5-2 冪零はめ込みでの不変性と微分作用素
無限小コホモロジーは冪零はめ込み $X_0\hookrightarrow X$ を見ない。すなわち $\operatorname{Inf}(X_0/S)$ 上の任意の層 $F_0$ について $H^*((X_0/S)_{\inf},F_0)$ は、$F_0$ を $\operatorname{Inf}(X/S)$ へ制限した層のコホモロジーに標準的に同型である。本頁はこの不変性を制限関手が定めるトポスの射から閉じ、それが stratifying 景では破れること、標数 $0$ では de Rham コホモロジーが滑らかな持上げの取り方によらないこと、余単体層の構造射が微分作用素であること、余単体層と Čech–Alexander 余鎖の類比と Conjecture 5.1 を扱う。
前提知識: Grothendieck位相, スペクトル系列, 超コホモロジー, de Rhamコホモロジー, 微分作用素, Mittag-Leffler条件
この頁で示すこと
$S$ を底スキーム、$X$ を $S$ 上のスキーム、$X_0\hookrightarrow X$ を冪零 $S$ はめ込み（イデアル層が局所的に冪零な閉はめ込み）とする。無限小景 $\operatorname{Inf}(X/S)$、stratifying 景 $\operatorname{Strat}(X/S)$、そのトポス $(X/S)_{\inf}$、$(X/S)_{\mathrm{strat}}$、構造層 $\mathcal O_{X/S}$ は本書『4-1 infinitesimal 景と stratifying 景』のとおり、対角線の無限小近傍 $\Delta^{(n)}_\nu$、射影 $p_0,\dots,p_\nu$、係数の二条件 (Q)、余単体層 $\mathcal F^\bullet=(\mathcal F^{(\nu)})_\nu$、形式的滑らかな $Y$ へのはめ込みと $F(Y^\nu_{/U})$ は本書『5-1 基本定理の言明と Čech 型スペクトル系列』のとおりとする。$\mathbf H^*$ は Zariski 位相の超コホモロジーである。
本頁の主結果は次の 11 個である。
- 制限関手の定めるトポスの射（原論文 小節 5.3 の脚注、印字 p. 340）：$(U\hookrightarrow T)\mapsto(U\times_XX_0\hookrightarrow T)$ はトポスの射 $\bar u\colon(X_0/S)_{\inf}\to(X/S)_{\inf}$ を定め、$\bar u_*$ は完全で $\bar u^{-1}$ は終対象を保つ。［条件付き：4-1 の景の定義とトポスの射の一般論（SGA 4）を引用］
- 無限小コホモロジーの冪零不変性（原論文 小節 5.3、印字 p. 340）：$\operatorname{Inf}(X_0/S)$ 上の任意のアーベル群の層 $F_0$ について $H^*((X_0/S)_{\inf},F_0)\cong H^*((X/S)_{\inf},u^*F_0)$。$X$ にも $F_0$ にも条件は要らない。［条件付き：1 と同じ］
- 形式完備化は冪零な違いを見ない（原論文 小節 5.3、印字 pp. 339–340）：形式的滑らかな $Y$ へのはめ込み $X\hookrightarrow Y$ について $F(Y^\nu_{/U})=F_0(Y^\nu_{/U_0})$ で、5-1 の余単体層は $X_0$ と $X$ で一致する。［条件付き：無限小近傍の系の cofinal 性と 5-1 の定理を引用］
- 反例：stratifying 景では冪零不変性が成り立たない（原論文 小節 5.3、印字 p. 340）：$X_0$ が $S_0=\operatorname{Spec}(A/J)$ 上にあれば $H^*((X_0/S)_{\mathrm{strat}},\mathcal O)$ は $J$ で消えるが、$H^*((X/S)_{\mathrm{strat}},\mathcal O)$ は一般に消えない。［条件付き：4-1 の stratifying 景の定義を引用］
- 滑らかな持上げの無限小コホモロジーは持上げによらない（原論文 小節 5.3、印字 pp. 340–341）：$S_0\hookrightarrow S$ が冪零、$X_0/S_0$ の $S$ 上の持上げ $X$ について $H^*((X/S)_{\inf},\mathcal O_{X/S})\cong H^*((X_0/S)_{\inf},\mathcal O_{X_0/S})$。［条件付き：2 と同じ］
- 標数 0 の de Rham コホモロジーは持上げによらない（原論文 小節 5.3、印字 p. 341）：$S$ が標数 $0$ で $X$ が $S$ 上滑らかなら $H^i_{dR}(X/S)\cong H^i((X_0/S)_{\inf},\mathcal O_{X_0/S})$。［条件付き：5 と基本定理（本書『5-3 基本定理の証明』）を引用］
- 余単体層の構造射は微分作用素である（原論文 小節 5.4、印字 pp. 341–342）：$\mathcal O_{X/S}$ の余単体層 $\mathcal F^{(\nu)}$ への $\nu+1$ 個の環準同型 $p_j^\sharp\colon\mathcal O_X\to\mathcal F^{(\nu)}$ を $\Delta^{(n)}_\nu$ で切ったものは、左構造 $p_0^\sharp$ について $n$ 階以下の微分作用素であり、$\nu=1$、$j=1$ では $n$ 階の普遍微分作用素である。［条件付き：微分作用素の定義（EGA IV 16、本書 0-5）を引用］
- 固有な場合のスペクトル系列の射影極限表示（原論文 小節 5.5、印字 p. 343）：$X$ が $\mathbb C$ 上固有なら 5-1 のスペクトル系列の $E_2^{pq}$ は $\varprojlim_nH^p(\nu\mapsto H^q(\Delta^{(n)}_\nu,\mathcal O))$ である。［条件付き：連接層の有限性（EGA III）、Čech 複体、Mittag-Leffler 条件を引用］
- 解析的な余単体層による計算（原論文 小節 5.5、印字 p. 343）：$X$ が $\mathbb C$ 上固有なら $H^*((X/\mathbb C)_{\mathrm{strat}},\mathcal O)\cong\mathbf H^*(X^{an},\mathcal F^\bullet_{X^{an}})$。［条件付き：8 と GAGA、解析的連接層の有限性を引用］
- Conjecture 5.1 から固有な場合の比較へ（原論文 小節 5.5、印字 p. 344）：Conjecture 5.1 が真なら $\mathbb C$ 上固有な $X$ について $H^*((X/\mathbb C)_{\mathrm{strat}},\mathcal O)\cong H^*(X^{an},\mathbb C)$。［条件付き：Conjecture 5.1 を前件に含む含意。9 と Theorem 1.2 を引用］
- 形式ファイバーの複体（原論文 小節 5.5、印字 pp. 343–344）：Conjecture 5.1 の発見的根拠「形式ファイバーの複体は $\mathbb C$ の分解である」は、滑らかな点では閉じるが、特異点については本書は閉じていない。［未完結：特異点の場合］
本頁で閉じるのは、原論文が脚注一行で済ませる不変性の証明（1・2）、「Mittag-Leffler 型の議論」とだけ書く射影極限表示（8）、GAGA を引くだけの解析側への移行（9）である。主結果はいずれも 4-1 の景の定義を入力にもつので、本書の基準では条件付きである。
背景と動機
前頁で、stratifying コホモロジーと無限小コホモロジーを Zariski 位相の上の余単体層の超コホモロジーに翻訳した（本書『5-1 基本定理の言明と Čech 型スペクトル系列』）。無限小景の側の計算は形式的滑らかな $Y$ へのはめ込み $X\hookrightarrow Y$ を経由し、結果は $Y$ によらない。原論文の小節 5.3 はこの「よらない」を一段強めて、無限小コホモロジーが $X$ 自身の冪零な取り替えを見ないことを主張する。$Y^{\nu+1}$ の $X$ に沿った形式完備化は、$X$ を同じ底空間をもつ閉部分スキーム $X_0$ に替えても変わらないからである。原論文は本文でこの経路を取り、脚注で「$X$ にも $F$ にも制限なしに」成り立つ別の理由を一行で告げる。本頁は脚注の経路を主証明に採る。
不変性は、第 2 章と第 3 章の主題であった「持上げによらないこと」に直接つながる。標数 $0$ の底 $S$ の冪零な閉部分スキーム $S_0$ 上のスキーム $X_0$ が $S$ 上の滑らかな持上げ $X$ をもてば、基本定理により $H^*_{dR}(X/S)$ は $X_0$ の（$S$ 上の）無限小コホモロジーに等しく、持上げの選び方によらない。原論文はこれを、de Rham コホモロジー上の標準接続の内在的な解釈への第一歩と位置づける。stratifying 景では同じことは成り立たない。その対象は局所的に $X_0$ へレトラクトするので、$X_0$ が $S_0$ 上にあれば景全体が $S_0$ 上に落ち、$S$ の方向の情報を失うからである。
小節 5.4 と 5.5 は、余単体層 $\mathcal F^\bullet$ を二つの側面から眺める。代数的には、$\mathcal F^{(\nu)}$ への $\nu+1$ 個の構造射のうち左構造以外は $\mathcal O_X$ 線型でなく、有限次の近傍で切れば微分作用素になる。基本定理の証明（本書『5-3 基本定理の証明』）が余単体層を微分作用素の複体と比べるのは、この観察が出発点である。位相的には、$\mathcal F^{(\nu)}$ は「$X^{\nu+1}$ の対角線の近傍の関数」の層で、位相空間の定数層を分解する Čech–Alexander 余鎖の層と同じ形をしている。解析空間の上で同じ余単体層が定数層 $\mathbb C$ を分解するというのが Conjecture 5.1 で、固有な場合にはこれが Conjecture 4.2 の支えになる。
定義と準備
冪零はめ込みに沿った制限は、景の対象の間の関手として定義する。原論文は層の関手を $u^*$、景の関手を $u_*$ と印字し分けるが、本頁では景の関手を $u$ と書く。
$X_0\hookrightarrow X$ を冪零 $S$ はめ込みとする。$\operatorname{Inf}(X/S)$ の対象 $(U\hookrightarrow T)$ に対し、$U_0:=U\times_XX_0$ は $X_0$ の開集合で、合成 $U_0\hookrightarrow U\hookrightarrow T$ は冪零はめ込みだから $(U_0\hookrightarrow T)$ は $\operatorname{Inf}(X_0/S)$ の対象である。射 $(U,T)\to(U',T')$（$S$ 射 $T\to T'$ で $U\subset U'$ を誘導するもの）は $U_0\subset U'_0$ を誘導するので、これは関手
$$u\colon\operatorname{Inf}(X/S)\to\operatorname{Inf}(X_0/S),\qquad(U\hookrightarrow T)\mapsto(U_0\hookrightarrow T)$$
を定める。$\operatorname{Inf}(X_0/S)$ 上の層 $F_0$ の制限を $u^*F_0:=F_0\circ u$、すなわち $(u^*F_0)(U\hookrightarrow T)=F_0(U_0\hookrightarrow T)$ で定める。4-1 の層の記述でいえば $(u^*F_0)_{(U,T)}=(F_0)_{(U_0,T)}$（$T$ 上の同じ層）である。とくに $u^*\mathcal O_{X_0/S}=\mathcal O_{X/S}$ であり、$F_0$ が条件 (Q) をみたせば $u^*F_0$ もみたす。
$u$ は被覆族を保つので、$u^*F_0$ は前層としてだけでなく層である。
Conjecture 5.1 は解析空間の上の主張なので、解析的な余単体層と、原論文が発見的根拠に使う形式ファイバーを定めておく。
$\mathfrak X$ を複素解析空間とし、$\mathfrak X^{\nu+1}$ の対角線を定めるイデアル層を $\mathcal I_\nu$、$\Delta^{(n)}_{\nu,\mathfrak X}:=V(\mathcal I_\nu^{n+1})$ を対角線の $n$ 次無限小近傍とする。$\mathfrak X$ の開集合 $U$ について
$$\mathcal F^{(\nu)}_{\mathfrak X}(U):=\varprojlim_n\Gamma\bigl(\Delta^{(n)}_{\nu,U},\mathcal O_{\Delta^{(n)}_{\nu,U}}\bigr)$$
とおく（解析的な形式完備化）。$\nu\mapsto\mathcal F^{(\nu)}_{\mathfrak X}$ は座標の忘却・重複により $\mathfrak X$ 上の余単体層 $\mathcal F^\bullet_{\mathfrak X}$ をなし、定数層 $\mathbb C$ からの射 $\mathbb C\to\mathcal F^{(0)}_{\mathfrak X}=\mathcal O_{\mathfrak X}$ がある。点 $x\in\mathfrak X$ における $\mathcal F^{(\nu)}_{\mathfrak X}$ の形式ファイバーを、局所環 $\mathcal O_{\Delta^{(n)}_{\nu,\mathfrak X},x}$ の極大イデアルによる完備化の射影極限 $\widehat{\mathcal F}^{(\nu)}_x:=\varprojlim_n\widehat{\mathcal O_{\Delta^{(n)}_{\nu,\mathfrak X},x}}$ と定める。$\nu\mapsto\widehat{\mathcal F}^{(\nu)}_x$ も余単体 $\mathbb C$ 代数である。$X$ が $\mathbb C$ 上のスキームなら、$\mathfrak X=X^{an}$ についてこれらを $\mathcal F^\bullet_{X^{an}}$、$\widehat{\mathcal F}^{(\nu)}_{X^{an},x}$ と書く。
代数的な $\Delta^{(n)}_\nu$ の解析化は $\Delta^{(n)}_{\nu,X^{an}}$ である（解析化は $\mathcal O$ 上平坦で、イデアルの冪を引き戻しで保つ）。この一致が、GAGA による解析側への移行の入口になる。
引用する事実
次の事実は証明せずに引用する。出典は主に SGA4、EGA4、EGA3、本書の第 0 章・第 4 章・5-1 で、SGA 4 と EGA の該当箇所の番号は本頁では確認していない。
- 第 4 章と 5-1 の結果（本書『4-1 infinitesimal 景と stratifying 景』『5-1 基本定理の言明と Čech 型スペクトル系列』）：無限小景・stratifying 景の定義と層の記述。5-1 の定理（無限小景での形式的滑らかなスキームによる計算）と定理（一般の場合の余単体層による計算）。基本定理の言明（証明は本書『5-3 基本定理の証明』）。
- トポスの射（SGA4 I・IV、MLM92 VII）：景の関手 $u\colon\mathcal C\to\mathcal D$ が被覆族を保ち、$\mathcal D$ の各対象 $Y$ について対 $(Z\in\mathcal C,\ Y\to u(Z))$ の圏が cofiltered（空でなく、二つの対象は共通の対象からの射をもち、平行な二つの射はある射で等化される）なら、前層の左 Kan 拡張 $u_!$ は有限極限を保ち、$f_*G:=G\circ u$、$f^{-1}:=$（$u_!$ の後に層化）はトポスの射 $f\colon\operatorname{Sh}(\mathcal D)\to\operatorname{Sh}(\mathcal C)$ を定める。$f^{-1}$ は完全で $f_*$ の左随伴、$f_*$ は入射的対象を保つ。エピ射の判定は局所全射性。
- 形式完備化と cofinal な系（Har77 II.9、Mat89 §8 の $I$ 進位相の比較。原典は EGA I 10）：スキーム $W$ の閉部分スキーム $Z\subset Z'$ が同じ底空間をもち $Z'$ が $Z$ の冪零な厚みなら、$Z$ を定めるイデアル $I$ と $Z'$ を定めるイデアル $I'\subset I$ について局所的に $I^m\subset I'$ となる $m$ があり、系 $(V(I^{n+1}))_n$ と $(V(I'^{\,n+1}))_n$ は互いに cofinal である。
- 微分作用素（本書『0-5 景・トポス・微分作用素』の「微分作用素の層」、EGA4 16.8）：$\mathcal O_X$ 加群 $\mathcal M\to\mathcal N$ の写像 $D$ が $n$ 階以下の微分作用素であるとは、左構造について $\mathcal O_X$ 線型な $\phi\colon\mathcal P^n_{X/S}\otimes\mathcal M\to\mathcal N$ で $D=\phi\circ(d^n\otimes\mathrm{id})$ と書けることで、$\phi$ は一意。$d^n\colon\mathcal O_X\to\mathcal P^n_{X/S}$、$f\mapsto1\otimes f$ が $n$ 階の普遍微分作用素。$\mathcal P^n_{X/S}=(p_0)_*\mathcal O_{\Delta^{(n)}}$ で、$\mathcal P^n_{X/S}\otimes_{\mathcal O_X}\mathcal M$ は $1\otimes m$ の形の元で左 $\mathcal O_X$ 加群として生成される。
- 固有スキーム上の連接層の有限性（EGA3 3.2.1、Har77 III.5.2）：体 $k$ 上固有なスキームの連接層のコホモロジーは有限次元 $k$ 線型空間。有限型スキームでは $(p_0)_*\mathcal O_{\Delta^{(n)}_\nu}$ は $\mathcal O_X$ 上連接である（$\mathcal I_\nu^k/\mathcal I_\nu^{k+1}$ による有限のフィルトレーションの各段が連接な $\mathcal I_\nu/\mathcal I_\nu^2$ の対称冪の商）。
- Čech 複体と Leray の定理（Har77 III.4、Stacks「Cohomology of Schemes」）：被覆の有限個の交わりの上で高次コホモロジーが消える層 $G$ の $H^*(X,G)$ は Čech 複体 $C^\bullet(\mathfrak U,G)$ で計算できる。Cartan の判定：有限交わりで閉じた開集合の基底 $\mathfrak B$ の元の、$\mathfrak B$ による任意の被覆の Čech コホモロジーが正次数で消えるなら、$\mathfrak B$ の元の上で $G$ の高次コホモロジーは消える。分離的スキームの affine 開集合はこの基底をなす。
- 射影極限と $\varprojlim^1$（本書『0-5 景・トポス・微分作用素』の「pro-対象と Artin–Rees の条件」、Wei94 3.5）：複体の射影系 $(C^\bullet_n)$ で遷移射が各項で全射なら $0\to\varprojlim^1_nH^{q-1}(C_n)\to H^q(\varprojlim_nC_n)\to\varprojlim_nH^q(C_n)\to0$ が完全。体上の有限次元線型空間の射影系は Mittag-Leffler 条件をみたし $\varprojlim^1=0$ で、そのような系の短完全列は極限を取っても完全である。
- GAGA と解析的連接層の有限性（Ser56、本書『0-2 de Rham コホモロジーと比較定理の復習』）：$\mathbb C$ 上固有なスキーム $Z$ と連接層 $G$ について $H^q(Z,G)\cong H^q(Z^{an},G^{an})$。コンパクト複素解析空間上の連接層のコホモロジーは有限次元（Cartan–Serre。本書は出典を確かめていない）。
- Čech–Alexander 余鎖：位相空間 $X$ とアーベル群 $A$ について、$U^{\nu+1}\to A$ の関数を対角線の近傍で消えるもので割った群の層化 $C^{(\nu)}(X;A)$ は余単体層をなし、$X$ がパラコンパクト Hausdorff なら定数層 $A$ の flasque 分解で、$\Gamma C^\bullet(X;A)$ のコホモロジーは $H^*(X,A)$ である（Alexander–Spanier コホモロジー。原論文は脚注で骨子だけを述べ、定数層を $X$ と印字するが $A$ の意。本書は文献を開いていない）。
- de Rham の比較定理（原論文 Theorem 1.2、本書『1-1 代数的 de Rham コホモロジーの長所と限界』、Gro66）：$X$ が $\mathbb C$ 上滑らかなら $H^*_{dR}(X/\mathbb C)\cong H^*(X^{an},\mathbb C)$。
以上で道具が揃った。まず制限関手がトポスの射を定めることを示し、不変性をそこから引き出す。
主結果と証明
冪零はめ込みでの不変性
原論文の脚注は「$u_*$ は集合の層について完全」とだけ述べる。その内容は、制限が順像となるようなトポスの射の存在である。
$X_0\hookrightarrow X$ を冪零 $S$ はめ込みとする。上の定義の関手 $u$ はトポスの射 $\bar u\colon(X_0/S)_{\inf}\to(X/S)_{\inf}$ を定め、$\bar u_*F_0=u^*F_0$ である。さらに (a) $\bar u_*$ はアーベル群の層について完全、(b) $\bar u^{-1}$ は完全で終対象を終対象へ送り、(c) $\bar u_*$ は入射的対象を保つ。
段 1（$u$ は被覆族を保つ）．$(U,T)$ の被覆族は $T$ の Zariski 被覆 $(T_\lambda)$ で、対応する対象は $(U_\lambda,T_\lambda)$（$U_\lambda$ は $T_\lambda$ に対応する $U$ の開集合）。$u(U_\lambda,T_\lambda)=(U_{0\lambda},T_\lambda)$ は $(U_0,T)$ の被覆族で、ファイバー積も保たれる。よって $u^*F_0=F_0\circ u$ は層である。
段 2（対の圏が cofiltered であること）．$\operatorname{Inf}(X_0/S)$ の対象 $(U_0,T)$ を固定し、対 $\bigl((U,T'),\ h\colon(U_0,T)\to u(U,T')\bigr)$ の圏 $I$ を考える。$h$ は $S$ 射 $T\to T'$ で $U_0\subset U\times_XX_0$ を誘導するものである。$U''$ を $X$ の開集合で底空間が $|U_0|$ に等しいものとし、$T'':=T\sqcup_{U_0}U''$、すなわち底空間 $|U_0|$ 上の環の層 $\mathcal O_T\times_{\mathcal O_{U_0}}\mathcal O_{U''}$ をもつ環付き空間とする。$T$ と $U''$ の両方で affine な開集合は $|U_0|$ の基底をなし（$U_0$ の基本開集合 $D(\bar f)$ を $\bar f$ の持上げで両側に見る）、その上で $T''$ は $\operatorname{Spec}(B\times_AC)$（$B\to A$、$C\to A$ は核が冪零な全射。底空間は $\operatorname{Spec}A$ と同相で、局所化はファイバー積と可換）である。よって $T''$ はスキームで、$\mathcal O_{T''}\to\mathcal O_{U''}$ は核 $\ker(\mathcal O_T\to\mathcal O_{U_0})\times0$（冪零）の全射である。よって $(U''\hookrightarrow T'')$ は $\operatorname{Inf}(X/S)$ の対象で、射影 $\mathcal O_{T''}\to\mathcal O_T$ が与える $S$ 射 $T\to T''$ は $h_0\colon(U_0,T)\to u(U'',T'')=(U_0,T'')$ を定める。したがって $I$ は空でない。環付き空間の射の普遍性により、$T''$ からスキーム $Z$ への射は、$U_0$ 上で一致する射の対 $(T\to Z,\ U''\to Z)$ と一対一に対応する（局所環の条件は $T$ の成分で確かめられる）。$I$ の二つの対象 $((U,T'),h)$、$((U',T'''),h')$ に対し、$|U_0|\subset|U|\cap|U'|$ だから $U''\subset U\cap U'$ と取れ、$h$ と包含 $U''\subset U\subset T'$ の対が射 $(U'',T'')\to(U,T')$ を、$h'$ と $U''\subset U'\subset T'''$ の対が射 $(U'',T'')\to(U',T''')$ を定め、どちらも $h_0$ と両立する。平行な二つの射 $a,b\colon(U,T')\to(U',T''')$ で $a\circ h=b\circ h=h'$ なるものについて、上の射 $(U'',T'')\to(U,T')$ と $a$、$b$ との合成は、$T$ 上で（$a\circ h=b\circ h$）も $U''$ 上で（どちらも包含 $U''\subset U'\subset T'''$）も一致するので等しい。よって $I$ は cofiltered である。
段 3（トポスの射）．段 1・2 と引用する事実 2 により、$\bar u_*F_0:=F_0\circ u=u^*F_0$ と $\bar u^{-1}:=$（$u_!$ の後に層化）はトポスの射 $\bar u$ を定め、$\bar u^{-1}$ は完全、$\bar u_*$ は入射的対象を保つ（(b) の前半と (c)）。終対象 $e$ について $u_!e(U_0,T)=\varinjlim_I\{*\}$ は、$I$ が空でなく連結だから一点で、$\bar u^{-1}e=e$（(b) の後半）。
段 4（$\bar u_*$ の完全性）．$\bar u_*$ は右随伴として核を保つので、エピ射を保てばよい。$\operatorname{Inf}(X_0/S)$ 上のエピ射 $G\to G'$ は局所全射である。$\operatorname{Inf}(X/S)$ の対象 $(U,T)$ と $s\in(u^*G')(U,T)=G'(U_0,T)$ について、$T$ の Zariski 被覆 $(T_\lambda)$ で $s|_{(U_{0\lambda},T_\lambda)}$ が $G$ から持ち上がるものがあり、$(U_\lambda,T_\lambda)$ は $(U,T)$ の被覆で $u(U_\lambda,T_\lambda)=(U_{0\lambda},T_\lambda)$ だから、$s$ は $u^*G$ から局所的に持ち上がる。よって $u^*G\to u^*G'$ はエピ射である。
順像が完全で終対象を保つトポスの射があれば、コホモロジーはそのまま移る。これが不変性である。
$X_0\hookrightarrow X$ を冪零 $S$ はめ込み、$F_0$ を $\operatorname{Inf}(X_0/S)$ 上の任意のアーベル群の層とする。標準同型
$$H^*\bigl((X_0/S)_{\inf},F_0\bigr)\;\cong\;H^*\bigl((X/S)_{\inf},u^*F_0\bigr)$$
があり、$F_0$ について関手的である。$X$ が形式的滑らかなスキームにはめ込めるという仮定も、条件 (Q) も要らない。
段 1（大域切断）．上の命題 (b) により $\Gamma((X/S)_{\inf},\bar u_*G)=\operatorname{Hom}(e,\bar u_*G)=\operatorname{Hom}(\bar u^{-1}e,G)=\Gamma((X_0/S)_{\inf},G)$。
段 2（入射的分解の移送）．$F_0\to I^\bullet$ を $\operatorname{Inf}(X_0/S)$ 上の入射的分解とする。上の命題 (a) により $\bar u_*I^\bullet$ は $\bar u_*F_0=u^*F_0$ の分解で、(c) により各 $\bar u_*I^q$ は入射的である。よって $H^q((X/S)_{\inf},u^*F_0)=H^q(\Gamma(\bar u_*I^\bullet))=H^q(\Gamma(I^\bullet))=H^q((X_0/S)_{\inf},F_0)$。同型は $\bar u$ から標準的に定まり、$F_0$ について関手的である。
原論文の本文の経路は、形式的滑らかな $Y$ を固定して 5-1 の余単体層を比べるものである。この経路も閉じておく。定理そのものには要らないが、余単体層のレベルでの一致は 5-3 で使う。
$X\hookrightarrow Y$ を $S$ 上形式的滑らかな $Y$ へのはめ込みとし、$X_0\hookrightarrow X\hookrightarrow Y$ を合成する。$X$ の準コンパクトな開集合 $U$ と $U_0=U\times_XX_0$ について、$Y^{\nu+1}$ における $U$ の無限小近傍の系 $(U^{(n)}_{Y,\nu})_n$ と $U_0$ の系 $((U_0)^{(n)}_{Y,\nu})_n$ は互いに cofinal である。したがって $\operatorname{Inf}(X_0/S)$ 上の条件 (Q) をみたす $F_0$ と $F=u^*F_0$ について、任意の開集合 $U$ で $F(Y^\nu_{/U})=F_0(Y^\nu_{/U_0})$ であり、5-1 の定理（無限小景での形式的滑らかなスキームによる計算）が $X_0$ と $X$ に与える $X_{\mathrm{zar}}=X_{0,\mathrm{zar}}$ 上の余単体層は一致する：$\mathcal F^\bullet_0=\mathcal F^\bullet$。
段 1（cofinal 性）．$Y^{\nu+1}$ の中で $U$ を定めるイデアル $I$ と $U_0$ を定めるイデアル $I_0\supset I$ について、$U_0\hookrightarrow U$ が冪零なので局所的に $I_0^m\subset I$ となる $m$ があり、$U$ が準コンパクトなら一様に取れる。引用する事実 3 により二つの系は cofinal である。
段 2（値の一致）．$F(U\hookrightarrow U^{(n)}_{Y,\nu})=F_0(U_0\hookrightarrow U^{(n)}_{Y,\nu})$（制限の定義）で、$(U_0\hookrightarrow U^{(n)}_{Y,\nu})_n$ は $(U_0\hookrightarrow(U_0)^{(n)}_{Y,\nu})_n$ と cofinal な $\operatorname{Inf}(X_0/S)$ の対象の系だから、射影極限は一致する。両辺は $U$ について層なので、準コンパクトな $U$ で比べれば足りる。余単体構造も同じ射影から来る。
この補題と 5-1 の定理を $X_0$・$X$ に適用すれば、(Q) をみたす $F_0$ と $Y$ があるときの不変性の別証になる。二つの経路の同型の一致は本頁では主張しない。
原論文は本文で補題の経路を取り、「$Y$ にはめ込めるという仮定は affine 開被覆と affine の場合の同型で外せる」と述べる。affine 局所の同型を貼るには $Y$ を局所的に取り替えたときの同型の両立が要り、本頁はそれを書かない。結論は上の定理から従う。脚注の「$u_*$ が集合の層について完全であることに注意すれば制限なしに自明に得られる」の $u_*$ は順像 $\bar u_*$ の意に読めば整合する。小節 5.3 の制限の定義式と同型の左辺（印字 pp. 339–340）は $F_0$ の添字 $0$ を落として $F$ と印字するが、$F_0$ の意である。
持上げによらないこと
不変性を底の冪零な厚みに適用すると、第 2 章以来の「持上げによらない」が無限小コホモロジーの言葉で得られる。
$S_0\hookrightarrow S$ を冪零はめ込み、$X$ を $S$ 上のスキーム、$X_0=X\times_SS_0$ とする（原論文は $X/S$ を滑らかと仮定するが、この主張には要らない）。$X_0$ を $S$ 上のスキームと見るとき、$\operatorname{Inf}(X_0/S)$ 上の各 $F_0$ について $H^*((X_0/S)_{\inf},F_0)\cong H^*((X/S)_{\inf},u^*F_0)$、とくに $H^*((X/S)_{\inf},\mathcal O_{X/S})\cong H^*((X_0/S)_{\inf},\mathcal O_{X_0/S})$。したがって $X_0/S_0$ の $S$ 上の二つの持上げ $X$、$X'$ について $H^*((X/S)_{\inf},\mathcal O_{X/S})\cong H^*((X'/S)_{\inf},\mathcal O_{X'/S})$ が標準同型を除いて成り立ち、同型は $X_0$ 上恒等な持上げの $S$ 同型と両立する。
$X_0\hookrightarrow X$ は冪零はめ込み $S_0\hookrightarrow S$ の底変換なので冪零 $S$ はめ込みであり、上の定理（無限小コホモロジーの冪零不変性）が適用できる。$u^*\mathcal O_{X_0/S}=\mathcal O_{X/S}$ は制限の定義による。二つの持上げについては両辺がともに $H^*((X_0/S)_{\inf},\mathcal O_{X_0/S})$ に標準同型である。$X_0$ 上恒等な $S$ 同型 $\sigma\colon X\to X'$ は景の同型 $\operatorname{Inf}(X/S)\cong\operatorname{Inf}(X'/S)$ を誘導し、それは二つの制限関手と可換だから、同型はトポスの射の合成の関手性で両立する。
上の設定で $S$ が標数 $0$（$\mathbb Q$ 上のスキーム）、$X$ が $S$ 上滑らかとする。各 $i$ について標準同型
$$H^i_{dR}(X/S)\;\cong\;H^i\bigl((X_0/S)_{\inf},\mathcal O_{X_0/S}\bigr)$$
がある。とくに $H^i_{dR}(X/S)$ は $X_0/S_0$ の $S$ 上の滑らかな持上げ $X$ の取り方によらない。
基本定理（本書『5-1 基本定理の言明と Čech 型スペクトル系列』の定理（基本定理の言明）。証明は本書『5-3 基本定理の証明』）により $H^i_{dR}(X/S)\cong H^i((X/S)_{\inf},\mathcal O_{X/S})$、上の系により右辺は $H^i((X_0/S)_{\inf},\mathcal O_{X_0/S})$ に同型である。原論文はこの式を印字 p. 341 で括弧と $\mathcal O$ を落として印字するが、上の形の意である。
これで、標数 $0$ では de Rham コホモロジーが持上げによらないことが、第 3 章の「仮定 H」（本書『3-1 不変性からの帰結と超越的接続』）を仮定せずに、しかも導来圏へ上がらずに群のレベルで得られた。ただし原論文自身が注意するとおり、ここから de Rham コホモロジー層の stratification が直ちに出るわけではない。
原論文（印字 p. 341）は、上の系から相対 de Rham コホモロジー層 $R^if_*\Omega^\bullet_{X/S}$ が absolute stratification（$S$ の無限小近傍に関する stratification）をもつことは直接には出ない、と注意する。$R^if_*\Omega^\bullet_{X/S}$ は底変換と可換でないからである（$f$ が滑らかなら導来圏の対象 $\mathbf Rf_*\Omega^\bullet_{X/S}$ は底変換と可換だが、個々の $R^if_*$ には $\operatorname{Tor}$ の項が入る）。そのうえで、導来圏の意味で扱えば、$f$ が滑らかで $S$ が標数 $0$ のとき $\mathbf Rf_*\Omega^\bullet_{X/S}$ は absolute stratification をもち、さらに $S$ のすべての無限小近傍へ標準的に延びる absolute crystal になるだろう、と述べる（見込み。「one could show」）。これは上の系を $S$ の無限小近傍の族に対して一斉に行うことに当たり、本書は証明しない。小節 4.3 で予告された「標準接続が無限小景上の stratification から来る」の実行は、原論文ではここまでである。
余単体層の構造射と微分作用素
余単体層 $\mathcal F^{(\nu)}$ には $\nu+1$ 個の $\mathcal O_X$ 代数の構造がある。左端の構造で $\mathcal O_X$ 加群と見ると、他の構造射は線型でなく、微分作用素になる。
$\mathcal F^\bullet$ を $\mathcal O_{X/S}$ に 5-1 の定理（一般の場合の余単体層による計算）で付随させた余単体層、すなわち $\mathcal F^{(\nu)}=\varprojlim_n(p_0)_*\mathcal O_{\Delta^{(n)}_\nu}$ とする。(a) 各 $\nu\ge0$ について $\nu+1$ 個の環の層の準同型 $p_j^\sharp\colon\mathcal O_X\to\mathcal F^{(\nu)}$（$j=0,\dots,\nu$。射影 $p_j\colon\Delta^{(n)}_\nu\to X$ の引き戻しの極限）があり、$p_0^\sharp$ で $\mathcal F^{(\nu)}$ を $\mathcal O_X$ 代数と見ると、$\Omega^1_{X/S}\ne0$ なら $j\ge1$ の $p_j^\sharp$ は $\mathcal O_X$ 線型でない。(b) その $n$ 次の切り捨て $p_j^{(n)}\colon\mathcal O_X\to(p_0)_*\mathcal O_{\Delta^{(n)}_\nu}$ は、左構造について $n$ 階以下の微分作用素である。(c) $\nu=1$、$j=1$ では $p_1^{(n)}=d^n$ は $n$ 階の普遍微分作用素である。(d) 余単体複体の微分 $\sum_j(-1)^j\partial^j$ の $n$ 次の切り捨ても、左構造について $n$ 階以下の微分作用素である。
段 1（(a)）．$p_j^\sharp$ は $n$ について両立するので極限へ移る。$\nu=1$、$n=1$ では $p_1^{(1)}(f)-p_0^{(1)}(f)=1\otimes f-f\otimes1=df\in\Omega^1_{X/S}=\mathcal I_1/\mathcal I_1^2$ だから、$p_1^{(1)}$ が線型なら $\Omega^1_{X/S}=0$。一般の $j$ は、第 $j$ 座標に $x_1$、他の座標に $x_0$ を置く射 $X\times_SX\to X^{\nu+1}$ が誘導する $\Delta^{(n)}\to\Delta^{(n)}_\nu$（段 2 の射影の切断。左構造を保つ）で引き戻すと $p_j^{(n)}$ が $p_1^{(n)}$ に戻ることから従う。
段 2（(b)(c)）．引用する事実 4 により、$p_j^{(n)}$ が $\mathcal O_X\xrightarrow{d^n}\mathcal P^n_{X/S}\xrightarrow{\phi}(p_0)_*\mathcal O_{\Delta^{(n)}_\nu}$ と、$\phi$ が左構造について線型になるように分解すればよい。射影 $X^{\nu+1}\to X\times_SX$、$(x_0,\dots,x_\nu)\mapsto(x_0,x_j)$ は対角線を対角線へ送るので $\Delta^{(n)}_\nu\to\Delta^{(n)}$ を誘導し、その引き戻し $\phi\colon\mathcal P^n_{X/S}\to(p_0)_*\mathcal O_{\Delta^{(n)}_\nu}$ は環準同型で、第 $0$ 座標を第 $0$ 座標へ（左構造について線型）、第 $1$ 座標を第 $j$ 座標へ送る。よって $\phi\circ d^n=p_j^{(n)}$。$\nu=1$、$j=1$ では $\phi=\mathrm{id}$ で $p_1^{(n)}=d^n$ そのものである。
段 3（(d)、本書の補足）．余面射 $\partial^j\colon(p_0)_*\mathcal O_{\Delta^{(n)}_{\nu-1}}\to(p_0)_*\mathcal O_{\Delta^{(n)}_\nu}$ は第 $j$ 座標を忘れる射影の引き戻しである。$j\ge1$ では第 $0$ 座標を保つので左構造について線型（$0$ 階）。$j=0$ では源の第 $0$ 座標を的の第 $1$ 座標へ送るので、$\phi_{01}\colon\mathcal P^n_{X/S}\to(p_0)_*\mathcal O_{\Delta^{(n)}_\nu}$ を $(x_0,x_1)$ への射影の引き戻しとして、$\mathcal P^n_{X/S}\otimes_{\mathcal O_X}(p_0)_*\mathcal O_{\Delta^{(n)}_{\nu-1}}\to(p_0)_*\mathcal O_{\Delta^{(n)}_\nu}$、$a\otimes g\mapsto\phi_{01}(a)\,\partial^0(g)$ が定まる（テンソルは $\mathcal P^n$ の右構造と源の左構造で取り、$\partial^0(f\cdot g)=\phi_{01}(1\otimes f)\partial^0(g)$ により well-defined）。これは左構造について線型で $1\otimes g\mapsto\partial^0(g)$ だから、$\partial^0$ は $n$ 階以下の微分作用素であり、交代和もそうである。
原論文は小節 5.4 でこの $\nu+1$ 個の準同型の添字を $i=0,\dots,\nu+1$ と印字するが（印字 p. 342）、個数は $\nu+1$ で $j=0,\dots,\nu$ の意である。段 3 は原論文にない補足で、余単体複体が「無限階の微分作用素の複体」であることを述べている。5-3 はこれを、$\mathcal O_X$ 加群と微分作用素の圏 $\operatorname{Diff}(X/S)$ 上の formalizing functor として組織する。
Čech–Alexander 余鎖との類比
位相空間の定数層 $A$ は、$U^{\nu+1}$ 上の関数を対角線の近傍で消えるもので割った Čech–Alexander 余鎖の層で分解される（引用する事実 9）。余単体層 $\mathcal F^{(\nu)}$ は「$U^{\nu+1}$ の対角線に沿った形式完備化の上の関数」だから、同じ形をしている。原論文はこの類比から、スキームの上でも同様の分解が成り立つかを問い（印字 p. 343）、固有な場合に問いを解析空間の上へ移す。
$X$ を $\mathbb C$ 上固有なスキーム、$\mathcal F^\bullet$ を $\mathcal O_{X/\mathbb C}$ の余単体層、$G^{(\nu)}_n:=(p_0)_*\mathcal O_{\Delta^{(n)}_\nu}$ とする。5-1 の定理（一般の場合の余単体層による計算）のスペクトル系列 $E_2^{pq}=H^p(\nu\mapsto H^q(X_{\mathrm{zar}},\mathcal F^{(\nu)}))\Rightarrow H^{p+q}((X/\mathbb C)_{\mathrm{strat}},\mathcal O)$ において
$$H^q(X_{\mathrm{zar}},\mathcal F^{(\nu)})=\varprojlim_nH^q(X,G^{(\nu)}_n),\qquad E_2^{pq}=\varprojlim_nH^p\bigl(\nu\mapsto H^q(X,G^{(\nu)}_n)\bigr)$$
であり、各 $H^q(X,G^{(\nu)}_n)$ は有限次元 $\mathbb C$ 線型空間である。
段 1（有限次元性）．$G^{(\nu)}_n$ は $\mathcal O_X$ 上連接（引用する事実 5）で $X$ は固有だから、$H^q(X,G^{(\nu)}_n)$ は有限次元である。遷移射 $G^{(\nu)}_{n+1}\to G^{(\nu)}_n$ は閉部分スキームへの制限で全射である。
段 2（第一の式）．$X$ は分離的なので有限 affine 開被覆 $\mathfrak U$ を取る。準連接層の全射は affine 上で大域切断の全射を与えるので、Čech 複体の射影系 $(C^\bullet(\mathfrak U,G^{(\nu)}_n))_n$ は各項で全射な遷移射をもち、$C^\bullet(\mathfrak U,\mathcal F^{(\nu)})=\varprojlim_nC^\bullet(\mathfrak U,G^{(\nu)}_n)$（切断は極限と可換）。affine 開集合 $V$ の任意の affine 被覆（有限でなくてよい）についても同じ形の系があり、$q>0$ で $H^q$ が消える複体の極限だから、引用する事実 7 の完全列により $\check H^q(V,\mathcal F^{(\nu)})=0$（$q>0$。$q=1$ の $\varprojlim^1$ の項は $\Gamma(V,G_n)$ の遷移射が全射なので消える）。Cartan の判定（引用する事実 6）により affine 開集合の上で $\mathcal F^{(\nu)}$ の高次コホモロジーは消え、Leray の定理により $C^\bullet(\mathfrak U,\mathcal F^{(\nu)})$ は $H^*(X,\mathcal F^{(\nu)})$ を計算する。引用する事実 7 の完全列 $0\to\varprojlim^1_nH^{q-1}(X,G_n)\to H^q(X,\mathcal F^{(\nu)})\to\varprojlim_nH^q(X,G_n)\to0$ で、$H^{q-1}(X,G_n)$ は有限次元線型空間の射影系だから $\varprojlim^1=0$ である。
段 3（第二の式）．$A^\nu_n:=H^q(X,G^{(\nu)}_n)$ は各 $n$ で余単体有限次元線型空間で、その付随する複体のコサイクル $Z^p_n$、コバウンダリ $B^p_n$、コホモロジー $H^p_n$ はいずれも有限次元線型空間の射影系である。短完全列 $0\to Z^p_n\to A^p_n\to B^{p+1}_n\to0$ と $0\to B^p_n\to Z^p_n\to H^p_n\to0$ は極限を取っても完全（引用する事実 7）だから、$H^p(\nu\mapsto\varprojlim_nA^\nu_n)=\varprojlim_nH^p(\nu\mapsto A^\nu_n)$。これが第二の式である。
原論文は段 2 を「Mittag-Leffler 型の議論」とだけ書き、段 3（$H^p$ と射影極限の交換）には触れない。
$X$ を $\mathbb C$ 上固有なスキームとする。$H^q(\Delta^{(n)}_\nu,\mathcal O)\cong H^q(\Delta^{(n)}_{\nu,X^{an}},\mathcal O^{an})$ であり、解析的な余単体層 $\mathcal F^\bullet_{X^{an}}$ について標準同型
$$H^*\bigl((X/\mathbb C)_{\mathrm{strat}},\mathcal O\bigr)\;\cong\;\mathbf H^*(X^{an},\mathcal F^\bullet_{X^{an}})$$
がある。
段 1（GAGA）．$\Delta^{(n)}_\nu$ は $X$ と同じ底空間をもつ $X^{\nu+1}$ の閉部分スキームで $\mathbb C$ 上固有、構造層は連接だから、引用する事実 8 により $H^q(\Delta^{(n)}_\nu,\mathcal O)\cong H^q((\Delta^{(n)}_\nu)^{an},\mathcal O^{an})$。$(\Delta^{(n)}_\nu)^{an}=\Delta^{(n)}_{\nu,X^{an}}$ である。
段 2（解析側の射影極限表示）．$X^{an}$ はコンパクトで $(p_0)_*\mathcal O_{\Delta^{(n)}_{\nu,X^{an}}}$ は連接、そのコホモロジーは有限次元（引用する事実 8）である。上の命題の段 2・3 を、affine 開被覆の代わりに Stein 開集合の有限被覆（その上で連接層の高次コホモロジーは消え、連接層の全射は大域切断の全射を与える）で繰り返せば、$\mathbf H^*(X^{an},\mathcal F^\bullet_{X^{an}})$ へ収束するスペクトル系列の $E_2$ 項の射影極限表示が得られる。
段 3（比較）．解析化 $X^{an}\to X$ は二つのスペクトル系列の射を与え、段 1 と上の命題により $E_2$ 項で同型、よって収束先で同型である。
代数側の余単体層は解析側へ移り、$\mathbf H^*(X^{an},\mathcal F^\bullet_{X^{an}})$ が残った。もし $\mathcal F^\bullet_{X^{an}}$ が定数層 $\mathbb C$ の分解なら、これは $H^*(X^{an},\mathbb C)$ である。
原論文 Conjecture 5.1（印字 p. 343）。任意の複素解析空間 $\mathfrak X$（滑らかさも固有性も仮定しない）について、余単体層 $\mathcal F^\bullet_{\mathfrak X}$ に付随する複体 $\mathcal F^{(0)}_{\mathfrak X}\to\mathcal F^{(1)}_{\mathfrak X}\to\cdots$ は定数層 $\mathbb C$ の分解である。すなわち $\mathbb C\to\mathcal F^\bullet_{\mathfrak X}$ は擬同型である。
原論文は予想の発見的根拠として、各点 $x$ での形式ファイバーの複体 $\nu\mapsto\widehat{\mathcal F}^{(\nu)}_x$ が体 $\mathbb C$ の分解である、と断定する（証明なし）。$x$ が滑らかな点で $\dim_x\mathfrak X=d$ なら $\mathcal O_{\Delta^{(n)}_{\nu,\mathfrak X},x}=\mathcal O_{\mathfrak X,x}[\xi_1,\dots,\xi_\nu]/(\xi)^{n+1}$（$\xi_j$ は $d$ 個の変数の組）で、完備化の極限は $\mathbb C[\![x_0,\dots,x_\nu]\!]$（$x_j$ も $d$ 個の組）、余面射は変数の組の挿入である。この複体は $h(g)(x_0,\dots,x_{\nu-1})=g(0,x_0,\dots,x_{\nu-1})$ を縮約ホモトピーにもつ（5-1 の例（太った点の無限小コホモロジー）と同じ計算）ので $\mathbb C$ の分解であり、滑らかな点では断定は正しい。特異点については本書は閉じていない（未完結）。予想自身は茎（$\mathcal O_{\mathfrak X,x}[\![\xi_1,\dots,\xi_\nu]\!]$ の部分環。$\xi$ について形式的、$x_0$ について収束）についての主張で、上のホモトピーは $x_0=0$ の代入と変数の付け替えで収束性を保たない（$g=\sum_kk!\,\xi_1^k$ なら $h(g)=\sum_kk!\,x_0^k$）。形式ファイバーから茎へ戻す段が、原論文が「purely local」と呼ぶこの予想の核心である。
上の予想（形式完備化の余単体層による定数層の分解）が真ならば、$\mathbb C$ 上固有な任意のスキーム $X$ について $H^*((X/\mathbb C)_{\mathrm{strat}},\mathcal O)\cong H^*(X^{an},\mathbb C)$ である。とくに $X$ が固有かつ滑らかなら、この同型は 5-1 の系（滑らかな場合の Conjecture 4.2）の、基本定理を経ない別の導出を与える。
予想が真なら $\mathbb C\to\mathcal F^\bullet_{X^{an}}$ は擬同型で $\mathbf H^*(X^{an},\mathcal F^\bullet_{X^{an}})\cong H^*(X^{an},\mathbb C)$、上の命題（解析的な余単体層による計算）と合わせる。滑らかなら $\operatorname{Strat}=\operatorname{Inf}$（4-1）なので、この同型だけで系の三つの群が結ばれ、引用する事実 10 を添えれば基本定理を経ずに $H^*_{dR}$ とも結ばれる。
原論文はこの含意を、Conjecture 4.2 への「some support」と呼ぶ。固有でない $X$ には及ばない。
例と反例
不変性が stratifying 景で破れることを、原論文の議論と最も小さい例で確かめる。
外す条件は「無限小景」で、stratifying 景に替える。$S=\operatorname{Spec}A$、$J\subset A$ を冪零イデアル、$S_0=\operatorname{Spec}(A/J)$、$X_0$ を $S_0$ 上のスキーム、$X$ を $X_0$ の $S$ 上の冪零な厚みで $S_0$ 上にないものとする。$\operatorname{Strat}(X_0/S)$ の対象 $(U_0\hookrightarrow T)$ は局所的にレトラクション $T\to X_0$ をもち $X_0$ は $S_0$ 上にあるので、$J\mathcal O_T=0$ である。よって $\mathcal O_{X_0/S}$ は $A/J$ 加群の層で、$J$ の元による乗法は層の零射だから、$H^*((X_0/S)_{\mathrm{strat}},\mathcal O_{X_0/S})$ は $J$ で消える $A$ 加群である。一方 $(X\hookrightarrow X)$ は $\operatorname{Strat}(X/S)$ の対象で $\mathcal O_X$ は $A/J$ 代数でないから、$H^*((X/S)_{\mathrm{strat}},\mathcal O_{X/S})$ は一般に $J$ で消えない。最小の例：$A=\mathbb Z/p^2$、$J=(p)$、$X=S$、$X_0=S_0=\operatorname{Spec}\mathbb F_p$。$(S,S)$ は $\operatorname{Strat}(S/S)$ の終対象なので $H^0((S/S)_{\mathrm{strat}},\mathcal O)=\mathbb Z/p^2$、$(S_0,S_0)$ は $\operatorname{Strat}(S_0/S)$ の終対象（対象 $T$ は $\mathbb F_p$ スキームで $S_0$ への $S$ 射は一意）なので $H^0((S_0/S)_{\mathrm{strat}},\mathcal O)=\mathbb F_p$。無限小景では $(S_0,S)$ が $\operatorname{Inf}(S_0/S)$ の終対象で $H^0((S_0/S)_{\inf},\mathcal O)=\mathbb Z/p^2=H^0((S/S)_{\inf},\mathcal O)$ となり、上の定理（無限小コホモロジーの冪零不変性）のとおりである。原論文は両側の景を同じ記号で印字し「$X$ は $S_0$ 上にある」と書くが、$X_0$ の意である（$X$ が $S_0$ 上なら両側とも $J$ で消える）。
$k$ を体、$X=\operatorname{Spec}k[\epsilon]/(\epsilon^2)$、$X_0=\operatorname{Spec}k$ とする。5-1 の例（太った点の無限小コホモロジー）は $Y=\mathbb A^1_k$ で $H^*((X/k)_{\inf},\mathcal O)=H^*(\nu\mapsto k[\![x_0,\dots,x_\nu]\!])=k$ を計算した。$X_0\hookrightarrow Y$（原点）でも同じ余単体環が現れる。これは上の補題（形式完備化は冪零な違いを見ない）の最も簡単な場合である。
$S=\operatorname{Spec}\mathbb Q[\epsilon]/(\epsilon^2)$、$S_0=\operatorname{Spec}\mathbb Q$、$X=\mathbb G_{m,S}=\operatorname{Spec}\mathbb Q[\epsilon][x,x^{-1}]$、$X_0=\mathbb G_{m,\mathbb Q}$ とする。$a\in\mathbb Q[x,x^{-1}]$ について $\sigma\colon x\mapsto x+\epsilon a$ は $X$ の $S$ 自己同型で $X_0$ 上恒等である（逆は $x\mapsto x-\epsilon a$）。上の系（標数 0 の de Rham コホモロジーは持上げによらない）とその同型の両立性は $\sigma^*=\mathrm{id}$ を予言する。直接確かめる：$H^1_{dR}(X/S)$ は $[dx/x]$ を基底とする階数 $1$ の自由 $\mathbb Q[\epsilon]$ 加群で、$(x+\epsilon a)^{-1}=x^{-1}-\epsilon ax^{-2}$ から
$$\sigma^*\Bigl(\frac{dx}{x}\Bigr)=\frac{dx+\epsilon\,da}{x+\epsilon a}=\frac{dx}{x}+\epsilon\Bigl(\frac{da}{x}-\frac{a\,dx}{x^2}\Bigr)=\frac{dx}{x}+\epsilon\,d\Bigl(\frac ax\Bigr)$$
となり、$\sigma^*[dx/x]=[dx/x]$ である。
$X=\mathbb A^1_S=\operatorname{Spec}A[x]$ とし、$x_j$ を $X^{\nu+1}$ の第 $j$ 座標、$\xi_j=x_j-x_{j-1}$ とすると $\mathcal F^{(\nu)}=A[x][\![\xi_1,\dots,\xi_\nu]\!]$、$x=x_0$ が左構造である。$p_2^\sharp(f)=f(x_2)=f(x_0+\xi_1+\xi_2)=\sum_k\partial^{[k]}f(x_0)\,(\xi_1+\xi_2)^k$ で、$n$ 次の切り捨ては $k\le n$ の和、すなわち普遍微分作用素 $d^n(f)=\sum_{k\le n}\partial^{[k]}f\,\xi^k$ の後に環準同型 $\xi\mapsto\xi_1+\xi_2$ を合成したものである。これが上の命題（余単体層の構造射は微分作用素である）の $\phi$ である。余面射 $\partial^0\colon\mathcal F^{(1)}\to\mathcal F^{(2)}$ は $g(x_0,\xi)\mapsto g(x_0+\xi_1,\xi_2)$ で、$x_0$ についての Taylor 展開を含むから左構造について線型でなく、$n$ 次で切れば $n$ 階以下の微分作用素である。
その後の発展
以下は後代の結果の紹介である。本書は文献の該当箇所を確かめていない。
- 結晶コホモロジーの冪零不変性（1974 年）：原論文 7.2 の見込み a)（結晶景での不変性）は述べたままでは正しくないと原論文の後注が告げ、Berthelot Ber74 が divided power と両立する冪零な厚みについて正しい形を証明した（本書『6-1 結晶景と接続景』）。Berthelot–Ogus BO78 と Stacks（タグ 07GI）は、本頁の余単体層の類似（Čech–Alexander 複体）で結晶コホモロジーを計算する。
- Gauss–Manin 接続と結晶（1968 年以降）：上の注意の見込みは、Katz–Oda KO68 の代数的構成（本書『3-2 Gauss–Manin 接続の代数的構成』）と、結晶コホモロジーの底変換定理（Ber74、BO78）で実現された。
- 特異多様体の de Rham コホモロジー（1975 年）：R. Hartshorne Har75 は標数 $0$ の体上の特異多様体について、滑らかな多様体への埋め込みに沿った形式完備化で de Rham コホモロジーを定義し、$\mathbb C$ 上では $H^*(X^{an},\mathbb C)$ に一致することを示した。Conjecture 4.2・5.1 の問いはこの枠組みで扱われたと本書は理解しているが、文献を開いていない。概説は Illusie Ill94。
原論文との対応表
本頁が対応する原論文は Crystals and the De Rham cohomology of schemes Gro68c である。
| 本頁 | 原論文 | 印字頁 |
|---|---|---|
| 定義（冪零はめ込みに沿った制限）、補題（形式完備化は冪零な違いを見ない） | 小節 5.3 冒頭 | 339–340 |
| 命題（制限関手の定めるトポスの射）、定理（無限小コホモロジーの冪零不変性）、注意（原論文の二つの経路） | 小節 5.3 の同型とその脚注 | 340 |
| 反例（stratifying 景では冪零不変性が成り立たない） | 小節 5.3 | 340 |
| 系（滑らかな持上げの無限小コホモロジーは持上げによらない）、系（標数 0 の de Rham コホモロジーは持上げによらない） | 小節 5.3、Theorem 4.1 | 340–341 |
| 注意（de Rham コホモロジー層の absolute stratification（見込み）） | 小節 5.3 末 | 341 |
| 命題（余単体層の構造射は微分作用素である） | 小節 5.4 | 341–342 |
| 引用する事実 9、定義（解析的な余単体層と形式ファイバー） | 小節 5.5 の Čech–Alexander 余鎖と問い | 342–343 |
| 命題（固有な場合のスペクトル系列の射影極限表示）、命題（解析的な余単体層による計算） | 小節 5.5 | 343 |
| 予想（形式完備化の余単体層による定数層の分解）、注意（形式ファイバーの複体）、命題（Conjecture 5.1 から固有な場合の比較へ） | Conjecture 5.1 とその前後 | 343–344 |
参考文献
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