6-2 可解群の判定例

交換子部分群の定義から
$$ [H,H]\le [G,G] $$
です。導来列について帰納的に
$$ H^{(r)}\le G^{(r)} $$
が従います。ある $m$ で $G^{(m)}=\{e\}$ なら
$$ H^{(m)}\le\{e\}, $$
従って $H^{(m)}=\{e\}$。よって $H$ も可解です。□

符号写像の像は可換なので $[S_4,S_4]\le A_4$。一方、交換子
$$ [(12),(23)] $$
は3-cycleです。交換子部分群は正規であり、3-cycleは共役によりすべて得られ、3-cycleたちは $A_4$ を生成します。従って $A_4\le[S_4,S_4]$ で、等号です。
$V$ は $A_4$ の正規部分群であり、$A_4/V$ は位数3、従って可換です。よって
$$ [A_4,A_4]\le V. $$
しかし直接計算すると
$$ [(123),(124)]=(12)(34)\ne e. $$
$[A_4,A_4]$ は $A_4$ で正規で、三つの非自明な二重互換は互いに共役なので、三つとも含みます。従って $[A_4,A_4]=V$。最後に $V$ は可換なので $[V,V]=\{e\}$。□

$n\le4$ の場合は直前の計算で示しました。
$n\ge5$ とします。最初の五文字だけを動かし、残りを固定する偶置換全体は $A_n$ の部分群であり、$A_5$ と同型です。第5章で $A_5$ は非可換単純群、従って非可解であると証明しました。もし $A_n$ が可解なら、その部分群 $A_5$ も可解となり矛盾。よって $A_n$ は非可解です。
さらに $A_n\le S_n$ なので、$S_n$ が可解なら部分群 $A_n$ も可解になるはずです。従って $S_n$ も非可解です。□

$V$ は $A_4$ で正規です。$V$ は可換なので、その位数2の部分群は $V$ で正規です。各商の位数は順に
$$ |A_4/V|=3, \quad |V/\langle(12)(34)\rangle|=2, \quad |\langle(12)(34)\rangle|=2. $$
素数位数群は単純なので組成列であり、組成因子は $C_3,C_2,C_2$ です。□

符号写像から $[S_5,S_5]\le A_5$。一方、互換の交換子として3-cycleが得られ、3-cycleは $A_5$ を生成するので逆包含も成り立ちます。$A_5$ は非可換単純群なので、その非自明な正規部分群 $[A_5,A_5]$ は $A_5$ 全体です。従って
$$ S_5^{(1)}=A_5, \qquad S_5^{(r)}=A_5\quad(r\ge1), $$
となり、自明群へ到達しません。□