8-10 小さい位数の群の総合分類

$n_3=4$ の場合、位数12の群のページで四つのSylow 3部分群への共役作用が単射
$$ G\hookrightarrow S_4 $$
を与え、像が $A_4$ になることを証明しました。従って $G\cong A_4$。
$n_3=1$ の場合、一意なSylow 3部分群を $Q\cong C_3$、Sylow 2部分群を $P$ とします。$Q\trianglelefteq G$、$Q\cap P=e$ で
$$ |QP|=|Q||P|=12 $$
だから
$$ G\cong C_3\rtimes P. $$
$P$ は位数4なので $C_4$ または $V_4$。作用は準同型
$$ \alpha:P\to\operatorname{Aut}(C_3)\cong C_2 $$
で決まります。
$\alpha$ が自明なら直積です。$P=C_4$ のとき $C_3\times C_4\cong C_{12}$、$P=V_4$ のとき
$$ C_3\times V_4\cong C_6\times C_2. $$
$\alpha$ が非自明とします。$P=C_4$ なら核は唯一の位数2部分群で、生成元が $C_3$ を反転させます。これは
$$ C_3\rtimes C_4\cong\operatorname{Dic}_3. $$
$P=V_4$ なら核は $V_4$ の位数2部分群です。$\operatorname{Aut}(V_4)$ が三つの位数2部分群を推移的に置換するので、非自明作用は同型を除いて一つだけ。その半直積は
$$ (C_3\rtimes C_2)\times C_2 \cong S_3\times C_2 \cong D_6. $$
以上で五種類を尽くします。
非同型性も確認します。最初の二群は可換。$A_4$ には位数6の元がなく、$D_6$ にはあります。$\operatorname{Dic}_3$ では中心外の位数2元がなく、$D_6$ には反射型の位数2元があります。従って三つの非可換群も互いに非同型です。□

Sylow 7部分群 $Q$ は一意で正規です。Sylow 2部分群 $P\cong C_2$ を取ると $G=Q\rtimes P$。作用
$$ C_2\to\operatorname{Aut}(C_7)\cong C_6 $$
が自明なら $G\cong C_7\times C_2\cong C_{14}$。非自明なら $C_6$ の唯一の位数2元、すなわち反転 $r\mapsto r^{-1}$ が作用します。従って
$$ G\cong\langle r,s\mid r^7=s^2=e,\ srs=r^{-1}\rangle=D_7. $$
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$C_{12}$ は可換で最大位数12、位数2元は1個。$C_6\times C_2$ は可換で最大位数6、位数2元は3個です。
$D_6$ は非可換で最大位数6。六つの反射と中央回転 $r^3$ の計7個が位数2です。$\operatorname{Dic}_3$ は非可換で最大位数6ですが、位数2元は中心の一つだけです。$A_4$ は非可換で最大位数3、位数2元は三つの二重互換です。これらの組はすべて異なるため、五群は互いに非同型です。□

$$ n_5\mid3,\qquad n_5\equiv1\pmod5 $$
より $n_5=1$。また
$$ n_3\mid5,\qquad n_3\equiv1\pmod3. $$
候補1と5のうち、5は3を法として2なので $n_3=1$。両Sylow部分群が正規で共通部分は自明、積は全体です。従って
$$ G\cong C_5\times C_3\cong C_{15}. $$
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