1-3 群準同型と第一同型定理
群の元の名前や表し方が違っても、積の構造が同じなら同じ群として扱いたい。その比較を担うのが準同型です。準同型が区別できなくする元は核に集まり、第一同型定理は「像は、核を一つに潰した商群そのもの」と述べます。
準同型・核・像
準同型 $\varphi:G\to H$ に対し
$$
\varphi(e_G)=e_H,\qquad
\varphi(x^{-1})=\varphi(x)^{-1},\qquad
\varphi(x^n)=\varphi(x)^n
$$
が成り立つ。
$$
\varphi(e_G)=\varphi(e_Ge_G)=\varphi(e_G)^2.
$$
両辺の左から $\varphi(e_G)^{-1}$ を掛けて $\varphi(e_G)=e_H$。
$$
e_H=\varphi(e_G)=\varphi(xx^{-1})
=\varphi(x)\varphi(x^{-1})
$$
であり、逆向きの積も同様なので $\varphi(x^{-1})=\varphi(x)^{-1}$。冪は正整数について帰納法、0と負整数について今示した二式から従う。□
$$
\ker\varphi\trianglelefteq G,\qquad
\operatorname{im}\varphi\le H.
$$
また $\varphi$ が単射であることと $\ker\varphi=\{e_G\}$ は同値。
$x,y\in\ker\varphi$ なら
$$
\varphi(xy^{-1})
=\varphi(x)\varphi(y)^{-1}=e_H,
$$
従って核は部分群。$g\in G,n\in\ker\varphi$ に対し
$$
\varphi(gng^{-1})
=\varphi(g)e_H\varphi(g)^{-1}=e_H,
$$
なので核は正規。
$a=\varphi(x),b=\varphi(y)$ が像に入れば
$$ab^{-1}=\varphi(xy^{-1})$$
も像に入るため、像は部分群。
$\varphi$ が単射なら $\varphi(g)=e_H=\varphi(e_G)$ から $g=e_G$。逆に核が自明で $\varphi(x)=\varphi(y)$ なら
$$
\varphi(y^{-1}x)=\varphi(y)^{-1}\varphi(x)=e_H,
$$
従って $y^{-1}x=e_G$、すなわち $x=y$。□
第一同型定理
準同型 $\varphi:G\to H$ に対し
$$
G/\ker\varphi\cong\operatorname{im}\varphi.
$$
具体的には
$$
\overline\varphi:G/\ker\varphi\to\operatorname{im}\varphi,
\qquad
g\ker\varphi\longmapsto\varphi(g)
$$
が同型写像である。
$K=\ker\varphi$ と置く。まず写像が代表元によらないことを示す。$gK=g'K$ なら $g^{-1}g'\in K$ なので
$$
\varphi(g)^{-1}\varphi(g')
=\varphi(g^{-1}g')=e_H.
$$
従って $\varphi(g)=\varphi(g')$。
積について
$$
\overline\varphi((gK)(hK))
=\overline\varphi(ghK)
=\varphi(gh)
=\varphi(g)\varphi(h),
$$
なので準同型。像を値域としているため全射。さらに
$$
\overline\varphi(gK)=e_H
\Longleftrightarrow\varphi(g)=e_H
\Longleftrightarrow g\in K
\Longleftrightarrow gK=K.
$$
核が自明なので単射判定により単射。従って同型。□
抽象的には「$\varphi$ が失う情報は核だけ」という定理です。
具体例
準同型
$$
\varphi:\mathbb Z\to\mathbb Z/n\mathbb Z,\qquad
k\mapsto\bar k
$$
は全射で、核は $n\mathbb Z$。従って
$$
\mathbb Z/n\mathbb Z\cong\mathbb Z/(n\mathbb Z).
$$
行列式
$$
\det:GL_n(\mathbb R)\to\mathbb R^\times
$$
は $\det(AB)=\det A\det B$ により準同型で、核は
$$SL_n(\mathbb R)=\{A\mid\det A=1\}.$$
像は $\mathbb R^\times$ 全体なので
$$
GL_n(\mathbb R)/SL_n(\mathbb R)\cong\mathbb R^\times.
$$
置換の符号 $\operatorname{sgn}:S_n\to\{1,-1\}$ が全射準同型で、核が $A_n$ であると仮定する。第一同型定理から得られる同型を書け。
第一同型定理をそのまま適用して
$$
S_n/A_n\cong\{1,-1\}
\cong\mathbb Z/2\mathbb Z.
$$
特に $A_n$ は核なので正規部分群で、$n\ge2$ では指数2。符号準同型自体は第3章の置換群で構成する。□
加法群から乗法群への準同型
$$
\varphi:\mathbb R\to S^1,\qquad t\mapsto e^{2\pi it}
$$
の核と像を求め、第一同型定理を適用せよ。
$e^{2\pi i(s+t)}=e^{2\pi is}e^{2\pi it}$ なので準同型。すべての単位複素数は $e^{2\pi it}$ と書けるので像は $S^1$。値が1となるのは $t\in\mathbb Z$ のときだから核は $\mathbb Z$。従って
$$
\mathbb R/\mathbb Z\cong S^1.
$$
円周を、実数直線で整数だけ離れた点を同一視した商として捉えられる。□
参考文献
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