0-4 形式スキーム・持上げ・divided power

$k$ を標数 $p>0$ の完全体、$W=W(k)$ を Witt ベクトル環とする。$W$ は $p$ を素元とする完備離散付値環で、剰余体は $k$、商体 $K=W[1/p]$ は標数 $0$、付値 $v$ は $v(p)=1$ と正規化する。$v(n!)=(n-s_p(n))/(p-1)$（$s_p(n)$ は $n$ の $p$ 進展開の桁の和）、したがって $v(n!)\le(n-1)/(p-1)$、$v(n)\le\log_pn$ である。$W$ 代数 $A$ の $p$ 進完備化は $\hat A=\varprojlim_nA/p^nA$ である。多項式環 $W[t_1,\dots,t_n]$ の $p$ 進完備化を制限冪級数環といい $W\{t_1,\dots,t_n\}$ と書く。それは形式冪級数 $\sum_\alpha a_\alpha t^\alpha$（$\alpha\in\mathbb N^n$、$|\alpha|=\alpha_1+\dots+\alpha_n$）で $|\alpha|\to\infty$ のとき $v(a_\alpha)\to\infty$ となるもの全体の環であり、$W[t]\subset W\{t\}\subset W[\![t]\!]$、$W\{t\}/pW\{t\}=k[t]$ で、$W\{t\}$ はネーター環である。$K\{t\}=W\{t\}\otimes_WK$ は閉単位多重円板上の解析関数の環（Tate 代数）にあたる。$p$ 進完備分離な（$\mathfrak A\cong\hat{\mathfrak A}$ なる）$W$ 代数 $\mathfrak A$ に対し、affine 形式スキーム $\operatorname{Spf}\mathfrak A$ とは、スキームの増大列 $X_n=\operatorname{Spec}\mathfrak A/p^{n+1}\mathfrak A$ の帰納極限、すなわち位相空間 $X_0$ に構造層 $\varprojlim_n\mathcal O_{X_n}$ を載せた環付き空間であり、$S=\operatorname{Spec}W$ 上の形式スキーム $\mathfrak X$ はこれを貼り合わせたものである。$W$ 上固有なスキーム $X$ と連接層 $\mathcal F$ について $H^q(X,\mathcal F)\cong\varprojlim_nH^q(X_n,\mathcal F_n)$ が成り立つ（形式関数の定理、EGA III 4）。$\mathfrak X$ の相対微分形式は $\Omega^1_{\mathfrak X/S}=\varprojlim_n\Omega^1_{X_n/S_n}$（$S_n=\operatorname{Spec}W/p^{n+1}W$）で定め、$\mathfrak A=W\{t\}$ のときは $\Omega^1_{W\{t\}/W}=W\{t\}\,dt$、$d(\sum a_nt^n)=\sum na_nt^{n-1}dt$ である。

環の準同型 $A\to B$ が形式的滑らかであるとは、任意の $A$ 代数 $C'$ と冪零イデアル $N\subset C'$（平方零 $N^2=0$ の場合に確かめれば十分）について、任意の $A$ 代数の準同型 $B\to C'/N$ が $A$ 代数の準同型 $B\to C'$ に持ち上がることをいう。持上げが高々一つのとき形式的不分岐、ちょうど一つのとき形式的エタールという（EGA $0_{\mathrm{IV}}$ §19（形式的滑らかは 19.3、形式的不分岐・エタールは 19.10。番号は本書では確かめていない）。EGA は位相環について定義する）。スキームの射 $f\colon X\to S$ が形式的滑らかであるとは、任意の affine $S$ スキーム $T'$ と平方零イデアルによる閉部分スキーム $T\subset T'$ について、任意の $S$ 射 $T\to X$ が $S$ 射 $T'\to X$ に延びることをいう。$f$ が滑らか（エタール）であることは、局所有限表示かつ形式的滑らか（形式的エタール）であることと同値である（EGA IV 17.1、17.3）。基本的な事実：(a) 多項式環 $A[t_1,\dots,t_n]$ は $A$ 上形式的滑らかで、形式的滑らかさは底変換・合成・局所化で保たれる。体の分離拡大 $k\subset L$ も形式的滑らかである。(b) $A\to B$ が形式的滑らかで $\partial\colon A\to A$ が導分なら、$B$ の導分 $D$ で $D(a\cdot1_B)=\partial(a)\cdot1_B$ となるものが存在する（$B[\varepsilon]=B\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Z[\varepsilon]/(\varepsilon^2)$ を $a\mapsto a+\partial(a)\varepsilon$ で $A$ 代数と見て、恒等写像 $B\to B$ を $B\to B[\varepsilon]$ に持ち上げる。原論文 3.3 は EGA $0_{\mathrm{IV}}$ 20 の $\operatorname{Exalcom}_A(B,B)=0$ から導く）。(c) $X\to S$ が滑らかで、$U\subset X$ が開、$U\hookrightarrow T$ が冪零な $S$ はめ込みなら、$T$ の各点のある近傍で $S$ 射 $T\to X$ が包含 $U\to X$ を延長する（イデアルの冪で濾過して平方零の段を重ねる。局所レトラクション）。

$S\hookrightarrow S'$ を、イデアル層 $I$ で $I^2=0$ なる閉埋め込み（平方零拡大）とする。$I$ は $\mathcal O_S$ 加群である。$S$ 上滑らかなスキーム $X$ の $S'$ への持上げとは、$S'$ 上滑らかなスキーム $X'$ と $S$ 同型 $X'\times_{S'}S\cong X$ の組をいう。$X'$ は $S'$ 上平坦なので $I\mathcal O_{X'}\cong I\otimes_{\mathcal O_S}\mathcal O_X$、$\Omega^p_{X'/S'}\otimes_{\mathcal O_{X'}}\mathcal O_X\cong\Omega^p_{X/S}$ である。$k$ 上のスキーム $X_0$ を $W/p^{n+1}W$ の上へ持ち上げる問題は、$S_{n-1}=\operatorname{Spec}W/p^nW\hookrightarrow S_n=\operatorname{Spec}W/p^{n+1}W$（イデアル $p^nW/p^{n+1}W\cong k$）に沿った持上げを一段ずつ重ねる問題であり、$W$ 上の形式的持上げ $\mathfrak X$ とは全部の段の両立する系 $(X_n)_n$ のことである。

$W$ 係数の形式冪級数 $f=\sum_\alpha a_\alpha t^\alpha\in W[\![t_1,\dots,t_n]\!]$ が過収束であるとは、ある実数 $\rho>0$ と整数 $N$ があって $|\alpha|\ge N$ のとき $v(a_\alpha)\ge\rho|\alpha|$ となることをいう（同じことだが、ある $\rho>0$ と定数 $c$ ですべての $\alpha$ について $v(a_\alpha)\ge\rho|\alpha|-c$）。過収束級数全体は環をなし、これを $W\{t_1,\dots,t_n\}^\dagger$ と書いて $W[t]$ の弱完備化という。$W[t]\subset W\{t\}^\dagger\subset W\{t\}$ であり、$W\{t\}^\dagger/pW\{t\}^\dagger=k[t]$ である（$\rho|\alpha|\ge1$ となる項は $p$ で割れるので、法 $p$ では有限個の項しか残らない）。絶対値 $|x|=p^{-v(x)}$ で見ると、$f$ が過収束であることは、ある $r>1$ について $|a_\alpha|r^{|\alpha|}\to0$、すなわち $f$ が半径 $1$ より大きいある閉多重円板の上で収束することと同値である（$v(a_\alpha)\ge\rho|\alpha|$ なら $1< r< p^\rho$ でよく、逆に $|a_\alpha|r^{|\alpha|}\le1$ なら $\rho=\log_pr$ でよい）。有限生成 $W$ 代数 $A=W[t_1,\dots,t_n]/I$ の弱完備化を $A^\dagger=W\{t\}^\dagger/IW\{t\}^\dagger$ で定める（Monsky–Washnitzer の内在的な定義との一致は本書は確かめていない）。$W\{t_1,\dots,t_n\}^\dagger$ の商環を Monsky–Washnitzer 代数（M–W 代数、弱完備有限生成代数）という。$k$ 上有限型で滑らかな代数 $A_0$ の M–W 持上げとは、$W$ 上平坦な M–W 代数 $A^\dagger$ と $k$ 同型 $A^\dagger/pA^\dagger\cong A_0$ の組をいう。$A=W\{t\}^\dagger$ の相対微分形式は $\Omega^1=W\{t\}^\dagger dt$ で、$d$ は形式微分の制限である（$v(na_n)\ge v(a_n)$ なので過収束性は保たれる）。ここで $\Omega^1$ は Kähler 微分加群そのものではなく、$p$ 進分離な加群への $W$ 導分の普遍対象（Kähler 微分加群の分離商）である。$W\{t\}$ について射影極限で定めた約束と同じ趣旨で、Monsky–Washnitzer もこの意味で用いる。

環 $A$ のイデアル $J$ 上の divided power 構造（分割冪構造、PD 構造）とは、写像の族 $\gamma_n\colon J\to A$（$n\ge0$）で次を満たすものをいう。(1) $\gamma_0(x)=1$、$\gamma_1(x)=x$、$n\ge1$ なら $\gamma_n(x)\in J$。(2) $\gamma_n(x+y)=\sum_{i+j=n}\gamma_i(x)\gamma_j(y)$。(3) $a\in A$ について $\gamma_n(ax)=a^n\gamma_n(x)$。(4) $\gamma_m(x)\gamma_n(x)=\binom{m+n}{m}\gamma_{m+n}(x)$。(5) $\gamma_m(\gamma_n(x))=\dfrac{(mn)!}{m!\,(n!)^m}\gamma_{mn}(x)$。(4) から $n!\,\gamma_n(x)=x^n$ となるので $\gamma_n(x)$ は「$x^n/n!$」の役をし、原論文は $x^{(n)}$ と書く。組 $(J,\gamma)$ を PD イデアル、$(A,J,\gamma)$ を PD 環という。$\gamma$ と両立する環準同型を PD 準同型という。$J'\subset J$ が部分 PD イデアルであるとは $\gamma_n(J')\subset J'$（$n\ge1$）なることをいい、このとき $A/J'$ のイデアル $J/J'$ に $\gamma$ が降りる。$J^{[n]}$ を、$\sum n_i\ge n$ なる積 $\gamma_{n_1}(x_1)\cdots\gamma_{n_r}(x_r)$（$x_i\in J$）が生成するイデアルとする（$J^n\subset J^{[n]}$）。ある $N$ で $J^{[N]}=0$ となるとき $\gamma$ を PD 冪零という。これは原論文 7.2 の脚注が言う「$\sum n_i$ が大きいとき $\gamma_{n_1}(x_1)\cdots\gamma_{n_r}(x_r)=0$」と同じ条件であり、$J$ 自身が冪零であることより強い。