロジーの帰納極限なので $\mathcal H^q(\Omega^\bullet_X(*Y))_x=\varinjlim_VH^q\Gamma(V,\Omega^\bullet_V(*(Y\cap V)))$ であり、$R^qf_*\mathbb C_U$ は前層 $V\mapsto H^q(V\cap U,\mathbb C)$ の層化なので $(R^qf_*\mathbb C_U)_x=\varinjlim_VH^q(V\cap U,\mathbb C)$ である。
段 2（極限）．Godement 分解は開集合への制限と可換なので、(10) を $V$ に制限したものは $(V,Y\cap V)$ についての (10) であり、(7) の $x$ での茎は、各 $V$ についての写像 (9) の帰納極限である。(B) により各項が同型なので、極限も同型である。