7-4 群表示の変形

生成元 $y$ と関係 $y=w(X)$ を加えた場合を考えます。新しい表示から元の群へ、$x\in X$ は同名の元へ、$y$ は $w(X)$ の表す元へ送る準同型があります。逆に元の表示から新しい表示へ、各 $x$ を同名の生成元へ送れます。新しい群では $y=w(X)$ なので二つの合成は全生成元を固定し、互いに逆です。操作2はこの逆です。
操作3で加える語 $r$ が既存関係 $R$ の正規閉包に属するなら、$F(X)/\langle\!\langle R\rangle\!\rangle$ ですでに $r=e$ です。従って
$$ \langle\!\langle R\cup\{r\}\rangle\!\rangle =\langle\!\langle R\rangle\!\rangle $$
で、商群は文字どおり同じです。操作4はその逆です。□

二表示を
$$ G=\langle X\mid R\rangle =\langle Y\mid S\rangle $$
とします。各 $y\in Y$ が $G$ で表す元を、$X$ の語 $w_y(X)$ で表します。生成元 $y$ と関係 $y=w_y(X)$ を順に加えます。次に各 $x\in X$ も $Y$ の語 $v_x(Y)$ で表します。
拡大した表示では、$S$ の各関係は $G$ ですでに成り立つため、$R$ と定義関係の正規閉包に入ります。操作3で $S$ を追加できます。同様に関係 $x=v_x(Y)$ も追加できます。
これで各古い生成元 $x$ は $Y$ の語として定義されたので、操作2で $X$ とその定義関係を除けます。残った $R$ と、$y=w_y(v_X(Y))$ 型の関係は $S$ から従うため操作4で除けます。最後に $\langle Y\mid S\rangle$ が残ります。
有限表示では生成元・関係式が有限個なので、以上の追加と除去は有限回です。□

関係 $y=x^2$ を使って $y$ を消去します。残る関係は
$$ (x^2)^3=x^6=e. $$
従って表示は
$$ \langle x\mid x^6=e\rangle $$
となり、群は $C_6$ です。ここで表示は $x$ の位数が6を割ることを課しますが、自由群 $F(x)\cong\mathbb Z$ を $6\mathbb Z$ で割るので位数は正確に6です。□

可換性から
$$ c^3=a^3b^3=a, \qquad c^4=a^4b^4=b. $$
また $c^6=a^6b^6=e$。生成元 $c$ と関係 $c=ab$ を加えると、$a,b$ はそれぞれ $c^3,c^4$ で置き換えられるため消去できます。残る表示は
$$ \langle c\mid c^6=e\rangle. $$
従って $G\cong C_6$ です。□

関係 $[a,b]=e$ を加えると $a,b$ は可換するので、任意の語は $a^mb^n$ の形に直せます。写像
$$ a\mapsto(1,0),\qquad b\mapsto(0,1) $$
は $\mathbb Z^2$ への全射を定めます。逆に $(m,n)\mapsto a^mb^n$ は可換性により $\mathbb Z^2$ から商群への準同型です。二写像は生成元上で互いに逆なので、商は $\mathbb Z^2$ と同型です。□