3-1 置換群

文字 $a$ から
$$ a,\sigma(a),\sigma^2(a),\ldots $$
をたどる。文字は有限個なのでいつか重複する。$\sigma^i(a)=\sigma^j(a)$（$i< j$）なら全単射性から $a=\sigma^{j-i}(a)$。最初に戻るまでの列が一つの巡回置換を作る。
まだ現れていない文字を選び同じ操作を繰り返す。異なる軌道が交われば全単射性により過去へたどって同じ軌道となるので、得られる巡回置換は互いに素。全文字を尽くせば積は $\sigma$。各文字の軌道は $\sigma$ だけから決まるため一意性も従う。□

変数を置換すると、$\Delta$ の各因子はある $x_q-x_p$ またはその負へ移るため、積全体は $\pm\Delta$。この符号を $\operatorname{sgn}(\sigma)$ とする。
合成について変数置換を二回行えば
$$ (\sigma\tau)\Delta =\sigma(\tau\Delta) =\operatorname{sgn}(\tau)\sigma\Delta =\operatorname{sgn}(\tau)\operatorname{sgn}(\sigma)\Delta. $$
多項式 $\Delta$ は0でないので係数を比較して積公式を得る。互換は二変数を交換し、対応する一因子の符号を反転する一方、他の因子は対になって入れ替わるため全体を $-\Delta$ へ送る。
$\sigma$ が $r$ 個の互換の積なら積公式から $\operatorname{sgn}(\sigma)=(-1)^r$。左辺は $\sigma$ だけで定まるので $r$ の偶奇も分解によらない。□

$g\in G$ に対し左移動
$$ L_g:G\to G,\qquad x\mapsto gx $$
を考える。逆写像は $L_{g^{-1}}$ なので $L_g$ は全単射。さらに
$$ L_g\circ L_h(x)=g(hx)=(gh)x=L_{gh}(x), $$
よって
$$ \Phi:G\to\operatorname{Sym}(G),\qquad g\mapsto L_g $$
は準同型。$\Phi(g)$ が恒等置換なら、特に $\Phi(g)(e)=ge=g=e$ なので核は自明。従って $\Phi$ は単射で、$G\cong\operatorname{im}\Phi$。有限で $|G|=n$ なら $\operatorname{Sym}(G)$ は文字に番号を付けて $S_n$ と同一視できる。□

各文字を追うと
$$ 1\mapsto2\mapsto5\mapsto3\mapsto4\mapsto1, $$
従って $\sigma=(12534)$。5-cycleの位数は5。互換4個の積へ分解できるので符号は $(-1)^4=1$。□

互いに素な巡回置換は可換で、長さ $m_i$ の巡回置換 $c_i$ は $c_i^k=e$ と $m_i\mid k$ が同値。積 $\sigma=c_1\cdots c_r$ では各軌道が独立なので
$$ \sigma^k=e \Longleftrightarrow c_i^k=e\text{ for all }i \Longleftrightarrow m_i\mid k\text{ for all }i. $$
これを満たす最小正整数は最小公倍数。□