3-4 標準的 stratification の非存在

段 1（四つの層）．各ファイバー $E_t$ は $k(t)$ 上の楕円曲線で、$h^0(\mathcal O)=h^1(\mathcal O)=h^0(\Omega^1)=h^1(\Omega^1)=1$（$\Omega^1_{E_t}\cong\mathcal O_{E_t}$ による）。$\mathcal O_E$、$\Omega^1_{E/T}$ は $T$ 上平坦な連接層（$g$ は滑らか）なので、引用する事実 1 により $g_*\mathcal O_E$、$R^1g_*\mathcal O_E$、$g_*\Omega^1_{E/T}$、$R^1g_*\Omega^1_{E/T}$ は階数 $1$ の局所自由で底変換と可換である。標準射 $\mathcal O_T\to g_*\mathcal O_E$ は各ファイバーで同型 $k(t)\to H^0(E_t,\mathcal O)$ を誘導するので、局所自由層の間の射として同型である。
段 2（$d_1$ の消滅）．$\Omega^2_{E/T}=0$ なので、スペクトル系列 $E_1^{a,b}=R^bg_*\Omega^a_{E/T}\Rightarrow H^{a+b}_{dR}(E/T)$ の $E_1$ 項は四つで、$d_1$ は $g_*\mathcal O_E\to g_*\Omega^1_{E/T}$ と $R^1g_*\mathcal O_E\to R^1g_*\Omega^1_{E/T}$ だけである。前者は $d_{E/T}$ の $\mathcal O_T$ への制限で $0$ である。後者は、各ファイバー $E_t$ で $H^1(E_t,\mathcal O)\to H^1(E_t,\Omega^1)$ となる。零切断の像 $P=O(t)$ を取り、affine 開被覆 $U_0=E_t\setminus\{P\}$、$U_1\ni P$ で Čech 計算すると（Čechコホモロジー）、$H^1(E_t,\mathcal O)$ の類 $(h_{01})$ の像は $(dh_{01})$ の類で、引用する事実 2 によりそれは $\operatorname{res}_P(dh_{01})=0$ である。両辺が局所自由で底変換と可換、$T$ が被約なので、すべてのファイバーで $0$ の射は $0$ である。
段 3（完全列と局所自由性）．$d_1=0$ なので系列は $E_1$ で退化し、$H^1_{dR}(E/T)$ は $g_*\Omega^1_{E/T}$ を部分層、$R^1g_*\mathcal O_E$ を商層とする拡大になる。両端が局所自由なので $H^1_{dR}(E/T)$ は階数 $2$ の局所自由である。
段 4（ファイバーとの比較）．$k(t)$ 上でも段 2 と同じ議論で $0\to H^0(E_t,\Omega^1)\to H^1_{dR}(E_t)\to H^1(E_t,\mathcal O)\to0$ は完全である。段 3 の列を $k(t)$ でテンソルした列は、商層が平坦なので完全のままであり、de Rham 複体の引き戻しが定める標準写像により $E_t$ の列へ写る。両端の写像は段 1 の底変換で同型なので、五項補題により中央も同型である。

段 1（複体の射）．$F^\sharp\colon\Omega^\bullet_{C^{(p)}/K}\to F_*\Omega^\bullet_{C/K}$ は次数 $1$ で $0$ である。実際、局所的に $\mathcal O_{C^{(p)}}=\mathcal O_C\otimes_{K,\mathrm{Fr}_K}K$ で $F^\sharp(b\otimes c)=cb^p$ であり、$d$ は $K$ 線型で $d(b^p)=pb^{p-1}db=0$ なので、$F^\sharp(a\,db)=F^\sharp(a)\,d(F^\sharp(b))=0$ である。よって次数 $0$ の成分 $F^\sharp_0\colon\mathcal O_{C^{(p)}}\to F_*\mathcal O_C$ は $\ker(d)\subset F_*\mathcal O_C$ に値を取り、$F^\sharp$ は複体の射として $\Omega^\bullet_{C^{(p)}}\to\mathcal O_{C^{(p)}}[0]\to F_*(\ker d)[0]\hookrightarrow F_*\Omega^\bullet_C$ と分解する（最初の射は次数 $0$ で恒等、最後の射は $\ker d\to\Omega^1_C$ が $0$ なので複体の射である）。$H^1$ を取ると、$F^*$ は射影 $H^1_{dR}(C^{(p)})\to H^1(C^{(p)},\mathcal O)$ を経由し、続く $H^1(C^{(p)},\mathcal O)\to H^1(C,\ker d)\to H^1_{dR}(C)$ を射影 $H^1_{dR}(C)\to H^1(C,\mathcal O)$ と合成したものは $H^1(F^\sharp_0)=\mathrm{HW}_C$ である。これが 1 である。Hodge 部分 $H^0(C^{(p)},\Omega^1)\to H^1_{dR}(C^{(p)})$ は $\Omega^1[-1]\to\Omega^\bullet$ が誘導し、$F^\sharp$ は次数 $1$ で $0$ なので $F^*$ はこれを殺す。
段 2（2 と 3）．複体の短完全列 $0\to\Omega^1_C[-1]\to\Omega^\bullet_C\to\mathcal O_C[0]\to0$ の長完全列 $H^0(\mathcal O)\xrightarrow{d}H^0(\Omega^1)\to H^1_{dR}(C)\to H^1(\mathcal O)$ で、最初の $d$ は $H^0(\mathcal O_C)=K$ 上 $0$ なので $H^0(\Omega^1)\to H^1_{dR}(C)$ は単射、その像は射影の核である。$\mathrm{HW}_C=0$ なら 1 により $F^*$ の像は射影の核に入る。これが 2。$C^{(p)}$ は $C$ の $\mathrm{Fr}_K$ による底変換で、$F^{(p)}$ は $F$ の同じ底変換であり、引用する事実 7 の平坦底変換により $\mathrm{HW}_{C^{(p)}}=\mathrm{HW}_C\otimes_{K,\mathrm{Fr}_K}K$、とくに一方が $0$ なら他方も $0$。これが 3。
段 3（4）．$\mathrm{HW}_C=0$ とする。3 により $\mathrm{HW}_{C^{(p)}}=0$、2 を $C^{(p)}$ に当てて $(F^{(p)})^*$ の像は $H^0(C^{(p)},\Omega^1)$ に入り、段 1 により $F^*$ はそれを殺すので $\pi_C=0$。逆に $\mathrm{HW}_C\ne0$ とする。1 を二度使うと、$\pi_C$ を $H^1(C,\mathcal O)$ へ射影したものは $\mathrm{HW}_C\circ\mathrm{HW}_{C^{(p)}}\circ(\text{射影 }H^1_{dR}(C^{(p^2)})\to H^1(C^{(p^2)},\mathcal O))$ である。射影は上の定理（楕円曲線の族の相対 de Rham 層）の段 4 を $C^{(p^2)}$ に当てて全射、$\mathrm{HW}_C$ と $\mathrm{HW}_{C^{(p)}}$ は $1$ 次元空間の間の非零写像なので同型である。よって $\pi_C\ne0$。

段 1（近傍の制限）．$t$ が $k$ 有理点なので $\{t\}\times_kT=T$ であり、$T\times_kT$ の閉部分スキーム $\{t\}\times_kT$ の上で対角線のイデアル $I$（局所的に $a\otimes1-1\otimes a$ で生成）の像は $a(t)-a$ で生成される。$t$ の affine 近傍 $\operatorname{Spec}R$ ではこれは極大イデアル $\mathfrak m_t\subset R$ そのもので、$t$ の外では単位イデアルである。よって $\Delta^{(n)}_{T/k}\times_{T\times_kT}(\{t\}\times_kT)$ は $T_n^{(t)}:=\operatorname{Spec}\mathcal O_{T,t}/\mathfrak m_t^{n+1}$（$t$ の $n$ 次無限小近傍）で、その上で $p_1$ は定値写像 $t$、$p_2$ は包含 $T_n^{(t)}\hookrightarrow T$ である。
段 2（水平性の制限）．$\varphi^{\mathcal A}_n$ を $T_n^{(t)}$ に制限すると同型 $\mathcal A_t\otimes_k\mathcal O_{T_n^{(t)}}\cong\mathcal A|_{T_n^{(t)}}$（$\mathcal A_t:=\mathcal A\otimes k(t)$）が得られ、$\mathcal B$ も同様である。$\pi$ の水平性をこの制限で読むと、これらの同型の下で $\pi_t\otimes1=\pi|_{T_n^{(t)}}$ である。$\pi_t=0$ なので $\pi|_{T_n^{(t)}}=0$、すなわち茎 $\pi_{(t)}\colon\mathcal A_{(t)}\to\mathcal B_{(t)}$（有限生成 $\mathcal O_{T,t}$ 加群の間の射）について $\pi_{(t)}(\mathcal A_{(t)})\subset\mathfrak m_t^{n+1}\mathcal B_{(t)}$ がすべての $n$ で成り立つ。
段 3（Krull）．引用する事実 3 を $N=\mathcal B_{(t)}$ に当てて $\bigcap_n\mathfrak m_t^{n+1}\mathcal B_{(t)}=0$、よって $\pi_{(t)}=0$。$\pi$ は連接層 $\mathcal{H}om_{\mathcal O_T}(\mathcal A,\mathcal B)$ の切断で、その茎が $t$ で $0$ なので、$t$ のある開近傍で $0$ である。

段 1（連結準同型）．完全列 $0\to\mathcal O_{\mathbb P^2}(-3)\xrightarrow{\cdot f}\mathcal O_{\mathbb P^2}\to\mathcal O_C\to0$ の長完全列と $H^1(\mathbb P^2,\mathcal O)=H^2(\mathbb P^2,\mathcal O)=0$（引用する事実 4）から、連結準同型 $\delta\colon H^1(C,\mathcal O_C)\xrightarrow{\sim}H^2(\mathbb P^2,\mathcal O(-3))$ を得る。アーベル群の層の射 $\Phi\colon\mathcal O(-3)\to\mathcal O(-3)$、$\eta\mapsto f^{p-1}\eta^p$（$\eta^p$ は $\mathcal O(-3p)$ の切断、$f^{p-1}$ は $\mathcal O(3p-3)$ の大域切断。標数 $p$ なので加法的）は $\mathcal O\to\mathcal O$、$h\mapsto h^p$ と可換（$f\cdot f^{p-1}\eta^p=(f\eta)^p$）で、余核 $\mathcal O_C$ の上に $h\mapsto h^p$ を誘導する。よって短完全列の射をなし、$\delta$ は $H^1(C,\mathcal O_C)$ 上の Frobenius と $H^2(\mathbb P^2,\mathcal O(-3))$ 上の $\Phi_*$ を交換する。
段 2（Čech 計算）．引用する事実 4 により $H^2(\mathbb P^2,\mathcal O(-3))$ は $(XYZ)^{-1}$ の類を基底とし、Čech 余鎖の上で $\Phi$ は $(XYZ)^{-1}\mapsto f^{p-1}(XYZ)^{-p}$ である。$f^{p-1}$ の単項式 $X^iY^jZ^l$（$i+j+l=3p-3$）について $X^{i-p}Y^{j-p}Z^{l-p}$ の指数がすべて負であるのは $i,j,l\le p-1$、すなわち $i=j=l=p-1$ のときだけで、他の単項式は余境界の像に入る。よって $\Phi_*[(XYZ)^{-1}]=A(f)[(XYZ)^{-1}]$ であり、基底 $\delta^{-1}[(XYZ)^{-1}]$ について Frobenius は $A(f)$ 倍である。
段 3（相対 Frobenius への読み替え）．絶対 Frobenius は $w\circ F$（$w\colon C^{(p)}\to C$ は射影）で、$w^*\colon H^1(C,\mathcal O)\to H^1(C^{(p)},\mathcal O)=H^1(C,\mathcal O)\otimes_{K,\mathrm{Fr}_K}K$ は $\xi\mapsto\xi\otimes1$ で、その像は $K$ 上全体を張る。$K$ 線型な $\mathrm{HW}_C=F^*$ について $\mathrm{HW}_C=0\iff\mathrm{HW}_C\circ w^*=0\iff A(f)=0$。
段 4（二つの族）．Legendre 族：$f^{p-1}=\sum_j\binom{p-1}j(Y^2Z)^j(-X(X-Z)(X-\lambda Z))^{p-1-j}$ で $Y^{p-1}$ を出す項は $j=m$ だけであり、その項は $\binom{p-1}m(-1)^mY^{p-1}Z^mX^m(X-Z)^m(X-\lambda Z)^m$ である。$(X-Z)^m(X-\lambda Z)^m$ の $X^mZ^m$ の係数は $\sum_{i=0}^m\binom mi(-1)^i\binom m{m-i}(-\lambda)^{m-i}=(-1)^m\sum_i\binom mi^2\lambda^{m-i}=(-1)^mH_p(\lambda)$（$i\mapsto m-i$ の対称性）。よって $A(f)=\binom{p-1}mH_p(\lambda)$。$p=2$ の族：$f^{p-1}=f$ で、$XYZ$ の係数は $a$ である。

段 1（対角線の近傍の比較）．$\bar k$-スキーム $T'$ を $k$-スキームと見る。$\bar k\otimes_k\bar k\to\bar k$ は全射なので $\operatorname{Spec}\bar k\to\operatorname{Spec}(\bar k\otimes_k\bar k)$ は閉埋入、その底変換 $T'\times_{\bar k}T'\to T'\times_kT'$ も閉埋入で、対角線 $T'\to T'\times_kT'$ はこれを経由する。閉部分スキームの中での対角線のイデアルは外のイデアルの像なので、$\Delta^{(n)}_{T'/\bar k}=\Delta^{(n)}_{T'/k}\times_{T'\times_kT'}(T'\times_{\bar k}T')$ であり、射影 $p_1,p_2$ は両立する。三重積でも同様である。
段 2（制限）．$T'$ 上の楕円曲線 $E'$ に対し、$k$ に関する stratification $\sigma_{E'/T'}$ の各 $\varphi_n$ を $\Delta^{(n)}_{T'/\bar k}$ に制限すると、余サイクル条件と $n$ についての両立が保たれ、$\bar k$ に関する stratification $\bar\sigma_{E'/T'}$ を得る。$T'$-射 $\gamma$ の $\gamma^*$ は $\sigma$ について水平なので $\bar\sigma$ についても水平である。よって $\{\bar\sigma_{E'/T'}\}$ は $\bar k$ 上の (F2) を満たす系である。

段 1（還元と族の選択）．上の補題（代数閉包への還元）により $k$ は代数閉としてよい。系 $\{\sigma_{E/T}\}$ が (F2) を満たして存在すると仮定する。$p\ge3$ では Legendre 族 $T=\operatorname{Spec}k[\lambda,\lambda^{-1},(1-\lambda)^{-1}]$、$E\subset\mathbb P^2_T$：$Y^2Z=X(X-Z)(X-\lambda Z)$ を、$p=2$ では $T=\operatorname{Spec}k[a,(1+a^3)^{-1}]$、$E$：$Y^2Z+aXYZ+YZ^2=X^3$ を取る。どちらも各ファイバーは非特異な平面 3 次曲線である。$p\ge3$：affine 部分 $y^2=h(x)$、$h=x(x-1)(x-\lambda)$ で $\partial_y=2y$、$\partial_x=-h'(x)$ が同時に消えるのは $h$ の重根の上だけで、$h$ の根 $0,1,\lambda$ は $T$ 上相異なる。無限遠点は $[0:1:0]$ だけで、図 $Y=1$ の式 $Z-X(X-Z)(X-\lambda Z)$ の $Z$ についての偏導関数はそこで $1$ である。$p=2$：下の例（標数 2 の族）の (i)。どの点でも affine 図で偏導関数が同時に消えないので引用する事実 6 により $E\to T$ は滑らか、$\mathbb P^2_T$ の閉部分スキームなので固有、$O=[0:1:0]$ が切断、事実 7 により幾何的ファイバーは種数 $1$ で連結。すなわち $T$ 上の楕円曲線である。$T$ は $\mathbb A^1_k$ の空でない開集合で、$k$ が代数閉なので $T(k)$ は無限集合、$T$ の空でない開集合は $T(k)$ の有限個を除くすべての点を含む。$\mathcal H:=H^1_{dR}(E/T)$ と書く。
段 2（水平な射 $\pi$）．$E^{(p)}$、$E^{(p^2)}$ は $T$ 上の楕円曲線なので、系は $\mathcal H^{(p)}:=H^1_{dR}(E^{(p)}/T)$、$\mathcal H^{(p^2)}:=H^1_{dR}(E^{(p^2)}/T)$ に stratification を与える。相対 Frobenius $F\colon E\to E^{(p)}$、$F^{(p)}\colon E^{(p)}\to E^{(p^2)}$ は零切断を保つ $T$-射なので、(F2) により $\pi:=(F^2)^*=F^*\circ(F^{(p)})^*\colon\mathcal H^{(p^2)}\to\mathcal H$ は水平である。上の定理（楕円曲線の族の相対 de Rham 層）により $\mathcal H$、$\mathcal H^{(p^2)}$ は階数 $2$ の局所自由で、$t\in T(k)$ について $\pi\otimes k(t)=\pi_{E_t}$（相対 Frobenius と底変換の両立）。
段 3（超特異点の存在と有限性）．上の命題（平面 3 次曲線の Hasse 不変量）により $\mathrm{HW}_{E_t}=0\iff A(t)=0$、$A$ は $p\ge3$ なら $\binom{p-1}mH_p(\lambda)$、$p=2$ なら $a$ である。$p\ge3$：$H_p$ は次数 $m\ge1$、最高次係数 $1$ の多項式なので $k$ に根 $\lambda_0$ をもち、$H_p(0)=1$、$H_p(1)=\sum_i\binom mi^2=\binom{2m}m=\binom{p-1}m\ne0$ なので $\lambda_0\ne0,1$、すなわち $\lambda_0\in T(k)$。根は有限個。$p=2$：根は $a=0$ だけで、$1+0^3\ne0$ なので $T(k)$ の点。よって $t_0\in T(k)$ で $\mathrm{HW}_{E_{t_0}}=0$ となるものがあり、$\mathrm{HW}_{E_t}\ne0$ は $T(k)$ の有限個を除くすべての $t$ で成り立つ。
段 4（矛盾）．上の定理（反復 Frobenius の消滅と Hasse–Witt 写像）により $\pi\otimes k(t_0)=\pi_{E_{t_0}}=0$。上の補題（stratification による零の広がり）を $\mathcal A=\mathcal H^{(p^2)}$、$\mathcal B=\mathcal H$（$T$ は被約・ネーター、$t_0$ は $k$ 有理点）に当てて、$t_0$ の開近傍 $V$ で $\pi|_V=0$。$V(k)$ は $T(k)$ の有限個を除くすべてを含むので $A(t)\ne0$ となる $t\in V(k)$ があり、同じ定理により $\pi\otimes k(t)=\pi_{E_t}\ne0$。矛盾。