2-3 特異点解消と Grauert–Remmert による証明

段 1（帰納法の設定）．$n$ についての帰納法による。$n=0$ では $K^\bullet=\mathbb C=\Lambda_0$ である。$n\ge1$ とし、$z_n$ を最後の変数、$A_{n-1}$ を $z_n$ を除いた変数についての同種の環とする。$A$ の元 $a=\sum_\alpha a_\alpha z^\alpha$ に対して三つの $\mathbb C$ 線型作用素を定める。$P(a)=\sum_{\alpha_n=0}a_\alpha z^\alpha$（$z_n$ に依らない部分）、$Q(a)=\sum_{\alpha_n=-1}a_\alpha z^{\alpha+e_n}$（$z_n^{-1}$ の係数。$n>r$ なら $Q=0$）、$I(a)=\sum_{\alpha_n\ne-1}\frac{a_\alpha}{\alpha_n+1}z^{\alpha+e_n}$（$z_n$ についての原始関数から $z_n^{-1}$ の項を除いたもの）である。
段 2（収束と関係式）．$|a_\alpha/(\alpha_n+1)|\le|a_\alpha|$ であり、$z^{\alpha+e_n}$ は $z^\alpha$ の $z_n$ 倍で $W$ のコンパクト集合上 $|z_n|$ は有界なので、$I(a)$ の級数は $a$ の級数が絶対収束する所で絶対収束し、$P$、$Q$ は部分和なので同様である（引用する事実 8）。$A=R_b$ なら指数の下界は $I$ で $-N$ から $-N+1$ に、$P$、$Q$ で保たれるので、三つとも $R_b$ を保つ。三つとも $\partial_i$（$i< n$）と可換で、項別に確かめて $\partial_nI(a)=a-z_n^{-1}Q(a)$、$I(\partial_na)=a-P(a)$ が成り立つ（$\partial_nz^{\alpha+e_n}=(\alpha_n+1)z^\alpha$、$\partial_nz^\alpha=\alpha_nz^{\alpha-e_n}$ で、$\alpha_n=0$ の項が落ちる）。
段 3（ホモトピー）．$K^\bullet(A)$ の元を $\omega=\beta+dz_n\wedge\gamma$（$\beta$、$\gamma$ は $dz_n$ を含まない）と一意に書き、$d=d'+dz_n\wedge\partial_n$（$d'$ は $z_1,\dots,z_{n-1}$ についての外微分）と分ける。$h(\omega)=I(\gamma)$（係数ごとに $I$）とおくと
$$dh\omega=I(d'\gamma)+dz_n\wedge(\gamma-z_n^{-1}Q\gamma),\qquad hd\omega=I(\partial_n\beta)-I(d'\gamma)=\beta-P\beta-I(d'\gamma)$$
なので、$(dh+hd)\omega=\omega-\pi(\omega)$、$\pi(\omega)=P\beta+\frac{dz_n}{z_n}\wedge Q\gamma$ となる。$\pi$ の像は部分複体 $K'^\bullet=K^\bullet(A_{n-1})\otimes\Lambda'$（$n\le r$ なら $\Lambda'=\mathbb C\oplus\mathbb C\,dz_n/z_n$、$n>r$ なら $\Lambda'=\mathbb C$）に入り、$K'^\bullet$ 上で $\pi$ は恒等である。$1-\pi=dh+hd$ は $d$ と可換なので $\pi$ も $d$ と可換で、$\pi\colon K^\bullet(A)\to K'^\bullet$ は包含のレトラクトとなる鎖写像、包含はホモトピー同値である。
段 4（帰納の完了）．$K'^\bullet$ のコホモロジーは、$\Lambda'$ が微分 $0$ の有限次元複体なので $H(K^\bullet(A_{n-1}))\otimes\Lambda'$ であり、帰納法の仮定により $\Lambda_{r'}\otimes\Lambda'=\Lambda_r$（$r'=\min(r,n-1)$）である。基底 $dz_I/z_I$ は包含で保たれるので、$\Lambda_r\hookrightarrow K^\bullet(A)$ が同型を誘導する。$R_b\subset R$ の包含は $\Lambda_r$ の上で恒等なので、誘導する写像も同型である。

段 1（設定）．層の射の同型は茎で調べる。$x\in X'$ をとり、局所座標で $x=0$、$Y'=\{z_1\cdots z_r=0\}$（$x\in U'$ なら $r=0$）とし、半径 $\varepsilon$ の多重円板 $D_\varepsilon^n$ を $x$ の近傍の基本系にとる。$W_\varepsilon=D_\varepsilon^n\cap U'=(D_\varepsilon^*)^r\times D_\varepsilon^{n-r}$ とおく。
段 2（左辺の茎）．$Y'$ の被約イデアルは $z_1\cdots z_r$ で生成されるので、局所方程式にこれをとれる。$\Omega^p_{X'}(*Y')$ の $x$ での茎は $\varinjlim_\varepsilon\Gamma(D_\varepsilon^n,\Omega^p_{X'}(*Y'))$ で、各元は十分小さい $\varepsilon$ の上で $\omega'/(z_1\cdots z_r)^m$（$\omega'$ は $D_\varepsilon^n$ 上正則な $p$ 形式）と書ける。よって茎は $\varinjlim_\varepsilon K^p(R_b(\varepsilon))$（$R_b(\varepsilon)=\mathcal O(D_\varepsilon^n)[1/(z_1\cdots z_r)]$）であり、帰納極限は完全なので $\mathcal H^q(\mathcal K'^\bullet)_x=\varinjlim_\varepsilon H^q(K^\bullet(R_b(\varepsilon)))$ となる。上の補題（Laurent 級数の de Rham 複体）により各項は $\bigwedge^q(\mathbb C^r)$ で、制限写像は基底 $dz_I/z_I$ を保つので同型である。
段 3（右辺の茎）．$(R^qf'_*\mathbb C_{U'})_x=\varinjlim_\varepsilon H^q(\Gamma(W_\varepsilon,\mathcal L'^\bullet))=\varinjlim_\varepsilon H^q(W_\varepsilon,\mathbb C)$ である。$W_\varepsilon$ は Stein で $\Omega^j_{W_\varepsilon}$ は連接なので $H^p(W_\varepsilon,\Omega^j)=0$（$p>0$）、したがって超コホモロジー $\mathbf H^q(W_\varepsilon,\Omega^\bullet)$ は大域切断の複体 $K^\bullet(R(\varepsilon))$（$R(\varepsilon)=\mathcal O(W_\varepsilon)$）のコホモロジーに等しい（引用する事実 7、8）。一方 $\mathbb C\to\Omega^\bullet_{W_\varepsilon}$ は分解なので $\mathbf H^q(W_\varepsilon,\Omega^\bullet)\cong H^q(W_\varepsilon,\mathbb C)$ であり、この同型は $\Omega^\bullet\to\mathcal L'^\bullet$ が誘導するものと一致する（どちらも $\mathbb C_{U'}$ の分解の間の射が誘導する超コホモロジーの同型で、入射分解への射の一意性による）。まとめて、$\Gamma(W_\varepsilon,\Omega^\bullet)\to\Gamma(W_\varepsilon,\mathcal L'^\bullet)$ はコホモロジーの同型 $H^q(K^\bullet(R(\varepsilon)))\cong H^q(W_\varepsilon,\mathbb C)$ を誘導する。
段 4（写像の同一視）．(7) の $x$ での茎は、合成 $K^\bullet(R_b(\varepsilon))\hookrightarrow K^\bullet(R(\varepsilon))\to\Gamma(W_\varepsilon,\mathcal L'^\bullet)$ がコホモロジーに誘導する写像の極限である。第 2 段は段 3 により同型、第 1 段は上の補題の最後の主張により同型である。ゆえに (7) は $x$ で同型である。$x\in U'$ のときは $r=0$ で、両辺とも $q=0$ で $\mathbb C$、$q>0$ で $0$ となり、正則 Poincaré の補題の再証明になっている。

段 1（項目 1）．$g\circ f'=f\circ g|_{U'}$ であり、$g|_{U'}$ は同相なので $g_*f'_*\mathcal L'^\bullet=f_*(g|_{U'})_*(g|_{U'})^{-1}\mathcal L^\bullet=f_*\mathcal L^\bullet$ である。
段 2（項目 3）．$\mathcal K^\bullet\to g_*\mathcal K'^\bullet\to g_*f'_*\mathcal L'^\bullet=f_*\mathcal L^\bullet$ は、有理型形式を $X'$ に引き戻し、$U'=U$ に制限し、$\Omega^\bullet_U\to\mathcal L^\bullet$ で送る写像である。引き戻しと制限は可換なので、これは (10) そのものである。
段 3（項目 2）．下の補題（有理型形式の複体の順像の同一視）で $\mathcal E=\Omega^p_X$ とすればよい。

主張は局所的なので $Z=\operatorname{Spec}B$（ネーター環）、$\mathcal F=\tilde M$ としてよい。$s^nB\cong B/\operatorname{Ann}(s^n)$ なので $\operatorname{Hom}(s^nB,M)=\{m\in M:\operatorname{Ann}(s^n)m=0\}$（$u\mapsto u(s^n)$）である。$\operatorname{Ann}(s)\subset\operatorname{Ann}(s^2)\subset\cdots$ はネーター性により $n\ge n_0$ で $I=\operatorname{Ann}(s^{n_0})$ に安定し、$M'=\{m:Im=0\}$ とおくと $n\ge n_0$ で $\operatorname{Hom}(s^nB,M)=M'$ である。推移写像は $u(s^{n+1})=s\,u(s^n)$ により $M'\xrightarrow{s}M'$ なので、極限は $M'_s$ である。$Is^{n_0}M=0$ から $s^{n_0}M\subset M'$ で、$M'_s\to M_s$ は単射（局所化は完全）かつ全射（$m/s^k=s^{n_0}m/s^{k+n_0}$）である。$M_s=\Gamma(D(s),\tilde M)$ で、合成は $u\mapsto u(s^n)/s^n=u(1)|_{D(s)}$ に一致する。

段 1（射の定義と単射性）．局所的に $Y=\{\varphi=0\}$ とする。$\varphi\circ g$ の零点集合は $Y'$ なので $\varphi\circ g$ は $Y'$ の局所方程式であり（上の定義の表示は方程式の選び方に依らない）、$\omega'/\varphi^n\mapsto g^*\omega'/(\varphi\circ g)^n$ は $\mathcal E(*Y)\to g_*(\mathcal E'(*Y'))$ を定める。両辺は $f_*(\mathcal E|_U)=g_*f'_*(\mathcal E'|_{U'})$ の部分層で、写像はその中の包含なので単射である。$\mathcal E=\Omega^p_X$ のとき、$g^*\Omega^p_X\to\Omega^p_{X'}$ は $U'$ 上同型なので、本書『2-2 極をもつ微分形式と局所比較定理』の命題（有理型切断の層の帰納極限表示）の「$U$ 上同型な連接層の射は $(*Y)$ の同型を誘導する」により $(g^*\Omega^p_X)(*Y')=\Omega^p_{X'}(*Y')$ である。
段 2（茎の帰納極限表示）．全射性を $x\in Y$ の茎で示す。$\mathcal J'=(\varphi\circ g)\mathcal O_{X'}$ とおくと $\mathcal E'(*Y')=\varinjlim_n\mathcal E'_n$、$\mathcal E'_n=\mathcal{H}om(\mathcal J'^n,\mathcal E')$ であり、$g$ は固有なので引用する事実 3 により $(g_*\mathcal E'(*Y'))_x=\varinjlim_n(g_*\mathcal E'_n)_x$ である。
段 3（Grauert–Remmert による代数化）．引用する事実 2 (b) の $q=0$ により $(g_*\mathcal E'_n)_x\cong\Gamma(\tilde X',\tilde{\mathcal E}'_n)$、(a) により $\tilde{\mathcal E}'_n=\mathcal{H}om(\tilde{\mathcal J}'^n,\tilde{\mathcal E}')$、$\tilde{\mathcal E}'=\tilde g^*\tilde{\mathcal E}$、$\tilde{\mathcal J}'=(\varphi\circ\tilde g)\mathcal O_{\tilde X'}$ である。
段 4（局所環上の計算）．$\tilde X=\operatorname{Spec}\tilde A$、$\tilde A=\mathcal O_{X,x}$、$\tilde U=D(\varphi)=\operatorname{Spec}\tilde A_\varphi$、$\tilde U'=\tilde g^{-1}(\tilde U)=D(\varphi\circ\tilde g)$ とおく。引用する事実 2 (c) により $\tilde g$ は $\tilde U$ の上で同型である。$\tilde X'$ はネーターで $\tilde{\mathcal J}'$ は大域関数 $\varphi\circ\tilde g$ で生成されるので、上の補題（ネータースキーム上の局所化）により $\varinjlim_n\mathcal{H}om(\tilde{\mathcal J}'^n,\tilde{\mathcal E}')=\tilde f'_*(\tilde{\mathcal E}'|_{\tilde U'})$ である（$\varphi\circ\tilde g$ が零因子かどうか、$\tilde{\mathcal E}'$ が捩れをもつかどうかは問わない）。$\tilde X'$ はネーターで準コンパクトなので大域切断は帰納極限と可換であり、
$$(g_*\mathcal E'(*Y'))_x\cong\varinjlim_n\Gamma(\tilde X',\tilde{\mathcal E}'_n)=\Gamma(\tilde U',\tilde{\mathcal E}'|_{\tilde U'})=\Gamma(\tilde U,\tilde{\mathcal E}|_{\tilde U})=\mathcal E_x[1/\varphi]=\mathcal E(*Y)_x$$
を得る（$\tilde U'\cong\tilde U$、$\Gamma(D(\varphi),\tilde{\mathcal E})=\mathcal E_x[1/\varphi]$、最後は帰納極限表示の茎。$X$ が被約で $U$ が稠密なので $\varphi$ は $\mathcal O_{X,x}$ の零因子でなく、$\mathcal{H}om((\varphi^n),\mathcal E)_x\cong\mathcal E_x$ である）。
段 5（引き戻しとの一致）．(b) の $q=0$ での両立性により、$\mathcal E_x\to(g_*g^*\mathcal E)_x$ は $\Gamma(\tilde X,\tilde{\mathcal E})\to\Gamma(\tilde X',\tilde g^*\tilde{\mathcal E})$ に移り、$\varphi$ で局所化した写像 $\mathcal E_x[1/\varphi]\to\Gamma(\tilde U',\tilde g^*\tilde{\mathcal E})$ は $\tilde g|_{\tilde U'}$ の同型による引き戻しなので同型である。したがって段 1 の引き戻し $\mathcal E(*Y)_x\to(g_*\mathcal E'(*Y'))_x$ は段 4 の同型と一致し、同型である。

茎 $x\in Y$ で示す（$x\in U$ の上では $g$ は同型）。局所的に $Y=\{\varphi=0\}$、$\mathcal J'=(\varphi\circ g)\mathcal O_{X'}$ とする。
段 1（帰納極限表示）．$\mathcal E'(*Y')=\varinjlim_n\mathcal E'_n$、$\mathcal E'_n=\mathcal{H}om(\mathcal J'^n,\mathcal E')$ で、各 $\mathcal E'_n$ は連接である。
段 2（固有写像と極限）．$g$ は固有なので、引用する事実 3 により $(R^qg_*\mathcal E'(*Y'))_x=\varinjlim_n(R^qg_*\mathcal E'_n)_x$ である。
段 3（Grauert–Remmert）．引用する事実 2 (b) により $(R^qg_*\mathcal E'_n)_x\cong H^q(\tilde X',\tilde{\mathcal E}'_n)$、(a) により $\tilde{\mathcal E}'_n=\mathcal{H}om(\tilde{\mathcal J}'^n,\tilde{\mathcal E}')$ である。
段 4（代数側の極限）．$\tilde X'$ はネーターなので、引用する事実 4 と上の補題（ネータースキーム上の局所化。$\tilde{\mathcal J}'$ は大域関数 $\varphi\circ\tilde g$ で生成される）により $\varinjlim_nH^q(\tilde X',\tilde{\mathcal E}'_n)=H^q(\tilde X',\tilde f'_*(\tilde{\mathcal E}'|_{\tilde U'}))$ となる。
段 5（affine 射）．$\tilde U'=D(\varphi\circ\tilde g)$ は $\tilde X'$ の大域関数の非零点集合なので、引用する事実 5 により $\tilde f'\colon\tilde U'\to\tilde X'$ は affine 射であり、$H^q(\tilde X',\tilde f'_*(\tilde{\mathcal E}'|_{\tilde U'}))=H^q(\tilde U',\tilde{\mathcal E}'|_{\tilde U'})$ である。
段 6（消滅）．$\tilde U'\cong\tilde U=\operatorname{Spec}\tilde A_\varphi$ は affine なので、引用する事実 5 によりこれは $q>0$ で $0$ である。

第 1 の消滅は上の定理（極をもつ有理型切断の高次順像の消滅）で $\mathcal E'=\Omega^p_{X'}$ とすればよい。第 2 は、$\mathcal L'^p$ が入射的なので flasque、$f'_*\mathcal L'^p$ も flasque であり、flasque 層は $R^qg_*$ で消えること（引用する事実 6）による。

段 1（写像錐への帰着）．写像錐 $\mathcal C^\bullet=\operatorname{Cone}(u)$（$\mathcal C^i=\mathcal A^{i+1}\oplus\mathcal B^i$）は有界下の完全複体で、各項は有限直和なので $g_*$ 非輪状である。$g_*$ は加法的なので $g_*\mathcal C^\bullet=\operatorname{Cone}(g_*u)$ であり、$g_*\mathcal C^\bullet$ が完全であることを示せばよい。
段 2（サイクルの非輪状性）．$\mathcal Z^i=\ker(\mathcal C^i\to\mathcal C^{i+1})$、$\mathcal C^i=0$（$i< i_0$）とする。完全性から短完全列 $0\to\mathcal Z^i\to\mathcal C^i\to\mathcal Z^{i+1}\to0$ があり、その長完全列で $R^qg_*\mathcal Z^{i+1}\cong R^{q+1}g_*\mathcal Z^i$（$q\ge1$）。完全性から $\mathcal Z^{i_0}=0$ なので、帰納的に $R^qg_*\mathcal Z^{i+1}\cong R^{q+i+1-i_0}g_*\mathcal Z^{i_0}=0$（$q\ge1$）。
段 3（完全性）．すべての $\mathcal Z^i$ が非輪状なので、$R^1g_*\mathcal Z^i=0$ から $0\to g_*\mathcal Z^i\to g_*\mathcal C^i\to g_*\mathcal Z^{i+1}\to0$ は完全であり、つなげて $g_*\mathcal C^\bullet$ は完全である。

段 1（局所化と解消）．主張は $X$ 上局所的なので、上の命題（特異点解消による証明の組み立て）の設定に取り替える。
段 2（正規交叉での同型）．$X'$ は複素多様体で $Y'$ は正規交叉因子なので、上の定理（正規交叉因子に沿う極をもつ形式の局所計算）により (10′) は擬同型である。
段 3（順像）．$\mathcal K'^\bullet$ は $0\le p\le\dim X'$ の有界複体、$f'_*\mathcal L'^\bullet$ は有界下複体で、各項は上の系（式 (11) の消滅）により $g_*$ 非輪状である。上の補題（非輪状な項をもつ複体の順像）により $g_*(10')$ は擬同型である。
段 4（戻り）．命題（特異点解消による証明の組み立て）の項目 3 により $g_*(10')=(10)$ である。よって (10) は擬同型で、(7) はコホモロジー層の同型である。