1-1 de Rham 複体と超コホモロジー
体 $k$ 上の滑らかなスキーム $X$ の代数的 de Rham コホモロジーを、正則微分形式の複体 $\Omega^\bullet_{X/k}$ の超コホモロジー $H^n_{dR}(X)=\mathbf H^n(X,\Omega^\bullet_{X/k})$ として定義し、各 $\Omega^p_{X/k}$ の層コホモロジーを並べた Hodge コホモロジーと、両者を結ぶ Hodge–de Rham スペクトル系列 $E_1^{p,q}=H^q(X,\Omega^p_{X/k})\Rightarrow H^{p+q}_{dR}(X)$ を、複体の次数によるフィルトレーションから構成する。$X$ が affine なら affine 上の準連接層の消滅で系列は一行に退化し、de Rham コホモロジーは大域的な微分形式の複体のコホモロジー $H^n(\Gamma(X,\Omega^\bullet_{X/k}))$ に一致する。affine でない $\mathbb P^1$ では大域切断の複体だけでは足りず、超コホモロジーを採る理由がそこに現れる。
前提知識: 微分形式, de Rham コホモロジー, 超コホモロジー, スペクトル系列, Čechコホモロジー, 導来関手
この頁で示すこと
$k$ を体、$X$ を $k$ 上局所有限型で滑らかなスキームとする（分離性・準コンパクト性は仮定せず、要るときに明記する）。$\Omega^p_{X/k}$ は Kähler 微分の $p$ 次外冪、$\Omega^\bullet_{X/k}$ は外微分 $d$ による de Rham 複体で、$X$ が滑らかなので各 $\Omega^p_{X/k}$ は局所自由な連接層である（本書『0-2 Kähler 微分と超コホモロジー』）。原論文の式 (1)（代数的 de Rham コホモロジー）と式 (2)（Hodge コホモロジー）は定義であり、判定の対象にしない。本頁の「定義と準備」に置く。
本頁の主結果は次の 4 つである。
- Hodge–de Rham スペクトル系列（原論文 式 (3)、印字 p. 96）：第一象限のスペクトル系列 $E_1^{p,q}=H^q(X,\Omega^p_{X/k})\Rightarrow H^{p+q}_{dR}(X)$ があり、$d_1$ は外微分が層コホモロジーに誘導する写像、到達項のフィルトレーションは複体の次数によるフィルトレーションから来て、行 $q=0$ の $E_2$ 項 $H^n(\Gamma(X,\Omega^\bullet_{X/k}))$ から $H^n_{dR}(X)$ への辺写像は大域切断の複体からの標準写像 $\varepsilon_X$ である。［条件付き：Godement 分解による超コホモロジーの計算と二重複体のスペクトル系列の収束（本書『0-2 Kähler 微分と超コホモロジー』）を引用］
- affine スキームでの大域切断による計算（原論文 式 (4)、印字 p. 96）：$X$ が affine なら $\varepsilon_X\colon H^n(\Gamma(X,\Omega^\bullet_{X/k}))\to H^n_{dR}(X)$ はすべての $n$ で同型である。［条件付き：1 と、affine スキーム上の準連接層コホモロジーの消滅（本書『0-3 スキームと連接層コホモロジー』）を引用］
- 分離的スキームの affine 被覆による Čech 計算（原論文にない補い。原論文 式 (6) の準備）：$X$ が分離的で $\mathfrak U$ が affine 開被覆なら、Čech 二重複体 $\check C^i(\mathfrak U,\Omega^p_{X/k})$ の全複体のコホモロジーが $H^n_{dR}(X)$ に一致し、その次数によるフィルトレーションのスペクトル系列は 1 の系列と $E_1$ から同型である。［条件付き：1 と、affine 上の消滅、分離的スキームの affine 開集合の交わりの affine 性、flasque 層の Čech コホモロジーの消滅を引用］
- 標数 0 の affine 空間の de Rham コホモロジー（原論文にない。Poincaré の補題の代数版）：$\operatorname{char}k=0$ なら $H^0_{dR}(\mathbb A^n_k)=k$、$H^i_{dR}(\mathbb A^n_k)=0$（$i\ge1$）である。［条件付き：2 と、多項式環の Kähler 微分の基底、体上の複体の Künneth の公式を引用］
原論文（および再構成稿）はこれらを標準事実として扱う。本書の基準では第 0 章の事実や古典的定理を引くものは条件付きとするので、四つとも条件付きとした。本頁で閉じるのは、原論文が「usual」の一語で済ませた系列の構成と、affine の場合に暗黙に使われた消滅定理の名指し、および Čech 二重複体との同一視である。引用するのは、超コホモロジーの基本性質（Godement 分解、擬同型の不変性）、二重複体のスペクトル系列の収束、affine スキーム上の準連接層コホモロジーの消滅、flasque 層の Čech コホモロジーの消滅、体上の複体の Künneth の公式である。反例「標数 $p$ の affine 直線」は 4 の標数 $0$ の仮定が外せないことを、反例「射影直線と大域切断の複体」は 2 の affine 性が外せないことを示す。
背景と動機
複素多様体の de Rham の定理は、$C^\infty$ 級微分形式の複体のコホモロジーが特異コホモロジー $H^n(X^h,\mathbb C)$ に一致することを述べる。代数多様体の上では、$C^\infty$ 級の形式の代わりに代数的な（有理でいたるところ定義された）微分形式だけを使いたい。Atiyah–Hodge AH55 は射影多様体の上で「第二種の積分」の理論をこの方向に進め、Grothendieck Gro66 は Hironaka の特異点解消 Hir64 を得て、その理論の全体が一つの簡単な定理（Theorem 1、本書『2-1 affine 被覆による帰着』）に含まれると Atiyah に書き送った。それが本書の原論文である。
Theorem 1 を affine でない場合に述べるには、代数的な微分形式の複体から「正しい」コホモロジーを取り出す定義が要る。大域的な形式の複体 $\Gamma(X,\Omega^\bullet_{X/k})$ のコホモロジーは、$X$ が affine でないと小さすぎる（本頁の反例「射影直線と大域切断の複体」）。原論文は、Zariski 位相の層の複体 $\Omega^\bullet_{X/k}$ の超コホモロジーを採ることでこれを解決し、Hodge コホモロジー $H^q(X,\Omega^p_{X/k})$ との関係をスペクトル系列で述べた（式 (1)〜(3)、印字 pp. 95–96）。この定義は任意の体の上で意味をもち、標数 $p$ でも同じ形で使える。本頁はこの定義と、それに付随する最も基本的な計算の道具を整える。
定義と準備
原論文の式 (1)・(2) を、本書の記号（本書『0-6 記号と約束』）で書く。超コホモロジーの定義と性質は本書『0-2 Kähler 微分と超コホモロジー』に集めてあり、本頁では Godement 分解による模型を証明の中で使う。
代数的 de Rham コホモロジー
$X$ を体 $k$ 上局所有限型で滑らかなスキームとし、$\Omega^\bullet_{X/k}$ をその de Rham 複体（$\Omega^0_{X/k}=\mathcal O_X$、微分は外微分 $d$）とする。$X$ の代数的 de Rham コホモロジーは、この複体の超コホモロジー
$$H^n_{dR}(X)=H^n_{dR}(X/k):=\mathbf H^n(X,\Omega^\bullet_{X/k})\qquad(n\ge0)$$
である（de Rham コホモロジー、超コホモロジー）。ここで $\mathbf H^n(X,K^\bullet)$ は下に有界な層の複体 $K^\bullet$ に対し、擬同型 $K^\bullet\to I^\bullet$（$I^\bullet$ は入射層、または $\Gamma(X,-)$ について非輪状な層の複体）をとって $H^n(\Gamma(X,I^\bullet))$ と定めた値で、導来圏の言葉では $\mathbf R\Gamma(X,K^\bullet)$ の $n$ 次コホモロジーである。
外微分 $d$ は $k$ 線型だが $\mathcal O_X$ 線型ではないので、$\Omega^\bullet_{X/k}$ は $\mathcal O_X$ 加群の複体ではなく、$k$ ベクトル空間の層の複体である。超コホモロジーはアーベル群の層の複体に対して定まるので問題はなく、$H^n_{dR}(X)$ は $k$ ベクトル空間になる。大域切断の複体 $\Gamma(X,\Omega^\bullet_{X/k})$ から超コホモロジーへは、増大射 $\Omega^\bullet_{X/k}\to I^\bullet$ が誘導する標準写像
$$\varepsilon_X\colon H^n\bigl(\Gamma(X,\Omega^\bullet_{X/k})\bigr)\to H^n_{dR}(X)$$
がある。これが同型になるのは $X$ が affine のときで（主結果 2）、一般には同型でない（反例「射影直線と大域切断の複体」）。
微分 $d$ を忘れて各 $\Omega^p_{X/k}$ を別々に見たものが、原論文の式 (2) の Hodge コホモロジーである。
Hodge コホモロジー
同じ $X$ について、二重次数付きの $k$ ベクトル空間
$$H^{p,q}(X):=H^q(X,\Omega^p_{X/k}),\qquad H^n_{Hdg}(X):=\bigoplus_{p+q=n}H^{p,q}(X)$$
を $X$ のHodge コホモロジーという。原論文は全体の直和 $\coprod_{p,q}H^q(X,\Omega^p_{X/k})$ を $H^\bullet(X,\Omega^\bullet_{X/k})$ と書く。
Hodge コホモロジーは連接層のコホモロジーの直和にすぎず、$X$ が固有なら各成分は有限次元である（本書『0-3 スキームと連接層コホモロジー』）。de Rham コホモロジーは一重次数しかもたず、二つを結ぶのが主結果 1 のスペクトル系列である。系列を作る前に、超コホモロジーを具体的な複体で計算する模型を確認しておく。
Godement 分解による模型
アーベル群の層 $\mathcal F$ の Godement 標準分解 $\mathcal F\to\mathcal C^0(\mathcal F)\to\mathcal C^1(\mathcal F)\to\cdots$ は、$\mathcal C^0(\mathcal F)(V)=\prod_{x\in V}\mathcal F_x$ とし余核に同じ操作を繰り返して得られる flasque 分解で、$\mathcal F$ について関手的かつ完全であり、開集合への制限と可換である。下に有界な複体 $K^\bullet$ の各項に施すと二重複体 $\mathcal C^j(K^p)$ ができ、その全複体 $L_K^\bullet$ は flasque 層の複体で、増大射 $K^\bullet\to L_K^\bullet$ は擬同型である。したがって
$$\mathbf H^n(X,K^\bullet)=H^n\bigl(\Gamma(X,L_K^\bullet)\bigr)=H^n\Bigl(\operatorname{Tot}\,\Gamma\bigl(X,\mathcal C^\bullet(K^\bullet)\bigr)\Bigr)$$
であり、開集合 $V\subset X$ については $\mathbf H^n(V,K^\bullet)=H^n(\Gamma(V,L_K^\bullet))$ である。本頁の証明はすべてこの模型で行う。
引用する事実
次の事実は証明せずに引用する。出典は主に God58、Wei94、Har77、EGA3 で、該当箇所の番号は本頁では確認していない。
- 超コホモロジーの基本性質（本書『0-2 Kähler 微分と超コホモロジー』、God58 第 II 章、Wei94 第 5 章）：下に有界な複体の超コホモロジーは、各項が $\Gamma(X,-)$ について非輪状（とくに flasque）な複体への擬同型で計算でき、擬同型は超コホモロジーの同型を誘導する。Godement 分解は上の注意（超コホモロジーの Godement 模型）の性質をもつ。
- 二重複体のスペクトル系列（本書『0-2 Kähler 微分と超コホモロジー』、Wei94 第 5 章、God58 第 I 章）：第一象限の二重複体には列によるフィルトレーションのスペクトル系列があり、全複体のコホモロジーに収束する。フィルター付き複体の射が誘導するスペクトル系列の射がある $E_r$ で同型なら、それ以後の $E_{r'}$ と $E_\infty$ でも同型で、各次数のフィルトレーションが有限（第一象限型）なら到達項でも同型である。
- affine スキーム上の消滅（本書『0-3 スキームと連接層コホモロジー』、Har77 III.3、EGA3 I 1.3）：affine スキーム $X$ と準連接層 $\mathcal F$ について $H^q(X,\mathcal F)=0$（$q\ge1$）。$X$ が滑らかなら $\Omega^p_{X/k}$ は局所自由な連接層で、とくに準連接である。
- 分離性と affine 開集合の交わり（本書『0-3 スキームと連接層コホモロジー』、Har77 II.4）：affine スキームは分離的で、分離的スキームの二つの affine 開集合の交わりは affine である。任意のスキームは affine 開被覆をもつ。
- flasque 層の Čech コホモロジー（God58 第 II 章 5.2）：flasque 層 $\mathcal F$ と任意の開被覆 $\mathfrak U$ について $\check H^p(\mathfrak U,\mathcal F)=0$（$p\ge1$）、$\check H^0(\mathfrak U,\mathcal F)=\Gamma(X,\mathcal F)$。本書の Čech 複体は本書『0-2 Kähler 微分と超コホモロジー』のとおり添字集合に全順序を入れた交代 Čech 複体で、この消滅は交代 Čech 複体で成り立つ。flasque 層の開集合への制限は flasque である。
- Kähler 微分の基本性質（本書『0-2 Kähler 微分と超コホモロジー』、Mat89 第 9 章、Har77 II.8）：$k$ 代数 $A,B$ について $\Omega^1_{A\otimes_kB/k}\cong(\Omega^1_{A/k}\otimes_kB)\oplus(A\otimes_k\Omega^1_{B/k})$。多項式環 $k[x_1,\dots,x_n]$ の $\Omega^1$ は $dx_1,\dots,dx_n$ を基底とする自由加群で、外微分は $d(f\,dx_{i_1}\wedge\cdots\wedge dx_{i_p})=\sum_j(\partial f/\partial x_j)\,dx_j\wedge dx_{i_1}\wedge\cdots\wedge dx_{i_p}$ で与えられ、次数付き Leibniz 則 $d(\alpha\wedge\beta)=d\alpha\wedge\beta+(-1)^{|\alpha|}\alpha\wedge d\beta$ をみたす。スキームの射 $u\colon X_1\to X_2$ に対し複体の射 $u^{-1}\Omega^\bullet_{X_2/k}\to\Omega^\bullet_{X_1/k}$ がある。
- 体上の複体の Künneth の公式（Wei94 第 3 章）：体 $k$ 上のベクトル空間の複体 $K^\bullet,L^\bullet$ のテンソル積複体（微分 $d(a\otimes b)=da\otimes b+(-1)^{|a|}a\otimes db$）について $H^n(K^\bullet\otimes_kL^\bullet)\cong\bigoplus_{i+j=n}H^i(K^\bullet)\otimes_kH^j(L^\bullet)$。
主結果と証明
定義と模型が揃ったので、原論文が式 (3) で「usual spectral sequence」と呼んだものを、Godement 模型の二重複体から構成する。要点は、二重複体の列のフィルトレーション（形式の次数 $p$ によるもの）をとることだけである。
Hodge–de Rham スペクトル系列
$X$ を体 $k$ 上局所有限型で滑らかなスキームとする。
(a) 第一象限のスペクトル系列
$$E_1^{p,q}=H^q(X,\Omega^p_{X/k})\Longrightarrow H^{p+q}_{dR}(X)$$
があり、$d_1\colon E_1^{p,q}\to E_1^{p+1,q}$ は外微分 $d\colon\Omega^p_{X/k}\to\Omega^{p+1}_{X/k}$ が層コホモロジーに誘導する写像 $H^q(d)$ である。到達項の減少フィルトレーション $F^pH^n_{dR}(X)$（Hodge フィルトレーション）は、次数 $p$ 以上の項だけを残した部分複体 $\sigma^{\ge p}\Omega^\bullet_{X/k}$ の超コホモロジーの像 $\operatorname{im}\bigl(\mathbf H^n(X,\sigma^{\ge p}\Omega^\bullet_{X/k})\to H^n_{dR}(X)\bigr)$ であり、$\operatorname{gr}^p_FH^n_{dR}(X)\cong E_\infty^{p,n-p}$ である。
(b) 行 $q=0$ の $E_1$ 項は複体 $\Gamma(X,\Omega^\bullet_{X/k})$ そのもので、$E_2^{n,0}=H^n(\Gamma(X,\Omega^\bullet_{X/k}))$ であり、辺写像 $E_2^{n,0}\to E_\infty^{n,0}=F^nH^n_{dR}(X)\subset H^n_{dR}(X)$ は標準写像 $\varepsilon_X$ に一致する。
(c) 系列は $X$ について反変関手的である：$k$ 上のスキームの射 $u\colon X_1\to X_2$ はスペクトル系列の射を誘導し、到達項では引き戻し $u^*\colon H^n_{dR}(X_2)\to H^n_{dR}(X_1)$ になる。
段 1（二重複体）．$K^\bullet=\Omega^\bullet_{X/k}$ とし、$B^{p,j}:=\Gamma(X,\mathcal C^j(K^p))$（$p,j\ge0$）とおく。横の微分は $\mathcal C^j(d)$、縦の微分は Godement 分解の微分で、$\mathcal C^j$ が関手なので両者は可換であり、縦の微分に符号 $(-1)^p$ を付けて全複体 $\operatorname{Tot}B$ を作る。注意（超コホモロジーの Godement 模型）により $H^n(\operatorname{Tot}B)=\mathbf H^n(X,K^\bullet)=H^n_{dR}(X)$ である。
段 2（フィルトレーションと $E_1$）．形式の次数 $p$ による列のフィルトレーション $F^p\operatorname{Tot}B=\bigoplus_{p'\ge p}B^{p',\bullet}$ は第一象限型なので、引用する事実 2 により全複体のコホモロジーに収束するスペクトル系列がある。$E_0^{p,q}=B^{p,q}$ で $d_0$ は縦の微分だから、$E_1^{p,q}=H^q(\Gamma(X,\mathcal C^\bullet(K^p)))$ であり、Godement 分解は flasque 分解なのでこれは層コホモロジー $H^q(X,\Omega^p_{X/k})$ である（引用する事実 1）。$d_1$ は横の微分 $\mathcal C^\bullet(d)$ が誘導する写像、すなわち $H^q(d)$ である。$F^p\operatorname{Tot}B=\Gamma(X,\operatorname{Tot}\mathcal C^\bullet(\sigma^{\ge p}K^\bullet))$ であり、$\operatorname{Tot}\mathcal C^\bullet(\sigma^{\ge p}K^\bullet)$ は $\sigma^{\ge p}K^\bullet$ の flasque 分解なので、$F^pH^n_{dR}(X)=\operatorname{im}(H^n(F^p\operatorname{Tot}B)\to H^n(\operatorname{Tot}B))$ は $\mathbf H^n(X,\sigma^{\ge p}K^\bullet)$ の像である。これで (a) が出る。
段 3（辺写像）．$\Gamma(X,-)$ は左完全で $K^p\to\mathcal C^0(K^p)\to\mathcal C^1(K^p)$ は完全だから、$E_1^{p,0}=\ker(B^{p,0}\to B^{p,1})=\Gamma(X,K^p)$ であり、$d_1$ は $d$ なので行 $q=0$ は複体 $\Gamma(X,K^\bullet)$、$E_2^{n,0}=H^n(\Gamma(X,K^\bullet))$ である。第一象限型では $E_\infty^{n,0}=F^nH^n$ で、$F^n\operatorname{Tot}B$ の $n$ 次の項は $B^{n,0}$ だけだから、$H^n(F^n\operatorname{Tot}B)=\ker(B^{n,0}\to B^{n+1,0}\oplus B^{n,1})$ は $\Gamma(X,K^n)$ の閉形式の空間であり、$F^nH^n_{dR}(X)$ はその $H^n(\operatorname{Tot}B)$ での像である。辺写像 $E_2^{n,0}\to F^nH^n_{dR}(X)$ は、閉形式 $\omega\in\Gamma(X,K^n)$ の類を $\operatorname{Tot}B$ での類に送る写像で、これは増大射 $\Gamma(X,K^\bullet)\to\Gamma(X,L_K^\bullet)=\operatorname{Tot}B$ が誘導する $\varepsilon_X$ にほかならない。これで (b) が出る。
段 4（関手性）．$u\colon X_1\to X_2$ に対し、複体の射 $u^{-1}\Omega^\bullet_{X_2/k}\to\Omega^\bullet_{X_1/k}$（引用する事実 6）と、Godement 分解の自然な射 $u^{-1}\mathcal C^j(\mathcal F)\to\mathcal C^j(u^{-1}\mathcal F)$（次数 $0$ では $(s_x)_{x\in V}\mapsto(s_{u(y)})_{y\in u^{-1}V}$、以後は $u^{-1}$ の完全性で余核に伝わる）を合成して、二重複体の射 $\Gamma(X_2,\mathcal C^j(\Omega^p_{X_2}))\to\Gamma(X_1,u^{-1}\mathcal C^j(\Omega^p_{X_2}))\to\Gamma(X_1,\mathcal C^j(\Omega^p_{X_1}))$ を得る。これは $p$ を保つのでフィルトレーションを保ち、スペクトル系列の射を誘導する。全複体では $\Gamma(X_2,L_{K_2}^\bullet)\to\Gamma(X_1,L_{K_1}^\bullet)$ で、これが $u^*$ の定義である。これで (c) が出る。
これで、原論文の式 (3) の系列が、複体の次数によるフィルトレーションから来ること、$E_1$ 項が Hodge コホモロジーであること、大域切断の複体が行 $q=0$ として系列の中に座っていることが分かった。系列が何を失うかを注意しておく。
系列が $E_r$ で退化しても、分かるのは付随次数 $\operatorname{gr}^p_FH^n_{dR}(X)\cong E_r^{p,n-p}$ だけである。$H^n_{dR}(X)$ をフィルトレーション $F^\bullet$ つきで復元するには、各段の拡大 $0\to F^{p+1}\to F^p\to\operatorname{gr}^p\to0$ の拡大類が要る（本書『0-2 Kähler 微分と超コホモロジー』の「フィルトレーションと拡大類」）。体上のベクトル空間としては分裂は常にあるが、$X$ に関して自然な分裂があるかどうかは別の問題で、標数 $0$ の射影的な場合の退化と自然な分裂の不在は本書『4-1 退化と自然な分裂の不在』で扱う。Hodge コホモロジーは $d$ を捨てているので、この拡大のデータをもたない。
系列の最初の応用が、原論文の式 (4)、affine の場合である。原論文は「(3) から分かる」とだけ書き、消滅定理を名指ししない。
affine スキームの場合
$X$ を体 $k$ 上局所有限型で滑らかな affine スキームとする。標準写像
$$\varepsilon_X\colon H^n\bigl(\Gamma(X,\Omega^\bullet_{X/k})\bigr)\to H^n_{dR}(X)$$
はすべての $n$ で同型である。すなわち affine では、de Rham コホモロジーは大域的な代数的微分形式の複体のコホモロジーに一致する。
段 1（一行への退化）．上の定理（Hodge–de Rham スペクトル系列）の系列で $E_1^{p,q}=H^q(X,\Omega^p_{X/k})$ である。$X$ は affine で $\Omega^p_{X/k}$ は準連接だから、引用する事実 3 により $q\ge1$ で $E_1^{p,q}=0$。よって $E_1$ は行 $q=0$、すなわち複体 $\Gamma(X,\Omega^\bullet_{X/k})$ だけからなり、$E_2^{p,0}=H^p(\Gamma(X,\Omega^\bullet_{X/k}))$、$E_2^{p,q}=0$（$q\ge1$）である。$r\ge2$ の $d_r\colon E_r^{p,q}\to E_r^{p+r,q-r+1}$ は、始点か終点が $q\ne0$ の位置にあるので $0$ であり、$E_2=E_\infty$ となる。
段 2（到達項との同一視）．$\operatorname{gr}^p_FH^n_{dR}(X)=E_\infty^{p,n-p}$ は $p=n$ 以外で $0$ だから、$F^{n+1}H^n_{dR}(X)=0$、$F^nH^n_{dR}(X)=H^n_{dR}(X)$ であり、$H^n_{dR}(X)=E_\infty^{n,0}=E_2^{n,0}$ である。この同型は辺写像で、上の定理の (b) によりそれは $\varepsilon_X$ である。
affine の場合は、これで de Rham コホモロジーが可換環 $A=\Gamma(X,\mathcal O_X)$ の Kähler 微分の複体 $\Omega^\bullet_{A/k}$ のコホモロジーという純代数的な対象になった。affine でない $X$ を affine 開被覆で覆えば、各交わりの上でこの計算が使え、それを Čech 複体で貼り合わせたものが $H^n_{dR}(X)$ を与える。原論文の式 (6) の Čech 型スペクトル系列（本書『2-1 affine 被覆による帰着』）の前段として、その同一視をここで閉じておく。
affine 被覆による Čech 計算
$X$ を体 $k$ 上局所有限型で滑らかな分離的スキーム、$\mathfrak U=(U_i)_{i\in I}$ を affine 開被覆とする（$I$ は全順序を入れた任意の添字集合）。交代 Čech 複体 $\check C^i(\mathfrak U,\Omega^p_{X/k})=\prod_{i_0<\cdots< i_i}\Gamma(U_{i_0\cdots i_i},\Omega^p_{X/k})$ を成分とし、Čech 微分と外微分 $d$ を微分とする二重複体の全複体を $\check C^\bullet(\mathfrak U,\Omega^\bullet_{X/k})$ と書く。このとき自然な同型
$$H^n_{dR}(X)\cong H^n\bigl(\operatorname{Tot}\check C^\bullet(\mathfrak U,\Omega^\bullet_{X/k})\bigr)$$
があり、形式の次数 $p$ によるフィルトレーションのスペクトル系列 $E_1^{p,q}=\check H^q(\mathfrak U,\Omega^p_{X/k})\Rightarrow H^{p+q}_{dR}(X)$ は、上の定理（Hodge–de Rham スペクトル系列）の系列と $E_1$ から同型である。とくに $\check H^q(\mathfrak U,\Omega^p_{X/k})\cong H^q(X,\Omega^p_{X/k})$ である。
段 1（三重複体と二つの射）．$K^\bullet=\Omega^\bullet_{X/k}$ とし、三重複体 $T^{i,j,p}:=\check C^i(\mathfrak U,\mathcal C^j(K^p))$（$i$ は Čech 次数、$j$ は Godement 次数、$p$ は形式の次数）を考える。二つの射がある。一つは各 $U_i$ への制限による $\alpha\colon B^{p,j}=\Gamma(X,\mathcal C^j(K^p))\to\check C^0(\mathfrak U,\mathcal C^j(K^p))\subset T^{0,j,p}$、もう一つは Godement 分解の増大射の切断による $\beta\colon\check C^i(\mathfrak U,K^p)\to\check C^i(\mathfrak U,\mathcal C^0(K^p))\subset T^{i,0,p}$ である。どちらも $p$ を保ち、微分と両立する。
段 2（$p$ を固定して擬同型）．$p$ を固定し、$(i,j)$ についての二重複体 $T^{\bullet,\bullet,p}$ の全複体を見る。$\alpha$ について：$\mathcal C^j(K^p)$ は flasque なので、$j$ を固定した Čech 複体 $\check C^\bullet(\mathfrak U,\mathcal C^j(K^p))$ のコホモロジーは次数 $0$ で $\Gamma(X,\mathcal C^j(K^p))$、正の次数で $0$ である（引用する事実 5）。よって $j$ を固定する側のスペクトル系列は一列に退化し、$\alpha$ は全複体の擬同型である。$\beta$ について：$i$ を固定すると $\check C^i(\mathfrak U,\mathcal C^\bullet(K^p))=\prod\Gamma(U_{i_0\cdots i_i},\mathcal C^\bullet(K^p))$ で、Godement 分解が開集合への制限と可換なので、その $j$ 次コホモロジーは $\prod H^j(U_{i_0\cdots i_i},\Omega^p_{X/k})$ である。$X$ は分離的で各 $U_i$ は affine だから $U_{i_0\cdots i_i}$ は affine であり（引用する事実 4）、引用する事実 3 により $j\ge1$ で $0$、$j=0$ で $\prod\Gamma(U_{i_0\cdots i_i},\Omega^p_{X/k})=\check C^i(\mathfrak U,\Omega^p_{X/k})$ である。よって $i$ を固定する側のスペクトル系列は一行に退化し、$\beta$ も全複体の擬同型である。
段 3（スペクトル系列の比較）．三つの $p$ フィルター付き全複体 $\Gamma(X,\mathcal C^\bullet(K^\bullet))\xrightarrow{\alpha}\operatorname{Tot}T\xleftarrow{\beta}\check C^\bullet(\mathfrak U,K^\bullet)$ の間の射 $\alpha,\beta$ は、段 2 により $E_1$（$p$ を固定した複体のコホモロジー）で同型である。引用する事実 2 により $E_r$（$r\ge1$）と到達項でも同型で、左端の到達項は $H^n_{dR}(X)$、右端の到達項は $H^n(\operatorname{Tot}\check C^\bullet(\mathfrak U,\Omega^\bullet_{X/k}))$ である。$E_1$ の同型が $\check H^q(\mathfrak U,\Omega^p_{X/k})\cong H^q(X,\Omega^p_{X/k})$ を与える。
この命題により、分離的な $X$ の de Rham コホモロジーは、有限個の多項式環（の局所化）の上の微分形式の計算に帰着する。本頁の例はすべてこの命題か、affine の定理で計算する。affine の定理を最も基本的な場合に適用すると、Poincaré の補題の代数版が得られる。
代数的 Poincaré の補題
$k$ を標数 $0$ の体とする。$H^0_{dR}(\mathbb A^n_k)=k$ であり、$H^i_{dR}(\mathbb A^n_k)=0$（$i\ge1$）である。
段 1（affine への帰着）．$\mathbb A^n_k=\operatorname{Spec}A$、$A=k[x_1,\dots,x_n]$ は affine だから、上の定理（affine スキームでの大域切断による計算）により $H^\bullet_{dR}(\mathbb A^n_k)$ は複体 $\Omega^\bullet_{A/k}$ のコホモロジーである。
段 2（一変数）．$n=1$ のとき複体は $k[x]\xrightarrow{d}k[x]\,dx$、$d(\sum a_mx^m)=\sum ma_mx^{m-1}dx$ である。標数 $0$ では $ma_m=0$ と $a_m=0$（$m\ge1$）が同値だから $\ker d=k$、また $x^{m-1}dx=d(x^m/m)$（$m\ge1$）だから $d$ は全射である。よって $H^0=k$、$H^1=0$。
段 3（テンソル積への分解）．引用する事実 6 により $\Omega^1_{A/k}$ は $dx_1,\dots,dx_n$ を基底とする自由 $A$ 加群で、$\Omega^p_{A/k}=\bigoplus_{i_1<\cdots< i_p}A\,dx_{i_1}\wedge\cdots\wedge dx_{i_p}$ である。$k$ ベクトル空間の次数付き線型写像
$$\Phi\colon\Omega^\bullet_{k[x_1]/k}\otimes_k\cdots\otimes_k\Omega^\bullet_{k[x_n]/k}\to\Omega^\bullet_{A/k},\qquad\omega_1\otimes\cdots\otimes\omega_n\mapsto\omega_1\wedge\cdots\wedge\omega_n$$
は、単項式 $x_1^{m_1}\cdots x_n^{m_n}$ と部分集合 $\{i_1<\cdots< i_p\}$ を対応させる基底の間の全単射を誘導するので同型である。左辺の微分は $d(\omega_1\otimes\cdots\otimes\omega_n)=\sum_i(-1)^{|\omega_1|+\cdots+|\omega_{i-1}|}\omega_1\otimes\cdots\otimes d\omega_i\otimes\cdots\otimes\omega_n$ で、次数付き Leibniz 則（引用する事実 6）により $\Phi$ はこれを外微分に移す。よって $\Phi$ は複体の同型である。
段 4（Künneth）．引用する事実 7 を繰り返し使うと $H^\bullet(\Omega^\bullet_{A/k})\cong\bigotimes_{i=1}^nH^\bullet(\Omega^\bullet_{k[x_i]/k})$ で、段 2 により各因子は次数 $0$ に $k$ をもつだけである。よって $H^0=k$、$H^i=0$（$i\ge1$）。
標数 $0$ の仮定は段 2 で本質的に使った。$\operatorname{char}k=p>0$ では $d(x^p)=0$ であり、次の節の反例が示すとおり $H^1_{dR}(\mathbb A^1_k)$ は無限次元になる。
例と反例
以下の例は、affine の定理と Čech 計算による具体的な計算である。まず一変数の affine の場合で、標数 $0$ と標数 $p$ の違いを見る。
$k$ を標数 $0$ の体とする。$\mathbb A^1_k=\operatorname{Spec}k[t]$ では、上の定理（標数 0 の affine 空間の de Rham コホモロジー）の $n=1$ の場合として $H^0_{dR}=k$、$H^1_{dR}=0$ である。乗法群 $\mathbb G_m=\operatorname{Spec}k[t,t^{-1}]$ では、affine の定理により複体は $k[t,t^{-1}]\xrightarrow{d}k[t,t^{-1}]\,dt$ で、$d(\sum_{m\in\mathbb Z}a_mt^m)=\sum ma_mt^{m-1}dt$ である。$m\ne0$ なら $ma_m=0$ から $a_m=0$ なので $\ker d=k$、$\operatorname{im}d$ は $t^{m-1}dt$（$m\ne0$）の張る部分空間で、$t^{-1}dt$ だけが残る。よって
$$H^0_{dR}(\mathbb G_m)=k,\qquad H^1_{dR}(\mathbb G_m)=k\cdot\Bigl[\frac{dt}{t}\Bigr].$$
$k=\mathbb C$ では $\mathbb G_m^h=\mathbb C^\times$ で $H^1(\mathbb C^\times,\mathbb C)=\mathbb C$ であり、$dt/t$ の単位円周に沿う積分 $2\pi i$ がその生成元との対応を与える（比較定理は本書『1-2 解析化と比較写像』『2-1 affine 被覆による帰着』）。
標数 $0$ を外すと、同じ複体の計算がまったく違う答えを出す。
外す条件は標数 $0$ である。$k$ を標数 $p>0$ の体とする。$\mathbb A^1_k$ は affine なので複体は $k[x]\xrightarrow{d}k[x]\,dx$、$d(\sum a_mx^m)=\sum ma_mx^{m-1}dx$ で、整数 $m$ が $k$ の中で $0$ になるのは $p\mid m$ のときである。よって $\ker d=k[x^p]$ であり、$\operatorname{im}d$ は $x^{m-1}dx$（$p\nmid m$）の張る部分空間である。したがって
$$H^0_{dR}(\mathbb A^1_k)=k[x^p],\qquad H^1_{dR}(\mathbb A^1_k)=\bigoplus_{m\ge1}k\cdot[x^{mp-1}dx]$$
で、どちらも無限次元である。破れる結論は、上の定理（標数 0 の affine 空間の de Rham コホモロジー）の $H^0=k$、$H^1=0$ である（標数 $0$ の有限型スキームでは成り立つ $H^n_{dR}$ の有限次元性も、標数 $p$ では固有性なしには成り立たない。有限次元性は本頁では示さない）。同じ計算で $\mathbb G_m$ でも $H^1_{dR}$ は $x^{mp-1}dx$（$m\in\mathbb Z$）の類を基底にもち無限次元になる。この例は、標数 $p$ で de Rham コホモロジーが $\ell$ 進 Betti 数を与えるという原論文の期待が固有性なしには成り立たないことを示す反例として、本書『5-1 相対 de Rham 層と Serre の反例』でも使う。
次は affine 性を外した反例で、超コホモロジーを採る理由を最も簡単な場合で示す。任意の標数で成り立つ。
外す条件は affine 性である。$X=\mathbb P^1_k$ を $U_0=\operatorname{Spec}k[t]$、$U_1=\operatorname{Spec}k[t^{-1}]$ で覆う。$U_{01}=\operatorname{Spec}k[t,t^{-1}]$ である。大域切断は $\Gamma(X,\mathcal O_X)=k[t]\cap k[t^{-1}]=k$、$\Gamma(X,\Omega^1_{X/k})=0$ である（$f(t)\,dt$（$f\in k[t]$）が $U_1$ まで延びるには $f(t)\,dt=-f(t)t^2\,d(t^{-1})$ の係数 $-f(t)t^2$ が $k[t^{-1}]$ に入る必要があり、$f=0$ しかない）。よって大域切断の複体は $k\to0$ で、そのコホモロジーは $H^0=k$、$H^1=H^2=0$ である。
一方、上の命題（分離的スキームの affine 被覆による Čech 計算）により（添字の順序は $0<1$）$H^n_{dR}(X)$ は全複体
$$k[t]\oplus k[t^{-1}]\ \longrightarrow\ \bigl(k[t]\,dt\oplus k[t^{-1}]\,d(t^{-1})\bigr)\oplus k[t,t^{-1}]\ \longrightarrow\ k[t,t^{-1}]\,dt$$
のコホモロジーである（次数 $0$ は $\check C^0(\Omega^0)$、次数 $1$ は $\check C^0(\Omega^1)\oplus\check C^1(\Omega^0)$、次数 $2$ は $\check C^1(\Omega^1)$。微分は $(f_0,f_1)\mapsto((df_0,df_1),\,f_1-f_0)$ と $((\omega_0,\omega_1),g)\mapsto\omega_1-\omega_0-dg$）。次数 $2$ の像は、$d(k[t,t^{-1}])$（$t^{m-1}dt$、$m\ne0$。標数 $p$ では $p\nmid m$ に限る）と $k[t]\,dt$（$t^m\,dt$、$m\ge0$）と $k[t^{-1}]\,d(t^{-1})$（$t^{-m}dt$、$m\ge2$）の和で、$t^{-1}dt$ を除くすべての単項式を含み、$t^{-1}dt$ を含まない。よって
$$H^2_{dR}(\mathbb P^1_k)=k\cdot\Bigl[\frac{dt}{t}\Bigr]\ne0.$$
次数 $1$ では、閉元 $((\omega_0,\omega_1),g)$ について $dg=\omega_1-\omega_0$ であり、$g=g_++a_0+g_-$（正冪の部分、定数、負冪の部分）と分けると $dg_+=-\omega_0$、$dg_-=\omega_1$ となるので、$(f_0,f_1)=(-g_+-a_0,\,g_-)$ が境界を与え $H^1_{dR}(\mathbb P^1_k)=0$。次数 $0$ では $f_0=f_1$ は定数に限るので $H^0_{dR}(\mathbb P^1_k)=k$。
破れる結論は、標準写像 $\varepsilon_X$ の同型性（$n=2$ で $0\to k$ となり全射でない）である。スペクトル系列で見ると、$E_1$ 項は $H^0(\mathcal O)=k$ と $H^1(\Omega^1)=k$ だけで（$H^1(\mathcal O)=k[t,t^{-1}]/(k[t]+k[t^{-1}])=0$、$H^0(\Omega^1)=0$）、$E_1^{1,1}=H^1(\mathbb P^1,\Omega^1_{X/k})\cong k$ が $H^2_{dR}$ に寄与している。$k=\mathbb C$ では $H^2(\mathbb P^1(\mathbb C),\mathbb C)=\mathbb C$ で、超コホモロジーによる定義が正しい答えを与え、大域切断の複体は与えない。
affine でも固有でもない例として、原点を除いた平面を計算する。$E_1$ 項が無限次元でも、$d_1$ がそれを削って de Rham コホモロジーは有限次元になる。
$k$ を標数 $0$ の体、$U=\mathbb A^2_k-\{0\}$ とし、$U_1=\{t_1\ne0\}$、$U_2=\{t_2\ne0\}$ で覆う。$U$ は分離的で $U_1,U_2,U_{12}$ は affine だから、上の命題（分離的スキームの affine 被覆による Čech 計算）が使える。$\Gamma(U,\mathcal O_U)=k[t_1^{\pm1},t_2]\cap k[t_1,t_2^{\pm1}]=k[t_1,t_2]$ で、$\Omega^p_{U/k}$ は $dt_1,dt_2$ から作る基底をもつ自由層だから、行 $q=0$ は $\mathbb A^2_k$ の de Rham 複体であり、$E_2^{\bullet,0}$ は上の定理（標数 0 の affine 空間の de Rham コホモロジー）により次数 $0$ の $k$ だけである。行 $q=1$ は $\check H^1(\mathfrak U,\mathcal O)=k[t_1^{\pm1},t_2^{\pm1}]/(k[t_1^{\pm1},t_2]+k[t_1,t_2^{\pm1}])=:M$（単項式 $t_1^at_2^b$、$a,b\le-1$ を基底とする）を係数とする複体 $M\to M\,dt_1\oplus M\,dt_2\to M\,dt_1\wedge dt_2$ で、$d_1$ は偏微分で与えられる。行 $q\ge2$ は $0$（被覆が二つの開集合からなる）。$M=N_1\otimes_kN_2$（$N_i=t_i^{-1}k[t_i^{-1}]$）で、この行の複体は二つの複体 $N_i\xrightarrow{\partial_i}N_i\,dt_i$ のテンソル積である。$\partial_i(t_i^a)=at_i^{a-1}$ は標数 $0$ で単射、余核は $t_i^{-1}dt_i$ の張る $1$ 次元空間である。引用する事実 7 により $E_2^{0,1}=E_2^{1,1}=0$、$E_2^{2,1}=k\cdot[t_1^{-1}t_2^{-1}dt_1\wedge dt_2]$ となる。$E_2$ は $(0,0)$ と $(2,1)$ にしか項がないので退化し、
$$H^0_{dR}(U)=k,\qquad H^1_{dR}(U)=H^2_{dR}(U)=0,\qquad H^3_{dR}(U)=k.$$
$k=\mathbb C$ では $U^h=\mathbb C^2-\{0\}$ は $S^3$ とホモトピー同値で、この答えと一致する。$E_1^{p,1}$ はすべて無限次元だが、$d_1$ の後には $1$ 次元しか残らない。
最後に固有な例として楕円曲線を見る。ここでは $E_1$ 項がすべて $1$ 次元で、系列の退化が問題になる。
$E$ を体 $k$ 上の楕円曲線（種数 $1$ の滑らかで固有な幾何学的連結曲線で有理点をもつもの）とする。$H^0(E,\mathcal O_E)=k$、$H^1(E,\mathcal O_E)\cong k$（種数 $1$）、$\Omega^1_{E/k}\cong\mathcal O_E$（不変微分 $\omega$ が零も極ももたない）から $H^0(E,\Omega^1)\cong k$、$H^1(E,\Omega^1)\cong k$ で、$\Omega^p_{E/k}=0$（$p\ge2$）である（Har77 IV.1、Sil09 第 III 章）。$E_1$ 項は $(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)$ の四つで、それぞれ $1$ 次元である。$d_1\colon E_1^{0,0}\to E_1^{1,0}$ は定数の外微分で $0$ である。$E_2^{2,0}=0$ なので $d_2$ はすべて $0$ で、系列は $E_2$ で退化する。よって $\operatorname{gr}^1_FH^1_{dR}(E)=E_2^{1,0}=H^0(E,\Omega^1)\cong k$、$\operatorname{gr}^0_FH^1_{dR}(E)=E_2^{0,1}=\ker\bigl(d_1\colon H^1(E,\mathcal O_E)\to H^1(E,\Omega^1)\bigr)$、$H^2_{dR}(E)=\operatorname{coker}(d_1)$ であり、
$$\dim H^1_{dR}(E)=1+\dim\ker d_1=1+\dim H^2_{dR}(E)\in\{1,2\}$$
となる。$d_1=0$、したがって $\dim H^1_{dR}(E)=2$、$\dim H^2_{dR}(E)=1$ であることは、任意の標数で本書『4-2 アーベル多様体の $H^1$ と拡大類』の原始性の議論で示す（標数 $0$ なら本書『4-1 退化と自然な分裂の不在』の射影的な場合の退化にも含まれる）。$H^1_{dR}(E)$ の基底 $\omega=dx/y$、$\eta=x\,dx/y$ と Hodge フィルトレーション $F^1=k\omega$ は本書『3-3 $k$ 構造と周期』で扱う。本頁で分かるのは、$E_1$ 項の次元と、退化するかどうかが $d_1$ の $H^1(\mathcal O_E)$ での消滅だけにかかっていることである。
その後の発展
以下は原論文の主張ではなく、後代の結果の紹介である（本頁の執筆時点 2026 年の知識による。文献の該当箇所は本書では確かめていない）。
- 特異スキームへの拡張：Hartshorne Har72（1972 年）、Har75（1975 年）は、標数 $0$ の体上の有限型スキーム $X$ を滑らかな $Y$ に閉埋め込みし、$Y$ の $X$ に沿う形式的完備化の上の de Rham 複体の超コホモロジーとして $X$ の代数的 de Rham コホモロジーを定め、埋め込みによらないこと、有限次元性、$\mathbb C$ 上では $H^n(X^h,\mathbb C)$ と一致することを示した。原論文が滑らかな場合に限って置いた定義 (1) の、特異な場合への標準的な拡張である。
- 標数 $p$ での Hodge–de Rham 系列の退化：Deligne–Illusie DI87（1987 年）は、標数 $p$ の完全体上の滑らかで固有なスキーム $X$ が $W_2(k)$ に持ち上がり $\dim X< p$ なら、Frobenius による de Rham 複体の分解を通じて系列が $E_1$ で退化することを示した。標数 $0$ の退化（本書『4-1 退化と自然な分裂の不在』）の純代数的な証明もこれから得られる。Illusie Ill96（1996 年）はその解説である。
- 結晶コホモロジー：原論文の定義 (1) を標数 $p$ で「正しい」コホモロジーに置き換える試みが Grothendieck Gro68（1968 年）の結晶コホモロジーで、Berthelot Ber74、Berthelot–Ogus BO78 が理論を整えた。本頁の反例「標数 $p$ の affine 直線」が示す de Rham コホモロジーの過剰は、結晶コホモロジーでは Witt ベクトル環の上の理論に移して扱われる。
- 現代的な標準的解説：Stacks Project Stacks の de Rham cohomology の章（アクセス日 2026 年 9 月 19 日）は、任意の底スキーム上の de Rham 複体、Hodge–de Rham スペクトル系列、affine の場合、射影空間束の計算などを扱う。本書はその内容を頁ごとには確かめていない。
原論文との対応表
本頁が対応する原論文は On the de Rham cohomology of algebraic varieties Gro66 である。
| 本頁 | 原論文 | 印字頁 |
|---|---|---|
| 定義（代数的 de Rham コホモロジー） | 式 (1)、「De Rham cohomology」 | 95 |
| 定義（Hodge コホモロジー） | 式 (2)、「Hodge cohomology」 | 95–96 |
| 定理（Hodge–de Rham スペクトル系列） | 式 (3)、「the usual spectral sequence」 | 96 |
| 定理（affine スキームでの大域切断による計算） | 式 (4)、「if X is affine」 | 96 |
| 命題（分離的スキームの affine 被覆による Čech 計算） | 原論文にない（式 (6) の準備） | — |
| 定理（標数 0 の affine 空間の de Rham コホモロジー）、例と反例 | 原論文にない | — |
原論文の印字 p. 95 は柱に頁番号がなく、表紙の頁範囲と次頁の 96 からの推定である。式 (3) の直前で原論文は usual の語を誤植して印字するが、数学に関わらない。式 (2) の直和は原論文では $\coprod$ で書かれている。
参考文献
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