4-1 infinitesimal 景と stratifying 景

段 1（層から系へ）．$\mathcal F$ を層とする。対象 $(U\hookrightarrow T)$ と $T$ の開集合 $V$ について $\mathcal F_{(U,T)}(V):=\mathcal F(U\cap V\hookrightarrow V)$ と定め、制限は開はめ込み $(U\cap V\hookrightarrow V)\to(U\cap V'\hookrightarrow V')$ に沿った $\mathcal F$ の制限とする。$T$ の開被覆 $(T_i)$ について、$\operatorname{Inf}(X/S)$ の中のファイバー積 $(U\cap T_i\hookrightarrow T_i)\times_{(U\hookrightarrow T)}(U\cap T_l\hookrightarrow T_l)$ は $(U\cap T_i\cap T_l\hookrightarrow T_i\cap T_l)$ である。したがって被覆族に対する $\mathcal F$ の層条件は、$\mathcal F_{(U,T)}$ の $T$ 上の層条件そのものである。射 $j\colon(U\hookrightarrow T)\to(U'\hookrightarrow T')$ と $T'$ の開集合 $V'$ について、$j$ は射 $(U\cap j^{-1}V'\hookrightarrow j^{-1}V')\to(U'\cap V'\hookrightarrow V')$ を誘導し、$\mathcal F$ の制限が層の射 $\mathcal F_{(U',T')}\to j_*\mathcal F_{(U,T)}$、随伴で $\rho_j\colon j^{-1}\mathcal F_{(U',T')}\to\mathcal F_{(U,T)}$ を与える。(i) は $V\subset T\subset T'$ について $\mathcal F_{(U,T)}(V)=\mathcal F_{(U',T')}(V)$ から、(ii) は $\mathcal F$ の関手性から従う。
段 2（系から層へ）．系 $(\mathcal F_{(U,T)},\rho_j)$ が与えられたとき、$\mathcal F(U\hookrightarrow T):=\Gamma(T,\mathcal F_{(U,T)})$ とし、射 $j$ に沿った制限を $\Gamma(T',\mathcal F_{(U',T')})\to\Gamma(T,j^{-1}\mathcal F_{(U',T')})\xrightarrow{\rho_j}\Gamma(T,\mathcal F_{(U,T)})$ で定める。(ii) により前層になる（$\rho_{\mathrm{id}}=\mathrm{id}$ は、(i) により $\rho_{\mathrm{id}}$ が同型で、(ii) により $\rho_{\mathrm{id}}=\rho_{\mathrm{id}}\circ\rho_{\mathrm{id}}$ だから従う）。被覆族に対する層条件は、(i) により各 $\mathcal F(U\cap T_i\hookrightarrow T_i)=\Gamma(T_i,\mathcal F_{(U,T)}|_{T_i})$ なので、$\mathcal F_{(U,T)}$ の Zariski 層条件に帰着する。
段 3（互いに逆）．段 1 の後に段 2 を施すと $\Gamma(T,\mathcal F_{(U,T)})=\mathcal F(U\hookrightarrow T)$。段 2 の後に段 1 を施すと $V\mapsto\Gamma(V,\mathcal F_{(U,T)}|_V)$ で、(i) により元に戻る。$\operatorname{Strat}(X/S)$ でも被覆族は同じ形なので同じ。加群の主張は、$\mathcal O_{X/S}$ の作用が対象ごとに $\Gamma(T,\mathcal O_T)$ の作用であることから従う。

段 1（終対象の形）．終対象 $(U_f\hookrightarrow T_f)$ があるとする。$(X\hookrightarrow X)$ からの射が存在するので $X\subset U_f$、よって $U_f=X$ であり、$T_f$ の底空間は $X$ のそれである。
段 2（affine な局所化）．$\Omega^1_{X/S}\ne0$ なので、茎 $\Omega^1_{X/S,x}\ne0$ となる点 $x\in X$ がある。$f(x)$ の affine 開近傍 $V\subset S$ をとり、$T_f$ の affine 開近傍 $V'\ni x$ を、$T_f\to S$ による $V$ の逆像に含まれるようにとる。$U:=X\cap V'$（底空間が $V'$ の $X$ の開集合）は affine $V'$ の閉部分スキームなので affine（引用する事実 3）、$V'\to S$ は $V$ を経由し、$V\hookrightarrow S$ が開はめ込みなので $\Omega^1_{U/V}=\Omega^1_{X/S}|_U\ne0$ である（$x\in U$）。$(U\hookrightarrow V')$ が $\operatorname{Inf}(U/V)$ の終対象であることを示す。$\operatorname{Inf}(U/V)$ の対象 $(U'\hookrightarrow T)$ は、$T$ を $S$ スキームとみて $\operatorname{Inf}(X/S)$ の対象でもある。唯一の射 $T\to T_f$ は底空間の上で包含 $U'\subset U$ なので、開部分スキーム $V'$ を経由し、$T\to V'\to S$ と $T\to V\to S$ が一致して $V\hookrightarrow S$ が単射（開はめ込み）だから $T\to V'$ は $V$ 射である。$V$ 射 $T\to V'$ が二つあれば、それらは $\operatorname{Inf}(X/S)$ の射でもあるので一致する。よって射はちょうど一つある。
段 3（導分による矛盾）．$R=\Gamma(V,\mathcal O_S)$、$B=\Gamma(U,\mathcal O_U)$、$A=\Gamma(V',\mathcal O_{V'})$ とおくと、$A\twoheadrightarrow B$ で $\Omega^1_{B/R}\ne0$ である。$B$ 加群 $M$ に対し、自明な平方零拡大 $B\oplus M$（積 $(b,m)(b',m')=(bb',bm'+b'm)$）を $R\to B\hookrightarrow B\oplus M$ で $R$ 代数とみると、$(U\hookrightarrow\operatorname{Spec}(B\oplus M))$ は $\operatorname{Inf}(U/V)$ の対象である。それから $(U\hookrightarrow V')$ への射は、$R$ 代数の射 $A\to B\oplus M$ で $B$ への射影との合成が $A\to B$ に一致するもの、すなわち $R$ 導分 $A\to M$（$A$ は $B$ を通して $M$ に作用する）と一対一に対応する。引用する事実 2 により
$$\operatorname{Der}_R(A,M)=\operatorname{Hom}_A(\Omega^1_{A/R},M)=\operatorname{Hom}_B(\Omega^1_{A/R}\otimes_AB,M).$$
終対象なのでこれはすべての $M$ について一点集合であり、$M=\Omega^1_{A/R}\otimes_AB$ ととれば恒等射と零射が一致するので $\Omega^1_{A/R}\otimes_AB=0$。ところが $\Omega^1_{A/R}\otimes_AB\to\Omega^1_{B/R}$ は全射（引用する事実 2）なので $\Omega^1_{B/R}=0$ となり、矛盾する。

(a)．$(X\hookrightarrow S)$ は対象で、任意の $(U\hookrightarrow T)$ からの射は $T$ の構造射 $T\to S$ に限る（$S$ 射だから）。構造射は $U$ 上で包含 $U\subset X\subset S$ に一致するので、射がちょうど一つある。
(b)．対象 $(U\hookrightarrow T)$ から $(X\hookrightarrow X)$ への射とは、$S$ 射 $j\colon T\to X$ で $j|_U$ が包含 $U\subset X$ に一致するものである。$T$ の affine 開集合 $T'$ をとり、その上でイデアル $\mathcal J$ が $\mathcal J^{N+1}=0$ をみたすとしてよい。$T_n:=V(\mathcal J^{n+1})\cap T'$ とおくと $T_0=U\cap T'$、$T_N=T'$ で、$T_n\hookrightarrow T_{n+1}$ は平方零イデアル $\mathcal J^{n+1}/\mathcal J^{n+2}$ による閉はめ込み、各 $T_n$ は affine である（引用する事実 3）。$X$ は $S$ 上形式的エタール（引用する事実 1）なので、包含 $T_0\to X$ から始めて、$S$ 射 $T_n\to X$ は $T_{n+1}\to X$ にちょうど一通りに延び、$N$ 段で $T'\to X$ を得る。二つの延長 $T'\to X$ は各段で一致するので等しい。affine 開集合 $T'$ を動かすと、重なりを affine 開集合で覆って各々の上で一意性を使えば重なりの上で延長は一致し、貼り合って $j\colon T\to X$ が存在する。一意性も同じ理由で従う。

$U$ は $X$ の開集合なので $S$ 上滑らか、とくに形式的滑らかである（引用する事実 1）。$T$ の affine 開集合 $T'$ で、イデアル $\mathcal J$ が $\mathcal J^{N+1}|_{T'}=0$ をみたすものをとり、上の命題（終対象が存在する場合）の (b) と同じく $T_n:=V(\mathcal J^{n+1})\cap T'$ とおく。包含 $g_0\colon T_0=U\cap T'\to X$ から始め、$T_n\hookrightarrow T_{n+1}$ が affine スキームの平方零はめ込みなので、形式的滑らかさにより $S$ 射 $g_n\colon T_n\to X$ は $g_{n+1}\colon T_{n+1}\to X$ に延びる。$N$ 段で $g:=g_N\colon T'\to X$ を得て、$g|_{U\cap T'}$ は包含である。affine 開集合 $T'$ は $T$ を覆うので、$(U\hookrightarrow T)$ は局所的にレトラクションをもつ。

以下、命題（無限小景の上の層の記述）により $\mathcal O_{X/S}$ 加群を系 $(\mathcal G_{(U,T)},\rho_j)$ と同一視し、遷移射は $\mathcal O_T$ 線型射 $\rho_j\colon j^*\mathcal G_{(U',T')}\to\mathcal G_{(U,T)}$ の形で書く。stratification $(\varphi_n)$ には引用する事実 4 の同型系 $(\tau_{u_1,u_2})$ を対応させる。
段 1（$\Phi$ の構成）．$(\mathcal E,(\varphi_n))$ を stratification 付き $\mathcal O_X$ 加群とする。対象 $(U\hookrightarrow T)$ に対し、$T$ の開被覆 $(T_a)$ とレトラクション $g_a\colon T_a\to X$ をとる。$T_{ab}=T_a\cap T_b$ の上で $g_a,g_b$ は、冪零はめ込み $U\cap T_{ab}\hookrightarrow T_{ab}$ の上の包含 $U\cap T_{ab}\to X$ の二つの延長なので、同型 $\tau_{g_a,g_b}\colon g_a^*\mathcal E\xrightarrow{\sim}g_b^*\mathcal E$ が $T_{ab}$ 上にある。(i) により $T_a$ 上で恒等、(ii) により $T_{abc}$ 上で余サイクル条件をみたすので、$g_a^*\mathcal E$ たちは $T$ 上の $\mathcal O_T$ 加群 $\widetilde{\mathcal E}_{(U,T)}$ に貼り合う。被覆とレトラクションの取り替えは、共通の細分の上で $\tau$ が与える標準同型で吸収される（(ii)(iii)）。
段 2（$\Phi$ の遷移射と special 性）．射 $j\colon(U\hookrightarrow T)\to(U'\hookrightarrow T')$ をとり、$T'$ のレトラクション $g'_b\colon T'_b\to X$、$T$ のレトラクション $g_a\colon T_a\to X$ をとる。$T_a\cap j^{-1}(T'_b)$ の上で $g'_b\circ j$ と $g_a$ はともに包含 $U\cap T_a\cap j^{-1}(T'_b)\to X$ の延長である（$j|_U$ が包含 $U\subset U'$ だから）。よって $\tau_{g'_bj,g_a}\colon j^*g_b'^*\mathcal E=(g'_bj)^*\mathcal E\xrightarrow{\sim}g_a^*\mathcal E$ があり、(ii)(iii) により貼り合わせと両立するので、同型 $\rho_j\colon j^*\widetilde{\mathcal E}_{(U',T')}\xrightarrow{\sim}\widetilde{\mathcal E}_{(U,T)}$ を得る。合成についての推移性は (ii) から従う。よって $\widetilde{\mathcal E}=\Phi(\mathcal E,(\varphi_n))$ は special 加群である。水平射 $\mathcal E\to\mathcal E'$ は各 $g_a^*$ で移り、すべての $\tau$ と可換なので貼り合い、special 加群の射 $\widetilde{\mathcal E}\to\widetilde{\mathcal E}'$ を与える。
段 3（$\Psi$ の構成）．$\mathcal G$ を special 加群、$\mathcal E:=\mathcal G_{(X,X)}$ とする。$p_i\colon\Delta^{(n)}\to X$ は $X$ 上恒等を誘導する $S$ 射なので、射 $p_i\colon(X\hookrightarrow\Delta^{(n)})\to(X\hookrightarrow X)$ であり、special 性により $\rho_{p_i}\colon p_i^*\mathcal E\xrightarrow{\sim}\mathcal G_{(X,\Delta^{(n)})}$ は同型である。$\varphi_n:=\rho_{p_2}^{-1}\circ\rho_{p_1}\colon p_1^*\mathcal E\xrightarrow{\sim}p_2^*\mathcal E$ とおく。余サイクル条件：$(X\hookrightarrow\Delta^{(n)}_2)$ も対象で、$\mathrm{pr}_{12},\mathrm{pr}_{23},\mathrm{pr}_{13}$ は $(X\hookrightarrow\Delta^{(n)})$ への射、$\mathrm{pr}_i$ は $(X\hookrightarrow X)$ への射である。推移性 (ii) を $\mathrm{pr}_1=p_1\circ\mathrm{pr}_{12}$、$\mathrm{pr}_2=p_2\circ\mathrm{pr}_{12}$ に当てると $\rho_{\mathrm{pr}_1}=\rho_{\mathrm{pr}_{12}}\circ\mathrm{pr}_{12}^*\rho_{p_1}$、$\rho_{\mathrm{pr}_2}=\rho_{\mathrm{pr}_{12}}\circ\mathrm{pr}_{12}^*\rho_{p_2}$ なので $\mathrm{pr}_{12}^*\varphi_n=\rho_{\mathrm{pr}_2}^{-1}\circ\rho_{\mathrm{pr}_1}$。同様に $\mathrm{pr}_{23}^*\varphi_n=\rho_{\mathrm{pr}_3}^{-1}\circ\rho_{\mathrm{pr}_2}$、$\mathrm{pr}_{13}^*\varphi_n=\rho_{\mathrm{pr}_3}^{-1}\circ\rho_{\mathrm{pr}_1}$ であり、合成すれば $\mathrm{pr}_{23}^*\varphi_n\circ\mathrm{pr}_{12}^*\varphi_n=\mathrm{pr}_{13}^*\varphi_n$。$n'\le n$ の両立：$\iota\colon\Delta^{(n')}\hookrightarrow\Delta^{(n)}$ は射で $p_i\circ\iota=p'_i$ なので、推移性から $\iota^*\varphi_n=\rho_{p'_2}^{-1}\circ\rho_{p'_1}=\varphi_{n'}$。special 加群の射は $(X,X)$ 成分で、遷移射と可換なので $\varphi_n$ と可換な射、すなわち水平射を与える。
段 4（$\Psi\circ\Phi\cong\mathrm{id}$）．$\widetilde{\mathcal E}=\Phi(\mathcal E,(\varphi_n))$ について、$(X\hookrightarrow X)$ ではレトラクション $\mathrm{id}_X$ がとれるので $\widetilde{\mathcal E}_{(X,X)}=\mathcal E$。$(X\hookrightarrow\Delta^{(n)})$ では大域的なレトラクション $p_1$ がとれるので $\widetilde{\mathcal E}_{(X,\Delta^{(n)})}=p_1^*\mathcal E$ であり、段 2 の構成により遷移射は $\rho_{p_1}=\tau_{\mathrm{id}\circ p_1,\,p_1}=\mathrm{id}$、$\rho_{p_2}=\tau_{\mathrm{id}\circ p_2,\,p_1}=\tau_{p_2,p_1}=\tau_{p_1,p_2}^{-1}=\varphi_n^{-1}$（(i)(ii) から $\tau_{p_2,p_1}\circ\tau_{p_1,p_2}=\tau_{p_1,p_1}=\mathrm{id}$）。よって $\rho_{p_2}^{-1}\circ\rho_{p_1}=\varphi_n$ で、$\Psi\Phi(\mathcal E,(\varphi_n))=(\mathcal E,(\varphi_n))$ である。
段 5（$\Phi\circ\Psi\cong\mathrm{id}$）．$\mathcal G$ を special 加群、$(\mathcal E,(\varphi_n))=\Psi(\mathcal G)$ とし、対象 $(U\hookrightarrow T)$ とレトラクション $g_a\colon T_a\to X$ をとる。$g_a$ は射 $(U\cap T_a\hookrightarrow T_a)\to(X\hookrightarrow X)$ なので、special 性により $\rho_{g_a}\colon g_a^*\mathcal E\xrightarrow{\sim}\mathcal G_{(U\cap T_a,T_a)}=\mathcal G_{(U,T)}|_{T_a}$（後の等号は命題（無限小景の上の層の記述）の (i)）。$T_{ab}$ 上で $\rho_{g_b}^{-1}\circ\rho_{g_a}=\tau_{g_a,g_b}$ を示す。事実 4 のとおり、$T_{ab}$ の各点の近傍で $(g_a,g_b)$ は $h\colon T_{ab}\to\Delta^{(N)}$ を経由し $\tau_{g_a,g_b}=h^*\varphi_N$ である。$h$ は射 $(U\cap T_{ab}\hookrightarrow T_{ab})\to(X\hookrightarrow\Delta^{(N)})$ で、$g_a=p_1\circ h$、$g_b=p_2\circ h$ なので、推移性から $\rho_{g_a}=\rho_h\circ h^*\rho_{p_1}$、$\rho_{g_b}=\rho_h\circ h^*\rho_{p_2}$、よって $\rho_{g_b}^{-1}\circ\rho_{g_a}=h^*(\rho_{p_2}^{-1}\circ\rho_{p_1})=h^*\varphi_N=\tau_{g_a,g_b}$。したがって $\rho_{g_a}$ たちは $\widetilde{\mathcal E}_{(U,T)}$ の貼り合わせと両立し、同型 $\widetilde{\mathcal E}_{(U,T)}\xrightarrow{\sim}\mathcal G_{(U,T)}$ に貼り合う。遷移射との両立も同じ推移性の計算から従い、$\mathcal G$ について自然である。よって $\Phi\Psi(\mathcal G)\cong\mathcal G$ で、$\Phi$ と $\Psi$ は互いに準逆である。