8-3 半直積の分類例
同じ $N,H$ からも、作用 $\alpha:H\to\operatorname{Aut}(N)$ によって異なる半直積ができます。ただし生成元の名前を取り替えただけの作用は同型な群を与えます。作用を自己同型による共役まで分類する考え方を具体例で学びます。
同型な作用
作用
$$
\alpha,\beta:H\to\operatorname{Aut}(N)
$$
があり、自己同型 $u\in\operatorname{Aut}(N)$、$v\in\operatorname{Aut}(H)$ に対し
$$
\beta(v(h))=u\alpha(h)u^{-1}
$$
が全 $h\in H$ で成り立つとする。このとき
$$
N\rtimes_\alpha H\cong N\rtimes_\beta H.
$$
$$
\Phi:N\rtimes_\alpha H\to N\rtimes_\beta H,
\qquad(n,h)\mapsto(u(n),v(h))
$$
と置く。積の像の第一成分は
$$
u(n\alpha(h)(n'))
=u(n)\,u\alpha(h)(n').
$$
仮定から
$$
u\alpha(h)=\beta(v(h))u
$$
なので、これは
$$
u(n)\beta(v(h))(u(n'))
$$
となり、像側の半直積の積と一致する。第二成分も $v(hh')=v(h)v(h')$。$u,v$ が全単射なので $\Phi$ も全単射。□
位数21の非可換群
$N=C_7=\langle r\rangle$、$H=C_3=\langle s\rangle$ とします。
$$
\operatorname{Aut}(C_7)\cong(\mathbb Z/7\mathbb Z)^\times.
$$
位数3の元は $\bar2,\bar4$ で、互いに逆です。作用
$$
srs^{-1}=r^2
$$
と
$$
srs^{-1}=r^4
$$
は $H$ の自己同型 $s\mapsto s^{-1}$ で入れ替わるため、同型な半直積を与えます。従って非自明作用から生じる位数21の群は、この範囲では一つの型になります。
自明作用なら $C_7\times C_3\cong C_{21}$。したがって位数21の群は巡回型と非可換半直積型の少なくとも二種類です。位数15までの総合分類のページでは、Sylow理論と作用の分類を合わせてこれらで尽くされることを確認します。
affine群
有限体 $\mathbb F_p$ 上の一次変換
$$
x\longmapsto ax+b,
\qquad a\in\mathbb F_p^\times,\ b\in\mathbb F_p
$$
全体を考えます。合成は
$$
(a,b)(a',b')=(aa',ab'+b).
$$
平行移動 $x\mapsto x+b$ は加法群 $(\mathbb F_p,+)$、拡大縮小 $x\mapsto ax$ は乗法群 $\mathbb F_p^\times$ で、後者が前者へ
$$b\mapsto ab$$
と作用します。従って
$$
\operatorname{AGL}_1(\mathbb F_p)
\cong(\mathbb F_p,+)\rtimes\mathbb F_p^\times
$$
で、位数は $p(p-1)$。
$p=3$ では位数6で $S_3$、$p=5$ では位数20の非可換群になります。
自明作用を見抜く
作用 $\alpha:H\to\operatorname{Aut}(N)$ が自明になる十分条件は、$|H|$ と $|\operatorname{Aut}(N)|$ が互いに素であることです。像 $\alpha(H)$ の位数は $|H|$ と $|\operatorname{Aut}(N)|$ の両方を割るため1だからです。
これを位数 $pq$ の群へ使うと、$Q=C_q$ に対する $P=C_p$ の作用が非自明になるには
$$
p\mid|\operatorname{Aut}(C_q)|=q-1
$$
が必要だと再確認できます。
$C_5\rtimes C_4$ で、$C_4=\langle s\rangle$ が
$$srs^{-1}=r^2$$
と作用するとする。この作用がwell-definedで忠実であることを示せ。
$2$ は5を法として
$$
2^2=4,\quad2^3=3,\quad2^4=1
$$
なので位数4。従って $r\mapsto r^2$ は $\operatorname{Aut}(C_5)$ の位数4の元で、$s^4=e$ という関係を保つ。準同型
$$C_4\to\operatorname{Aut}(C_5)$$
の核は自明なので忠実。半直積の位数は $5\cdot4=20$。□
$C_3$ による $C_5$ への作用は自明なものしかないことを示し、$C_5\rtimes C_3\cong C_{15}$ を結論せよ。
$$
|\operatorname{Aut}(C_5)|=\varphi(5)=4.
$$
作用の像の位数は3と4の両方を割るため1。従って作用は自明で半直積は直積
$$C_5\times C_3.$$
$3,5$ は互いに素なのでこれは $C_{15}$ と同型。□
参考文献
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