0-6 記号と約束
$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}}
\newcommand{N}[0]{\mathbb{N}}
\newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}}
\newcommand{R}[0]{\mathbb{R}}
\newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}}
$$
本書の全頁で共通に使う記号と約束をまとめた頁である。記号は各頁でも必要な箇所で短く繰り返し、頁の中で変えるときはその頁で断る。前提となる概念の要点は本書『0-2 de Rham コホモロジーと比較定理の復習』から『0-5 景・トポス・微分作用素』までに、読む順序は本書『0-1 本書の読み方』にある。
一般の約束
体・Witt ベクトル・底
- $k$：断りがなければ標数 $p>0$ の完全体である。第 1 章の前半（de Rham コホモロジーの批判）では任意の体を $k$ と書き、標数 $0$ を仮定するときは明記する。$\ell$ はつねに $p$ と異なる素数、$\bar k$ は $k$ の代数閉包である。
- $W=W(k)$ は $k$ の Witt ベクトル環（$p$ 進完備な離散付値環で、剰余体 $k$、極大イデアル $pW$）、$K=W[1/p]$ はその商体、$W_n=W/p^{n+1}W$（$W_0=k$）である。原論文は $W(k)$、極大イデアルを $\mathfrak m$ と書く。$W$ の構成と性質は本書『0-3 エタールコホモロジーと Weil コホモロジーの要請』にある。
- $S$ は底スキームである。標数 $p$ の理論では $S=\operatorname{Spec}W$、$S_n=\operatorname{Spec}W_n$ と固定し、$S_0=\operatorname{Spec}k$ である。「$S$ が標数 $0$」は $S$ が $\mathbb Q$ 上のスキームであること（すべての局所環が $\mathbb Q$ を含むこと）を意味する。原論文の「$X$ が標数 $0$」も同じ意味に読む。
スキームと持上げ
- スキームは分離性も準コンパクト性も仮定しない。原論文も同じで、1.3 の脚注（印字 p. 308）は、旧用語の prescheme と scheme をそれぞれ scheme と separated scheme と呼ぶ新しい用語法に従うと断る。仮定するときは「分離的」「準コンパクト」「有限型」と明記する。「代数的スキーム」は体上有限型のスキームをいう。
- $X_0$ は $k$ 上のスキーム、$X$ はその $S=\operatorname{Spec}W$（または $S_n$）上への持上げ、すなわち $X\times_SS_0\cong X_0$ となる $S$ 上のスキームである。第 5 章と第 6 章では $X_0\hookrightarrow X$ を一般の冪零はめ込みの意味でも使う（原論文 5.3・7.2）。持上げを考えない章（第 1 章・第 4 章）では $X$ は単に $S$ 上のスキームである。
- $f\colon X\to S$ は構造射である。「$X/S$ は滑らか」は EGA IV の smooth（局所有限表示かつ形式的滑らか）、「固有」は proper（分離・有限型・普遍閉）、「はめ込み」は immersion（局所閉埋入）、「冪零はめ込み」は冪零イデアル層による閉埋入である。原論文の complete と proper はどちらも固有を意味し、本書は「固有」で統一する。
- $X/S$ は断りがなければ滑らかである。固有を仮定するときは明記する（第 2 章の持上げ、第 6 章の crucial test）。affine の仮定も明記する。
- 「形式的滑らか」は無限小持上げの性質（affine な $S$ スキーム $T'$ と平方零の閉部分スキーム $T\subset T'$ について任意の $S$ 射 $T\to X$ が $S$ 射 $T'\to X$ に延びること。EGA IV 17.1）、「形式的エタール」は延長の存在と一意性である。$\mathfrak X$ は $S$ 上の形式スキーム、$\operatorname{Spf}$ は形式スペクトルで、「$X_0$ の形式的持上げ」は $\operatorname{Spf}W$ 上の形式スキームで還元が $X_0$ になるものをいう。要点は本書『0-4 形式スキーム・持上げ・divided power』にある。
de Rham コホモロジーの記号
記号は参考書『代数的 de Rham コホモロジー』の頁『0-6 記号と約束』と同じにし、違うところだけ断る。
| 記号 | 意味 |
|---|---|
| $\Omega^1_{X/S}$、$\Omega^p_{X/S}=\bigwedge^p\Omega^1_{X/S}$ | 相対 Kähler 微分の層とその外冪。$X/S$ が滑らかなら局所自由 |
| $\Omega^\bullet_{X/S}$ | 相対 de Rham 複体。外微分 $d$ は $f^{-1}\mathcal O_S$ 線型で $\mathcal O_X$ 線型ではない |
| $\mathbf H^n(X,K^\bullet)$、$\mathbf Rf_*$、$\mathbf R^nf_*$ | 複体 $K^\bullet$ の超コホモロジー、導来順像とその $n$ 次 |
| $H^n_{dR}(X/S)=\mathbf R^nf_*\Omega^\bullet_{X/S}$ | 相対 de Rham 層（de Rham 本の $H^n_{dR}(f)$）。原論文の下線付きの $H^n_{DR}(X/S)$ |
| $H^n_{dR}(X)=H^n_{dR}(X/k)$ | 体 $k$ 上の代数的 de Rhamコホモロジー $\mathbf H^n(X,\Omega^\bullet_{X/k})$ |
| $X^{an}$、$\Omega^\bullet_{X^{an}}$ | $\mathbb C$ 上局所有限型のスキームの解析化と正則 de Rham 複体。de Rham 本の $X^h$ に当たるが、本書は原論文どおり $X^{an}$ と書く |
| $H^n(X^{an},\mathbb C)$ | 解析化の複素係数コホモロジー（定数層の層コホモロジー。特異コホモロジーと一致する） |
| $H^n_{\text{ét}}(X_{\bar k},\mathbb Q_\ell)$、$b_n$ | $\ell$ 進コホモロジー（$\ell\ne p$）と $\ell$ 進 Betti 数 $\dim_{\mathbb Q_\ell}H^n_{\text{ét}}(X_{\bar k},\mathbb Q_\ell)$ |
| $E_1^{p,q}=R^qf_*\Omega^p_{X/S}\Rightarrow H^{p+q}_{dR}(X/S)$ | Hodge–de Rham スペクトル系列。原論文は「usual spectral sequence of hypercohomology」と呼んでこの名は使わず、相対版のこの式に原論文で唯一の式番号 (1) を付ける（1.3、印字 p. 308〜309） |
底が affine（$S=\operatorname{Spec}W$、$\operatorname{Spec}W_n$、$\operatorname{Spec}k$）で $X$ が準コンパクト分離的なら、層 $H^n_{dR}(X/S)$ は準連接で、その大域切断は加群 $\mathbf H^n(X,\Omega^\bullet_{X/S})$ である。本書はこのとき層と加群を同じ記号 $H^n_{dR}(X/S)$ で書き、区別が要る箇所（第 3 章の接続は層の上に、第 5 章の Theorem 4.1 は加群の間に置かれる）ではどちらかを明記する。
Monsky–Washnitzer の記号
| 記号 | 意味 |
|---|---|
| $W\{t_1,\dots,t_n\}$ | 制限冪級数環（係数が $p$ 進位相で $0$ に収束する冪級数の環。$W[t_1,\dots,t_n]$ の $p$ 進完備化）。原論文の $W\{t\}$ |
| $W\{t_1,\dots,t_n\}^\dagger$ | 弱完備化（過収束級数の環）。$\sum a_\alpha t^\alpha$ で、ある $\rho>0$ について $\lvert\alpha\rvert$ が十分大きいとき $v_p(a_\alpha)\ge\rho\lvert\alpha\rvert$ となるものの環。原論文は $W^\dagger\{t\}$ と印字する |
| $A^\dagger$ | Monsky–Washnitzer 代数（M–W 代数）。$W\{t_1,\dots,t_n\}^\dagger$ の商環。$k$ 上滑らかな $A_0$ の M–W 持上げとは $W$ 上平坦な M–W 代数 $A^\dagger$ で $A^\dagger/pA^\dagger\cong A_0$ なるもの。定義は本書『2-2 弱完備代数と Monsky–Washnitzer コホモロジー』 |
| $H^n_{WM}(X_0)$ | Monsky–Washnitzer コホモロジー。$X_0=\operatorname{Spec}A_0$ が affine なら $H^n(\Omega^\bullet_{A^\dagger/W})\otimes_WK$ |
| $X_{0,WM}$ | $X_0$ の affine 開集合とその M–W 持上げの組を対象とする景。原論文は添字を WM と M-W で揺らすが、本書は WM で統一する |
接続と stratification の記号
| 記号 | 意味 |
|---|---|
| $\nabla\colon\mathcal E\to\Omega^1_{X/S}\otimes\mathcal E$ | $\mathcal O_X$ 加群 $\mathcal E$ の接続（1-connection）。Leibniz 則 $\nabla(ae)=da\otimes e+a\nabla e$ を満たす $f^{-1}\mathcal O_S$ 線型写像。可積分とは曲率 $\nabla^2=0$ |
| $\nabla_{GM}$ | 相対 de Rham 層 $H^n_{dR}(X/S)$ 上の Gauss–Manin接続。原論文 3.3 の「algebraic connection of Gauss–Manin」。原論文 3.4 の「absolute canonical connection」との関係は本書『3-3 絶対標準接続の構成』 |
| $\operatorname{Der}_S(\mathcal O_X)$、$\langle\partial,\omega\rangle$ | $S$ 導分の層 $\mathcal{H}om(\Omega^1_{X/S},\mathcal O_X)$ と、導分と 1 形式の対（原論文は順序を揺らす） |
| $i(\partial)$、$\theta(\partial)$ | 内部積と Lie 微分。Cartan のホモトピー公式 $\theta(\partial)=i(\partial)d+d\,i(\partial)$ |
| $\Delta^{(n)}=\Delta^{(n)}_{X/S}$ | $X\times_SX$ の対角線の $n$ 次無限小近傍（対角線のイデアル $\mathcal I$ について $\mathcal I^{n+1}$ で定まる閉部分スキーム）。原論文の Appendix（印字 p. 356）の $\Delta^1(n)$、5.4 の $\Delta^1_{X/S}(n)$（$X^{(n)}$ という記号は原論文にない。5.5 の $X^{(\nu)}$ は $\nu+1$ 重積である）。三重積 $X\times_SX\times_SX$ の対角線の $n$ 次近傍は $\Delta^{(n)}_2$（原論文の $\Delta^2(n)$） |
| $p_1,p_2\colon\Delta^{(n)}\to X$、$\mathrm{pr}_{12},\mathrm{pr}_{23},\mathrm{pr}_{13}\colon\Delta^{(n)}_2\to\Delta^{(n)}$ | 射影。原論文は後者を $p_{21},p_{32},p_{31}$ と添字を逆順に書く（$\mathrm{pr}_{12}=p_{21}$、$\mathrm{pr}_{23}=p_{32}$、$\mathrm{pr}_{13}=p_{31}$） |
| $P^n_{X/S}=p_{1*}\mathcal O_{\Delta^{(n)}}$ | $n$ 次主要部分の層 $\mathcal O_{X\times_SX}/\mathcal I^{n+1}$（EGA IV 16 の $\mathcal P^n_{X/S}$）。左右二つの $\mathcal O_X$ 加群構造をもち、左構造で $P^1_{X/S}=\mathcal O_X\oplus\Omega^1_{X/S}$。原論文にこの層の記号はなく、§5・§6 の $P^\nu$ は下の余単体 pro-環である。両者を並べる頁では主要部分の層を $\mathcal P^n_{X/S}$ と書いてよい |
| $n$-connection | 同型 $\varphi\colon p_1^*\mathcal E\xrightarrow{\sim}p_2^*\mathcal E$（$\Delta^{(n)}$ 上）で、余サイクル条件 $\mathrm{pr}_{13}^*\varphi=\mathrm{pr}_{23}^*\varphi\circ\mathrm{pr}_{12}^*\varphi$ を満たすもの（原論文 Appendix） |
| stratification | すべての $n$ について $n$-connection を与え、$n'\le n$ のとき $n$-connection の誘導する $n'$-connection が与えられたものと一致する族。「$S$ に関する stratification」と底を添える。「絶対（absolute）」は底を $\operatorname{Spec}\mathbb Z$ にとることをいう |
| $\mathcal D_{X/S}$ | 微分作用素の層（EGA IV 16 EGA4）。原論文にこの層の記号はない。原論文の $\operatorname{Dif}(X/S)$（$\operatorname{Diff}(X/S)$ とも印字）は $\mathcal O_X$ 加群を対象とし $S$ に相対的な微分作用素を射とする圏（6.1〜6.2）で、本書もこの圏は $\operatorname{Dif}(X/S)$ と書く |
| $X^\nu_{(S)}$、$\Delta^\nu_{X/S}(i)$ | $X$ の $S$ 上の $\nu+1$ 重ファイバー積と、その対角線の $i$ 次無限小近傍（原論文 §5・§6。5.5 は前者を $X^{(\nu)}$ とも書く）。$\Delta^{(n)}_2=\Delta^2_{X/S}(n)$ である |
| $P^\nu$、$Q^\nu$、$Q^\circ(M)$ | 余単体 pro-環 $P^\nu=(\mathcal O_{\Delta^\nu_{X/S}(i)})_i$、$Q^\nu=P^{\nu+1}$、$Q^\nu(M)=Q^\nu\otimes_{\mathcal O_X}M$、および formalizing functor $Q^\circ$（原論文 §6）。定義は本書『5-3 基本定理の証明』 |
接続・stratification・可積分性の関係（滑らかなら 1-connection は $\rho\colon\operatorname{Der}_S(\mathcal O_X)\to\mathcal{E}nd_S(\mathcal E)$ による表示と同値、標数 $0$ かつ滑らかなら stratification は可積分 1-connection と同値、非零標数では偽）は本書『4-2 接続・stratification・可積分性』にある。
景とトポスの記号
圏と Grothendieck 位相の組（site）は「景」と書き、「サイト」は使わない。groupoid は「亜群」である。景の一般論と環付きトポスは本書『0-5 景・トポス・微分作用素』にある。
| 記号 | 意味 |
|---|---|
| $\operatorname{Inf}(X/S)$、$(X/S)_{\inf}$ | 無限小景（infinitesimal site）とそのトポス。対象は冪零な $S$ はめ込み $U\hookrightarrow T$（$U\subset X$ 開、$T$ は $S$ スキーム）、射は $U\subset U'$ と両立する $S$ 射 $T\to T'$、位相は $T$ の Zariski 開被覆で生成する（原論文 4.1）。原論文は $X_{\inf}$ とも書く |
| $\operatorname{Strat}(X/S)$、$(X/S)_{\mathrm{strat}}$ | stratifying 景とそのトポス。$\operatorname{Inf}(X/S)$ の充満部分圏で、局所的にレトラクション $T\to X$ をもつ対象からなる（原論文 4.2）。$X/S$ が滑らかなら $\operatorname{Inf}(X/S)$ と一致する |
| $\operatorname{Cris}(X/S)$、$(X/S)_{\mathrm{cris}}$ | 結晶景（crystalline site）とそのトポス。対象は冪零な $S$ はめ込み $U\hookrightarrow T$ に、はめ込みのイデアル上の冪零な divided power 構造を添えたもの（原論文 7.2）。$S$ が標数 $0$ なら $\operatorname{Inf}(X/S)$ と一致する |
| $\operatorname{Conn}(X/S)$ | 接続景（connecting site）。$\operatorname{Cris}(X/S)$ の充満部分圏で、$U\subset X$ が $S$ 射 $T\to X$ に延びる対象からなる。$X/S$ が滑らかなら $\operatorname{Cris}(X/S)$ と一致する |
| $\mathcal F_{(U,T)}$ | 景上の層 $\mathcal F$ の対象 $(U\hookrightarrow T)$ での値。$T$ 上の Zariski 層で、射 $j\colon(U,T)\to(U',T')$ ごとに遷移射 $j^*\mathcal F_{(U',T')}\to\mathcal F_{(U,T)}$ をもつ |
| $\mathcal O_{X/S}$ | 構造層。各 $(U\hookrightarrow T)$ に $\mathcal O_T$ を対応させる。原論文の $\mathcal O_{X_{\inf}}$、$\mathcal O_{X_{\mathrm{strat}}}$、$\mathcal O_{X_{\mathrm{cris}}}$ をまとめてこう書き、どの景の上かは文脈で示す |
| $\mathcal J$ | 結晶景の構造層の中の、はめ込みのイデアル層。完全列 $0\to\mathcal J\to\mathcal O_{X/S}\to u_*\mathcal O_X\to0$ |
| $u\colon(X/S)_{\mathrm{cris}}\to X_{\mathrm{zar}}$ | 忘却射。原論文は $u^*$ と $u_*$ の両方で書くが、本書は $u_*$ を順像の意味に固定する |
| $H^n((X/S)_{\inf},\mathcal F)$、$H^n_{\mathrm{cris}}(X/S)=H^n((X/S)_{\mathrm{cris}},\mathcal O_{X/S})$ | 無限小コホモロジー、結晶コホモロジー（大域切断関手の導来関手） |
| 結晶（crystal） | 景上の $\mathcal O_{X/S}$ 加群 $\mathcal F$ で、すべての射 $j$ について遷移射 $j^*\mathcal F_{(U',T')}\to\mathcal F_{(U,T)}$ が同型のもの。原論文は stratifying 景上のこの条件を special Module と呼び（4.2）、5.3 の「absolute crystal」は、$S$ へのレトラクションをもつ近傍だけでなく $S$ のすべての無限小近傍（底を $\operatorname{Spec}\mathbb Z$ にとる）へ標準的に延びるものをいう |
| $(\gamma_n)_{n\ge1}$、$x^{(n)}=\gamma_n(x)$、$(J,\gamma)$ | イデアル $J$ 上の divided power 構造（Roby Rob65。原論文の puissances divisées、$x^{(n)}$）。「冪零」とは $\sum n_i$ が十分大きいとき $\gamma_{n_1}(x_1)\cdots\gamma_{n_r}(x_r)=0$ となること |
原論文の引き方
番号と頁
- 「原論文」は Grothendieck Gro68c、すなわち論文集 Dix exposés sur la cohomologie des schémas（1968 年）の Exposé IX「Crystals and the De Rham cohomology of schemes」を指す。印字頁は 306〜358 で、本書が用いる画像 PDF の頁番号に 52 を加えたものである。頁は「印字 p. 334」のように印字頁で引く。
- 節は「§n」、小節は「小節 n.m」または単に「n.m」と引く。節の配置は、Introduction（印字 p. 306）、§1 De Rham Cohomology（307〜317）、§2 The Cohomology of Monsky and Washnitzer（317〜322）、§3 Connections on the De Rham cohomology（322〜330）、§4 The infinitesimal topos and stratifying topos（330〜335）、§5 Čech calculations（335〜344）、§6 Comparison of the Infinitesimal and De Rham Cohomologies（344〜351）、§7 The crystalline topos and connecting topos（351〜356）、Appendix（356〜357）、References（358）である。
- 番号付きの主張は Theorem 1.1（de Rham の定理、印字 p. 307）、Theorem 1.2（比較定理、p. 310。直後に無番号の Corollary）、Theorem 4.1（基本定理、p. 334）、Conjecture 4.2（p. 335）、Conjecture 5.1（p. 343）の 5 つだけで、それ以外の定義・主張・見込みはすべて無番号の段落の中にある。無番号の主張は「3.4 の構成」「5.3 の不変性」「7.2 の見込み a)」のように小節と内容で指す。
- 小節番号と定理・予想の番号は同じ系列を共有しない。小節 4.2（The stratifying topos）と Conjecture 4.2（小節 4.3 の中）、小節 5.1（The stratifying topos）と Conjecture 5.1（小節 5.5 の中）はそれぞれ別物である。Appendix の「(4.1)」は無限小景を定義した小節 4.1 を指し、Theorem 4.1 ではない。
- 番号付きの式は 1.3 の $(1)$（相対 de Rham 層のスペクトル系列、印字 p. 309）だけで、他の式のラベルは $(*)$ と $(**)$ である。$(*)$ は 1.4（代数から解析への準同型）、2.2（「the functor $(*)$」。ラベルの印字は紙面に見えない）、3.4（ホモトピー公式）、3.5（Frobenius の誘導する $\pi$）、5.1・5.2（affine での同型）、6.4（スペクトル系列）、7.4（$(1+\mathcal J)\cong\mathcal J$）で、$(**)$ は 3.4（$u$ と $\theta$ の関係）と 6.5（標準準同型）で使い回されるので、本書は「5.1 の $(*)$」のように小節を添える。脚注の記号 $(*)$・$(**)$ はこれとは別である。
- 原論文の文献表は [1]〜[13] の 13 項目で、本書はラベルで引く。[1] は SGA4、[3] は EGA3・EGA4、[5] は Gro66、[8] は MW68、[9] は Rob65 である。
講義と記録
- 原論文は Grothendieck が 1966 年 11 月から 12 月にかけて IHÉS で行った 5 回の講演の記録で、Introduction は自らを講演の「粗い要約」と呼ぶ。記録者は Coates と Jussila である。題の頁は「I. Coates」と印字するが、Numdam などの書誌は J. Coates（John Coates）とするので、本書の参考文献表はそれに従う。
- 本文の「we」は講義の一人称である。記録者が講義者を三人称で呼ぶ地の文は 2.2 末から 2.3（印字 p. 320〜321、Washnitzer からの私信の紹介）にあり、本書はそこを「記録者の注」として区別する。
- 後年の脚注がある。7.2 の脚注（印字 p. 352）は見込み a) が「述べたままでは正しくない」ことと、記録の後に Berthelot が b) と a) の正しい形を証明したことを告げる。1.6 の脚注（p. 314）は Lubkin の指摘と Kleiman の exposé Kle68 を、Introduction の脚注（p. 306）は Berthelot の仕事を引く。1.6 の脚注は「本ノートを書いた後」と自ら断り、7.2 の脚注も記録の後の出来事を告げるので、講義の内容ではなく論文集をまとめる段階（1968 年まで）の追記である。Introduction の脚注は同じ太い活字だが、時期は紙面から断定しない。いずれも誰が書いたかは紙面から決まらない。本書はこれらを「後注」と呼び、原論文の主張とは分けて扱う。
原論文の記号との対応表
| 本書 | 原論文 | 備考 |
|---|---|---|
| $H^n_{dR}(X/S)$ | $H^n_{DR}(X/S)$（下線・二重下線） | 原論文は層を一重、超コホモロジーを二重の下線で区別する |
| $X^{an}$ | $X^{an}$ | de Rham 本は $X^h$ |
| $W\{t\}^\dagger$、$A^\dagger$ | $W^\dagger\{t\}$、M-W-algebra | 字形は $W^+$ とも読める |
| $\Delta^{(n)}$、$\Delta^{(n)}_2$ | $\Delta^1(n)$、$\Delta^2(n)$（Appendix）、$\Delta^1_{X/S}(n)$（5.4） | 原論文に $X^{(n)}$ の記号はない。5.5 の $X^{(\nu)}$ は $\nu+1$ 重積 |
| $P^n_{X/S}$（$\mathcal P^n_{X/S}$） | $\mathcal O_{\Delta^1_{X/S}(n)}$ | 主要部分の層の記号は原論文にない。§5・§6 の $P^\nu$ は余単体 pro-環 |
| $p_1,p_2$、$\mathrm{pr}_{12},\mathrm{pr}_{23},\mathrm{pr}_{13}$ | $p_1(n),p_2(n)$、$p_{21}(n),p_{32}(n),p_{31}(n)$ | 三重積の射影は添字の順を逆に読む |
| $\mathcal D_{X/S}$、$\operatorname{Dif}(X/S)$ | （層の記号なし）、Dif(X/S)・Diff(X/S) | 原論文の Dif は微分作用素を射とする加群の圏 |
| Artin–Rees pro-object | Artin-Riesz | 人名は Rees と読む |
| $\mathcal O_{X/S}$ | $\mathcal O_{X_{\inf}}$、$\mathcal O_{X_{\mathrm{strat}}}$、$\mathcal O_{X_{\mathrm{cris}}}$（下線付き $O$） | |
| $(\gamma_n)$、$x^{(n)}$ | $x^{(n)}$、$\Theta$ | 7.4 では divided power 構造を $\Theta$ と書く |
| 結晶 | special Module（4.2）、crystal（Introduction、5.3） | |
| $E\to T$（楕円曲線の族、3.5） | $M/S$ | 3.1 の $M\to S$（$S=\operatorname{Spec}W$）と文字が衝突するので 3.5 だけ改める |
頁の読み方の約束
頁の構成と引用
- 第 1 章以降の各頁は「この頁で示すこと」「背景と動機」「定義と準備」「主結果と証明」「例と反例」「その後の発展」「原論文との対応表」の順に並ぶ。引く文献は本書共通の参考文献一覧にあり、本文中では
[[ラベル]]で示す。頁をまたぐ参照は「本書『n-m 頁名』」、別の本への参照は「参考書『代数的 de Rham コホモロジー』の頁『n-m 名前』」と書く。 - 証明のうち他の文献の結果に頼る段は「引用」と明記し、各頁の「定義と準備」の「引用する事実」に一覧で示す。原論文が省いた段を本書で補ったときは、そのことを明記する。第 1 章は de Rham 本の内容を要約して引くので、同じ命題を二重に証明しない。
状態語と原論文の確信度
- 各主張には本書の判定として状態語を一つ付ける。「完結」は本書の中で証明し切ったもの、「条件付き」は引用した定理に依るもの（何を引用したかを添える）、「未完結」は証明を閉じられなかったもの、「偽」はそのままでは成り立たないもの（反例と正しい形を添える）である。「この頁で示すこと」では ［完結］／［条件付き：何を引用したか］／［未完結］／［偽：反例と正しい形］ の札で書く。本書の基準は、第 0 章の事実や古典的定理（Cartan のホモトピー公式、GAGA、EGA の定理など）を引いた段が一つでもあれば「条件付き」とするもので、本書の素材とした再構成稿の「完結」より厳しい。原論文が偽で本書が直した主張は、直した形に状態語を付け、原論文の形がどの反例で破れるかを添える。
- これとは別に、原論文自身の確信度を「定理」（証明または証明の筋がある。Theorem 1.1・1.2・4.1）、「主張」（断定形だが証明なし）、「期待」（hope、should、would と述べる箇所）、「予想」（Conjecture 4.2・5.1 と、it seems likely、presumably、we expect と述べる箇所）、「提案」（tentatively と述べる定義の試案。7.5 の Monsky–Washnitzer トポス）、「撤回」（後注で「述べたままでは正しくない」と認めた 7.2 の a)）の 6 つで添える。原論文で「期待」だった主張が後代に定理になっていても、本書の状態語はその頁で証明を閉じたかどうかだけで決まる。
- 「その後の発展」の節は原論文の主張と分けて書き、何年の時点の知見かを明記する。本書が文献を開いて確かめていないものは「本書は確かめていない」と書く。
後代の名称
- 結晶コホモロジー（Berthelot Ber74、1974 年）、Gauss–Manin 接続（Katz–Oda KO68、1968 年）、rigid コホモロジー、$\mathcal D$ 加群、Hodge–de Rham スペクトル系列、$p$ 曲率などの後代の名称は「その後の発展」で使い、原論文の主張として帰属しない。本文でこれらの名称を使うときは後代の名称であることを断る。原論文の「crystalline cohomology」は構想の段階の語であり、本書はこれを「結晶コホモロジー」と訳すが、Berthelot の理論と同一視しない。
原論文の誤植・記録の誤りのうち数学に関わるもの
原論文の印字の誤りのうち数学的な読みに関わるものを挙げる。本書はどの箇所も「本書の読み」で扱い、該当する頁でも「原論文は〜と印字」と断る。根拠は紙面内で閉じるものに限り、綴りの誤りや字体の揺れは省く。
| 箇所 | 原論文の印字 | 本書の読み | 根拠 |
|---|---|---|---|
| 印字 p. 313、1.6 | 「$X_{et}$ is the etale cohomology of $X$」 | $X_{\text{ét}}$ はエタール景（位相）であって、コホモロジーではない | 直後に $X_{et}$ 上の層のコホモロジーをとる |
| 印字 p. 315、1.7 | 楕円曲線について「$H^i_p(X)$ is of dimension 2」 | $H^1_p(X)$（$i=1$） | 直後の文は $H^1_p(X)$ で、$\operatorname{End}(X)$ の作用を論じる |
| 印字 p. 316、1.8 | $\alpha_{p^\nu}=\ker(\mathbb G_a\xrightarrow{p^\nu}\mathbb G_a)$ | 矢印は $p^\nu$ 乗写像（Frobenius の $\nu$ 回合成） | $p^\nu$ 倍と読むと標数 $p$ では核が $\mathbb G_a$ 全体になる。$\mu_{p^\nu}$ の側と一貫する。誤植とは判定せず、読みを定めるだけである |
| 印字 p. 317、2.1 | 「finite dimensional vector spaces on $W(k)$」 | 有限生成 $W(k)$ 加群 | $W(k)$ は体でない |
| 印字 p. 318、2.1 | 「$S=\operatorname{Spec}(W(k)/\mathfrak m^{n+1})$」 | $S_n$ | $S=\operatorname{Spec}W(k)$ は定義済みで、直前に $S_n$ を使う |
| 印字 p. 324、3.3 | 作用は「depends only on $\bar\partial$」（上線あり） | $\partial$ だけに依り延長 $\bar\partial$ に依らない | 文意。上線が細く、留保付き |
| 印字 p. 328〜329、3.4 | $\underline{\mathrm{Isom}}$ の第一引数の添字と、$\Omega^\bullet_{X''/S''}$（2 回） | $\Omega^\bullet_{X'/S'}$、$\Omega^\bullet_{X''/S'}$ | $P$ は $X'\to X''$ の同型の層で、$S''$ は存在しない |
| 印字 p. 337、5.1 | $H^q(\tilde X^{\nu+1},F)=\varinjlim H^q(\Delta(i),F)$ の二つ目の極限が帰納極限 | 射影極限 $\varprojlim$ | 次行の $H^0$ は $\varprojlim F(\Delta(i))$。Mittag-Leffler は射影極限の議論 |
| 印字 p. 339〜340、5.3 | $F=u^*F_0$ の定義式と不変性の同型の左辺で添字 $0$ が落ちる。stratifying 景での反例で、$J$ で消える側（$X_0/S$ の側）も $\mathcal O_{(X/S)_{strat}}$ と印字 | $F_0$。反例の $X_0/S$ の側は $\mathcal O_{(X_0/S)_{strat}}$ | 「for each Module $F_0$ on $\operatorname{Inf}(X_0/S)$」の文と、直前の文が $X_0/S$ を論じること |
| 印字 p. 353、7.2 | crucial test の前後で「the $p$-adic cohomology of $X$」「$\varprojlim_nH^*((X/S_n)_{cris},\mathcal O_X)$」 | $X_0$、$\mathcal O_{X_n}$ | 定義の式は $(X_0/S)_{cris}$。a) で $X_0$ から $X_n$ へ移る段なので左辺は $X_0$ |
| 印字 p. 355、7.4 | $\log(1+x)=\sum_{n\ge1}(n-1)!(-1)^nx^{(n)}$ | 符号は $(-1)^{n-1}$ | $n=1$ の項が $-x$ になり $\log(1+x)$ の一次の項 $+x$ と合わない。印字のままでは $\exp$ の逆にならない |
未解決のうち本書が判断したもの
原論文の紙面からは決まらない点のうち、本書が読みを一つに決めて用いるものを挙げる。決めていないもの（後注の「we」の帰属、2.2 a) の「mild condition」の内容、3.1 の「パズル」が 3.5 とどう衝突するか、3.4 の「slightly stronger structure」の指すもの）は該当する頁で「本書は判定していない」と書く。
| 箇所 | 問題 | 本書の判断 | 用いる頁 |
|---|---|---|---|
| 印字 p. 317、2.1 | affine な $X_0$ の形式的持上げを述べるとき $X_0$ の滑らかさが書かれていない | 形式的持上げの一般論では滑らかを仮定する。$X_0=\operatorname{Spec}k[t]$ の例では問題にならない | 『2-1 持上げの de Rham コホモロジーの不変性』 |
| 印字 p. 318、2.1 | 過収束級数なら $H^1$ は「零になっていた」の零 | $\otimes K$ の後の意に読む。$W$ 係数では $t^{p-1}dt$ の原始関数 $t^p/p$ のため捩れが残る | 同上 |
| 印字 p. 324、3.2 | 相対形の比較定理（$R^if_*$ の解析化と $R^if^{an}_*\mathbb Z\otimes\mathcal O$ の同型）を使うが Theorem 1.2 は絶対形 | 相対形を引用する事実として分けて名指しし、Theorem 1.2 から導かない | 『3-1 不変性からの帰結と超越的接続』 |
| 印字 p. 329、3.4 末 | 同型の両辺が $\mathbf Rf_*$ で、$f'$、$f''$ でない | $X$、$X'$、$X''$ の底空間は共通なので $f_*=f'_*=f''_*$。誤植としない | 『3-3 絶対標準接続の構成』 |
| 印字 p. 330、3.5 | 「すべての楕円曲線の modular scheme」はレベル構造なしには存在しない | Legendre 族 $y^2=x(x-1)(x-\lambda)$、底 $\operatorname{Spec}k[\lambda,\lambda^{-1},(1-\lambda)^{-1}]$、$p\ge3$ に置き換える | 『3-4 標準的 stratification の非存在』 |
| 印字 p. 346、6.2 | 脚注は「first element を加える」、本文の $\alpha(h)=h$ は末尾に加える | 本文を採る。$Q^\nu=P^{\nu+1}$ で加わる添字は末尾、$M$ は末尾の射影でテンソルする | 『5-3 基本定理の証明』 |
| 印字 p. 350、6.5 | Theorem 4.1 は $(X/S)_{\inf}$ の主張で、証明が得るのは $(X/S)_{\mathrm{strat}}$ の同型 | 滑らかなら $\operatorname{Strat}(X/S)=\operatorname{Inf}(X/S)$（4.2）で一致させる。紙面はこれを引かない | 同上 |
| 印字 p. 351、7.1 | 「形式的にトーラスであるアーベルスキーム」 | 一般のアーベルスキームは形式的にトーラスでない。ordinary な場合に限る読みで扱い、artin 局所環の例を $W(k)$ へ移す極限移行は補う | 『6-1 結晶景と接続景』 |
参考文献
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