0-3 エタールコホモロジーと Weil コホモロジーの要請

$X$ を $\mathbb C$ 上分離的で有限型なスキーム、$X^{an}$ をその解析化とする。任意の有限アーベル群 $\Lambda$（より一般に捩れ係数の構成可能層）について、自然な同型
$$H^n(X_{\text{ét}},\Lambda)\cong H^n(X^{an},\Lambda)$$
がある。右辺は古典位相の層コホモロジーで、特異コホモロジーに一致する。$H^n(X^{an},\mathbb Z)$ が有限生成であることと合わせて逆極限をとれば
$$H^n_{\text{ét}}(X,\mathbb Z_\ell)\cong H^n(X^{an},\mathbb Z)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Z_\ell,\qquad H^n_{\text{ét}}(X,\mathbb Q_\ell)\cong H^n(X^{an},\mathbb Q)\otimes_{\mathbb Q}\mathbb Q_\ell$$
を得る。したがって $\mathbb C$ 上では、一つの $\ell$ での $\ell$ 進コホモロジーは整係数コホモロジーの階数と $\ell$ 準素捩れを、すべての $\ell$ を集めれば整係数コホモロジーの全構造を復元し、$\ell$ 進 Betti 数は位相的 Betti 数に一致する。$\mathbb C$ 射 $u\colon X\to X$ の誘導する自己準同型の特性多項式は $H^n(X^{an},\mathbb Q)$ 上のそれに等しく、有理整数係数で $\ell$ によらない。

$k$ を代数閉体、$\ell\ne\operatorname{char}k$ とする。(i) 有限性：$X$ が $k$ 上固有なら $H^n_{\text{ét}}(X,\mathbb Z_\ell)$ は有限生成で、$n>2\dim X$ で消える。(ii) Poincaré 双対：$X$ が $k$ 上固有かつ滑らかで連結、$d$ 次元なら、トレース同型 $H^{2d}_{\text{ét}}(X,\mathbb Q_\ell(d))\cong\mathbb Q_\ell$ があり、カップ積
$$H^n_{\text{ét}}(X,\mathbb Q_\ell)\times H^{2d-n}_{\text{ét}}(X,\mathbb Q_\ell(d))\to H^{2d}_{\text{ét}}(X,\mathbb Q_\ell(d))\cong\mathbb Q_\ell$$
は完全対をなす。ここで $(d)$ は Tate 捻り（$\mathbb Z_\ell(1)=\varprojlim_\nu\mu_{\ell^\nu}$ を $d$ 回テンソルしたもの）で、$k$ が代数閉なら $\mathbb Q_\ell$ ベクトル空間としては $\mathbb Q_\ell$ に同型である。特に $b_n(X)=b_{2d-n}(X)$。(iii) Künneth 公式：$X$、$Y$ が固有なら $H^n_{\text{ét}}(X\times_kY,\mathbb Q_\ell)\cong\bigoplus_{i+j=n}H^i_{\text{ét}}(X,\mathbb Q_\ell)\otimes_{\mathbb Q_\ell}H^j_{\text{ét}}(Y,\mathbb Q_\ell)$。(iv) サイクル類：$X$ が滑らかなら余次元 $q$ の閉部分多様体 $Z$ に類 $\mathrm{cl}(Z)\in H^{2q}_{\text{ét}}(X,\mathbb Q_\ell(q))$ が対応し、横断的な交叉がカップ積に対応する。

$X$ を $\mathbb F_q$ 上固有かつ滑らかなスキーム、$\bar X=X\otimes_{\mathbb F_q}\bar{\mathbb F}_q$、$F\colon\bar X\to\bar X$ を $q$ 乗 Frobenius 射（座標を $q$ 乗する $\bar{\mathbb F}_q$ 射）、$\ell\ne p$ とする。$F^m$ の固定点の集合は $X(\mathbb F_{q^m})$ であり、
$$\#X(\mathbb F_{q^m})=\sum_{n=0}^{2\dim X}(-1)^n\operatorname{Tr}\bigl(F^{m*}\,\big|\,H^n_{\text{ét}}(\bar X,\mathbb Q_\ell)\bigr)$$
が成り立つ（Grothendieck の Lefschetz 不動点公式。固有かつ滑らかな場合は、有限性・Poincaré 双対・Künneth 公式・サイクル類の形式から従う公式 $\sum_n(-1)^n\operatorname{Tr}(F^{m*})=(\Gamma_{F^m}\cdot\Delta)$ と、$dF=0$ ゆえに $\Gamma_{F^m}$ と対角線 $\Delta$ が横断的に交わることから導かれる。固有でない分離的有限型の $X$ にはコンパクト台コホモロジーで同じ式が成り立つ）。$P_n(t)=\det(1-F^*t\mid H^n_{\text{ét}}(\bar X,\mathbb Q_\ell))\in\mathbb Q_\ell[t]$ と置けば
$$Z(X,t)=\prod_{n=0}^{2\dim X}P_n(t)^{(-1)^{n+1}}=\frac{P_1(t)P_3(t)\cdots P_{2\dim X-1}(t)}{P_0(t)P_2(t)\cdots P_{2\dim X}(t)}$$
となり、$Z(X,t)$ は $\mathbb Q_\ell(t)$ の元で、しかも $\mathbb Q[\![t]\!]$ に入るので $\mathbb Q(t)$ の元である（有理性）。有理性そのものは Dwork Dwo60 が 1960 年に $p$ 進解析の方法で先に証明した（任意の有限型 $X$ について）。

$X$ を $\mathbb F_q$ 上射影的で滑らか、幾何的に連結で $d$ 次元とする。Weil Wei49（1949 年）は次を予想した。(i) 有理性：$Z(X,t)\in\mathbb Q(t)$。(ii) 関数等式：$E$ を対角線の自己交点数（$\ell$ 進 Euler 標数 $\sum_n(-1)^nb_n(X)$ に等しい）として $Z(X,1/(q^dt))=\pm q^{dE/2}t^EZ(X,t)$。(iii) Riemann 予想：$Z(X,t)=\prod_{n=0}^{2d}P_n(t)^{(-1)^{n+1}}$ と書けて $P_n(t)\in\mathbb Z[t]$、$P_0=1-t$、$P_{2d}=1-q^dt$、各 $P_n(t)=\prod_j(1-\alpha_{nj}t)$ の $\alpha_{nj}$ は代数的整数で、任意の複素埋め込みで絶対値 $q^{n/2}$ をもつ。(iv) Betti 数：$X$ が、剰余体 $\mathbb F_q$ で商体が標数 $0$ の離散付値環 $R$ 上の射影的で滑らかなスキーム $\mathcal X$ の閉ファイバーなら、$\deg P_n$ は生成ファイバー $\mathcal X\otimes_R\mathbb C$（商体の $\mathbb C$ への埋め込みを一つ選ぶ）の複素点の $n$ 次 Betti 数に等しい。これらは、Dwork Dwo60（(i)、1960 年）、Grothendieck らの $\ell$ 進コホモロジー（(i)・(ii)・(iv) と $P_n$ の Frobenius の特性多項式としての記述、1960 年代）、Deligne Del74（(iii)、1974 年）によって証明された。(iii) の帰結として $P_n(t)=\det(1-F^*t\mid H^n_{\text{ét}}(\bar X,\mathbb Q_\ell))$ と $b_n(X)=\deg P_n$ は $\ell$ によらない。有限体上とは限らない標数 $p$ の代数閉体上でも、有限体上のモデルと固有滑らかな底変換で帰着して $b_n(X)$ の $\ell$ 独立性が従う。

$k$ を標数 $p>0$ の代数閉体、$E$ を $k$ 上の楕円曲線とする。$E$ が超特異であるとは、$p$ 捩れ点の群 $E[p](k)$ が自明であること（同値に、$E$ の $p$ 階数が $0$ であること）をいい、そうでなければ $E[p](k)\cong\mathbb Z/p$ で、$E$ は通常であるという。Deuring（1941 年 Deu41）：$\operatorname{End}(E)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q$ は、$E$ が通常なら $\mathbb Q$ または虚二次体（$j(E)$ が $\mathbb F_p$ 上代数的、たとえば $k=\bar{\mathbb F}_p$ なら虚二次体、$j(E)$ が $\mathbb F_p$ 上超越的なら $\mathbb Q$）、超特異なら $\mathbb Q$ 上の四元数体 $B_{p,\infty}$、すなわち $p$ と $\infty$ でちょうど分岐する四元数体（$B\otimes_{\mathbb Q}\mathbb Q_p$ と $B\otimes_{\mathbb Q}\mathbb R$ が可除環で、$\ell\ne p$ なる素数では $B\otimes_{\mathbb Q}\mathbb Q_\ell\cong M_2(\mathbb Q_\ell)$）であり、後者では $\operatorname{End}(E)$ は $B_{p,\infty}$ の極大整環である。各 $p$ について超特異楕円曲線は存在し、同型類は有限個（おおよそ $p/12$ 個）で、すべて $\mathbb F_{p^2}$ 上のモデルをもつ。

$k$ を標数 $p>0$ の代数閉体、$H^*$ を係数体 $K$ の Weil コホモロジー、$E$ を超特異楕円曲線、$B=\operatorname{End}(E)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q=B_{p,\infty}$ とする。Weil コホモロジーの公理から $\dim_KH^1(E)=2$ であり（Lefschetz 不動点公式を恒等射に用いると $\dim H^0(E)-\dim H^1(E)+\dim H^2(E)=(\Delta_E\cdot\Delta_E)=\deg T_E=0$ で、$H^0(E)\cong H^2(E)\cong K$）、関手性により（加法性は $E$ の群法則の引き戻しから従う）、単位的 $K$ 代数の反準同型 $B\otimes_{\mathbb Q}K\to\operatorname{End}_K(H^1(E))\cong M_2(K)$ が得られる。$B\otimes_{\mathbb Q}K$ は $K$ 上 $4$ 次元の中心単純環なので、この写像は単射、次元を比べて全単射である。したがって $B\otimes_{\mathbb Q}K\cong M_2(K)^{\mathrm{op}}\cong M_2(K)$、すなわち $B$ は $K$ 上で分裂する。ところが $K$ が $\mathbb Q_p$ または $\mathbb R$ に埋め込めるなら、$B\otimes_{\mathbb Q}K$ は可除環 $B\otimes_{\mathbb Q}\mathbb Q_p$ または $B\otimes_{\mathbb Q}\mathbb R$（Hamilton の四元数体）の有限次元部分環なので可除環であり、$M_2(K)$ とは同型でない。よって係数体 $K$ は $\mathbb Q_p$ にも $\mathbb R$ にも埋め込めず、特に $K=\mathbb Q_p$、$\mathbb R$、$\mathbb Q$ の Weil コホモロジーは存在しない。この議論は Serre の指摘として原論文 1.7 に記録されている。本書『1-2 ℓ 進コホモロジーの批判と p 進コホモロジーの要請』で、$\mathbb Z_p$ 係数の形も含めて証明する。

$k$ を標数 $p>0$ の代数閉体とする。(i) $g$ 次元アーベル多様体 $A$ について、$\ell\ne p$ なら $H^1_{\text{ét}}(A,\mathbb Z_\ell)\cong\operatorname{Hom}_{\mathbb Z_\ell}(T_\ell A,\mathbb Z_\ell)$ は階数 $2g$ の自由 $\mathbb Z_\ell$ 加群である（$T_\ell A=\varprojlim_\nu A[\ell^\nu](k)\cong\mathbb Z_\ell^{2g}$ は Tate 加群）。一方 $A[p^\nu](k)\cong(\mathbb Z/p^\nu)^r$（$0\le r\le g$ は $A$ の $p$ 階数）なので $T_pA\cong\mathbb Z_p^r$ で、同じ定義で作った $H^1_{\text{ét}}(A,\mathbb Z_p)\cong\operatorname{Hom}(T_pA,\mathbb Z_p)$ の階数は $r\le g<2g$ であり、超特異楕円曲線では $0$ である。位数 $p^{2g}$ の $p$ 捩れ群スキーム $A[p]$ のうち $k$ 有理点に現れるのは $p^r$ 個だけで、残り（相対 Frobenius の核 $\ker F_A$ などの被約でない部分）はエタール位相にもエタールコホモロジーにも現れない。(ii) $X$ を $k$ 上固有な $d$ 次元スキームとすると、$n>d$ で $H^n(X_{\text{ét}},\mathbb Z/p)=0$ である。実際、Artin–Schreier 列 $0\to\mathbb Z/p\to\mathcal O_X\xrightarrow{F-1}\mathcal O_X\to0$（エタール位相で完全）の長完全列で $H^n(X_{\text{ét}},\mathbb Z/p)$ は $H^{n-1}(X,\mathcal O_X)$ 上の $F-1$ の余核と $H^n(X,\mathcal O_X)$ 上の $F-1$ の核とにはさまれ、$n>d$ で $H^n(X,\mathcal O_X)=0$、有限次元 $k$ ベクトル空間 $H^d(X,\mathcal O_X)$ 上の $p$ 線形写像 $F$ について $F-1$ は全射である（$k$ は代数閉）。固有でない有限型 $X$ では $H^n(X,\mathcal O_X)$ が有限次元でなく $F-1$ の全射性がそのままでは使えないので、同じ列から分かるのは $n>d+1$ での消滅である（$p$ コホモロジー次元 $\le d+1$。SGA4 X。本書は該当箇所を確かめていない）。したがって $X$ が固有かつ滑らかで $d\ge1$ でも $H^{2d}(X_{\text{ét}},\mathbb Z/p)=0$ であり、$\mathbb Z/p$ 係数のエタールコホモロジーには Poincaré 双対がない。

$k$ を標数 $p>0$ の完全体、$W=W(k)$ とする。
(i) $W$ は $p$ を素元とする完備離散付値環で、剰余体は $k$、標数は $0$ である。特に $W$ は整域で $p$ は零因子でなく、$p^mW=V^mW$ なので $W/p^mW$ は長さ $m$ の Witt ベクトル環（本書の記号では $W_n=W/p^{n+1}W$）。$K=W[1/p]$ はその商体で、$p$ が素元のまま（絶対不分岐）の完備離散付値体である。
(ii) Teichmüller 代表：$[a]=(a,0,0,\dots)$ と置くと $[\,\cdot\,]\colon k\to W$ は乗法的（$[ab]=[a][b]$）な、剰余写像 $W\to k$ の切断であり、$W$ の各元は $\sum_{n\ge0}p^n[a_n]$（$a_n\in k$）の形に一意に書ける。
(iii) Frobenius と Verschiebung：$F(a_0,a_1,\dots)=(a_0^p,a_1^p,\dots)$ は環の自己同型で、$k$ の Frobenius $a\mapsto a^p$ を持ち上げる（$F(x)\equiv x^p\pmod{pW}$）。$V$ は加法的で $FV=VF=p$、$V(x)\,y=V(x\,F(y))$ をみたす。
(iv) 普遍性：$A$ を $p$ 進完備分離な環、$\varphi\colon k\to A/pA$ を環準同型とすると、$\varphi$ を持ち上げる環準同型 $W(k)\to A$ がただ一つ存在する。特に、$p$ を素元とし剰余体が $k$ である完備離散付値環は $W(k)$ にただ一通りに同型であり、剰余体が $k$ の混標数 $(0,p)$ の完備離散付値環は $W(k)$ 上有限な全分岐拡大の整数環である。
(v) 例：$W(\mathbb F_p)=\mathbb Z_p$（Teichmüller 代表は $0$ と $1$ の $p-1$ 乗根）。$W(\mathbb F_{p^n})$ は $\mathbb Q_p$ の $n$ 次不分岐拡大の整数環で、$F$ はその Frobenius 元を与える。$W(\bar{\mathbb F}_p)$ は $\mathbb Q_p$ の最大不分岐拡大の整数環の $p$ 進完備化である。