0-2 de Rham コホモロジーと比較定理の復習

$X=\operatorname{Spec}A$ が affine で $S=\operatorname{Spec}R$ も affine なら、$H^n_{dR}(X/S)$ は大域微分形式の複体のコホモロジー $H^n(\Omega^\bullet_{A/R})$ に等しい。理由は、affine スキーム上の準連接層の高次コホモロジーが消えるので、次の Hodge–de Rham スペクトル系列が一行 $q=0$ に退化することである。$X$ が $k$ 上分離的なら、affine 開被覆 $\mathfrak U$（交わりも affine）について Čech–de Rham 二重複体 $\check C^p(\mathfrak U,\Omega^q_{X/k})$ の全複体のコホモロジーが $H^n_{dR}(X/k)$ を与える。標数 $0$ の体上の affine 空間では $H^0_{dR}(\mathbb A^n_k/k)=k$、$H^i_{dR}(\mathbb A^n_k/k)=0$（$i>0$）である（代数的 Poincaré の補題）。原論文は affine での退化を小節 1.3（印字 p. 308）で「退化する」とだけ述べる。

$f\colon X\to S$ を滑らかな射とする。de Rham 複体の次数による切り捨て $\sigma_{\ge p}\Omega^\bullet_{X/S}$ から、スペクトル系列
$$E_1^{p,q}=R^qf_*\Omega^p_{X/S}\Longrightarrow H^{p+q}_{dR}(X/S)$$
が得られる（原論文の式 (1)、印字 p. 309。$S=\operatorname{Spec}k$ なら $E_1^{p,q}=H^q(X,\Omega^p_{X/k})\Rightarrow H^{p+q}_{dR}(X/k)$）。$d_1$ は外微分 $d$ が誘導する写像で、到達項には減少フィルトレーション $F^pH^n_{dR}$（Hodge フィルトレーション）が入り、$\operatorname{gr}^p_F=E_\infty^{p,n-p}$ である。$k$ が標数 $0$ の体で $X$ が $k$ 上固有かつ滑らかなら系列は $E_1$ で退化し、$\dim_kH^n_{dR}(X/k)=\sum_{p+q=n}\dim_kH^q(X,\Omega^p_{X/k})$ である。標数 $p>0$ の完全体 $k$ の上では、$X$ が $k$ 上固有かつ滑らかで、$\dim X< p$ かつ $X$ が $W_2(k)$ 上へ持上がれば $E_1$ で退化する（Deligne–Illusie、1987 年）が、一般には退化しない。原論文はこの系列を「通常のスペクトル系列」と呼ぶだけで Hodge–de Rham の名も退化の問題も扱わない。

$X$ を複素多様体とし、$\Omega^\bullet_{X}$ を正則微分形式の複体とする。正則 Poincaré の補題により $\Omega^\bullet_X$ は定数層 $\mathbb C_X$ の分解であり、超コホモロジーの第二スペクトル系列が一行に退化して標準同型 $H^n(X,\mathbb C)\cong\mathbf H^n(X,\Omega^\bullet_X)$ が得られる（原論文 1.2、印字 pp. 307–308）。$X$ が Stein空間 なら $H^q(X,\Omega^p_X)=0$（$q>0$）なので、さらに $\mathbf H^n(X,\Omega^\bullet_X)\cong H^n(\Gamma(X,\Omega^\bullet_X))$ である。可微分多様体と $C^\infty$ 微分形式の複体については、各項が細かい層で $\Gamma$ について非輪状なので分解の大域切断がそのままコホモロジーを計算し、$H^n(X,\mathbb C)\cong H^n(\Gamma(X,\mathcal A^\bullet_X))$ が成り立つ（de Rham の定理。原論文 Theorem 1.1、印字 p. 307）。

$X$ を $\mathbb C$ 上局所有限型で滑らかなスキーム、$X^{an}$ を付随する複素多様体とする。代数的微分形式の解析化が定める比較写像
$$\rho\colon H^n_{dR}(X/\mathbb C)=\mathbf H^n(X,\Omega^\bullet_{X/\mathbb C})\longrightarrow\mathbf H^n(X^{an},\Omega^\bullet_{X^{an}})\cong H^n(X^{an},\mathbb C)$$
はすべての $n$ で同型である（Grothendieck Gro66 の Theorem 1′。原論文は Theorem 1.2 として引き、印字 p. 310）。$X$ が固有なら、GAGA（Ser56）が Hodge–de Rham スペクトル系列の $E_1$ 項 $H^q(X,\Omega^p_{X/\mathbb C})\to H^q(X^{an},\Omega^p_{X^{an}})$ の同型を与えるので、スペクトル系列の比較から直ちに従う。一般の場合は affine 開被覆の Čech 型スペクトル系列で affine の場合に帰着し、Hironaka の特異点解消と極をもつ微分形式の局所比較で証明する。系として、標数 $0$ の体 $k$ 上滑らかで分離的・有限型の $X$ について、Lefschetz 原理により $\dim_kH^n_{dR}(X/k)$ は有限で $\ell$ 進 Betti 数 $b_n$（ℓ進コホモロジー $H^n_{\text{ét}}(X_{\bar k},\mathbb Q_\ell)$ の次元、$\ell\ne\operatorname{char}k$）に等しく、$X$ が固有であることは要らない。

$f\colon X\to S$ を滑らかな射とし、相対 de Rham 層を $H^n_{dR}(X/S)=\mathbf R^nf_*\Omega^\bullet_{X/S}$ と置く。$d$ が $f^{-1}\mathcal O_S$ 線型なのでこれは $\mathcal O_S$ 加群である。

1. $f$ が準コンパクトかつ準分離的なら $H^n_{dR}(X/S)$ は準連接である（Hodge–de Rham スペクトル系列の $E_1$ 項 $R^qf_*\Omega^p_{X/S}$ が準連接だから）。
2. $S$ が局所ネーター的で $f$ が固有なら、固有射の有限性定理（EGA3 §3）により $E_1$ 項が連接層なので、$H^n_{dR}(X/S)$ は連接である。とくに $S=\operatorname{Spec}k$ で $X$ が固有なら $H^n_{dR}(X/k)$ は有限次元である。
3. $f$ が準コンパクトかつ準分離的なら、任意の底変換 $g\colon S'\to S$、$X'=X\times_SS'$、$f'\colon X'\to S'$、$g'\colon X'\to X$ について、$\mathcal O_{S'}$ 加群の導来圏で標準同型 $\mathbf Lg^*\mathbf Rf_*\Omega^\bullet_{X/S}\cong\mathbf Rf'_*\Omega^\bullet_{X'/S'}$ がある（$X$ が $S$ 上平坦なので $X$ と $S'$ は $S$ 上 Tor 独立であり、Tor 独立な底変換の定理（Stacks「Derived Categories of Schemes」）が準連接層の複体 $\Omega^\bullet_{X/S}$ に使え、$\mathbf Lg'^*\Omega^\bullet_{X/S}=g'^*\Omega^\bullet_{X/S}=\Omega^\bullet_{X'/S'}$ である。原論文は「Künneth 公式」と呼ぶ）。
4. 個々の層 $H^n_{dR}(X/S)$ が底変換と可換とは限らない。$f$ が固有で $S$ が局所ネーター的かつ被約なら、すべての $n$ で $H^n_{dR}(X/S)$ が局所自由であることと、すべての $n$ で形成が任意の底変換と可換であることとは同値である（EGA3 §7 の型の、コホモロジーと底変換の一般論）。
5. $S$ が標数 $0$ の局所ネーター的スキームで $f$ が固有かつ滑らかなら、$H^n_{dR}(X/S)$ は局所自由で底変換と可換である。原論文（1.3、印字 pp. 309–310）は「超越的論法により」とだけ述べ、参考書『代数的 de Rham コホモロジー』もこれを閉じていない（同書の頁『5-1 相対 de Rham 層と Serre の反例』の「その後の発展」）。本書は後代の定理（Deligne Del68、1968 年。Hodge–de Rham スペクトル系列の相対版の退化と $R^qf_*\Omega^p_{X/S}$ の局所自由性から従う）として引用し、証明は確かめていない。

$k$ を標数 $p>0$ の体とする。標数 $p$ では $d(a^p)=pa^{p-1}da=0$ なので、任意の $X/k$ について $\Gamma(X,\mathcal O_X)^p\subset H^0_{dR}(X/k)$ であり、$X$ が固有でなければ $H^0_{dR}(X/k)$ は一般に無限次元である。affine 直線 $\mathbb A^1_k=\operatorname{Spec}k[x]$ では、$H^0_{dR}(\mathbb A^1_k/k)=k[x^p]$ であり、$H^1_{dR}(\mathbb A^1_k/k)$ は $x^{mp-1}dx$（$m\ge1$）の類を $k$ 基底にもつ。両者とも無限次元であり、$\operatorname{Spec}k$ 上の連接層ではない。標数 $0$ では $H^0_{dR}(\mathbb A^1_k/k)=k$、$H^1_{dR}(\mathbb A^1_k/k)=0$ である。

$k$ を標数 $p>0$ の代数閉体、$Y\subset\mathbb P^3_k$ を $G=\mathbb Z/p$ が自由に作用する非特異曲面、$X=Y/G$ とする。$X$ は固有かつ滑らかな曲面で、
$$\dim_kH^0(X,\Omega^1_{X/k})=0,\qquad\dim_kH^1(X,\mathcal O_X)=1,\qquad\dim_kH^1_{dR}(X/k)=1,\qquad b_1(X)=0$$
である。ここで $b_n(X)=\dim_{\mathbb Q_\ell}H^n_{\text{ét}}(X_{\bar k},\mathbb Q_\ell)$（$\ell\ne p$）は $\ell$ 進 Betti 数である。したがって固有かつ滑らかでも $\dim H^1_{dR}(X/k)\ne b_1(X)$ となる。原論文（1.5、印字 p. 311）はこの例を Gro66 の p. 103（原注 (12)）で指すだけで中身を書かず、$X$ が幾何的に正規なら $\dim H^1_{dR}(X/k)\ge2\dim\operatorname{Pic}_{X/k}$ であること、Riemann–Roch により Euler 標数 $\sum(-1)^n\dim H^n_{dR}(X/k)$ が $\sum(-1)^nb_n(X)$ に一致することを証明なしに述べる。本書は後の二つを確かめていない。

$k$ を体、$S$ を $k$ 上滑らかなスキーム、$f\colon X\to S$ を滑らかな射とする。$\Omega^\bullet_{X/k}$ を $F^p=\operatorname{im}\bigl(f^*\Omega^p_{S/k}\otimes\Omega^{\bullet-p}_{X/k}\to\Omega^\bullet_{X/k}\bigr)$ でフィルターすると $\operatorname{gr}^p=f^*\Omega^p_{S/k}\otimes\Omega^\bullet_{X/S}[-p]$ であり、短完全列 $0\to\operatorname{gr}^1\to F^0/F^2\to\operatorname{gr}^0\to0$ に $\mathbf R^qf_*$ を施した連結準同型
$$\nabla_{GM}\colon H^q_{dR}(X/S)\longrightarrow\Omega^1_{S/k}\otimes_{\mathcal O_S}H^q_{dR}(X/S)$$
は可積分接続である（Katz–Oda KO68）。これを Gauss–Manin接続 という。$k=\mathbb C$ で $f$ が固有なら、$H^q_{dR}(X/S)$ の解析化は $R^qf^{an}_*\mathbb C_{X^{an}}\otimes_{\mathbb C}\mathcal O_{S^{an}}$ に標準同型で、$\nabla_{GM}$ の解析化はその標準接続（水平切断の層が $R^qf^{an}_*\mathbb C_{X^{an}}$）に一致する。$f$ が固有で標数 $0$ なら Hodge フィルトレーション $F^pH^q_{dR}(X/S)$ は局所自由な部分層で、$\nabla_{GM}(F^p)\subset\Omega^1_{S/k}\otimes F^{p-1}$ が成り立つ（Griffiths の横断性）。原論文は 3.2（印字 p. 324）で複素数体上の超越的接続を述べ、3.3 で Manin Man63 の関数体上の構成を、3.4 で任意の滑らかな射に対する導来圏での絶対接続を構成する。Gauss–Manin の名は原論文では 3.3 の見出しに現れるが、上の代数的な定式化は後代のものである。