4-2 接続・stratification・可積分性

段 1（小さい対角線への制限）．小さい対角線 $\delta\colon X\to\Delta^{(n)}_2$ について $\mathrm{pr}_{12}\circ\delta=\mathrm{pr}_{23}\circ\delta=\mathrm{pr}_{13}\circ\delta=\Delta$ なので、余サイクル条件を $\delta$ で引き戻すと $\psi=\psi\circ\psi$ が得られる。
段 2（結論）．$\psi$ は同型 $\varphi$ の引き戻しなので同型であり、$\psi=\psi\circ\psi$ の両辺に $\psi^{-1}$ を合成して $\psi=\mathrm{id}$。

段 1（$\varphi$ は $\Omega^1\otimes\mathcal E$ の上で恒等）．$\varphi$ は $P^1$ 線型なので $\varphi(\mathcal I\cdot p_1^*\mathcal E)\subset\mathcal I\cdot p_2^*\mathcal E$ であり、商 $p_i^*\mathcal E/\mathcal I\cdot p_i^*\mathcal E=\Delta^*p_i^*\mathcal E=\mathcal E$ の上に誘導する写像は $\Delta^*\varphi$ で、補題（対角線上では恒等）により $\mathrm{id}$。よって $\varphi(1\otimes_{\mathrm L}s)\equiv1\otimes_{\mathrm R}s$ mod $\mathcal I\cdot p_2^*\mathcal E$。$\omega\in\Omega^1_{X/S}=\mathcal I/\mathcal I^2$ について $\varphi(\omega\cdot1\otimes_{\mathrm L}s)=\omega\cdot\varphi(1\otimes_{\mathrm L}s)=\omega\cdot1\otimes_{\mathrm R}s$（$\omega\cdot\mathcal I\cdot p_2^*\mathcal E=0$）なので、事実 1 の同一視で $\varphi$ は $\Omega^1\otimes\mathcal E$ の上で恒等である。$\varphi^{-1}$ も同様。
段 2（$\nabla$ の定義と Leibniz 則）．段 1 により $\varphi^{-1}(1\otimes_{\mathrm R}s)-1\otimes_{\mathrm L}s$ は商 $\mathcal E$ で $s-s=0$ に写るので $\Omega^1\otimes\mathcal E$ に入る。これを $\nabla s$ とおくと $\nabla$ は加法的で $f^{-1}\mathcal O_S$ 線型。$1\otimes_{\mathrm R}as=(1\otimes a)\cdot1\otimes_{\mathrm R}s$ と $1\otimes a=a\otimes1+da$ から
$$\varphi^{-1}(1\otimes_{\mathrm R}as)=(a\otimes1+da)\cdot(1\otimes_{\mathrm L}s+\nabla s)=1\otimes_{\mathrm L}as+da\otimes s+a\nabla s$$
（$da\cdot\nabla s\in\mathcal I^2\cdot p_1^*\mathcal E=0$）。これが $1\otimes_{\mathrm L}as+\nabla(as)$ に等しいので $\nabla(as)=da\otimes s+a\nabla s$。
段 3（逆の構成）．接続 $\nabla$ が与えられたとき、$p_2^*\mathcal E=P^1\otimes_{\mathrm R}\mathcal E$ は記号 $1\otimes_{\mathrm R}s$ が生成し、関係は $1\otimes_{\mathrm R}(s+s')=1\otimes_{\mathrm R}s+1\otimes_{\mathrm R}s'$ と $1\otimes_{\mathrm R}as=(1\otimes a)\cdot1\otimes_{\mathrm R}s$ だけである。$\chi(1\otimes_{\mathrm R}s):=1\otimes_{\mathrm L}s+\nabla s$ と定めると、第一の関係は $\nabla$ の加法性、第二の関係は段 2 の計算を逆に読んだ Leibniz 則により保たれるので、$P^1$ 線型な $\chi\colon p_2^*\mathcal E\to p_1^*\mathcal E$ が定まる。$\chi$ は $\Omega^1\otimes\mathcal E$ の上で恒等、商 $\mathcal E$ の上でも恒等なので同型であり（五項補題）、$\varphi:=\chi^{-1}$ とおく。二つの構成は互いに逆である。
段 4（$n=1$ の余サイクル条件は自動）．$\Omega^1\otimes\mathcal E$ の上で恒等かつ商の上で恒等な $P^1$ 線型同型 $\varphi$ は余サイクル条件を満たすことを示す。$\nabla s=\sum_k\omega_k\otimes s_k$ と書く。$\mathrm{pr}_{12}^*\varphi(1\otimes_1s)=1\otimes_2s-\sum_k\mathrm{pr}_{12}^\sharp(\omega_k)\cdot1\otimes_2s_k$ で、$\mathrm{pr}_{12}^\sharp(\omega_k)\in\mathcal J$、$\mathcal J^2=0$ なので、続けて $\mathrm{pr}_{23}^*\varphi$ を施すと $1\otimes_3s-\sum_k\mathrm{pr}_{23}^\sharp(\omega_k)\cdot1\otimes_3s_k-\sum_k\mathrm{pr}_{12}^\sharp(\omega_k)\cdot1\otimes_3s_k$（事実 1 の $\mathcal J\otimes\mathcal E$ の同一視）。一方 $\mathrm{pr}_{13}^*\varphi(1\otimes_1s)=1\otimes_3s-\sum_k\mathrm{pr}_{13}^\sharp(\omega_k)\cdot1\otimes_3s_k$。$\omega=da$ について $\mathrm{pr}_{13}^\sharp(1\otimes a-a\otimes1)=1\otimes1\otimes a-a\otimes1\otimes1=(1\otimes1\otimes a-1\otimes a\otimes1)+(1\otimes a\otimes1-a\otimes1\otimes1)=\mathrm{pr}_{23}^\sharp(da)+\mathrm{pr}_{12}^\sharp(da)$ であり、$\Omega^1_{X/S}$ は $da$ の形の元が生成し $\mathrm{pr}_{ij}^\sharp\colon\mathcal I/\mathcal I^2\to\mathcal J$ は $\mathcal O_X$ 線型なので、両者は一致する。生成元 $1\otimes_1s$ の上で一致する $\mathcal O_{\Delta^{(1)}_2}$ 線型写像は等しい。
段 5（$\nabla$ と $\rho$）．$X$ が滑らかなら事実 2 により $\Omega^1_{X/S}$ は局所自由有限階数なので $\Omega^1_{X/S}\otimes\mathcal E\cong\mathcal{H}om_{\mathcal O_X}(\operatorname{Der}_S(\mathcal O_X),\mathcal E)$、$\theta\otimes s\mapsto(\partial\mapsto\langle\partial,\theta\rangle s)$。$\nabla$ が与えられれば $\rho(\partial):=\nabla_\partial$ は $\partial$ について $\mathcal O_X$ 線型（公理の前二式）で、Leibniz 則から第三式を満たす。逆に $\rho$ が与えられれば、$s$ ごとに $\mathcal O_X$ 線型写像 $\partial\mapsto\rho(\partial)(s)$ に対応する $\Omega^1\otimes\mathcal E$ の元を $\nabla s$ と定めると、第三式が Leibniz 則になる。

段 1（余サイクル条件の係数表示）．$\varphi$ の余サイクル条件は $\psi$ について $\mathrm{pr}_{13}^*\psi_n=\mathrm{pr}_{12}^*\psi_n\circ\mathrm{pr}_{23}^*\psi_n$ である。右辺を生成元 $1\otimes_3s$ に施すと、$\mathrm{pr}_{23}^*\psi_n(1\otimes_3s)=\sum_\beta\eta^\beta\cdot1\otimes_2D_\beta s$、続けて $\mathcal O_{\Delta^{(n)}_2}$ 線型な $\mathrm{pr}_{12}^*\psi_n$ を施して $\sum_{\alpha,\beta}\xi^\alpha\eta^\beta\cdot1\otimes_1D_\alpha D_\beta s$。左辺は $\sum_\gamma(\xi+\eta)^\gamma\cdot1\otimes_1D_\gamma s=\sum_{\alpha,\beta}\binom{\alpha+\beta}{\alpha}\xi^\alpha\eta^\beta\cdot1\otimes_1D_{\alpha+\beta}s$。事実 2 により $\xi^\alpha\eta^\beta$ は $\mathcal O_{\Delta^{(n)}_2}$ の基底なので $\mathrm{pr}_1^*\mathcal E$ の元の係数は一意で、両辺の一致は (i) の式と同値。$D_0$ は $\psi_n$ を対角線に制限したものなので、補題（対角線上では恒等）により $\mathrm{id}$。
段 2（線型性の係数表示）．$\psi_n$ が $P^n$ 線型なら、事実 3 の Taylor 展開により
$$\psi_n(1\otimes_{\mathrm R}as)=(1\otimes a)\cdot\psi_n(1\otimes_{\mathrm R}s)=\sum_\beta\partial^{[\beta]}(a)\xi^\beta\sum_\alpha\xi^\alpha\otimes_{\mathrm L}D_\alpha s=\sum_\gamma\xi^\gamma\otimes_{\mathrm L}\Bigl(\sum_{\beta\le\gamma}\partial^{[\beta]}(a)D_{\gamma-\beta}s\Bigr)$$
で、これが $\sum_\gamma\xi^\gamma\otimes_{\mathrm L}D_\gamma(as)$ に等しいので (ii) の式が必要である。逆に (ii) の式が成り立てば、定理の段 3 と同じく $p_2^*\mathcal E$ の生成元と関係により $P^n$ 線型な $\psi_n$ が定まる。$P^n$ は右構造でも $\xi^\alpha$ を基底とする自由加群なので（$X\times_SX$ の因子を入れ替える自己同型は $\mathcal I$ を保ち、左右の構造を入れ替え、$\xi_i$ を $x_i\otimes1-1\otimes x_i=-\xi_i$ に写す）、$p_2^*\mathcal E=\bigoplus_\alpha\xi^\alpha\otimes_{\mathrm R}\mathcal E$、$p_1^*\mathcal E=\bigoplus_\alpha\xi^\alpha\otimes_{\mathrm L}\mathcal E$ であり、$\psi_n(\xi^\beta\otimes_{\mathrm R}s)=\sum_\alpha\xi^{\alpha+\beta}\otimes_{\mathrm L}D_\alpha s$ は $|\alpha|$ で順序づけると $D_0=\mathrm{id}$ を対角成分とする単三角の形なので、$\psi_n$ は同型である。
段 3（両立と $n=1$）．$\Delta^{(n')}\hookrightarrow\Delta^{(n)}$ に沿った引き戻しは $|\alpha|>n'$ の $\xi^\alpha$ を消すので係数は変わらない。$n=1$ では $\psi_1(1\otimes_{\mathrm R}s)=1\otimes_{\mathrm L}s+\sum_i\xi_i\otimes_{\mathrm L}D_{e_i}s$、$\xi_i=dx_i$ で、定理の $\nabla s=\sum_idx_i\otimes\nabla_is$ と比べて $D_{e_i}=\nabla_i$。

段 1（局所化）．可積分性は局所的な条件なので、事実 2 の座標をもつ場合に示せばよい。
段 2（座標の導分の可換性）．$\varphi_2$（$\varphi_1$ を延ばす 2-connection）に補題（$n$-connection の係数表示）(i) を $n=2$、$(\alpha,\beta)=(e_i,e_j)$ と $(e_j,e_i)$（$i\ne j$）に当てると、$\binom{e_i+e_j}{e_i}=\binom{e_i+e_j}{e_j}=1$ なので $\nabla_i\nabla_j=D_{e_i+e_j}=\nabla_j\nabla_i$（(iii) により $D_{e_i}=\nabla_i$）。
段 3（一般の導分）．$\partial=\sum_ia_i\partial_i$、$\partial'=\sum_jb_j\partial_j$ について、公理 $\nabla_\partial=\sum_ia_i\nabla_i$ と Leibniz 則から
$$[\nabla_\partial,\nabla_{\partial'}]=\sum_j\partial(b_j)\nabla_j-\sum_i\partial'(a_i)\nabla_i+\sum_{i,j}a_ib_j[\nabla_i,\nabla_j]$$
であり、$[\partial,\partial']=\sum_j\partial(b_j)\partial_j-\sum_i\partial'(a_i)\partial_i$ なので、段 2 により $[\nabla_\partial,\nabla_{\partial'}]=\nabla_{[\partial,\partial']}$。

段 1（単射性）．二つの stratification が同じ $\varphi_1$ をもてば一致することを示す。局所的な主張なので事実 2 の座標をとり、補題（$n$-connection の係数表示）の $D_\alpha$ を用いる（(iii) により $n$ に依らない）。(i) で $\beta=e_i$ とすると $D_\alpha\circ\nabla_i=(\alpha_i+1)D_{\alpha+e_i}$。標数 $0$ なので $|\alpha|$ についての帰納法で $D_\alpha=\nabla^\alpha/\alpha!$（$\nabla^\alpha:=\nabla_1^{\alpha_1}\cdots\nabla_d^{\alpha_d}$。上の命題により $\nabla_i$ は互いに可換なので順序に依らない）。よってすべての $\psi_n$、したがって $\varphi_n$ が $\nabla$ で決まる。
段 2（全射性、局所）．可積分な $\nabla$ が与えられたとする。座標をとり $D_\alpha:=\nabla^\alpha/\alpha!$ と定める（$[\nabla_i,\nabla_j]=0$ により well-defined）。(i) の式 $D_\alpha D_\beta=\binom{\alpha+\beta}{\alpha}D_{\alpha+\beta}$ は $\frac{1}{\alpha!\beta!}=\binom{\alpha+\beta}{\alpha}\frac{1}{(\alpha+\beta)!}$ による。(ii) の式は、可換な $\nabla_i$ の Leibniz 則 $\nabla_i(as)=\partial_i(a)s+a\nabla_is$ を反復した $\nabla^\alpha(as)=\sum_{\beta\le\alpha}\binom{\alpha}{\beta}\partial^\beta(a)\nabla^{\alpha-\beta}(s)$ を $\alpha!$ で割り、事実 3 の $\partial^{[\beta]}=\partial^\beta/\beta!$ を使えばよい。$D_0=\mathrm{id}$ なので補題 (ii) により $P^n$ 線型な同型 $\psi_n$ が定まり、(i) により $\varphi_n:=\psi_n^{-1}$ は余サイクル条件を満たし、(iii) により $n$ について両立する。$D_{e_i}=\nabla_i$ なので $\varphi_1$ は $\nabla$ に対応する。
段 3（貼り合わせ）．段 2 の構成は座標に依るように見えるが、段 1 により $\varphi_1$ を与える stratification は一意なので、二つの座標近傍の上の構成は共通部分で一致し、大域的な stratification に貼り合う。

段 1（設定）．$\nabla(a)=da+a\,dx$ は Leibniz 則を満たし、$\operatorname{Der}_k(k[x])$ は $d/dx$ が生成する階数 $1$ の自由加群なので可積分性は空である。$k[x]\otimes_kk[x]=k[x,y]$、$\xi=y-x$ により $P^n=k[x][\xi]/(\xi^{n+1})$、$\mathcal O_{\Delta^{(n)}_2}=k[x][\xi,\eta]/(\xi,\eta)^{n+1}$ で、補題（$n$-connection の係数表示）の段 1 の計算がそのまま通る。
段 2（必要条件）．stratification があれば、$\varphi_n$（$n\ge p$）の係数 $D_a\colon k[x]\to k[x]$（$a\le n$）は $D_0=\mathrm{id}$、$D_1=\nabla_{d/dx}=\frac{d}{dx}+1$、$D_1\circ D_a=(a+1)D_{a+1}$ を満たす。$a=0,\dots,p-2$ について順に $D_a=D_1^a/a!$、よって $D_1^{p-1}=(p-1)!\,D_{p-1}$。$a=p-1$ では $D_1\circ D_{p-1}=pD_p=0$ なので $D_1^p=(p-1)!\,D_1D_{p-1}=0$。
段 3（矛盾）．$\frac{d}{dx}$ と $1$ は可換で、標数 $p$ では $(\frac{d}{dx}+1)^p=(\frac{d}{dx})^p+1$。$k[x]$ の上で $(\frac{d}{dx})^p(x^m)=m(m-1)\cdots(m-p+1)x^{m-p}$ の係数は連続する $p$ 個の整数の積なので $0$、よって $(\frac{d}{dx})^p=0$ で $D_1^p=1\ne0$。段 2 に反する。

段 1（stratification から同型系へ）．$Y\hookrightarrow Z$ のイデアルを $\mathcal K$ とし、$u_1,u_2\colon Z\to X$ を $u$ の延長とする。$\mathcal K$ は局所的に冪零なので、まず $\mathcal K^{N+1}=0$ となる開集合 $Z_0\subset Z$ の上で構成する。$(u_1,u_2)\colon Z_0\to X\times_SX$ は $Y$ の上で対角線を通るので、対角線のイデアル $\mathcal I$ の引き戻しは $\mathcal K$ に入り、$\mathcal I^{N+1}$ の引き戻しは $0$。よって $(u_1,u_2)$ は $h\colon Z_0\to\Delta^{(N)}$ を経由し、$u_i=p_i\circ h$。$\tau_{u_1,u_2}|_{Z_0}:=h^*(\varphi_N)\colon u_1^*\mathcal E=h^*p_1^*\mathcal E\to h^*p_2^*\mathcal E=u_2^*\mathcal E$ と定める。$N$ を大きくしても $\varphi$ の両立性により同じ同型を得るので、開集合 $Z_0$ の取り方によらず貼り合い、$Z$ 全体の $\tau_{u_1,u_2}$ が定まる。(i) は $u_1=u_2$ なら $h$ が対角線を経由することと補題（対角線上では恒等）、(ii) は三つの延長が $Z\to\Delta^{(N)}_2$ を経由することと余サイクル条件、(iii) は構成が引き戻しと可換なことによる。
段 2（同型系から stratification へ）．$\varphi_n:=\tau_{p_1,p_2}$ とおく（$X\hookrightarrow\Delta^{(n)}$ は冪零イデアル $\mathcal I/\mathcal I^{n+1}$ による閉埋入で、$p_1,p_2$ は $\mathrm{id}_X$ の延長）。余サイクル条件は $Z=\Delta^{(n)}_2$、延長 $\mathrm{pr}_1,\mathrm{pr}_2,\mathrm{pr}_3$ に (ii) を当て、(iii) で $\mathrm{pr}_{ij}$ による引き戻しと同定して得る。$n$ についての両立は $\Delta^{(n')}\hookrightarrow\Delta^{(n)}$ に (iii) を当てる。
段 3（互いに逆）．段 1 の系を段 2 で戻すと $h=\mathrm{id}$ の場合なので元の $\varphi_n$ に戻る。段 2 の stratification を段 1 で延ばすと、一般の $(Z,u_1,u_2)$ は $h$ による $\Delta^{(N)}$ からの引き戻しなので、(iii) により元の $\tau$ に戻る。水平射の対応も同じ引き戻しで確かめられる。