6-1 正規列と可解群

共役について
$$ g[x,y]g^{-1} =[gxg^{-1},gyg^{-1}] $$
なので、交換子の生成する部分群は共役で不変、従って正規。
商で
$$ (x[G,G])(y[G,G]) =(xy)[G,G], $$
一方
$$ (yx)^{-1}(xy)=x^{-1}y^{-1}xy $$
は交換子の形 $[x^{-1},y^{-1}]$ だから $xy[G,G]=yx[G,G]$。よって商は可換。
$G/N$ が可換なら
$$ xyN=yxN, $$
従って $xyx^{-1}y^{-1}\in N$。全交換子を含むので $[G,G]\subset N$。逆にこの包含があれば同じ計算で商の全元が可換。□

商写像を $\pi:G\to G/N$ とする。準同型は交換子を交換子へ送るので帰納的に
$$ \pi(G^{(k)})=(G/N)^{(k)}. $$
$G/N$ が可解なら、ある $r$ で右辺が自明。従って
$$G^{(r)}\subset N.$$
$N$ が可解で $N^{(s)}=\{e\}$ とする。部分群包含 $H\subset K$ なら $H^{(j)}\subset K^{(j)}$ が帰納的に成り立つので
$$ G^{(r+s)}=(G^{(r)})^{(s)} \subset N^{(s)}=\{e\}. $$
従って $G$ は可解。□

$|G|$ に関する帰納法を使う。自明群では明らか。非自明な有限 $p$ 群は類等式の帰結により非自明な中心 $Z(G)$ をもつ。商 $G/Z(G)$ は位数がより小さい $p$ 群なので、帰納法によりその上中心列は有限段で全体へ到達する。
商の上中心列を商写像で逆像に取ると
$$ Z(G)=Z_1(G)\subset Z_2(G)\subset\cdots\subset G $$
が得られ、各段の商は残りの商群の中心です。従って $G$ の上中心列も有限段で $G$ へ到達する。□

本文の計算から
$$ S_3^{(0)}=S_3,\qquad S_3^{(1)}=A_3,\qquad S_3^{(2)}=\{e\}. $$
$S_3$ 自身は非可換なので第一導来群は自明でなく、1段では終わらない。従って最小段数は2。□

$N$ は $N\rtimes H$ の正規部分群として $n\mapsto(n,e)$ で入る。商は射影
$$ N\rtimes H\to H,\qquad(n,h)\mapsto h $$
の核が $N$ であることから $H$ と同型。$N$ と商 $H$ が可解なので、可解群の拡大閉性から $N\rtimes H$ も可解。□