1-2 ℓ 進コホモロジーの批判と p 進コホモロジーの要請
$\ell$ 進コホモロジーは複素数体上では位相的コホモロジーの $\ell$ 進化にすぎず、標数 $p$ の体の上では $p$ 捩れの情報を原理的に与えない。この頁では、その限界を確かめたうえで原論文が $p$ 進コホモロジーに課す要請を列挙し、係数環を $\mathbb Z_p$ や $\mathbb Q_p$ にはできないという Serre の議論を超特異楕円曲線の自己準同型環から導き、fppf 位相の有限群スキーム係数では高次のコホモロジーが消えて Poincaré 双対が成り立たないという Artin の指摘を証明する。
前提知識: ℓ進コホモロジー, エタールコホモロジー, Weilコホモロジー, 楕円曲線, 群スキーム, Wittベクトル
この頁で示すこと
$k$ を体、$\ell$ を素数とする。$k$ 上有限型のスキーム $X$ に対し $H^i_\ell(X)=\varprojlim_\nu H^i(X_{\text{ét}},\mathbb Z/\ell^\nu)$ と書く。標数 $p>0$ の議論では $k$ は完全体とし、$W=W(k)$ を Witt ベクトル環、$K=W[1/p]$ とする。fppf 景上の可換群スキーム $G$ のコホモロジーを $H^i(X_{\mathrm{fppf}},G)$ と書き、$d=\dim X$ とする。
本頁の主結果は次の八つである。
- 複素数体上の ℓ 進コホモロジーの比較（原論文 小節 1.6、印字 p. 313–314）：$X$ が $\mathbb C$ 上分離的で有限型なら $H^i_\ell(X)\cong H^i(X^{an},\mathbb Z)\otimes\mathbb Z_\ell$ で、階数は $\ell$ によらず有限、捩れは整係数の $\ell$ 準素部分、自己射の特性多項式は有理整数係数で $\ell$ によらない。［条件付き：Artin の比較定理（本書 0-3）を引用］
- ℓ 進コホモロジーに現れない p 捩れ（原論文 小節 1.6、印字 p. 314）：標数 $p$ の代数閉体上、アーベル多様体の $H^1(A_{\text{ét}},\mathbb Z_p)$ の階数は $p$ 階数 $r\le g$ で $\ell$ 進の階数 $2g$ に届かず、Serre の曲面の $H^1(X_{\text{ét}},\mathbb Z/p)\ne0$ はどの $\ell\ne p$ でも見えない。［条件付き：Tate 加群と Serre の曲面（本書 0-3）を引用］
- Serre の議論：Z_p 係数と Q_p 係数の不可能性（原論文 小節 1.7、印字 p. 315）：$\bar{\mathbb F}_p$ 上の超特異楕円曲線 $E$ に対し、階数 $2$ の $\mathbb Q_p$ ベクトル空間または $\mathbb Z_p$ 加群に $\operatorname{End}(E)$ が単位的な環の（反）準同型で作用することはなく、要請を満たす $p$ 進コホモロジーの係数環は $\mathbb Z_p$ にも $\mathbb Q_p$ にもできない。［条件付き：Deuring の定理（本書 0-3）を引用］
- Weil コホモロジーの係数体への制約（原論文 小節 1.7 の帰結）：標数 $p$ の Weil コホモロジーの係数体 $K$ の上で四元数体 $B_{p,\infty}$ は分裂し、$K$ は $\mathbb Q_p$ にも $\mathbb R$ にも埋め込めない。とくに $\mathbb Q$、$\mathbb Q_p$、$\mathbb R$ 係数の Weil コホモロジーは存在しない。［条件付き：Weil コホモロジーの公理と $H^1$ の次元（本書 0-3、Kleiman）、Deuring の定理、中心単純環の底変換を引用］
- 定数係数 fppf コホモロジーの高次消滅（原論文 小節 1.8、印字 p. 316）：$X$ が標数 $p$ の体上分離的で有限型なら $H^i(X_{\mathrm{fppf}},\mathbb Z/p^\nu)=0$（$i>d+1$）。［条件付き：滑らかな群スキームの fppf とエタールの比較、Artin–Schreier 列、Grothendieck の消滅定理を引用］
- $\mu_{p^\nu}$ 係数の弱い消滅（原論文 小節 1.8 の Artin の指摘の一部）：$X$ がさらに被約なら $H^i(X_{\mathrm{fppf}},\mu_{p^\nu})=0$（$i\ge d+3$）。［条件付き：$p$ 捩れエタール層のコホモロジー次元（SGA 4 X）を引用］
- fppf ホモロジーでの Poincaré 双対の不成立（原論文 小節 1.8、印字 p. 316）：$d>1$ なら $\mathbb Z/p^\nu$ 係数で、$d\ge3$ かつ $X$ 被約なら Cartier 双対の対 $(\mathbb Z/p^\nu,\mu_{p^\nu})$ で、$H^0\times H^{2d}\to\mathbb Z/p^\nu$ の形の非退化な対は存在しない。［条件付き：上の二つの消滅による］
- 一般の有限群スキーム係数の消滅（原論文 小節 1.8、印字 p. 316）：原論文は「$\mathbb Z/p^\nu$ 加群スキーム係数」一般について次数 $>d+1$ での消滅を述べる。［未完結：本頁が閉じるのは定数係数と、$X$ 被約での $\mu_{p^\nu}$ の次数 $\ge d+3$ だけ］
本頁で閉じるのは、引用した事実から各主張へ至る議論のすべて、すなわち逆極限の段、可除環から行列環への準同型が存在しないこと、Künneth 公式から自己準同型の作用の加法性を出す段、Artin–Schreier 列と Kummer 列による消滅の導出である。引用するのは、本書 0-3 に集めた事実（Artin の比較定理、Deuring の定理、Weil コホモロジーの公理、Tate 加群、Serre の曲面）と、エタール・fppf コホモロジーの標準的な事実である。原論文の予想定理と Dieudonné 加群による回復の期待は、原論文の状態のまま予想・期待として記録する。
背景と動機
本書『1-1 代数的 de Rham コホモロジーの長所と限界』で見たように、代数的 de Rham コホモロジーは標数 $p$ では固有でない多様体で有限次元にならず、固有で滑らかでも正しい Betti 数を与えず、その Lefschetz 不動点公式は不動点の個数を $p$ を法としてしか与えない。Weil 予想に必要なのは標数 $0$ の係数をもつコホモロジーであり、1966 年の時点でその役を担っていたのは Grothendieck と Artin の $\ell$ 進コホモロジー（本書『0-3 エタールコホモロジーと Weil コホモロジーの要請』）であった。
原論文 §1 の後半（小節 1.6〜1.8、印字 p. 313–317）は、この $\ell$ 進コホモロジーを批判の対象にする。複素数体上では $\ell$ 進コホモロジーは位相的コホモロジーから何も新しいものを生まず、標数 $p$ の体上では $\ell\ne p$ でしか合理的な性質をもたず、コホモロジーの $p$ 捩れ（Tate Tat66）と Frobenius の特性多項式の分母の問題を扱えない。そこで原論文は、標数 $0$ の整域を係数環とし $p$ 捩れを説明する「$p$ 進コホモロジー」への要請を列挙する。係数環の候補は Witt ベクトル環 $W(k)$ で、Serre の指摘によれば $\mathbb Z_p$ や $\mathbb Q_p$ ではありえない。二つの方策のうち fppf 位相によるものは Artin の指摘によって高次元では Poincaré 双対を失い、残る Monsky–Washnitzer の方法が本書の第 2 章の主題になり、要請そのものは第 6 章で結晶トポスの設計に戻ってくる。
定義と準備
ℓ 進コホモロジー
まず批判の対象を定める。本書『0-3 エタールコホモロジーと Weil コホモロジーの要請』の定義を、原論文の記号で繰り返す。
$k$ を代数閉体、$X$ を $k$ 上有限型のスキーム、$\ell$ を $k$ の標数と異なる素数とする。エタール景 $X_{\text{ét}}$ 上の定数層 $\mathbb Z/\ell^\nu$ のコホモロジーの逆極限
$$H^i_\ell(X):=\varprojlim_\nu H^i(X_{\text{ét}},\mathbb Z/\ell^\nu)$$
を $X$ の ℓ進コホモロジー という。これは $\mathbb Z_\ell$ 加群で、本書 0-3 の $H^i_{\text{ét}}(X,\mathbb Z_\ell)$ と同じものである。$X$ の $k$ 射について反変関手的であり、$H^i_\ell(X)\otimes_{\mathbb Z_\ell}\mathbb Q_\ell$ の次元を $\ell$ 進 Betti 数 $b_i(X)$ という。$\ell=p=\operatorname{char}k$ に対して同じ定義で作った群は $H^i(X_{\text{ét}},\mathbb Z_p)$ と書き、$\ell$ 進コホモロジーとは呼ばない。
原論文（印字 p. 313）は $X_{et}$ を「the etale cohomology of $X$」と印字するが、エタール景の意味である。また原論文の脚注は、$\ell=\operatorname{char}k$ でも定義はできるが合理的な性質をあまりもたない、と注意する。その具体的な現れが下の命題（ℓ 進コホモロジーに現れない p 捩れ）である。
$\ell$ 進コホモロジーの長所は複素数体上での位相との比較にあり、短所は標数 $p$ でその比較の代わりになるものが 1966 年の時点で乏しかったことにある。原論文が列挙する当時の未知事項を記録しておく。
$k$ を標数 $p>0$ の代数閉体とする。原論文（小節 1.6、印字 p. 314）は次を挙げる。(a) $X$ が固有なら $H^i_\ell(X)$ の階数は有限である（既知）。(b) $X$ が射影的で滑らかでも、階数が $\ell$ によらないこと、したがって $X$ の自己射の特性多項式の係数が $\ell$ によらないことは知られていない。(c) $X$ が固有でなく $\dim X>2$ なら階数の有限性も知られていない。(d) Lefschetz の超平面切断についての古典的定理のうち深い方（Lef24）のコホモロジー版は $\ell$ 進では証明されていない。後の解決は「その後の発展」に記す。
原論文（小節 1.6、印字 p. 314）は、$\ell$ 進コホモロジーが $\ell\ne\operatorname{char}k$ でしか合理的な性質をもたないことを内在的な欠陥と呼び、二つの帰結を挙げる。第一に、コホモロジーの $p$ 捩れの情報を与えない（Tate Tat66）。第二に、Weil 予想に関連して、$k$ 射の誘導する自己準同型の特性多項式の係数の分母に $p$ の冪が現れないことを、$\ell$ 進だけでは示せない。1968 年の脚注は、Lubkin の指摘により第二の点は $\ell$ 進だけでも標準予想の枠に収まる（Kle68、Gro69）と述べ、本文の後半を事実上撤回している。本頁は第一の点だけを扱う。
p 進コホモロジーへの要請
$p$ 捩れを捉えるには標数 $0$ の係数をもち、しかも $p$ の情報を失わない理論が要る。原論文 1.7 が列挙する要請を、公理の列として書く。
$k$ を標数 $p>0$ の完全体とする。原論文（小節 1.7、印字 p. 315）が求める $p$ 進コホモロジーとは、$k$ 上有限型のスキーム $X$ に加群 $H^i_p(X)$ を対応させる規則で、次を満たすものをいう。
(P1) 係数：$H^i_p(X)$ は、商体の標数が $0$ である整域 $R$ 上の加群である（$R$ は $X$ によらない）。
(P2) 関手性：$X$ の $k$ 射について反変関手的である。
(P3) 形式的性質：$X$ が固有で滑らかなら有限生成であり、Poincaré 双対、Künneth 公式、底変換の不変性が成り立つ。
(P4) 捩れ：捩れ現象、とくに $p$ 捩れを説明する。
(P5) Betti 数：固有で滑らかな $X$ について $H^i_p(X)\otimes_R\operatorname{Frac}(R)$ の次元は $\ell$ 進 Betti 数 $b_i(X)$ に等しい。
(P1)〜(P4) は原論文の列挙（(P3) の「固有で滑らか」の限定は本書の読み）、(P5) は小節 1.5・1.6 の批判から本書が読み取ったもので、Weil コホモロジー（本書 0-3）の公理系に対応する。
原論文は係数環について、Witt ベクトル環が自然な候補であると見通しを述べる。これは定理ではなく、Serre の議論の後で必要条件として裏づけられる。
原論文（小節 1.7、印字 p. 315）は、$p$ 進コホモロジーの自然な係数環は $W(k)$ である「らしい」（seems）と述べる。$W(k)$ は $p$ を素元とする完備離散付値環で剰余体 $k$、商体 $K=W[1/p]$ は標数 $0$ である（本書 0-3）。下の定理（Serre の議論）は $R=\mathbb Z_p=W(\mathbb F_p)$ と $R=\mathbb Q_p$ を除外するが、$k\supset\mathbb F_{p^2}$ のときの $W(k)$ は除外しない。
可除環と行列環
Serre の議論の核心は、四元数体を $2$ 次元のベクトル空間に表現できないという次の補題である。標準的だが短いので本頁で閉じる。
$F$ を体、$D$ を $F$ 上 $4$ 次元の可除環（乗法単位元をもち、零でない元がすべて可逆な $F$ 代数）とする。単位的 $F$ 代数の準同型 $\Psi\colon D\to M_2(F)$ は存在しない。
段 1（単射性）．$\Psi$ が存在したとする。$\ker\Psi$ は $D$ の両側イデアルである。$x\in\ker\Psi$ が零でなければ $x$ は可逆で $1=x^{-1}x\in\ker\Psi$、すると $\Psi(1)=0$ となり単位的であることに反する。よって $\ker\Psi=0$ で $\Psi$ は単射。
段 2（次元の比較）．$\dim_FD=4=\dim_FM_2(F)$ なので単射な $F$ 線型写像 $\Psi$ は全単射、したがって $F$ 代数の同型 $D\cong M_2(F)$ を与える。ところが $M_2(F)$ には零因子がある（行列単位 $e_{11}$、$e_{22}$ は零でなく $e_{11}e_{22}=0$）。可除環に零因子はないので矛盾。
反準同型についても、転置 $M_2(F)\to M_2(F)$ が反自己同型なので合成すれば準同型に戻り、同じ結論になる。
fppf 位相と有限群スキーム係数
原論文 1.8 は $p$ 進コホモロジーへの二つの方策を挙げる。一つは Monsky–Washnitzer の特殊な affine 持上げによる方法で、本書の第 2 章で扱う。もう一つは fppf 位相による方法で、本頁で扱う。fppf 景の定義は本書『0-5 景・トポス・微分作用素』にある。
$k$ を標数 $p>0$ の体、$\nu\ge1$ とする。$C^\nu$ を、$k$ 上の有限（局所自由）可換 群スキーム で $p^\nu$ 倍で零になるものの圏とする。各対象は $(\operatorname{Spec}k)_{\mathrm{fppf}}$ 上の $\mathbb Z/p^\nu$ 加群の層を表現し、$k$ 上のスキーム $X$ への底変換で $X_{\mathrm{fppf}}$ 上の層を与える。例：定数群スキーム $\mathbb Z/p^\nu$、$1$ の $p^\nu$ 乗根の群 $\mu_{p^\nu}=\ker(\mathbb G_m\xrightarrow{\;p^\nu\;}\mathbb G_m)$（$p^\nu$ 乗写像の核）、$\alpha_{p^\nu}=\ker(\mathbb G_a\xrightarrow{\;F^\nu\;}\mathbb G_a)$（$F$ は Frobenius $x\mapsto x^p$、すなわち $p^\nu$ 乗写像の核）。$\mu_{p^\nu}$ と $\mathbb Z/p^\nu$ は互いに Cartier双対 であり、$\alpha_p$ の Cartier 双対は $\alpha_p$ 自身である。$G\in C^\nu$ の $X$ 上の fppf コホモロジーを $H^i(X_{\mathrm{fppf}},G)$ と書く。
原論文は $C^\nu$ を「有限スキームの圏」とも「層の圏」とも呼ぶが、上の定義のとおり群スキームの圏とし、層の圏への充満忠実な埋め込みを通して複体を考える。
$\ell$ 進の類推では、$X$ のコホモロジーは有限群スキームからの $\operatorname{Ext}$ で表されるべきであり、原論文はそれを予想定理の形で述べる。
$X$ を $k$ 上固有なスキームとする。$(\operatorname{Spec}k)_{\mathrm{fppf}}$ 上の $\mathbb Z/p^\nu$ 加群の層の複体 $L^\nu_\bullet$ で、各ホモロジー $H_i(L^\nu_\bullet)$ が $C^\nu$ の対象であり、$C^\nu$ の対象の任意の複体 $G^\bullet$ について
$$\mathbf H^*(X_{\mathrm{fppf}},G^\bullet)\cong\operatorname{Ext}^*_{C^\nu}(L^\nu_\bullet,G^\bullet)$$
となるものが存在する。$X/k$ の $i$ 次ホモロジーは副有限群スキーム $(H_i(L^\nu_\bullet))_{\nu\ge1}$ で定義される。原論文（印字 p. 316）は「one hopes to prove」と述べ、証明の筋を書かない。
原論文（印字 p. 316）は、$\dim X=1$ なら予想定理が「うまくいくらしく」、第一ホモロジーとして Jacobian $J$ の $p$ 進 Tate加群 $T_p(J)=(J[p^\nu])_{\nu\ge1}$（有限群スキームの系）を与えると述べ、後年の脚注は高次のコホモロジー群も「正しい」と付け加える。群スキームの系として取ることで、$k$ 有理点に現れない $p$ 捩れも含まれる。これは原論文の期待であり、本頁は判定しない。
予想定理が高次元でそのままでは成り立たない理由が、「主結果と証明」の後半で扱う Artin の指摘である。
引用する事実
次の事実は証明せずに引用する。本書 0-3 に言明があるものはそれを引き、それ以外の出典は主に SGA4、Mil80、Wei94 で、該当箇所は本頁では確認していない。
- Artin の比較定理（本書 0-3）：$X$ が $\mathbb C$ 上分離的で有限型なら、各 $\nu$ について自然な同型 $H^i(X_{\text{ét}},\mathbb Z/\ell^\nu)\cong H^i(X^{an},\mathbb Z/\ell^\nu)$ があり、$\nu$ の還元写像と $X$ の $\mathbb C$ 射について関手的である。$H^i(X^{an},\mathbb Z)$ は有限生成である。
- 普遍係数の完全列（Wei94 第 3 章 §6）：$C^\bullet$ を $\mathbb Z$ 上平坦な加群の複体、$n\ge1$ とすると、完全列 $0\to H^i(C^\bullet)\otimes\mathbb Z/n\to H^i(C^\bullet\otimes\mathbb Z/n)\to H^{i+1}(C^\bullet)[n]\to0$ がある。$X^{an}$ の特異余鎖複体は各項が $\mathbb Z$ の直積で平坦、それを $\mathbb Z/n$ でテンソルしたものは $\mathbb Z/n$ 係数の特異余鎖複体である。
- 逆極限の完全性（Wei94 第 3 章 §5）：有限アーベル群の逆系の短完全列は逆極限をとっても完全である。
- Deuring の定理（本書 0-3）：$k=\bar{\mathbb F}_p$ 上の超特異楕円曲線 $E$ について $B:=\operatorname{End}(E)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q$ は四元数体 $B_{p,\infty}$ で、$\operatorname{End}(E)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q_p=B\otimes_{\mathbb Q}\mathbb Q_p$ と $B\otimes_{\mathbb Q}\mathbb R$ はそれぞれ $\mathbb Q_p$ 上、$\mathbb R$ 上 $4$ 次元の可除環である。超特異楕円曲線は各 $p$ について存在する。
- Weil コホモロジーの公理と楕円曲線の $H^1$（本書 0-3、Kle68）：係数体 $K$ の Weil コホモロジーは射影的で滑らかな多様体の圏からの反変関手で、Künneth 公式（射影の誘導する $H^*(X)\otimes H^*(Y)\cong H^*(X\times Y)$）を満たし、楕円曲線 $E$ について $\dim_KH^1(E)=2$、一点について $H^i(\mathrm{pt})=0$（$i\ne0$）、連結な $X$ について $H^0(X)=K$ である。
- Tate 加群と $p$ 階数（本書 0-3）：$k$ を標数 $p$ の代数閉体、$A$ を $g$ 次元アーベル多様体とすると、$\ell\ne p$ で $H^1_\ell(A)\cong\operatorname{Hom}_{\mathbb Z_\ell}(T_\ell A,\mathbb Z_\ell)$ は階数 $2g$ の自由 $\mathbb Z_\ell$ 加群、$H^1(A_{\text{ét}},\mathbb Z_p)\cong\operatorname{Hom}(T_pA,\mathbb Z_p)$ は階数 $r$（$A$ の $p$ 階数、$0\le r\le g$）の自由 $\mathbb Z_p$ 加群である。楕円曲線では $r=0$ が超特異、$r=1$ が通常である。これらは $\pi_1^{\text{ét}}(A)\cong\prod_\ell T_\ell A$（$\ell=p$ を含む。Serre–Lang、Mum70 §18）の帰結で、同じ理由で $H^1(A_{\text{ét}},\mathbb Z/p^\nu)\cong\operatorname{Hom}(T_pA,\mathbb Z/p^\nu)$ である。
- Serre の曲面（本書 0-3、Ser58）：標数 $p$ の代数閉体上の滑らかな射影曲面 $X$ で $\pi_1^{\text{ét}}(X)\cong\mathbb Z/p$ なるものがある。
- $H^1$ とエタール基本群（Mil80 第 I 章 §5・第 III 章 §4）：連結なスキーム $X$ と有限アーベル群 $M$ について $H^1(X_{\text{ét}},M)\cong\operatorname{Hom}_{\mathrm{cont}}(\pi_1^{\text{ét}}(X,\bar x),M)$。
- 滑らかな群スキームの fppf コホモロジー（Grothendieck、Mil80 第 III 章 §3）：$G$ が $X$ 上滑らかで準射影的な可換群スキームなら $H^i(X_{\mathrm{fppf}},G)\cong H^i(X_{\text{ét}},G)$。$\mathbb Z/p^\nu$、$\mathbb G_m$ は $X$ 上 affine かつ滑らかである。
- Artin–Schreier 列と準連接層のエタールコホモロジー（Mil80 第 III 章 §3・§4）：標数 $p$ のスキーム $X$ のエタール景上で $0\to\mathbb Z/p\to\mathcal O_X\xrightarrow{F-1}\mathcal O_X\to0$ は完全であり、準連接層 $\mathcal F$ について $H^i(X_{\text{ét}},\mathcal F)=H^i(X,\mathcal F)$（Zariski コホモロジー）である。また $H^1(X_{\mathrm{fppf}},\mathbb G_m)=H^1(X_{\text{ét}},\mathbb G_m)=\operatorname{Pic}(X)$。
- Grothendieck の消滅定理（Har77 第 III 章 2.7）：$d$ 次元ネーター位相空間上の任意のアーベル群の層 $\mathcal F$ について $H^i(X,\mathcal F)=0$（$i>d$）。
- $p$ 捩れ層のコホモロジー次元（SGA4 X §5、Mil80 第 VI 章 §1）：$X$ を標数 $p$ の $d$ 次元ネータースキームとすると、$p$ 冪捩れのエタール層 $\mathcal F$ について $H^i(X_{\text{ét}},\mathcal F)=0$（$i>d+1$）。
- エタールなスキームの被約性（Stacks）：被約な $X$ 上エタールなスキームは被約である。
主結果と証明
複素数体上での比較
$\ell$ 進コホモロジーは複素数体上では位相的コホモロジーから完全に決まる。原論文はこれを Artin の比較定理の帰結として述べるだけなので、逆極限の段を補って閉じる。
$X$ を $\mathbb C$ 上分離的で有限型なスキーム、$\ell$ を素数、$H:=H^i(X^{an},\mathbb Z)$ とする。
(i) $H^i_\ell(X)\cong H\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Z_\ell$。
(ii) $\operatorname{rank}_{\mathbb Z_\ell}H^i_\ell(X)=\operatorname{rank}_{\mathbb Z}H$ は有限で $\ell$ によらず、$H^i_\ell(X)$ の捩れ部分群は $H$ の捩れ部分群の $\ell$ 準素成分に同型である。とくに一つの $\ell$ での $H^i_\ell(X)$ は $H$ の階数と $\ell$ 準素捩れを、すべての $\ell$ を集めれば $H$ の同型類を決める。
(iii) $\mathbb C$ 射 $u\colon X\to X$ について、$H^i_\ell(X)\otimes\mathbb Q_\ell$ 上の $u^*$ の特性多項式は $H\otimes\mathbb Q$ 上の $u^*$ の特性多項式に等しく、有理整数係数で $\ell$ によらない。
段 1（有限係数の比較）．引用する事実 1 により、各 $\nu$ について $H^i(X_{\text{ét}},\mathbb Z/\ell^\nu)\cong H^i(X^{an},\mathbb Z/\ell^\nu)$ で、還元写像 $\mathbb Z/\ell^{\nu+1}\to\mathbb Z/\ell^\nu$ と両立する。よって $H^i_\ell(X)=\varprojlim_\nu H^i(X^{an},\mathbb Z/\ell^\nu)$。
段 2（普遍係数の完全列）．引用する事実 2 を $C^\bullet=C^\bullet(X^{an},\mathbb Z)$、$n=\ell^\nu$ に適用すると、$\nu$ について両立する完全列
$$0\to H\otimes\mathbb Z/\ell^\nu\to H^i(X^{an},\mathbb Z/\ell^\nu)\to H'[\ell^\nu]\to0,\qquad H':=H^{i+1}(X^{an},\mathbb Z)$$
を得る。$H$、$H'$ は有限生成（事実 1）なので三項はすべて有限群である。左の系の遷移写像は還元、右の系の遷移写像は $H'[\ell^{\nu+1}]\xrightarrow{\ell}H'[\ell^\nu]$（$\ell$ 倍）である。
段 3（逆極限）．事実 3 により逆極限をとっても完全である。$H\cong\mathbb Z^r\oplus T$（$T$ 有限）と分解すると $H\otimes\mathbb Z/\ell^\nu\cong(\mathbb Z/\ell^\nu)^r\oplus T/\ell^\nu T$ で、$\varprojlim(\mathbb Z/\ell^\nu)^r=\mathbb Z_\ell^r$、$T/\ell^\nu T$ は $\nu$ が大きければ $T$ の $\ell$ 準素成分 $T_\ell$ に等しく遷移写像は恒等なので $\varprojlim T/\ell^\nu T=T_\ell=T\otimes\mathbb Z_\ell$。よって $\varprojlim H\otimes\mathbb Z/\ell^\nu=H\otimes\mathbb Z_\ell$。右端：$T':=H'_{\mathrm{tors}}$ は有限群で、$m$ を $\ell^m$ が $T'$ を零にする整数とする。$(x_\nu)_\nu\in\varprojlim H'[\ell^\nu]$ なら $x_\nu=\ell^mx_{\nu+m}=0$。よって右端の逆極限は $0$ で、(i) が従う。
段 4（階数と捩れ）．(i) から $H^i_\ell(X)\cong\mathbb Z_\ell^r\oplus T_\ell$。階数 $r$ は $H$ の階数で $\ell$ によらず、捩れは $T_\ell$。$T=\bigoplus_\ell T_\ell$ なので (ii) が従う。
段 5（特性多項式）．$u^*$ は $H$ の自己準同型で $T$ を保つので、格子 $H/T\cong\mathbb Z^r$ 上の自己準同型を誘導し、その特性多項式は $\mathbb Z[t]$ の元である。$H^i_\ell(X)\otimes\mathbb Q_\ell=(H/T)\otimes\mathbb Q_\ell$ 上の $u^*$ の特性多項式はそれを $\mathbb Q_\ell[t]$ で見たものに等しい。事実 1 の関手性により、これは $\ell$ 進側の $u^*$ の特性多項式と一致する。
これで、複素数体上では $\ell$ 進コホモロジーは整係数コホモロジーの $\ell$ 進化以上のものではないことが分かった。標数 $p$ の体上で同じ役を果たす位相はなく、$\ell$ 進コホモロジーがそこで何を見落とすかが次の命題である。
見えない p 捩れ
$k$ を標数 $p>0$ の代数閉体とする。
(i) $A$ を $g$ 次元 アーベル多様体、$r$ をその $p$ 階数とする。$\ell\ne p$ なら $H^1_\ell(A)$ の階数は $2g$ であるが、$H^1(A_{\text{ét}},\mathbb Z_p)$ の階数は $r\le g$ である。とくに超特異楕円曲線 $E$ では $H^1(E_{\text{ét}},\mathbb Z_p)=0$ かつ $H^1(E_{\text{ét}},\mathbb Z/p)=0$ で、$\ell$ 進の階数 $2$ に対応するものが $p$ 側には何もない。
(ii) $X$ を Serre の曲面とする。$H^1(X_{\text{ét}},\mathbb Z/p)\cong\mathbb Z/p\ne0$ であるが、$\ell\ne p$ なるすべての $\ell$ について $H^1(X_{\text{ét}},\mathbb Z/\ell)=0$ かつ $H^1_\ell(X)=0$ である。すなわちこの $p$ 捩れ類はどの $\ell$ 進コホモロジーにも現れない。
段 1（アーベル多様体）．事実 6 により $H^1_\ell(A)\cong\operatorname{Hom}(T_\ell A,\mathbb Z_\ell)$ は階数 $2g$、$H^1(A_{\text{ét}},\mathbb Z_p)\cong\operatorname{Hom}(T_pA,\mathbb Z_p)$ は階数 $r$ で、$r\le g$。超特異楕円曲線では $r=0$ なので $T_pE=0$、したがって $H^1(E_{\text{ét}},\mathbb Z_p)=\operatorname{Hom}(T_pE,\mathbb Z_p)=0$、$H^1(E_{\text{ét}},\mathbb Z/p)=\operatorname{Hom}(T_pE,\mathbb Z/p)=0$（事実 6 の後半）。
段 2（Serre の曲面）．事実 7・8 により $H^1(X_{\text{ét}},M)=\operatorname{Hom}(\mathbb Z/p,M)$ である。$M=\mathbb Z/p$ で $\mathbb Z/p$、$M=\mathbb Z/\ell^\nu$（$\ell\ne p$）で $0$。逆極限をとって $H^1_\ell(X)=0$。
命題の (i) は、有限群スキーム $A[p]$ の被約でない部分がエタール位相に見えないことの反映で、fppf 位相の有限群スキーム係数はその部分を見るために導入される。
Serre の議論
要請 (P1) の係数環 $R$ を $\mathbb Z_p$ や $\mathbb Q_p$ に取れないことを示す。使うのは (P2) の関手性、自己準同型の作用の加法性、楕円曲線の $H^1$ が階数 $2$ であること（(P5)）だけである。原論文（印字 p. 315）は「$H^i_p(X)$ is of dimension 2」と印字するが、直後の記述から $i=1$ の誤植であり、また $\operatorname{End}(X)\otimes\mathbb Q_p$ を「field」と呼ぶが非可換体（可除環）の意である。
$k=\bar{\mathbb F}_p$、$E$ を $k$ 上の超特異楕円曲線、$D:=\operatorname{End}(E)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q_p$ とする。
(i) $V$ を $2$ 次元 $\mathbb Q_p$ ベクトル空間とすると、単位的な環の準同型または反準同型 $\rho\colon\operatorname{End}(E)\to\operatorname{End}_{\mathbb Q_p}(V)$ は存在しない。
(ii) $V$ を階数 $2$（$\dim_{\mathbb Q_p}V\otimes\mathbb Q_p=2$）の有限生成 $\mathbb Z_p$ 加群とすると、単位的な環の準同型または反準同型 $\rho\colon\operatorname{End}(E)\to\operatorname{End}_{\mathbb Z_p}(V)$ は存在しない。
(iii) したがって、要請 (P2) を満たし、$\operatorname{End}(E)$ が $H^1_p(E)$ に加法的に作用し、$H^1_p(E)$ が有限生成で階数 $2$ であるような $p$ 進コホモロジーは、係数環が $\mathbb Q_p$ または $\mathbb Z_p$ のときは存在しない。
段 1（$\mathbb Q_p$ 線型化）．(i) $\rho$ が存在したとする。$\mathbb Z$ 双線型写像 $\operatorname{End}(E)\times\mathbb Q_p\to\operatorname{End}_{\mathbb Q_p}(V)$、$(u,\lambda)\mapsto\lambda\rho(u)$ はテンソル積の普遍性により $\mathbb Q_p$ 線型写像 $\Phi\colon D=\operatorname{End}(E)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q_p\to\operatorname{End}_{\mathbb Q_p}(V)$ を定める。$\Phi(1\otimes1)=\rho(\mathrm{id})=\mathrm{id}$ で、$\Phi$ は生成元 $u\otimes\lambda$ の上で乗法的（または反乗法的）だから、双線型性により全体で $\mathbb Q_p$ 代数の準同型（または反準同型）である。
段 2（可除環への帰着）．事実 4 により $D=B\otimes_{\mathbb Q}\mathbb Q_p$ は $\mathbb Q_p$ 上 $4$ 次元の可除環である。$V$ の基底を取って $\operatorname{End}_{\mathbb Q_p}(V)\cong M_2(\mathbb Q_p)$ と同一視する。$\Phi$ が反準同型なら転置 $M_2(\mathbb Q_p)\to M_2(\mathbb Q_p)$、$a\mapsto{}^ta$ が反自己同型なので、$\Psi:={}^t(\cdot)\circ\Phi$ は単位的 $\mathbb Q_p$ 代数の準同型 $D\to M_2(\mathbb Q_p)$ になる。準同型なら $\Psi:=\Phi$ とする。上の補題（可除環から 2 次行列環への単位的準同型は存在しない）に反する。
段 3（$\mathbb Z_p$ の場合）．(ii) $V\otimes_{\mathbb Z_p}\mathbb Q_p$ は $2$ 次元 $\mathbb Q_p$ ベクトル空間で、$u\mapsto\rho(u)\otimes1$ は単位的な環の準同型（反準同型）$\operatorname{End}(E)\to\operatorname{End}_{\mathbb Q_p}(V\otimes\mathbb Q_p)$ である。(i) に反する。
段 4（$p$ 進コホモロジーへの適用）．(iii) 反変関手性 (P2) により $H^1_p(uv)=H^1_p(v)H^1_p(u)$、$H^1_p(\mathrm{id})=\mathrm{id}$ で、加法性の仮定と合わせて $u\mapsto H^1_p(u)$ は単位的な環の反準同型 $\operatorname{End}(E)\to\operatorname{End}_R(H^1_p(E))$ である。$R=\mathbb Q_p$ なら (i)、$R=\mathbb Z_p$ なら (ii) に反する。
この定理は係数環が $\mathbb Q_p$ の真の拡大であることを要求する。$D$ が分裂する体は本書 0-3 の例「$W(k)$ の商体と四元数体の分裂」のとおり $\mathbb Q_p$ の任意の $2$ 次拡大で足り、$k\supset\mathbb F_{p^2}$ なら $K=W(k)[1/p]$ がそれを含む。
同じ議論は Weil コホモロジー（本書 0-3）の係数体にも制約を与える。Weil コホモロジーの公理には自己準同型の作用の加法性が含まれていないので、Künneth 公式から導いておく。
$H^*$ を係数体 $K$ の Weil コホモロジー、$A$ をアーベル多様体、$m\colon A\times A\to A$ を加法、$p_1,p_2$ を射影とする。$x\in H^1(A)$ について $m^*x=p_1^*x+p_2^*x$ であり、したがって $u,v\in\operatorname{End}(A)$ について $(u+v)^*=u^*+v^*$ が $H^1(A)$ 上で成り立つ。
段 1（Künneth による分解）．事実 5 の Künneth 公式により $H^1(A\times A)=H^1(A)\otimes H^0(A)\oplus H^0(A)\otimes H^1(A)$ で、$H^0(A)=K$ だから $H^1(A\times A)=p_1^*H^1(A)\oplus p_2^*H^1(A)$。よって $m^*x=p_1^*a+p_2^*b$ なる $a,b\in H^1(A)$ が一意に存在する。
段 2（$a$ と $b$ の同定）．$e$ を原点、$i_1\colon A\to A\times A$、$y\mapsto(y,e)$ とする。$m\circ i_1=\mathrm{id}$、$p_1\circ i_1=\mathrm{id}$、$p_2\circ i_1$ は一点 $\operatorname{Spec}k\to A$ を経由する定値射である。事実 5 により $H^1(\operatorname{Spec}k)=0$ なので $(p_2\circ i_1)^*=0$ が $H^1(A)$ 上で成り立つ。$i_1^*$ を $m^*x=p_1^*a+p_2^*b$ に施して $x=a$。同様に $i_2\colon y\mapsto(e,y)$ で $x=b$。
段 3（加法性）．$u+v=m\circ(u,v)$（$(u,v)\colon A\to A\times A$）で、$p_1\circ(u,v)=u$、$p_2\circ(u,v)=v$。よって $(u+v)^*x=(u,v)^*m^*x=(u,v)^*(p_1^*x+p_2^*x)=u^*x+v^*x$。
$k$ を標数 $p>0$ の代数閉体、$H^*$ を係数体 $K$ の Weil コホモロジー、$E$ を $k$ 上の超特異楕円曲線、$B=\operatorname{End}(E)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q$ とする。
(i) $B\otimes_{\mathbb Q}K\cong M_2(K)$、すなわち $B$ は $K$ 上で分裂する。
(ii) $K$ は $\mathbb Q_p$ にも $\mathbb R$ にも体として埋め込めない。とくに $K=\mathbb Q$、$\mathbb Q_p$、$\mathbb R$ の Weil コホモロジーは存在しない。
段 1（$K$ 代数の反準同型）．事実 5 により $\dim_KH^1(E)=2$。反変関手性と上の補題（Künneth 公理から従う自己準同型の作用の加法性）により $u\mapsto u^*$ は単位的な環の反準同型 $\operatorname{End}(E)\to\operatorname{End}_K(H^1(E))\cong M_2(K)$ である。定理（Serre の議論）の段 1 と同じく $K$ 線型に延ばし、転置と合成して、単位的 $K$ 代数の準同型 $\Psi\colon B\otimes_{\mathbb Q}K\to M_2(K)$ を得る。
段 2（$K\hookrightarrow\mathbb Q_p$ の場合）．体の埋め込み $\sigma\colon K\to\mathbb Q_p$ があるとする。$B$ は $\mathbb Q$ 上自由なので $1\otimes\sigma\colon B\otimes_{\mathbb Q}K\to B\otimes_{\mathbb Q}\mathbb Q_p$ は単射な環準同型であり、事実 4 により右辺は可除環である。よって $B\otimes_{\mathbb Q}K$ は零因子をもたず、$K$ 上有限次元なので可除環である（$x\ne0$ による左乗法は単射な $K$ 線型写像なので全射で、$xy=1$ なる $y$ がある）。$\dim_K(B\otimes_{\mathbb Q}K)=4$ だから上の補題（可除環から 2 次行列環への単位的準同型は存在しない）により $\Psi$ は存在せず、矛盾。$\mathbb R$ への埋め込みも $B\otimes_{\mathbb Q}\mathbb R$ が可除環（事実 4）なので同じ。$\mathbb Q$ は $\mathbb Q_p$ に埋め込めるので $K=\mathbb Q$ も除外される。
段 3（分裂）．(i) $B\otimes_{\mathbb Q}K$ は $K$ 上の中心単純環（中心単純環の底変換。参考書『Brauer群の理論』の頁『1-2 中心単純環と分裂体』）なので両側イデアル $\ker\Psi$ は $1$ を含まず $0$、次元を比べて $\Psi$ は同型である。
原論文が述べるのは (ii) の $\mathbb Q_p$ の場合（Serre の指摘）であり、(i) と $\mathbb R$ の場合は本書の補足である。
Artin の指摘
fppf 位相の方策に戻る。有限群スキーム係数の fppf コホモロジーは $\ell$ 進と違って次数 $d+1$ を超えると消える。まず定数係数の場合を Artin–Schreier 列で閉じる。
$k$ を標数 $p>0$ の体、$X$ を $k$ 上分離的で有限型なスキーム、$d=\dim X$、$\nu\ge1$ とする。$H^i(X_{\mathrm{fppf}},\mathbb Z/p^\nu)=0$（$i>d+1$）。
段 1（エタールへの帰着）．定数群スキーム $\mathbb Z/p^\nu$ は $X$ の $p^\nu$ 個のコピーの直和で、$X$ 上 affine かつエタール、とくに滑らかで準射影的である。事実 9 により $H^i(X_{\mathrm{fppf}},\mathbb Z/p^\nu)=H^i(X_{\text{ét}},\mathbb Z/p^\nu)$。
段 2（$\nu=1$）．事実 10 の Artin–Schreier 列の長完全列
$$H^{i-1}(X_{\text{ét}},\mathcal O_X)\to H^i(X_{\text{ét}},\mathbb Z/p)\to H^i(X_{\text{ét}},\mathcal O_X)$$
と $H^j(X_{\text{ét}},\mathcal O_X)=H^j(X,\mathcal O_X)$ により、$H^i(X_{\text{ét}},\mathbb Z/p)$ は $H^{i-1}(X,\mathcal O_X)$ の商と $H^i(X,\mathcal O_X)$ の部分群にはさまれる。$X$ は $d$ 次元のネーター位相空間なので、事実 11 により $i-1>d$ なら両端が $0$。よって $H^i(X_{\text{ét}},\mathbb Z/p)=0$（$i>d+1$）。
段 3（$\nu$ についての帰納法）．$0\to\mathbb Z/p^{\nu-1}\xrightarrow{p}\mathbb Z/p^\nu\to\mathbb Z/p\to0$ はエタール層の完全列で、長完全列 $H^i(\mathbb Z/p^{\nu-1})\to H^i(\mathbb Z/p^\nu)\to H^i(\mathbb Z/p)$ の両端が $i>d+1$ で $0$（帰納法の仮定と段 2）なので中央も $0$。
段 2 は事実 12 の定数係数の場合を Artin–Schreier 列で直接に確かめたものである。$\mu_{p^\nu}$ では代わりに Kummer 列を使い、$\mathbb G_m$ を経由する分だけ次数の評価が弱くなる。
上の定理の設定で $X$ がさらに被約なら、$H^i(X_{\mathrm{fppf}},\mu_{p^\nu})=0$（$i\ge d+3$）。
段 1（エタール景上の $p^\nu$ 乗）．$X$ 上エタールなスキーム $U$ は被約（事実 13）なので、$x\in\Gamma(U,\mathcal O)^\times$ が $x^{p^\nu}=1$ を満たせば $(x-1)^{p^\nu}=x^{p^\nu}-1=0$、よって $x=1$。したがってエタール層の射 $p^\nu\colon\mathbb G_m\to\mathbb G_m$ は単射で、余核層を $\mathcal Q$ とすると $0\to\mathbb G_m\xrightarrow{p^\nu}\mathbb G_m\to\mathcal Q\to0$ は完全である。$\mathcal Q$ は $p^\nu$ 倍で零になるので、事実 12 により $H^j(X_{\text{ét}},\mathcal Q)=0$（$j>d+1$）。長完全列
$$H^{j-1}(X_{\text{ét}},\mathcal Q)\to H^j(X_{\text{ét}},\mathbb G_m)\xrightarrow{p^\nu}H^j(X_{\text{ét}},\mathbb G_m)\to H^j(X_{\text{ét}},\mathcal Q)$$
から、$p^\nu$ 倍は $H^j(X_{\text{ét}},\mathbb G_m)$ 上で $j\ge d+2$ なら全射、$j\ge d+3$ なら単射である。
段 2（fppf 景上の Kummer 列）．$0\to\mu_{p^\nu}\to\mathbb G_m\xrightarrow{p^\nu}\mathbb G_m\to0$ は fppf 層の完全列である。全射性：$U$ 上の単元 $a$ は、$U$ 上有限平坦全射な $U'=\operatorname{Spec}_U\mathcal O_U[t]/(t^{p^\nu}-a)$ の上で $p^\nu$ 乗根 $t$ をもつ。長完全列から
$$0\to H^{i-1}(X_{\mathrm{fppf}},\mathbb G_m)/p^\nu\to H^i(X_{\mathrm{fppf}},\mu_{p^\nu})\to H^i(X_{\mathrm{fppf}},\mathbb G_m)[p^\nu]\to0$$
が完全である。
段 3（結論）．$\mathbb G_m$ は $X$ 上 affine かつ滑らかなので、事実 9 により $H^j(X_{\mathrm{fppf}},\mathbb G_m)=H^j(X_{\text{ét}},\mathbb G_m)$。$i\ge d+3$ なら、段 1 により左端は $i-1\ge d+2$ で $0$（全射性）、右端は $i\ge d+3$ で $0$（単射性）。よって $H^i(X_{\mathrm{fppf}},\mu_{p^\nu})=0$。
消滅が分かれば、双対で結ぶべき相手が欠けることは一行である。
$X$ を定理（定数係数 fppf コホモロジーの高次消滅）の設定で空でないとし、$N,N'$ を $C^\nu$ の対象とする。非退化な対 $H^0(X_{\mathrm{fppf}},N)\times H^{2d}(X_{\mathrm{fppf}},N')\to\mathbb Z/p^\nu$ は次の場合に存在しない。
(a) $d>1$、$N=N'=\mathbb Z/p^\nu$。
(b) $d\ge3$、$X$ 被約、$N=\mathbb Z/p^\nu$、$N'=\mu_{p^\nu}$（Cartier 双対の対）。
段 1（左辺が零でない）．$H^0(X_{\mathrm{fppf}},\mathbb Z/p^\nu)=\Gamma(X,\mathbb Z/p^\nu)$ は $X$ が空でないので定数切断を含み、$\mathbb Z/p^\nu\ne0$ を部分群にもつ。
段 2（右辺が零）．(a) $d>1$ なら $2d>d+1$ で、定理（定数係数 fppf コホモロジーの高次消滅）により $H^{2d}(X_{\mathrm{fppf}},\mathbb Z/p^\nu)=0$。(b) $d\ge3$ なら $2d\ge d+3$ で、定理（$\mu_{p^\nu}$ 係数の弱い消滅）により $H^{2d}(X_{\mathrm{fppf}},\mu_{p^\nu})=0$。零でない群と零加群の間に非退化な対はない。
原論文の言明は予想定理のホモロジー $(H_i(L^\nu_\bullet))$ についてのもので、コホモロジーが次数 $>d+1$ で消えれば $\operatorname{Ext}$ で表されるホモロジーも消え、次数 $i$ と $2d-i$ を結ぶ相手が欠ける、という筋である。本頁はコホモロジーの側で対が存在しないことを系とした。一般の係数については閉じていない。
原論文（印字 p. 316）は Artin の指摘を「$\mathbb Z/p^\nu$ 加群スキーム係数の fppf コホモロジーは次数 $>\dim X+1$ で消える」と一般の $N\in C^\nu$ について述べる。本頁が閉じたのは定数係数（すべての $i>d+1$）と、$X$ 被約での $\mu_{p^\nu}$（$i\ge d+3$）だけである。一般の $N$ については、$N$ を滑らかな affine 群スキーム $G$ に埋め込み、$0\to N\to G\to G/N\to0$ の長完全列で滑らかな群スキームのエタールコホモロジーに帰着する道があるが、その次数 $>d+1$ での消滅は事実 12 からは出ない。$\mu_{p^\nu}$ の次数 $d+2$、したがって $d=2$ での Cartier 双対の対も残る。本頁の判定は未完結である。
原論文（印字 p. 316–317）は、それでも $X$ が固有・滑らか・連結なら、$i\le d+1$ の「良い」$p$ 進コホモロジー $H^i_p(X)$ を副有限群スキーム $(H_i(L^\nu_\bullet))_\nu$ に付随する適当な Dieudonné加群 として回復でき、予想上の $H^i_p$ に Poincaré 双対を認めればすべての $i$ で回復できる、と期待を述べる。これは原論文の期待であり、本頁は判定しない。
例と反例
以下の例は、主結果を具体的な曲線で確かめ、仮定を外したときに何が破れるかを示す。まず命題（ℓ 進コホモロジーに現れない p 捩れ）を楕円曲線で Artin–Schreier 列から計算する。
$k$ を標数 $p$ の代数閉体、$E$ を $k$ 上の楕円曲線とする。事実 10 の Artin–Schreier 列の長完全列で、$k=H^0(E,\mathcal O_E)$ 上の $F-1\colon a\mapsto a^p-a$ は全射なので $H^1(E_{\text{ét}},\mathbb Z/p)=\ker\bigl(F-1\colon H^1(E,\mathcal O_E)\to H^1(E,\mathcal O_E)\bigr)$。$H^1(E,\mathcal O_E)$ は $1$ 次元で、基底 $x$ を取ると $F(\lambda x)=\lambda^pax$（$a\in k$）。$(F-1)(\lambda x)=(a\lambda^p-\lambda)x$ なので、$a=0$ なら核は $0$、$a\ne0$ なら核は $a\lambda^p=\lambda$ の $p$ 個の解からなる位数 $p$ の群 $\cong\mathbb Z/p$ である。一方、命題（ℓ 進コホモロジーに現れない p 捩れ）の証明のとおり $H^1(E_{\text{ét}},\mathbb Z/p)=\operatorname{Hom}(T_pE,\mathbb Z/p)$ は超特異なら $0$、通常なら $\mathbb Z/p$ である。二つの計算を比べると $a=0$ と超特異が同値であることが分かる。$a$ は $E$ の Hasse 不変量で、これはその古典的な特徴づけである（Har77 第 IV 章 演習 4.15。該当箇所は確かめていない）。どちらの場合も $\ell\ne p$ では $H^1(E_{\text{ét}},\mathbb Z/\ell)\cong(\mathbb Z/\ell)^2$ である。
次は、固有性を外すと有限性が破れる例で、本書『1-1 代数的 de Rham コホモロジーの長所と限界』の affine 直線の $H^0_{dR}$ と対をなす。
固有性の仮定を外す。$k$ を標数 $p$ の代数閉体、$X=\mathbb A^1_k=\operatorname{Spec}k[t]$ とする。$H^i(X,\mathcal O_X)=0$（$i\ge1$）なので Artin–Schreier 列から $H^1(X_{\text{ét}},\mathbb Z/p)=k[t]/(F-1)k[t]$、$H^i(X_{\text{ét}},\mathbb Z/p)=0$（$i\ge2$）。$(F-1)(t^n)=t^{pn}-t^n$ なので剰余類の中で $t^{pn}\equiv t^n$ であり、定数は $(F-1)k=k$ に入る。よって剰余群は $t^n$（$n\ge1$、$p\nmid n$）の類で張られ、これらは独立である：$\sum_{p\nmid n}b_nt^n=f^p-f$ とすると、$f$ が定数でなければ右辺の最高次の項 $c^pt^{pM}$ は次数が $p$ で割れて左辺に現れず、$f$ が定数なら右辺は定数なので、すべての $b_n=0$。したがって $H^1(\mathbb A^1_{\text{ét}},\mathbb Z/p)\cong\bigoplus_{p\nmid n}k\,t^n$ は $\mathbb F_p$ 上無限次元で、事実 9 により fppf でも同じである。
- 破る条件：$X$ は固有でない。
- 破る結論：有限性。要請 (P3) が固有な $X$ に求める有限生成性は、固有性を外すとこのように破れる。
- 保たれる結論：定理（定数係数 fppf コホモロジーの高次消滅）の消滅。この例では $i=d+1=2$ でも消えている。
同じ affine 直線で、Cartier 双対の係数 $\mu_p$ を取ると答えは一変する。
$X=\mathbb A^1_k$（$k$ 代数閉、標数 $p$）で、定理（$\mu_{p^\nu}$ 係数の弱い消滅）の段 2 の完全列と事実 10 の $H^1(X_{\mathrm{fppf}},\mathbb G_m)=\operatorname{Pic}(X)=0$ から
$$H^1(X_{\mathrm{fppf}},\mu_p)\cong\Gamma(X,\mathcal O)^\times/(\Gamma(X,\mathcal O)^\times)^p=k^\times/(k^\times)^p=0.$$
一方 $H^1(X_{\mathrm{fppf}},\mathbb Z/p)$ は上の反例のとおり無限である。Cartier 双対の係数で $H^1$ の大きさがまったく違うので、$H^1(\mathbb Z/p)\times H^1(\mu_p)\to\mathbb Z/p$ の形の非退化な対（$d=1$ での Poincaré 双対の候補）はこの $X$ には存在しない。
原論文の印字の読み方に関わる例を一つ挙げる。
原論文（印字 p. 316）は $\alpha_{p^\nu}=\ker(\mathbb G_a\to\mathbb G_a)$ の矢印の上に $p^\nu$ を添える。群法則による $p^\nu$ 倍 $x\mapsto p^\nu x$ と読むと、標数 $p$ では核が $\mathbb G_a$ 全体になって有限群スキームでない。$p^\nu$ 乗写像 $x\mapsto x^{p^\nu}$ と読めば核は $\operatorname{Spec}k[x]/(x^{p^\nu})$、位数 $p^\nu$ の有限群スキームで、$k$ 有理点は $0$ だけである。$\mu_{p^\nu}$ の側では群法則が乗法なので $p^\nu$ 倍と $p^\nu$ 乗が一致し、記号は「$p^\nu$ 乗」で一貫している。本頁はこの読みを採る。
その後の発展
以下は原論文の主張ではなく、後代の結果の紹介である（時点を明記する）。全体像は概説 Ill94 を見よ。
- 要請の実現：Berthelot の結晶コホモロジー（1974 年 Ber74、BO78）は divided power を備えた景（『6-1 結晶景と接続景』）の上で定義され、固有で滑らかな $X_0/k$ について有限生成 $W(k)$ 加群、Poincaré 双対、Künneth 公式、底変換を満たす。要請 (P1)〜(P4) はここで実現され、捩れ部分には $\ell$ 進で見えない $p$ 捩れが現れうる。(P5)（Betti 数の一致）は Katz–Messing KM74（1974 年）が Deligne の Weil 予想の証明 Del74 を経由して示した。
- 特性多項式の $\ell$ 独立性と整数性：注意（1966 年時点で標数 p において未知だった事項）の (b) と、注意（ℓ 進コホモロジーの内在的な欠陥と後年の脚注）の第二の点は、Deligne の Weil 予想の証明 Del74（解説は FK88）で解決した。結晶コホモロジーの Frobenius の特性多項式が $\ell$ 進のそれと一致することは Katz–Messing KM74 による。(c) は Deligne の有限性定理（SGA 4½、1977 年）、(d)（強 Lefschetz）は Deligne の Weil II（1980 年）による（本書は確かめておらず、後二者は参考文献表にない）。
- fppf コホモロジーと平坦双対性：Artin–Milne（1976 年）と Milne（1986 年、Arithmetic Duality Theorems）が有限平坦群スキーム係数の平坦コホモロジーと平坦双対性を扱い、注意（一般の有限群スキーム係数の消滅）の消滅もその枠で扱われる（参考文献表になく、本書は確かめていない）。
- Dieudonné 加群：注意（Dieudonné 加群による回復の期待）は、Grothendieck の 1970 年 ICM 報告と Berthelot–Breen–Messing の結晶的 Dieudonné 理論（1982 年 BBM82）で、$p$ 可除群の Dieudonné 加群を結晶コホモロジーで実現する形に発展した。
- 非固有・非滑らかへの拡張：Berthelot の rigid コホモロジー（1986 年 Ber86、教科書 LS07）が与え、Monsky–Washnitzer コホモロジー（第 2 章）を含む。
原論文との対応表
本頁が対応する原論文は Crystals and the De Rham cohomology of schemes Gro68c である。
| 本頁 | 原論文 | 印字頁 |
|---|---|---|
| 定義（ℓ 進コホモロジー） | 小節 1.6 冒頭と脚注 | 313 |
| 定理（複素数体上の ℓ 進コホモロジーの比較） | 小節 1.6（比較定理 [1] の帰結） | 313–314 |
| 注意（1966 年時点で標数 p において未知だった事項） | 小節 1.6 | 314 |
| 注意（ℓ 進コホモロジーの内在的な欠陥と後年の脚注）、命題（ℓ 進コホモロジーに現れない p 捩れ） | 小節 1.6 末と脚注（Tate [12]、Lubkin） | 314 |
| 定義（p 進コホモロジーへの要請）、注意（係数環は Witt ベクトル環らしいという見通し） | 小節 1.7 | 315 |
| 補題（可除環から 2 次行列環への単位的準同型は存在しない）、定理（Serre の議論）、系（Weil コホモロジーの係数体への制約） | 小節 1.7（Serre の指摘、Deuring [2]） | 315 |
| 定義（fppf 係数の圏）、例（原論文の $\alpha_{p^\nu}$ の矢印の読み） | 小節 1.8 | 315–316 |
| 予想（fppf ホモロジーの予想定理）、注意（次元 1 の場合と Jacobian の Tate 加群） | 小節 1.8 (Conjectural Theorem) と脚注 | 316 |
| 二つの消滅定理、系（fppf ホモロジーでの Poincaré 双対の不成立）、注意（一般の有限群スキーム係数の消滅） | 小節 1.8（Artin の指摘） | 316 |
| 注意（Dieudonné 加群による回復の期待） | 小節 1.8 末 | 316–317 |
原論文の印字の読み替え（$H^i_p$ の $i$、$X_{et}$ の呼び方、$\alpha_{p^\nu}$ の矢印、$C^\nu$ の二義）は該当箇所に記した。
参考文献
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