8-4 有限生成可換群

$r$ に関する帰納法を使う。$r=0$ は明らか。$R\le\mathbb Z^r$ を最後の座標へ射影すると、その像は $\mathbb Z$ の部分群なので $d\mathbb Z$ と書ける。
$d=0$ なら $R\subset\mathbb Z^{r-1}\times\{0\}$ で、帰納法から有限生成。$d>0$ なら、最後の座標が $d$ である $v\in R$ を一つ取る。射影の核
$$ K=R\cap(\mathbb Z^{r-1}\times\{0\}) $$
は帰納法により有限個 $k_1,\ldots,k_s$ で生成される。任意の $x\in R$ の最後の座標は $qd$ と書け、$x-qv\in K$。従って
$$ R=\langle k_1,\ldots,k_s,v\rangle. $$
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$M=0$ なら終わり。非零なら行・列交換と符号変更で正の非零成分を $(1,1)$ へ移す。その値を $d$ とする。
第一列の成分 $a$ を $a=qd+r$、$0\le r< d$ と除法する。対応する行から第一行の $q$ 倍を引けば、その成分を $r$ にできる。$r\ne0$ なら行交換により $(1,1)$ の正の値をより小さくできる。同じ操作を第一行の列成分にも行う。正整数は無限に減少しないので、有限回後に $(1,1)$ 成分 $d_1$ が第一行・第一列の全成分を割る。整数倍を引いて第一行・第一列を
$$ \begin{pmatrix} d_1&0\\ 0&M_1 \end{pmatrix} $$
の形にする。
もし $d_1$ が $M_1$ の成分 $a$ を割らなければ、その成分を含む行を第一行へ加える。第一行には $d_1$ と $a$ が現れ、Euclidの互除法に対応する列操作により $(1,1)$ 成分を $\gcd(d_1,a)< d_1$ にできる。これは上の減少過程が終了したことに反する。従って $d_1$ は $M_1$ の全成分を割る。
$M_1$ に同じ操作を帰納的に施すと対角形を得る。$d_1$ が $M_1$ の全成分を割るため、次の非零対角成分 $d_2$ も $d_1$ の倍数。以下同様に divisibility chain が得られる。
一意性を示す。$\Delta_k(M)$ を全 $k\times k$ 小行列式の最大公約数（全部0なら0）とする。整数基本変形後の各小行列式は元の小行列式の整数線形結合であり、逆変形も整数基本変形なので $\Delta_k$ は不変。Smith形では divisibility chain により
$$ \Delta_k=d_1d_2\cdots d_k. $$
従って
$$ d_1=\Delta_1,\qquad d_k=\Delta_k/\Delta_{k-1} $$
で各 $d_k$ が決まり、一意。□

$A\cong\mathbb Z^r/\operatorname{im}M$ と表示する。Smith標準形を取り、基底変更で
$$ M=\operatorname{diag}(d_1,\ldots,d_t,0,\ldots,0) $$
としてよい。商では最初の $t$ 個の基底元に関係式 $d_ie_i=0$ が課され、残りには関係がない。従って
$$ A\cong\bigoplus_{i=1}^t\mathbb Z/d_i\mathbb Z \oplus\mathbb Z^{r-t}. $$
$d_i=1$ の因子は自明群なので除く。
一意性を群そのものから示します。有限位数元全体
$$ T(A)=\{a\in A:na=0\text{ となる }n\ge1\text{ がある}\} $$
は部分群で、上の分解では有限巡回因子の直和そのものです。従って $A/T(A)\cong\mathbb Z^s$。さらに
$$ (A/T(A))/p(A/T(A))\cong(\mathbb Z/p\mathbb Z)^s $$
なので、$s$ はこの $\mathbb F_p$ ベクトル空間の次元として $A$ だけから決まります。
次に各素数 $p$ と $k\ge1$ に対し
$$ T(A)[p^k]=\{a\in T(A):p^ka=0\} $$
を考えます。$d_i$ の $p$ 進指数を $v_p(d_i)$ とすると
$$ |T(A)[p^k]| =p^{\sum_i\min(k,v_p(d_i))}. $$
よって
$$ b_{p,k} =\log_p|T(A)[p^k]|-\log_p|T(A)[p^{k-1}]| $$
は、$p^k$ が $d_i$ を割るような添字 $i$ の個数です。したがって全 $b_{p,k}$ から $v_p(d_i)$ の多重集合が復元できます。
各素数について指数を小さい順に並べ、因子数が足りないときは先頭を指数0で補います。条件 $d_1\mid\cdots\mid d_t$ により、同じ位置の素数冪を掛け合わせるしかなく、各 $d_i$ が一意に復元されます。従って $s$ と $d_1,\ldots,d_t$ は $A$ から一意に決まります。□

表示行列は列ベクトル $(6,9)^T$。Euclidの互除法によるunimodular行操作で $(3,0)^T$ へ変形できる。したがって一方の基底元に関係式 $3e_1=0$ があり、もう一方は自由：
$$ A\cong\mathbb Z/3\mathbb Z\oplus\mathbb Z. $$
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$2^3$ 部分は
$$C_8,\quad C_4\oplus C_2,\quad C_2^3,$$
$3^2$ 部分は
$$C_9,\quad C_3^2.$$
異なる素数部分は直積し、各選択は一意なので、組合せは $3\cdot2=6$ 個：
$$ C_8\oplus C_9,\ C_8\oplus C_3^2, $$
$$ C_4\oplus C_2\oplus C_9,\ C_4\oplus C_2\oplus C_3^2, $$
$$ C_2^3\oplus C_9,\ C_2^3\oplus C_3^2. $$
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