1-2 解析化と比較写像
複素数体上の滑らかなスキーム $X$ に付随する複素多様体 $X^h$ の上では、正則 Poincaré の補題により正則微分形式の複体が定数層 $\mathbb C$ の分解になり、解析的 de Rham コホモロジーは複素係数のコホモロジー $H^n(X^h,\mathbb C)$ に一致する。本頁は、代数的 de Rham コホモロジーからそこへ向かう比較写像 $\rho\colon H^n_{dR}(X)\to H^n(X^h,\mathbb C)$（原論文の式 (5)）を構成してその関手性を確かめ、$\rho$ が常に同型であるという Theorem 1′ を述べ、$X$ が完備な場合には GAGA だけで $\rho$ が同型になることを示す。一般の場合の証明は第 2 章に委ねる。
前提知識: de Rham コホモロジー, 微分形式, 超コホモロジー, スペクトル系列, 複素多様体, Serre の GAGA
この頁で示すこと
以下 $k=\mathbb C$ とし、$X$ を $\mathbb C$ 上局所有限型で滑らかなスキームとする（分離性・準コンパクト性は仮定しない。仮定するときは明記する）。$X^h$ を $X$ の解析化、$\varphi\colon X^h\to X$ を付随する局所環付き空間の射、$\Omega^\bullet_{X/\mathbb C}$ を代数的 de Rham 複体、$\Omega^\bullet_{X^h}$ を正則微分形式の複体とする。$H^n_{dR}(X)=\mathbf H^n(X,\Omega^\bullet_{X/\mathbb C})$ は本書『1-1 de Rham 複体と超コホモロジー』の代数的 de Rham コホモロジーである。
本頁の主結果は次の四つである。
- 解析的 de Rham コホモロジーと Poincaré の補題（原論文 印字 p. 96、Theorem 1′ の前の番号なし陳列式）：増大射 $\mathbb C_{X^h}\to\Omega^\bullet_{X^h}$ は擬同型であり、自然な同型 $\pi\colon\mathbf H^n(X^h,\Omega^\bullet_{X^h})\to H^n(X^h,\mathbb C)$ を与える。［条件付き：正則 Poincaré の補題（本書『0-4 複素解析空間と GAGA』）を引用］
- 比較写像の構成と関手性（原論文 式 (5)、印字 p. 96）：代数的微分形式の解析化 $\varphi^{-1}\Omega^\bullet_{X/\mathbb C}\to\Omega^\bullet_{X^h}$ と $\mathbf R\Gamma$ の関手性から準同型 $\rho\colon H^n_{dR}(X)\to H^n(X^h,\mathbb C)$ が定まり、関手的でカップ積と両立し、Hodge–de Rham スペクトル系列の射を誘導し、その $E_1$ 項の射は GAGA の標準写像である。［条件付き：解析化の存在と関手性、Godement 分解の関手性と乗法性を引用］
- 比較定理 Theorem 1′ の言明（原論文 Theorem 1′、印字 p. 96）：$\rho$ はすべての $n$ で同型である。［条件付き：affine の場合の Theorem 1 を引用。affine の場合への帰着は本書『2-1 affine 被覆による帰着』、Theorem 1 の証明は本書『2-2 極をもつ微分形式と局所比較定理』以下］
- 完備な場合の比較定理（原論文 印字 p. 96、Theorem 1′ の直後の段落と原注 (4)）：$X$ が完備なら、$E_1$ 項が GAGA で同型になることから $\rho$ は同型である。証明は特異点解消も Theorem 1 も使わない。［条件付き：GAGA（射影的な場合は Serre、完備な場合は Grothendieck の拡張）と正則 Poincaré の補題を引用］
本頁で閉じるのは、代数的微分形式の解析化の一意性と同型 $(\Omega^p_{X/\mathbb C})^h\cong\Omega^p_{X^h}$、$\rho$ が分解の取り方によらないこと、関手性、スペクトル系列の射としての性質、完備な場合の証明の組み立てである。引用するのは第 0 章に集めた事実である。原論文はこれらを「Poincaré の補題により」「標準的な準同型」「GAGA を使って直接」の一言ずつで済ませており、本頁はその一言ずつを開く。
背景と動機
原論文の出発点は Atiyah と Hodge の第二種積分の論文 AH55 で、そこでは複素射影多様体の複素コホモロジーが極をもつ有理微分形式で超越的に記述されていた。Hironaka の特異点解消 Hir64 でその論文の「Conjecture C」が定理になったのを機に、Grothendieck は、affine な非特異多様体の複素コホモロジーが代数的微分形式の複体のコホモロジーそのものであるという Theorem 1 を Atiyah に書き送った（印字 p. 95）。書簡はすぐにこれを「すこし一般の形」に言い直す。任意の滑らかなスキームで意味をもつように de Rham コホモロジーを超コホモロジーで定義し、解析化 $X^h$ の上で同じ定義をすれば Poincaré の補題で $H^n(X^h,\mathbb C)$ が得られる。両者の間の「標準的な準同型」(5) が同型であるというのが Theorem 1′ である。
Theorem 1 が「計算できる」と述べるだけで写像を指定しないのに対し、Theorem 1′ は写像 (5) の同型として述べられる。写像が指定されて初めて、affine 開被覆による帰着（本書『2-1 affine 被覆による帰着』）、部分体 $k$ 上の構造と周期（本書『3-3 $k$ 構造と周期』）、Hodge フィルトレーションの比較（本書『4-1 退化と自然な分裂の不在』）が意味をもつ。原論文は (5) の構成を書かないので、本頁の仕事の半分はこの写像を分解の取り方によらない形で構成し、関手性・積・スペクトル系列との両立を確かめることである。残りの半分は $X$ が完備な場合の証明で、原論文はこれを「初等的、すなわち解消を使わない」と評し、GAGA の名だけを挙げる。$E_1$ 項ごとの比較で全体の比較が出るという議論は短いが、完備でない場合にはその最初の段が破れる（本頁の反例「完備性を外すと $E_1$ 項の比較が破れる」）。比較定理の難しさが完備でない場合に集中していることが、ここから見える。
定義と準備
解析化と代数的微分形式の解析化
比較写像を作るには、まず代数的な微分形式を正則微分形式と見る写像が要る。解析化そのものは本書『0-4 複素解析空間と GAGA』から引用し、微分形式に関する部分だけをここで定義し証明する。
$X$ を $\mathbb C$ 上局所有限型のスキームとする。$X^h$ を $X$ に付随する複素解析空間、$\varphi\colon X^h\to X$ を付随する局所環付き空間の射とする。$X^h$ の台は $X$ の閉点の集合 $X(\mathbb C)$ に通常の位相を入れたもので、$\varphi^\sharp\colon\varphi^{-1}\mathcal O_X\to\mathcal O_{X^h}$ は多項式関数を正則関数と見る射である。$\mathcal O_X$ 加群 $\mathcal F$ の解析化を $\mathcal F^h:=\varphi^*\mathcal F=\mathcal O_{X^h}\otimes_{\varphi^{-1}\mathcal O_X}\varphi^{-1}\mathcal F$ と定める。開部分スキーム $U\subset X$ に対し $U^h=\varphi^{-1}(U)$ は $X^h$ の開集合で、$U$ の解析化と一致する。$X$ が滑らかなら $X^h$ は複素多様体であり、$\Omega^p_{X^h}$ で正則 $p$ 形式の層、$\Omega^\bullet_{X^h}$ で外微分 $d$ による正則 de Rham 複体を表す。
$\varphi^{-1}$ と $\varphi^*$ は完全関手である（引用する事実 1）。代数的な微分形式を正則微分形式へ送る写像は、Kähler 微分の普遍性だけから一意に定まる。
$X$ を $\mathbb C$ 上局所有限型で滑らかなスキームとする。
- $\mathbb C$ 線型な層の射の族 $\theta^p\colon\varphi^{-1}\Omega^p_{X/\mathbb C}\to\Omega^p_{X^h}$（$p\ge0$）で、$\theta^0=\varphi^\sharp$、$d\circ\theta^p=\theta^{p+1}\circ\varphi^{-1}(d)$、$\theta^{p+q}(\alpha\wedge\beta)=\theta^p(\alpha)\wedge\theta^q(\beta)$ をみたすものが一意に存在する。すなわち $\theta\colon\varphi^{-1}\Omega^\bullet_{X/\mathbb C}\to\Omega^\bullet_{X^h}$ は微分次数付き代数の層の射である。
- $\theta^p$ の $\mathcal O_{X^h}$ 線型化 $\bar\theta^p\colon(\Omega^p_{X/\mathbb C})^h\to\Omega^p_{X^h}$ は同型である。
段 1（$\theta^1$ の構成と一意性）．合成 $\varphi^{-1}\mathcal O_X\xrightarrow{\varphi^\sharp}\mathcal O_{X^h}\xrightarrow{d}\Omega^1_{X^h}$ は $\varphi^{-1}\mathcal O_X$ 加群 $\Omega^1_{X^h}$ に値をもつ $\mathbb C$ 導分である。$\varphi^{-1}$ は完全で余極限と可換なので $\varphi^{-1}\Omega^1_{X/\mathbb C}=\Omega^1_{\varphi^{-1}\mathcal O_X/\mathbb C}$ であり、Kähler 微分の普遍性（引用する事実 6）により、この導分を経由する $\varphi^{-1}\mathcal O_X$ 線型な射 $\theta^1$ が一意に定まる。逆に条件をみたす $\theta^1$ は、外積との両立（$p=0$、$q=1$）により $\varphi^{-1}\mathcal O_X$ 線型で $\theta^1(db)=d\theta^0(b)$ をみたすので、$\Omega^1_{X/\mathbb C}$ が $db$ の形の切断で生成されることからこの形に強制される。高次の $\theta^p$ は外積との両立により $\theta^1$ から決まる。
段 2（高次と $d$ との両立）．$\theta^p:=\bigwedge^p\theta^1$ と置けば外積との両立は定義から従う。$d$ との両立は局所的に確かめればよく、$\Omega^p_{X/\mathbb C}$ は局所的に $a\,db_1\wedge\cdots\wedge db_p$ の形の切断で生成され、外微分は代数側も解析側も $d(a\,db_1\wedge\cdots\wedge db_p)=da\wedge db_1\wedge\cdots\wedge db_p$ で定まるので、両辺に $\theta$ を施すと一致する。
段 3（$\bar\theta^p$ の同型）．主張は局所的である。$X$ は滑らかなので Zariski 局所的にエタール射 $V\to\mathbb A^n_{\mathbb C}$ があり、$\Omega^1_{V/\mathbb C}$ は $dx_1,\dots,dx_n$ を基底とする自由加群である（本書『0-2 Kähler 微分と超コホモロジー』）。解析化 $V^h\to\mathbb C^n$ は局所双正則なので（引用する事実 1）$\Omega^1_{V^h}$ は $d(x_i^h)$ を基底とする自由加群であり、$\bar\theta^1$ は基底を基底へ送るので同型、外冪をとって $\bar\theta^p$ も同型である。
これで $\Omega^\bullet_{X/\mathbb C}$ を $\varphi$ で引き戻して正則形式の複体に写す射 $\theta$ が定まった。比較写像の到達先を定めるのが次の定義である。
解析的 de Rham コホモロジー
$X$ を $\mathbb C$ 上局所有限型で滑らかなスキームとする。$X^h$ の解析的 de Rham コホモロジーとは、正則 de Rham 複体の超コホモロジー $\mathbf H^n(X^h,\Omega^\bullet_{X^h})$ をいう。$H^n(X^h,\mathbb C)$ は定数層 $\mathbb C_{X^h}$ の層コホモロジーを表す。$X$ が分離的なら $X^h$ はパラコンパクト Hausdorff で、これは特異コホモロジー $H^n_{\mathrm{sing}}(X^h,\mathbb C)$ に一致する（本書『0-4 複素解析空間と GAGA』）。
原論文は解析的 de Rham コホモロジーを $H^\bullet(X^h)$ と略記するが、本書では $H^n(X^h,\mathbb C)$ と紛れるので略記を使わない。
引用する事実
次の事実は証明せずに引用する。出典は主に本書の第 0 章、Ser56、God58、Wei94 で、該当箇所の番号は本頁では確認していない。
- 解析化の存在と関手性（本書『0-4 複素解析空間と GAGA』）：$X^h$ と $\varphi\colon X^h\to X$ が存在し、$X\mapsto X^h$ は関手で、射 $u\colon X_1\to X_2$ に対し $\varphi_2\circ u^h=u\circ\varphi_1$。$\mathcal F\mapsto\mathcal F^h$ は完全で連接層を連接層に送る。$X$ が滑らかなら $X^h$ は複素多様体で、エタール射 $V\to\mathbb A^n_{\mathbb C}$ の解析化は局所双正則である。$X$ が分離的なら $X^h$ は Hausdorff、固有ならコンパクト、affine なら Stein である。
- 正則 Poincaré の補題（本書『0-4 複素解析空間と GAGA』、BT82、Huy05）：複素多様体 $M$ 上で層の列 $0\to\mathbb C_M\to\mathcal O_M\xrightarrow{d}\Omega^1_M\xrightarrow{d}\Omega^2_M\to\cdots$ は完全である。
- 超コホモロジーと Godement 分解（本書『0-2 Kähler 微分と超コホモロジー』、God58 第 II 章）：超コホモロジーは flasque 分解で計算でき、擬同型は超コホモロジーの同型を誘導する。Godement の標準分解 $\mathcal F\to\mathcal C^\bullet(\mathcal F)$ は関手的かつ完全で、各項は flasque、開集合への制限と可換で、連続写像 $\varphi\colon X'\to X$ に対して増大射と両立する自然な射 $\varphi^{-1}\mathcal C^\bullet(\mathcal F)\to\mathcal C^\bullet(\varphi^{-1}\mathcal F)$ をもつ。微分次数付き代数の層に対しては $\mathcal C^\bullet$ の総複体も自然に微分次数付き代数の層になり、カップ積はこれで計算できる。
- スペクトル系列の比較定理（本書『0-2 Kähler 微分と超コホモロジー』、Wei94 5.2）：第一象限型のフィルター付き複体の射が、ある $r\ge1$ で $E_r$ の同型を誘導すれば、以後の $E_{r'}$ でも同型で、到達項の射はフィルトレーション付きの同型である。
- GAGA（本書『0-4 複素解析空間と GAGA』、Ser56、Car57）：$X$ が $\mathbb C$ 上射影的なら、連接 $\mathcal O_X$ 加群 $\mathcal F$ について標準写像 $H^q(X,\mathcal F)\to H^q(X^h,\mathcal F^h)$（引き戻し $H^q(X,\mathcal F)\to H^q(X^h,\varphi^{-1}\mathcal F)$ と $\varphi^{-1}\mathcal F\to\mathcal F^h$ の合成）は同型である（Serre、原注 (4)）。$X$ が $\mathbb C$ 上固有（完備）でも同じことが成り立つ（Grothendieck による Chow の補題を使った拡張。原論文は原注 (6) で別の目的にこれを引く）。
- Kähler 微分の普遍性（本書『0-2 Kähler 微分と超コホモロジー』、Mat89）：$\mathbb C$ 代数 $A$ と $A$ 加群 $M$ について $\operatorname{Der}_{\mathbb C}(A,M)=\operatorname{Hom}_A(\Omega^1_{A/\mathbb C},M)$。層の場合も同じ。
- affine スキーム上の消滅と Čech 計算（本書『0-3 スキームと連接層コホモロジー』、『1-1 de Rham 複体と超コホモロジー』）：affine なら $H^n_{dR}(X)=H^n(\Gamma(X,\Omega^\bullet_{X/\mathbb C}))$（原論文の式 (4)）であり、有限交わりがすべて affine な開被覆 $\mathfrak U$ については Čech 二重複体 $\check C^i(\mathfrak U,\Omega^p_{X/\mathbb C})$ の総複体が $H^n_{dR}(X)$ を計算する。
- Hodge 分解と楕円曲線の Weierstrass 表示（本書『0-5 Hodge 理論・アーベル多様体・エタールコホモロジーの初歩』、GH78、Sil09）：コンパクト Kähler 多様体で $H^n(M,\mathbb C)=\bigoplus_{p+q=n}H^{p,q}$、$\overline{H^{p,q}}=H^{q,p}$。楕円曲線 $y^2=4x^3-g_2x-g_3$ は $x=\wp(z)$、$y=\wp'(z)$ により $\mathbb C/\Lambda$ と同一視され、$dx/y$ は $dz$ に対応する。
以上で、代数側の複体を解析側へ写す射 $\theta$、到達先の解析的 de Rham コホモロジー、それを $H^n(X^h,\mathbb C)$ に結ぶ Poincaré の補題が揃った。これらを組み合わせて比較写像を作る。
主結果と証明
以下 $X$ は $\mathbb C$ 上局所有限型で滑らかなスキーム、$K^\bullet=\Omega^\bullet_{X/\mathbb C}$、$K'^\bullet=\Omega^\bullet_{X^h}$ とし、$\theta\colon\varphi^{-1}K^\bullet\to K'^\bullet$ を上の補題（代数的微分形式の解析化）の射とする。まず到達先を固定する。
Poincaré の補題と解析的 de Rham コホモロジー
$X$ を $\mathbb C$ 上局所有限型で滑らかなスキームとする。増大射 $\mathbb C_{X^h}\to\Omega^\bullet_{X^h}$ は層の複体の擬同型であり、超コホモロジーに自然な同型
$$\pi=\pi_X\colon\mathbf H^n(X^h,\Omega^\bullet_{X^h})\xrightarrow{\ \sim\ }H^n(X^h,\mathbb C)\qquad(n\ge0)$$
を誘導する。$\pi$ は $X$ について関手的で、開集合への制限と両立し、カップ積を保つ。
段 1（擬同型）．$X^h$ は複素多様体である（引用する事実 1）。完全性は茎で調べればよく、各点は多重円板と双正則な近傍の基本系をもつので、正の次数での完全性は正則 Poincaré の補題（引用する事実 2）そのものである。次数 $0$ では、$df=0$ をみたす正則関数は各座標についての偏微分が消え、多重円板は連結なので定数である。よって $\ker(d\colon\mathcal O_{X^h}\to\Omega^1_{X^h})=\mathbb C_{X^h}$ であり、増大射は擬同型である。
段 2（超コホモロジーの同型と関手性）．擬同型は超コホモロジーの同型を誘導し（引用する事実 3）、$\mathbb C_{X^h}$ を次数 $0$ に置いた複体の超コホモロジーは $H^n(X^h,\mathbb C)$ なので、同型 $H^n(X^h,\mathbb C)\to\mathbf H^n(X^h,\Omega^\bullet_{X^h})$ を得る。その逆を $\pi$ とする。$\mathbb C_M\to\Omega^\bullet_M$ は複素多様体の正則写像について自然な微分次数付き代数の層の射なので、Godement 分解の関手性と乗法性（引用する事実 3）により $\pi$ は関手的でカップ積を保つ。
到達先が定数層のコホモロジーであることが分かった。次に出発点からそこへ向かう写像を、分解の取り方によらない形で定義する。
比較写像
$X$ を $\mathbb C$ 上局所有限型で滑らかなスキームとする。連続写像 $\varphi\colon X^h\to X$ による引き戻し $\mathbf R\Gamma(X,K^\bullet)\to\mathbf R\Gamma(X^h,\varphi^{-1}K^\bullet)$ と、$\theta$ が誘導する $\mathbf R\Gamma(X^h,\varphi^{-1}K^\bullet)\to\mathbf R\Gamma(X^h,K'^\bullet)$ の合成が $n$ 次コホモロジーに誘導する写像を
$$\tilde\rho=\tilde\rho_X\colon H^n_{dR}(X)=\mathbf H^n(X,\Omega^\bullet_{X/\mathbb C})\longrightarrow\mathbf H^n(X^h,\Omega^\bullet_{X^h})$$
と書き、上の定理（解析的 de Rham コホモロジーと Poincaré の補題）の同型 $\pi$ との合成
$$\rho=\rho_X:=\pi\circ\tilde\rho\colon H^n_{dR}(X)\longrightarrow H^n(X^h,\mathbb C)$$
を $X$ の比較写像と呼ぶ。これが原論文の式 (5) である。$X$ が affine のとき、引用する事実 7 の同一視 $H^n_{dR}(X)=H^n(\Gamma(X,\Omega^\bullet_{X/\mathbb C}))$ を通した $\rho$ を、大域形式の標準写像 $\bar\rho\colon H^n(\Gamma(X,\Omega^\bullet_{X/\mathbb C}))\to H^n(X^h,\mathbb C)$ と書く。
具体的には、Godement 分解を各項に施した総複体 $L_K:=\operatorname{Tot}\mathcal C^\bullet(K^\bullet)$、$L_{K'}:=\operatorname{Tot}\mathcal C^\bullet(K'^\bullet)$ を使い、複体の射の列
$$\Gamma(X,L_K)\longrightarrow\Gamma(X^h,\varphi^{-1}L_K)\longrightarrow\Gamma(X^h,L_{\varphi^{-1}K})\xrightarrow{\ \theta\ }\Gamma(X^h,L_{K'})$$
（最初は随伴の単位 $L_K\to\varphi_*\varphi^{-1}L_K$ の大域切断、二番目は引用する事実 3 の自然な射、三番目は $\theta$ に $\mathcal C^\bullet$ を施したもの）がコホモロジーに誘導する写像が $\tilde\rho$ である。この模型で次の定理を証明する。
$X$ を $\mathbb C$ 上局所有限型で滑らかなスキームとする。
- $\tilde\rho$ と $\rho$ は超コホモロジーを計算する分解の取り方によらず定まる。
- 関手性：$\mathbb C$ 上のスキームの射 $u\colon X_1\to X_2$ に対し $\rho_{X_1}\circ u^*=(u^h)^*\circ\rho_{X_2}$。とくに開部分スキーム $U\subset X$ について $\rho_U$ は $\rho_X$ の制限である。
- 積：$\rho\colon H^\bullet_{dR}(X)\to H^\bullet(X^h,\mathbb C)$ はカップ積を保ち、次数付き $\mathbb C$ 代数の準同型である。
- スペクトル系列の射：$\tilde\rho$ は Hodge–de Rham スペクトル系列 $E_1^{p,q}=H^q(X,\Omega^p_{X/\mathbb C})\Rightarrow H^{p+q}_{dR}(X)$ から解析側の系列 $E_1^{p,q}=H^q(X^h,\Omega^p_{X^h})\Rightarrow\mathbf H^{p+q}(X^h,\Omega^\bullet_{X^h})$ への射から誘導され、その $E_1$ 項の射は GAGA の標準写像 $H^q(X,\Omega^p_{X/\mathbb C})\to H^q(X^h,(\Omega^p_{X/\mathbb C})^h)$ と同型 $\bar\theta^p$ の合成である。とくに $\tilde\rho$ は Hodge フィルトレーション $F^p$ を保つ。
- 大域形式での記述：閉な代数的 $n$ 形式 $\omega\in\Gamma(X,\Omega^n_{X/\mathbb C})$ の類の $\rho$ による像は、閉な正則 $n$ 形式 $\omega^h=\theta^n(\omega)$ が $\mathbf H^n(X^h,\Omega^\bullet_{X^h})\cong H^n(X^h,\mathbb C)$ に定める類である。$X$ が分離的なら、この類は特異サイクル $\gamma$ の上の周期 $\int_\gamma\omega^h$ で決まる。
段 1（分解によらないこと）．Godement 分解の各項は flasque なので $\Gamma(X,L_K)$ は $\mathbf R\Gamma(X,K^\bullet)$ を計算する（引用する事実 3）。別の flasque 分解 $K^\bullet\to L'$、$K'^\bullet\to L''$ と、$\theta$ の上にある複体の射 $\varphi^{-1}L'\to L''$ が与えられたとする。$\mathcal C^\bullet$ の関手性と完全性により flasque 複体の擬同型 $L'\to\operatorname{Tot}\mathcal C^\bullet(L')\leftarrow L_K$ と $L''\to\operatorname{Tot}\mathcal C^\bullet(L'')\leftarrow L_{K'}$ があり、$\Gamma$ を施しても擬同型である（本書『0-2 Kähler 微分と超コホモロジー』）。定義の三つの射は $\mathcal C^\bullet$ と随伴の単位の自然性によりこれらと可換な図式をなすので、$(L',L'')$ から誘導される写像は $\tilde\rho$ に一致する。
段 2（関手性）．$u\colon X_1\to X_2$ に対し $\varphi_2\circ u^h=u\circ\varphi_1$（引用する事実 1）。代数側の引き戻し $u^\flat\colon u^{-1}\Omega^\bullet_{X_2}\to\Omega^\bullet_{X_1}$ と解析側の $(u^h)^\flat$ はどちらも微分次数付き代数の層の射で、関数の層の上では一致するので、$\varphi_1^{-1}u^{-1}\Omega^\bullet_{X_2}$ から $\Omega^\bullet_{X_1^h}$ への二つの射 $\theta_1\circ\varphi_1^{-1}(u^\flat)$ と $(u^h)^\flat\circ(u^h)^{-1}(\theta_2)$ は、上の補題（代数的微分形式の解析化）の一意性と同じ議論（$u^{-1}\Omega^\bullet_{X_2}$ は関数の層とその $d$ で生成される）により等しい。Godement 分解と随伴の単位は自然なので定義の三つの射も両立し、$\tilde\rho_{X_1}\circ u^*=(u^h)^*\circ\tilde\rho_{X_2}$ を得る。$\pi$ の関手性は上の定理による。開部分スキームでは Godement 分解が制限と可換なので $\rho_U$ は $\rho_X$ の制限である。
段 3（積）．$\theta$ は微分次数付き代数の層の射、Godement 分解の総複体は乗法的、随伴の単位と引用する事実 3 の自然な射は積を保つ。したがって定義の複体の射は微分次数付き代数の射であり、コホモロジーでカップ積を保つ。$\pi$ もカップ積を保つ。
段 4（スペクトル系列の射）．$\Gamma(X,L_K)$ の形式の次数 $p$ によるフィルトレーション（$\sigma^{\ge p}K^\bullet$ から来る bête フィルトレーション）が Hodge–de Rham スペクトル系列を与え（本書『1-1 de Rham 複体と超コホモロジー』）、$X^h$ 上でも同じである。定義の三つの射は形式の次数を保つので系列の射を誘導し、$E_1$ 項の射は $p$ を固定した複体 $\Gamma(X,\mathcal C^\bullet(\Omega^p))\to\Gamma(X^h,\mathcal C^\bullet(\Omega^p_{X^h}))$ のコホモロジー、すなわち $\theta^p$ が層コホモロジーに誘導する写像である。$\theta^p$ は $\varphi^{-1}\Omega^p\to(\Omega^p)^h\xrightarrow{\bar\theta^p}\Omega^p_{X^h}$ と分解するので、これは GAGA の標準写像（引用する事実 5）と $\bar\theta^p$ の合成である（Godement 分解で作った引き戻し $H^q(X,\mathcal F)\to H^q(X^h,\varphi^{-1}\mathcal F)$ が通常の引き戻しと一致することは、両者が次数 $0$ で一致する $\delta$ 関手の射であることによる）。到達項のフィルトレーションは系列の射で保たれる。
段 5（大域形式）．増大射 $\Gamma(X,K^\bullet)\to\Gamma(X,L_K)$ と $\Gamma(X^h,K'^\bullet)\to\Gamma(X^h,L_{K'})$ は、定義の三つの射と $\omega\mapsto\omega^h$ とで可換な四角をなす（Godement 分解の自然な射が増大射と両立するため）。よって閉形式 $\omega$ の類の像は $\omega^h$ の類である。$X$ が分離的なら、de Rham の定理（本書『0-4 複素解析空間と GAGA』）により閉形式の類はサイクル上の積分で決まる。
これで、原論文が「標準的な準同型」と呼んだ写像が、分解によらず、関手的で、積とフィルトレーションを保つ写像として手に入った。導来圏の言葉では $\tilde\rho$ は射 $\mathbf R\Gamma(X,\Omega^\bullet_{X/\mathbb C})\to\mathbf R\Gamma(X^h,\Omega^\bullet_{X^h})$ の $n$ 次コホモロジーであり、本頁の Godement 分解による模型は、その言葉を使わずに関手性を確保する 1963 年当時の道具立てである。$\rho$ が同型か否かが Theorem 1′ の問いである。
Theorem 1′ の言明
$X$ を $\mathbb C$ 上局所有限型で滑らかなスキームとする（分離性・準コンパクト性を仮定しない）。比較写像 $\rho\colon H^n_{dR}(X)\to H^n(X^h,\mathbb C)$ はすべての $n$ で同型である。同値に、$\tilde\rho\colon\mathbf H^n(X,\Omega^\bullet_{X/\mathbb C})\to\mathbf H^n(X^h,\Omega^\bullet_{X^h})$ は同型である。
要点のみ述べる。二つの主張の同値性は $\pi$ が同型であること（上の定理）による。$X$ が affine のときは、引用する事実 7 により $\rho$ は大域形式の標準写像 $\bar\rho$ に一致し、主張は Theorem 1（$\mathbb C$ 上の滑らかな affine スキームで $\bar\rho$ が同型）そのものである。一般の $X$ については、affine 開被覆 $\mathfrak U$ についての Čech 型スペクトル系列（原論文の式 (6)）を代数側と解析側で作り、上の定理（比較写像の構成と関手性）の 2 により $\rho$ がその射を誘導することを使って、有限交わり $U_{i_0}\cap\cdots\cap U_{i_p}$ で $\rho$ が同型なら $X$ でも同型であることを示し、二段の帰着で affine の場合に落とす。この帰着は本書『2-1 affine 被覆による帰着』で閉じ、Theorem 1 の証明は本書『2-2 極をもつ微分形式と局所比較定理』以下の頁で与える。$X$ が完備な場合は、下の定理（完備な場合の比較定理）が Theorem 1 に依らない証明を与える。
言明の仮定は最小にしてある。分離性を仮定しないのは原論文どおりであり、それで困らない理由を確かめておく。
$X$ が分離的でなければ $X^h$ は Hausdorff でなく、$H^n(X^h,\mathbb C)$ を特異コホモロジーと同一視する一般論は使えない。しかし本頁の構成はすべて層コホモロジーの言葉で書かれており、上の定理（解析的 de Rham コホモロジーと Poincaré の補題）は $X^h$ が局所的に多重円板であることしか使わない。Theorem 1′ の帰着（本書『2-1 affine 被覆による帰着』）も位相空間の一般論だけを使う。原論文が「prescheme」と書いて分離性を落としているのはこのためで、本頁の反例「分離性を外しても比較定理は破れない」がその実例である。
Theorem 1 に頼らずに閉じる場合が一つある。$X$ が完備なら、Hodge–de Rham スペクトル系列の $E_1$ 項が GAGA でそのまま比較でき、系列の比較定理が残りを片付ける。
完備な場合
$X$ を $\mathbb C$ 上完備（固有）で滑らかなスキームとする。比較写像 $\rho\colon H^n_{dR}(X)\to H^n(X^h,\mathbb C)$ はすべての $n$ で同型である。さらに $\tilde\rho$ は Hodge フィルトレーション付きの同型 $F^pH^n_{dR}(X)\cong F^p\mathbf H^n(X^h,\Omega^\bullet_{X^h})$ であり、その付随次数 $\operatorname{gr}^p_F=E_\infty^{p,n-p}$ での写像は、GAGA の同型 $H^{n-p}(X,\Omega^p_{X/\mathbb C})\cong H^{n-p}(X^h,\Omega^p_{X^h})$ が部分商 $E_\infty^{p,n-p}$ に誘導する同型である。証明は特異点解消も Theorem 1 も使わない。
段 1（$E_1$ 項の同型）．$X$ は固有なので有限型・分離的で、$\Omega^p_{X/\mathbb C}$ は連接 $\mathcal O_X$ 加群である。上の定理（比較写像の構成と関手性）の 4 により $\tilde\rho$ は Hodge–de Rham スペクトル系列の射を誘導し、$E_1$ 項の射は
$$H^q(X,\Omega^p_{X/\mathbb C})\xrightarrow{\ \text{GAGA}\ }H^q\bigl(X^h,(\Omega^p_{X/\mathbb C})^h\bigr)\xrightarrow{\ \bar\theta^p\ }H^q(X^h,\Omega^p_{X^h})$$
である。第一の写像は GAGA の完備な場合（引用する事実 5）により同型、第二は上の補題（代数的微分形式の解析化）の 2 の層の同型が誘導するので同型である。
段 2（到達項の同型）．両側の系列は第一象限型で、$p$ によるフィルトレーションは各次数 $n$ で有限（$F^0H^n=H^n$、$F^{n+1}H^n=0$）である。段 1 により $E_1$ の射が同型なので、スペクトル系列の比較定理（引用する事実 4）により到達項の射 $\tilde\rho$ はフィルトレーション付きの同型で、$\operatorname{gr}^p_F$ では $E_\infty^{p,n-p}$ の同型を誘導する。最後の段だけ書いておくと、短完全列 $0\to F^{p+1}H^n\to F^pH^n\to E_\infty^{p,n-p}\to0$ とその解析側の間の射に五項補題を使い、$p$ についての降下帰納法で $F^pH^n$ の同型を得る。
段 3（$\rho$ の同型）．$\pi$ は同型なので $\rho=\pi\circ\tilde\rho$ も同型である。
これで完備な場合の Theorem 1′ が、第 0 章の事実だけで閉じた。証明が示しているのは同型より少し多く、Hodge フィルトレーションが両側で対応することまで分かる。これが第 4 章で Hodge 理論を代数側へ移す入口になる。
原注 (4) が引く Serre の GAGA Ser56 は射影的な場合の定理である。原論文の「complete」は $\mathbb C$ 上固有の意味で、射影的でない完備な滑らかな多様体が存在する（本頁の例「射影的でない完備多様体」）ので、上の定理の証明を原注 (4) だけで閉じることはできない。固有な場合への拡張は、原論文が原注 (6) で別の目的に引く Grothendieck の Séminaire Cartan の講演 Car57 にあり、後には SGA 1 の Exposé XII（本書の文献表にない）や Har77 付録 B で標準的に述べられる（本書は該当箇所を確かめていない）。射影的な $X$ に限れば原注 (4) だけで閉じる。
例と反例
以下の例は、比較写像を最も簡単な場合に直接計算し、主結果の仮定を外したときに何が破れ、何が破れないかを見る。最初は射影直線で、完備な場合の定理を Čech 計算で直接確かめる。
$X=\mathbb P^1_{\mathbb C}$ を $U_0=\operatorname{Spec}\mathbb C[t]$、$U_1=\operatorname{Spec}\mathbb C[t^{-1}]$ で覆い、Čech 二重複体（引用する事実 7）で計算する。総次数 $2$ の項は $\check C^1(\mathfrak U,\Omega^1)=\mathbb C[t,t^{-1}]\,dt$ だけで、境界は $\mathbb C[t]\,dt$ と $\mathbb C[t^{-1}]\,t^{-2}dt$ の像、および外微分の像 $d(t^m)=mt^{m-1}dt$（$m\ne0$）で張られる。残るのは $t^{-1}dt$ の一次元で、$H^2_{dR}(\mathbb P^1)=\mathbb C\cdot[dt/t]$、同様に $H^0_{dR}=\mathbb C$、$H^1_{dR}=0$ である。解析側は $X^h=S^2$ で $H^0=H^2=\mathbb C$、$H^1=0$ である。
$\rho$ の同型は上の定理（完備な場合の比較定理）から従うが、直接にも確かめられる。開被覆 $\{U_0^h,U_1^h\}$（どちらも $\mathbb C$ と同相）の Mayer–Vietoris 完全列で、連結準同型 $H^1(\mathbb C^\times,\mathbb C)\to H^2(S^2,\mathbb C)$ は同型であり、代数側でも上の Čech 計算は連結準同型 $H^1_{dR}(\mathbb G_m)\to H^2_{dR}(\mathbb P^1)$、$[dt/t]\mapsto[dt/t]$ の同型である。$\rho$ はこの二つと可換である。flasque 分解 $L$ の切断の短完全列 $0\to\Gamma(X,L)\to\Gamma(U_0,L)\oplus\Gamma(U_1,L)\to\Gamma(U_{01},L)\to0$ から Mayer–Vietoris 列が出て、比較写像を定める射は制限と両立する（上の定理（比較写像の構成と関手性）の 2）からである。よって $\mathbb P^1$ での同型は $\mathbb G_m$ の次数 $1$ での同型に帰着し、それは次の例で確かめる。$\rho[dt/t]$ を基本類と対にした値は $\int_{|t|=1}dt/t=2\pi i$ に等しい（符号は向きの規約による）。
次は乗法群で、$\rho$ が同型であっても有理数体上の構造は保たないことを見る。上の例の残りの段でもある。
$X=\mathbb G_m=\operatorname{Spec}\mathbb C[t,t^{-1}]$ は affine で、$t^jdt$（$j\ne-1$）は完全なので $H^1_{dR}(X)=\mathbb C\cdot[dt/t]$、$H^0_{dR}=\mathbb C$、$H^2_{dR}=0$ である（本書『1-1 de Rham 複体と超コホモロジー』）。解析側は $X^h=\mathbb C^\times$ で、$H^1(\mathbb C^\times,\mathbb C)=\mathbb C$ は単位円 $c$（反時計回り）の類の双対 $c^\vee$（$\int_cc^\vee=1$）で生成され、$H^2=0$。上の定理（比較写像の構成と関手性）の 5 により $\rho[dt/t]$ は正則形式 $dt/t$ の類で、その周期は $\int_cdt/t=2\pi i\ne0$。よって $\rho[dt/t]=2\pi i\,c^\vee\ne0$ であり、両辺が一次元なので $\rho$ は次数 $1$ で同型である。次数 $0$ と $2$ は明らかで、Theorem 1′ が $\mathbb G_m$ で、上の例と合わせて $\mathbb P^1$ で直接確かめられた。
$\mathbb G_m$ は $\mathbb Q$ 上定義され、$H^1_{dR}(\mathbb G_{m,\mathbb Q})=\mathbb Q\cdot[dt/t]$ は $H^1_{dR}(X)$ の $\mathbb Q$ 構造、$H^1(\mathbb C^\times,\mathbb Q)=\mathbb Q\,c^\vee$ は特異コホモロジーの $\mathbb Q$ 構造である。$\rho$ は前者を $2\pi i\,\mathbb Q\,c^\vee$ に写し、$2\pi i$ は実数ですらないので後者と異なる。さらに $\pi$ は超越数（Lindemann、1882 年。文献表になく、本書は確かめていない）なので、$2\pi i\,\mathbb Q$ は $\overline{\mathbb Q}$ とも交わらない。すなわち $\rho$ は $\mathbb C$ ベクトル空間の同型だが二つの $\mathbb Q$ 構造を取り違え、そのずれ $2\pi i$ が周期である。周期は比較定理が同型を与えるからこそ意味をもつ不変量である（本書『3-3 $k$ 構造と周期』）。
完備な場合の定理が Hodge 理論とどう噛み合うかを、楕円曲線で見る。
$E\subset\mathbb P^2_{\mathbb C}$ を $y^2=4x^3-g_2x-g_3$（判別式 $\ne0$）で定まる楕円曲線とする。$E^h=\mathbb C/\Lambda$ は複素トーラスで $H^1(E^h,\mathbb C)=\mathbb C^2$ である。Hodge–de Rham の $E_1$ 項は $H^0(E,\Omega^1)=\mathbb C\,\omega$（$\omega=dx/y$）、$H^1(E,\mathcal O)=\mathbb C$ で、総次数 $1$ の次元の和は $2$ である。上の定理（完備な場合の比較定理）により $\dim H^1_{dR}(E)=2$ であり、$E_1$ から到達項へ次元が落ちないので $d_1\colon H^1(E,\mathcal O)\to H^1(E,\Omega^1)$ は $0$ で、系列は次数 $1$ で退化し、$F^1H^1_{dR}(E)=\mathbb C\,\omega$ である。これは本書『4-1 退化と自然な分裂の不在』の退化の議論（次元の勘定）の最も簡単な場合である。
引用する事実 8 により $\omega=dx/y$ は $\mathbb C/\Lambda$ の正則形式 $dz$ に対応し、$\rho(\omega)$ は $dz$ の類、その周期は $\Lambda$ の基底 $\omega_1,\omega_2$ である。$\omega_1,\omega_2$ は $\mathbb R$ 上一次独立である。もし $\overline{\rho(\omega)}=\lambda\rho(\omega)$（$\lambda\in\mathbb C$）なら周期をとって $\bar\omega_j=\lambda\omega_j$、よって $\omega_1/\omega_2=\overline{\omega_1/\omega_2}$ は実数となり一次独立性に反する。ゆえに $\rho(F^1)\cap\overline{\rho(F^1)}=0$ で、したがって $H^1(E^h,\mathbb C)=\rho(F^1)\oplus\overline{\rho(F^1)}$ である。これが Hodge 分解 $H^1=H^{1,0}\oplus H^{0,1}$ の楕円曲線の場合であり、$\rho$ は $F^1H^1_{dR}(E)$ を $H^{1,0}$ に写す。補空間 $\overline{H^{1,0}}$ は複素共役で定めたもので、代数側には対応物がない（本書『4-1 退化と自然な分裂の不在』）。第二種微分 $\eta=x\,dx/y$ と Legendre の関係は本書『3-3 $k$ 構造と周期』で扱う。
次の二つは反例である。最初は、完備性を外すと上の定理（完備な場合の比較定理）の証明の最初の段が破れることを示す。破れるのは証明の道であって結論ではない。
外す条件は完備性である。$X=\mathbb A^1_{\mathbb C}=\operatorname{Spec}\mathbb C[t]$、$X^h=\mathbb C$ とする。Hodge–de Rham の $E_1$ 項の比較写像は次数 $(0,0)$ で $H^0(X,\mathcal O_X)=\mathbb C[t]\to H^0(\mathbb C,\mathcal O_{\mathbb C})$（整関数の環）であり、$e^t$ は像に入らないので同型でない。次数 $(1,0)$ も同じである。
- 満たす条件：$X$ は $\mathbb C$ 上有限型・滑らか・分離的・affine。
- 破る条件：完備性。$X^h$ はコンパクトでなく、GAGA は成り立たない。
- 破る結論：$E_1$ 項の射は同型でなく、上の定理（完備な場合の比較定理）の証明は使えない。
- 破れない結論：$\rho$ 自身は同型である。$H^0_{dR}=\mathbb C$、$H^1_{dR}(\mathbb A^1)=\mathbb C[t]\,dt/d\mathbb C[t]=0$ で、$H^n(\mathbb C,\mathbb C)$ も $\mathbb C,0,0,\dots$ である。実際、解析側の $E_2$ 項は $E_2^{0,0}=\ker(d\colon\mathcal O(\mathbb C)\to\Omega^1(\mathbb C))=\mathbb C$、$E_2^{1,0}=\Omega^1(\mathbb C)/d\mathcal O(\mathbb C)=0$（整関数は冪級数の項ごとの積分で原始関数をもつ）で、$E_2$ 項の射は同型である。
一般に $X$ が affine なら、affine 上の消滅と Stein 空間の Cartan の定理 B（本書『0-4 複素解析空間と GAGA』）により両側の $E_1$ は行 $q=0$ だけになり、$E_2^{p,0}$ の射は大域切断の複体の写像 $H^p(\Gamma(X,\Omega^\bullet_{X/\mathbb C}))\to H^p(\Gamma(X^h,\Omega^\bullet_{X^h}))$ である。これが同型であることが Theorem 1 の内容であり、$E_1$ の比較からは出ない。完備でない場合に特異点解消が要る理由がここにある。
次は、分離性を外しても Theorem 1′ が破れないことを示す。破れるのは $X^h$ の Hausdorff 性と Hodge コホモロジーの有限次元性である。
外す条件は分離性である。$U_1=U_2=\operatorname{Spec}\mathbb C[t]$ を $\mathbb G_m$ に沿って恒等写像で貼り合わせたスキーム $X$（原点が二つある直線）をとる。$\mathcal O(U_1)\otimes\mathcal O(U_2)\to\mathcal O(U_1\cap U_2)$ は全射でないので $X$ は分離的でなく、$X^h$ は原点が二つある複素直線で Hausdorff でない。
- 満たす条件：$\mathbb C$ 上有限型・滑らか。
- 破る条件：分離性。したがって $X^h$ の Hausdorff 性と、特異コホモロジーとの同一視を保証する一般論。
- 破れる別の結論：Hodge コホモロジーの有限次元性。Čech 計算で $H^1(X,\mathcal O_X)=\mathbb C[t,t^{-1}]/(\mathbb C[t]+\mathbb C[t])$ は $t^{-m}$（$m\ge1$）を基底とする無限次元空間であり、$H^1(X,\Omega^1)$ も同様である。
- 破れない結論：Theorem 1′。有限交わりがすべて affine なので Čech 二重複体で計算でき（引用する事実 7）、上の例（射影直線）と同じ計算で $H^0_{dR}(X)=\mathbb C$、$H^1_{dR}(X)=0$、$H^2_{dR}(X)=\mathbb C\cdot[dt/t]$ である（$d_1\colon H^1(X,\mathcal O)\to H^1(X,\Omega^1)$、$t^{-m}\mapsto-mt^{-m-1}dt$ は単射で余核は一次元。無限次元の $E_1$ が $E_2$ で有限次元になる）。解析側は Mayer–Vietoris で $H^2(X^h,\mathbb C)\cong H^1(\mathbb C^\times,\mathbb C)=\mathbb C$、$H^1=0$、$H^0=\mathbb C$ である。$\rho$ は連結準同型と可換なので（上の例（射影直線）の議論）、$\mathbb G_m$ での同型から $X$ での同型が従う。完備でない次元 $1$ のスキームで $H^2_{dR}\ne0$ になることは、分離的で有限型なら起こらない（完備でない滑らかな連結曲線は affine）。
最後は、完備だが射影的でない多様体で、原注 (4) の射影的 GAGA だけでは上の定理（完備な場合の比較定理）が閉じない例である。
Hironaka は、射影的で滑らかな三次元多様体の中の二つの曲線を、二つの開集合の上で順序を変えて爆発させて貼り合わせることにより、完備・滑らかだが射影的でない三次元多様体 $X$ を作った（Har77 付録 B の例。射影的でない完備多様体の存在は Nagata が先に示した。本書はいずれも該当箇所を確かめていない）。$X$ は完備なので上の定理（完備な場合の比較定理）により $\rho$ は同型である。ただし $X$ は射影的でないので、段 1 の GAGA は Serre の原論文 Ser56 の形では使えず、Grothendieck の完備な場合への拡張 Car57 が要る。原注 (4) が射影版だけを引いていることは、上の注意（射影的と完備）のとおり補って読む。
その後の発展
以下は原論文の主張ではなく、後代の結果の紹介である（本頁の執筆時点 2026 年の知識による。文献の該当頁は確認していない）。Hodge 理論の側からの全体像は Voi02 を見よ。
- 係数付きの比較定理：Deligne Del70（1970 年）は、滑らかな $X$ 上の可積分接続付きベクトル束 $(\mathcal E,\nabla)$ が無限遠で正則特異点をもつなら、$\mathbf H^n(X,\Omega^\bullet_{X/\mathbb C}\otimes\mathcal E)$ が水平切断の局所系を係数とする $X^h$ のコホモロジーに同型であることを示した。自明な係数の場合が Theorem 1′ で、証明は正規交叉因子に沿う対数的極の複体（原論文の $\Omega^\bullet_X(*Y)$ の精密化。本書『2-2 極をもつ微分形式と局所比較定理』）を使う。原注 (13) の係数付きの理論（本書『5-2 Gauss–Manin 接続と係数付き理論』）の実現である。
- 特異なスキームへの拡張：Hartshorne Har75（1975 年）は、$\mathbb C$ 上有限型の任意のスキームに対し、滑らかなスキームへの埋め込みと形式的完備化で代数的 de Rham コホモロジーを定義し、埋め込みによらず $H^n(X^h,\mathbb C)$ と一致することを示した。
- 混合 Hodge 構造：Deligne Del71、Del74（1971–74 年）は、完備でない $X$ の $H^n(X^h,\mathbb Q)$ に混合 Hodge 構造を入れた。その Hodge フィルトレーションは対数的極の複体の bête フィルトレーションを比較同型で移したもので、上の定理（比較写像の構成と関手性）の 4 の完備でない場合への精密化と読める。
- 非アルキメデス的な類似：$p$ 進体上では rigid 解析空間への解析化との比較が同じ形で成り立つとされる（Kiehl ら。文献表になく、本書は確かめていない）。標数 $p$ では結晶コホモロジー Ber74、BO78 が比較の相手になる。
原論文との対応表
本頁が対応する原論文は On the de Rham cohomology of algebraic varieties Gro66 である。
| 本頁 | 原論文 | 印字頁 |
|---|---|---|
| 定義（解析化と層の解析化）、補題（代数的微分形式の解析化） | 「$X^h$ を $X$ に付随する複素解析多様体とする」の一文（構成は書かれない） | 96 |
| 定義（解析的 de Rham コホモロジー）、定理（解析的 de Rham コホモロジーと Poincaré の補題） | Theorem 1′ の前の番号なし陳列式と「Poincaré の補題により」の一文（P5 の前半） | 96 |
| 定義（比較写像）、定理（比較写像の構成と関手性） | 式 (5)「標準的な準同型」（P5 の後半） | 96 |
| 定理（比較定理 Theorem 1′ の言明）、注意（分離性を仮定しない理由） | Theorem 1′ | 96 |
| 定理（完備な場合の比較定理）、注意（射影的と完備） | Theorem 1′ の直後の「$X$ が完備なら」の段落、原注 (4)（R8） | 96 |
| 例（射影直線）、例（乗法群と $2\pi i$）、例（楕円曲線）、例（射影的でない完備多様体） | 原論文にない | — |
| 反例（完備性を外すと $E_1$ 項の比較が破れる）、反例（分離性を外しても比較定理は破れない） | 原論文にない | — |
参考文献
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