3-4 Cauchyの定理
Lagrangeの定理は元の位数が群の位数を割ると述べます。Cauchyの定理は素数について逆向きを与えます。証明では、積が単位元となる $p$ 個組を巡回的にずらし、軌道の個数を法 $p$ で数えます。
巡回作用による証明
$G$ を有限群、$p$ を $|G|$ を割る素数とする。このとき $G$ は位数 $p$ の元をもつ。従って位数 $p$ の部分群をもつ。
集合
$$
X=\{(x_1,\ldots,x_p)\in G^p\mid
x_1x_2\cdots x_p=e\}
$$
を考える。最初の $p-1$ 成分を自由に選べば
$$
x_p=(x_1\cdots x_{p-1})^{-1}
$$
と一意に決まるので
$$|X|=|G|^{p-1}.$$
$p\mid|G|$ だから $p\mid|X|$。
巡回群 $C_p=\langle\sigma\rangle$ を
$$
\sigma\cdot(x_1,x_2,\ldots,x_p)
=(x_2,\ldots,x_p,x_1)
$$
で作用させる。右辺の積は
$$
x_2\cdots x_px_1
=x_1^{-1}(x_1\cdots x_p)x_1=e,
$$
なので作用は $X$ 内に留まる。
$C_p$ の軌道の大きさは1または $p$。従って
$$
|X|\equiv
\#\{\text{一元軌道}\}\pmod p.
$$
一元軌道は全成分が等しい組 $(x,\ldots,x)$ であり、$X$ に入る条件は $x^p=e$。よって
$$
0\equiv|X|
\equiv|\{x\in G\mid x^p=e\}|
\pmod p.
$$
この集合は少なくとも $e$ を含むので、その元数は正の $p$ の倍数、従って少なくとも $p$。$e$ 以外の $x$ が存在する。$x^p=e$ かつ $p$ が素数なので、$x$ の位数は1または $p$。$x\ne e$ だから位数は $p$。$\langle x\rangle$ が位数 $p$ の部分群。□
Sylow第一定理は $p$ の最高冪全体を一度に取り出しますが、Cauchyの定理は一つの素因子から位数 $p$ の元を直接作ります。
応用
偶数位数の有限群は $x^2=e$ を満たす $x\ne e$ をもつ。
これは $p=2$ のCauchyの定理です。別証明もできます。$x\ne x^{-1}$ の元を逆元同士で二つ組にすると、単位元以外に自分自身を逆元にもつ元がなければ $|G|-1$ は偶数となり、$|G|$ が奇数になって矛盾します。
有限群 $G$ の位数の各素因数 $p$ に対し、$G$ は位数 $p$ の巡回部分群をもつ。
ただし合成数 $d\mid|G|$ に対して位数 $d$ の元が存在するとは限りません。$C_2\times C_2$ は位数4ですが全非単位元の位数は2です。
可換群の場合の帰納的証明
有限可換群では別の証明があります。$p\mid|G|$ とし $g\ne e$ を取ります。$p\mid|g|$ なら $g^{|g|/p}$ は位数 $p$。$p\nmid|g|$ なら商 $G/\langle g\rangle$ の位数はまだ $p$ で割れます。群の位数について帰納し、商に位数 $p$ の元 $x\langle g\rangle$ を取ると $x^p\in\langle g\rangle$。
$\gcd(p,|g|)=1$ なので写像
$$
\langle g\rangle\to\langle g\rangle,\qquad h\mapsto h^p
$$
は全単射です。実際 $h^p=e$ なら $|h|$ は $p$ と $|g|$ の両方を割るため $h=e$、有限集合上の単射は全射。従って $h^p=x^{-p}$ となる $h\in\langle g\rangle$ がある。可換性から
$$
(xh)^p=x^ph^p=e.
$$
しかも $xh\notin\langle g\rangle$ なので $xh\ne e$。よって $xh$ の位数は $p$。一般の非可換群では $(xh)^p=x^ph^p$ が使えず、上の作用による証明が一様に働きます。
$|G|=30$ なら、位数2、3、5の元がそれぞれ存在することを示せ。それらが同じ巡回部分群に入るとは限らない理由も述べよ。
$2,3,5$ はすべて30を割る素数なのでCauchyの定理から各位数の元が存在する。同じ巡回部分群に入るなら、その部分群には位数の最小公倍数30の元が存在する可能性が生じるが、Cauchyの定理は各元を別々に与えるだけで、互いに可換であることも一つの巡回群に入ることも保証しない。たとえば非可換群では異なるSylow部分群の元が可換とは限らない。□
$p\mid|G|$ のとき方程式 $x^p=e$ の解の個数が $p$ の倍数であることを、証明中の作用から示せ。
証明中の $X$ は $p$ の倍数個の元をもち、$C_p$ の非一元軌道は各 $p$ 元。一元軌道の個数は
$$|\{x\in G\mid x^p=e\}|.$$
全体から非一元軌道の寄与を引いても $p$ の倍数なので、一元軌道の個数も $p$ の倍数。□
参考文献
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