1-0 章の見取り図

この章の問い

群が与えられたとき、二つの群が「同じ構造をもつ」とはどういうことか。元の個数や演算表を見比べる代わりに、積を保つ写像で比べられないか。

道筋

• 対称性から群へ：正方形の回転や置換の合成を例に、群の公理（単位元・逆元・結合律）を取り出し、単位元と逆元の一意性、消去律を示す。
• 部分群と生成元：部分群であることの判定法と、巡回群の部分群をすべて求める。
• 群準同型と第一同型定理：準同型が保つもの、核と像、第一同型定理。この章の中心である。
• 自己同型群：群から自分自身への同型を集めて、内部自己同型と特性部分群を調べる。
• 巡回群の自己同型：自己同型群の最初の具体的な計算。生成元の選び方を数える。

読み方

最初の 3 ページは必須で、第2章以降の前提になる。後半の 2 ページは、第8章の半直積で使うまで飛ばしてよい。

章末で言えること

準同型 $f:G\to H$ について、$G/\ker f\cong \operatorname{im}f$ が成り立つ。この式の右辺は像、左辺は「核を潰した群」であり、第2章でこの左辺の意味（商群）を正確に定める。

前の章から持ち込むもの

集合と写像、同値関係、整数の割り算。