3-3 絶対標準接続の構成
滑らかな射 $f\colon X\to S$ の相対 de Rham コホモロジー $\mathbf Rf_*\Omega^\bullet_{X/S}$ に、$S$ の絶対的な（$\mathbb Z$ に関する）接続を導来圏の意味で構成する。鍵は、平方零の厚み $S\hookrightarrow S'$ の上の $X$ の二つの滑らかな持上げ $X'$、$X''$ の間に大域的な同型がなくても、持上げの同型の トーサー から de Rham 複体の間の導来圏の標準同型が作れることである。原論文 3.4 の構成を Čech 表示まで補って閉じる。
この頁で示すこと
$h\colon S\hookrightarrow S'$ を、イデアル層 $I$（$I^2=0$）で定義される閉埋め込み（平方零の厚み）、$f\colon X\to S$ を滑らかな射、$X'$、$X''$ を $f$ の $S'$ 上の滑らかな持上げ（$X'\times_{S'}S=X$、$X''\times_{S'}S=X$）とする。$X$、$X'$、$X''$ の底空間は同じなので、その上の層の順像をまとめて $f_*$ と書く。$K^\bullet=\mathbf Rf_*\Omega^\bullet_{X/S}$ とおく。底変換を引く段では $f$ を準コンパクト・分離的と仮定する。
本頁の主結果は次の四つである。
- 導来圏の意味の接続の言い換え（原論文 小節 3.4、印字 pp. 326–327）：$K^\bullet$ の導来圏の意味の絶対接続は、任意の二つの滑らかな持上げの間の推移的で厚みの取り替えと両立する同型 $\mathbf Rf_*\Omega^\bullet_{X'/S'}\cong\mathbf Rf_*\Omega^\bullet_{X''/S'}$ の系から得られ、また $\Delta^{(1)}_S$ 上の一つの同型を与えることと同値である。［条件付き：本書『1-1 代数的 de Rham コホモロジーの長所と限界』の導来圏での底変換を引用］
- 内積と Lie 微分の関係式（原論文 小節 3.4 の (*)・(**)、印字 p. 328）：輸送 $u(p)$、内積 $i(\partial)$、Lie 微分 $\theta(\partial)$ が well-defined で、$\theta(\partial)=i(\partial)d'+d''i(\partial)$、$u(p\cdot\partial)=u(p)+\theta(\partial)$、$\theta(\partial+\partial')=\theta(\partial)+\theta(\partial')$ が成り立つ。［条件付き：本書『0-4 形式スキーム・持上げ・divided power』の持上げの定理（SGA 1 III）と Kähler 微分の基本事実を引用］
- 標準元と持上げの間の標準同型（原論文 小節 3.4、印字 p. 329）：torsor $\underline P$ を $\mathbb Z$ の $\underline G$ による拡大に置き換えた複体 $\underline L^\bullet$ から Hom 複体への射 $\varphi$ により標準元 $\Psi_{X',X''}\in\mathbf H^0(X,\underline H^\bullet)$ が定まり、導来圏の射 $\Omega^\bullet_{X'/S'}\to\Omega^\bullet_{X''/S'}$ として推移的かつ $X'=X''$ で恒等、したがって同型である。$\mathbf Rf_*$ を施すと主結果 1 の与件を得る。［条件付き：導来圏の Hom の Čech 表示（Hartshorne）、SGA 1 III、導来圏での底変換を引用］
- 相対 de Rham 層の絶対接続（原論文 小節 3.4 冒頭、印字 p. 326）：相対 de Rham 層 $H^i_{dR}(X/S)$ がすべて有限階数の局所自由なら、上の接続は各 $H^i_{dR}(X/S)$ 上の絶対 1-connection を誘導する。［条件付き：主結果 3、Tor スペクトル系列、導来圏での底変換を引用］
本頁で閉じるのは、無限小自己同型層の線型化と符号の約束、$i$・$\theta$ の関係式、標準元の Čech 表示とそれによる推移性の検証で、導来圏での底変換、導来圏の Hom の Čech 計算、Tor スペクトル系列は引用する。原論文が「推移的で恒等なので同型」と一文で済ませる段を確かめるのが主な補いである。
背景と動機
前頁『3-2 Gauss–Manin 接続の代数的構成』で見たように、$f$ が affine で形式的滑らかなら、$\mathcal O_S$ の導分 $\partial$ を $\mathcal O_X$ の導分 $D$ に持ち上げ、Lie 微分 $\theta(D)$ を de Rham 複体に作用させて $H^i_{dR}(X/S)$ に $\partial$ を作用させられる。持上げ $D$ の取り替えによる差は Cartan のホモトピー公式 $\theta=i\,d+d\,i$ によりホモトピーで消える。原論文 Gro68c（印字 p. 326）はこの方法の難点を、$f$ が affine でないと $\mathcal O_S$ の導分を $S$ 上局所的にさえ $\mathcal O_X$ の導分に持ち上げられないこと、と指摘する。
小節 3.4 はこの難点を、導分の持上げを避けることで回避する。導分の代わりに $S$ の平方零の厚み $S'$ と $X$ の二つの持上げ $X'$、$X''$ を考える。両者は局所的には同型だが大域的な同型はない。ところが局所同型の層 $\underline P$ は無限小自己同型の層 $\underline G$ の torsor であり、$\underline G$ は接層に $I$ をテンソルした可換層に線型化される（SGA1 III。本書『0-4 形式スキーム・持上げ・divided power』）。局所同型 $p$ は de Rham 複体の同型 $u(p)$ を与え、取り替え $p\mapsto p\cdot\partial$ による差は Lie 微分 $\theta(\partial)$ で、これは再び Cartan の公式によりホモトピー $i(\partial)$ で消える。「局所的な選択がホモトピーを除いて一意」という状況は導来圏では大域的な射を一つ定める。それを実現する装置が、$\underline P$ を $\mathbb Z$ の $\underline G$ による加群の拡大 $\overline{\underline G}$ に置き換えた複体 $\underline L^\bullet=[\underline G\to\overline{\underline G}]\simeq\mathbb Z$ と、Hom 複体への射 $\varphi\colon\underline L^\bullet\to\underline H^\bullet$ である。
こうして得られる接続は Gauss–Manin接続 の導来圏版に当たる。原論文の言う「やや強い構造」は本頁の注意「やや強い構造の読み」で扱う。次頁『3-4 標準的 stratification の非存在』は、この 1 次の接続が高次の stratification には延びないことを標数 $p$ の楕円曲線の族で示す。
定義と準備
持上げの無限小自己同型層と torsor
まず本書『0-4 形式スキーム・持上げ・divided power』の持上げの定理から本頁で使う層を取り出し、線型化の符号の約束を定める。
$\underline G$ を $X$ 上恒等を誘導する $X'$ の $S'$ 自己同型の芽の層、$\underline P$ を $X$ 上恒等を誘導する $S'$ 同型 $X'\to X''$ の芽の層とする。$\underline G$ は合成で群の層であり、$\underline P$ には $\underline G$ が右から合成で作用する（$p\cdot\sigma=p\circ\sigma$）。$I\mathcal O_{X'}$ を $I$ が生成する $\mathcal O_{X'}$ のイデアルとすると、$I^2=0$ なのでこれは $\mathcal O_X=\mathcal O_{X'}/I\mathcal O_{X'}$ 加群であり、$X'$ が $S'$ 上平坦なので $I\mathcal O_{X'}\cong I\otimes_{\mathcal O_S}\mathcal O_X\cong I\mathcal O_{X''}$ である（$i\otimes a\mapsto i\tilde a$、$\tilde a$ は $a$ の任意の持上げ）。本頁はこの三つを同一視し、$\Omega^r_{X'/S'}\otimes_{\mathcal O_{X'}}\mathcal O_X\cong\Omega^r_{X/S}\cong\Omega^r_{X''/S'}\otimes_{\mathcal O_{X''}}\mathcal O_X$ も同一視する。
線型化の向きは後の関係式の符号を決める。本書『0-4 形式スキーム・持上げ・divided power』は SGA 1 に従い $\sigma\mapsto\sigma^\sharp-\mathrm{id}$ を用いるが、本頁はその $-1$ 倍を採る。
(a) $\sigma\in\underline G$ に対し $\delta_\sigma:=\mathrm{id}-\sigma^\sharp\colon\mathcal O_{X'}\to\mathcal O_{X'}$ は、像が $I\mathcal O_{X'}$ に入る $f^{-1}\mathcal O_{S'}$ 線型な導分で、$I\mathcal O_{X'}$ を零に写す。したがって $\mathcal O_X$ 上の $f^{-1}\mathcal O_S$ 導分 $\mathcal O_X\to I\mathcal O_{X'}$、すなわち $\mathcal O_X$ 線型写像 $\bar\delta_\sigma\colon\Omega^1_{X/S}\to I\mathcal O_{X'}$ を定める。対応 $\sigma\mapsto\bar\delta_\sigma$ は群の層の同型 $\underline G\cong\mathcal{H}om_{\mathcal O_X}(\Omega^1_{X/S},I\mathcal O_{X'})$ である。とくに $\underline G$ は可換で、以後加法的に書く。
(b) $p\in\underline P$、$\sigma''$ を $X''$ の $X$ 上恒等な $S'$ 自己同型とすると、$p^{-1}\sigma''p\in\underline G$ は $\sigma''$ と同じ $\bar\delta$ に対応する。したがって $X'$ と $X''$ の無限小自己同型層を (a) を通して同一視すれば $\underline P$ への左右の作用は一致し、$\underline P$ は $\underline G$ の torsor（主等質空間）である。
(a) $\sigma^\sharp$ は $I\mathcal O_{X'}$ を法として恒等なので $\delta_\sigma$ の像は $I\mathcal O_{X'}$ に入る。$\delta_\sigma(ab)=ab-(a-\delta_\sigma a)(b-\delta_\sigma b)=a\,\delta_\sigma b+b\,\delta_\sigma a-\delta_\sigma a\,\delta_\sigma b$ で最後の項は $I^2=0$ で消えるので導分である。$x=\sum_ki_ka_k\in I\mathcal O_{X'}$ に対し $\delta_\sigma(x)=\sum_ki_k\delta_\sigma(a_k)\in I^2\mathcal O_{X'}=0$ なので $\mathcal O_X$ を経由し、Kähler微分 の普遍性で $\bar\delta_\sigma$ を得る。逆に $\mathcal O_X$ 線型な $\bar\delta$ から $\delta\colon\mathcal O_{X'}\to\mathcal O_X\to I\mathcal O_{X'}$ を作ると、$\delta$ は導分で $\delta\circ\delta=0$ なので $\mathrm{id}-\delta$ は環準同型（$(a-\delta a)(b-\delta b)=ab-\delta(ab)$）で $\mathrm{id}+\delta$ を逆にもち、$X$ 上恒等な自己同型を与える。二つの対応は互いに逆である。合成 $\sigma\circ\tau$ の環の射は $\tau^\sharp\circ\sigma^\sharp$ なので $\delta_{\sigma\tau}=\mathrm{id}-(\mathrm{id}-\delta_\tau)(\mathrm{id}-\delta_\sigma)=\delta_\tau+\delta_\sigma-\delta_\tau\delta_\sigma=\delta_\tau+\delta_\sigma$（$\delta_\tau$ は $\delta_\sigma$ の像を零に写す）。よって群準同型で、$\underline G$ は可換である。
(b) $(p^{-1}\sigma''p)^\sharp=p^\sharp\circ\sigma''^\sharp\circ(p^\sharp)^{-1}$ なので $\delta_{p^{-1}\sigma''p}=p^\sharp\circ\delta_{\sigma''}\circ(p^\sharp)^{-1}$。$a'\in\mathcal O_{X'}$ に対し $(p^\sharp)^{-1}(a')$ は $a'$ と同じ $a\in\mathcal O_X$ の持上げ（$p$ は $X$ 上恒等）なので $\delta_{\sigma''}((p^\sharp)^{-1}a')=\bar\delta_{\sigma''}(da)$ であり、$p^\sharp$ は $I\mathcal O_{X''}\to I\mathcal O_{X'}$ 上で定義の同一視に一致する（$p^\sharp(\tilde a'')$ も $a$ の持上げ）。よって $\delta_{p^{-1}\sigma''p}(a')=\bar\delta_{\sigma''}(da)$。左作用 $\sigma''\circ p=p\circ(p^{-1}\sigma''p)$ が右作用に一致することはこの計算そのものである。$\underline P$ が局所的に空でないことは引用する事実 1 による。
符号の理由：同型 $p$ による構造の輸送は $u(p)=(p^\sharp)^{-1}$ で、$\sigma\in\underline G$ については $u(\sigma)=\mathrm{id}+\delta_\sigma$ となる。この向きなら後の関係式が原論文の (**) と同じ $u(p\cdot\partial)=u(p)+\theta(\partial)$ の形になり、SGA 1 の向きでは右辺の符号が逆になる。
導来圏の意味の接続
$f\colon X\to S$ を滑らかな射、$K^\bullet=\mathbf Rf_*\Omega^\bullet_{X/S}\in D(\mathcal O_S)$ とする。$K^\bullet$ の（$\mathbb Z$ に関する）導来圏の意味の絶対接続とは、各データ $(h\colon S\hookrightarrow S',\,q_1,q_2)$（$h$ は平方零の厚み、$q_1,q_2\colon S'\to S$ は $h$ のレトラクション、$q_i\circ h=\mathrm{id}_S$）に対する $D(\mathcal O_{S'})$ の同型 $c_{q_1,q_2}\colon\mathbf Lq_1^*K^\bullet\xrightarrow{\sim}\mathbf Lq_2^*K^\bullet$ の族で、次を満たすものをいう。(i) $c_{q,q}=\mathrm{id}$。(ii) 第三のレトラクション $q_3$ について $c_{q_1,q_3}=c_{q_2,q_3}\circ c_{q_1,q_2}$。(iii) 厚みの取り替えとの両立：別のデータ $(h_1\colon S\hookrightarrow S'_1,q_{1,1},q_{2,1})$ と $S$ 上の射 $w\colon S'_1\to S'$（$q_i\circ w=q_{i,1}$）について $\mathbf Lw^*(c_{q_1,q_2})=c_{q_{1,1},q_{2,1}}$。
原論文（印字 pp. 326–327）は (i)(ii) だけを書き、(iii) には触れない。(iii) は次節で示す「$\Delta^{(1)}_S$ 上の一つの同型」との同値に要る。
輸送・内積・Lie 微分
$\underline{\mathrm{Hom}}^{(q)}_{S'}(\Omega^\bullet_{X'/S'},\Omega^\bullet_{X''/S'})$ を、次数を $q$ 上げる $f^{-1}\mathcal O_{S'}$ 線型な次数付き写像の層とし、$d'$、$d''$ を二つの de Rham 複体の外微分とする。
- 輸送 $u\colon\underline P\to\underline{\mathrm{Hom}}^{(0)}_{S'}$：$p\in\underline P$ に、環同型 $(p^\sharp)^{-1}\colon\mathcal O_{X'}\to\mathcal O_{X''}$ が Kähler 微分の関手性で誘導する de Rham 複体の同型 $u(p)\colon\Omega^\bullet_{X'/S'}\to\Omega^\bullet_{X''/S'}$ を対応させる。$u(p)$ は次数付き環の同型で $d''\circ u(p)=u(p)\circ d'$ を満たす。
- $X'$ 上の内積 $\iota'(\partial)$：$\partial\in\underline G$ に対応する $\bar\delta_\partial$ について、合成 $\Omega^1_{X'/S'}\to\Omega^1_{X/S}\xrightarrow{\bar\delta_\partial}I\mathcal O_{X'}\subset\mathcal O_{X'}$ は $\mathcal O_{X'}$ 線型である。これを次数 $-1$ の導分に一意に延ばしたもの
$$\iota'(\partial)(\omega_1\wedge\cdots\wedge\omega_r)=\sum_{j=1}^r(-1)^{j+1}\bar\delta_\partial(\bar\omega_j)\,\omega_1\wedge\cdots\wedge\widehat{\omega_j}\wedge\cdots\wedge\omega_r\qquad(\omega_j\in\Omega^1_{X'/S'})$$
を $X'$ 上の内積という（$\bar\omega_j$ は $\omega_j$ の $\Omega^1_{X/S}$ への像）。像は $I\cdot\Omega^{r-1}_{X'/S'}$ に入る。$X''$ 上の内積 $\iota''(\partial)$ も同じ $\bar\delta_\partial$（$I\mathcal O_{X'}\cong I\mathcal O_{X''}$）で定める。 - 内積 $i\colon\underline G\to\underline{\mathrm{Hom}}^{(-1)}_{S'}$：$\underline P$ の局所切断 $p$ を用いて $i(\partial):=u(p)\circ\iota'(\partial)$。
- Lie 微分 $\theta\colon\underline G\to\underline{\mathrm{Hom}}^{(0)}_{S'}$：$\theta(\partial):=i(\partial)\circ d'+d''\circ i(\partial)$。
原論文（印字 p. 328）は $\theta(\partial)$ を $\Omega^0$ 上の値、$d'$・$d''$ との可換性、積の微分の規則で定義し、そのあとで $\theta(\partial)=i(\partial)d'+d''i(\partial)$ を式 (*) として述べる。本頁は逆に Cartan の公式の形を定義にとり、原論文の条件が $\theta(\partial)$ を特徴づけることと、$i(\partial)$ が $p$ に依らないことを命題（内積と Lie 微分の関係式）で示す。
拡大と Hom 複体
- $\overline{\underline G}$：$\underline P$ の生成する自由アーベル層 $\mathbb Z[\underline P]$ と $\underline G$ の直和を、関係 $[p\cdot\partial]=[p]+e(\partial)$（$p\in\underline P$、$\partial\in\underline G$）で割ったもの。$e\colon\underline G\to\overline{\underline G}$ は第二成分の包含、$j\colon\overline{\underline G}\to\mathbb Z$ は $[p]\mapsto1$、$e(\partial)\mapsto0$。$\underline P$ が局所切断 $p_0$ をもつ開集合上では $[p]\mapsto(p-p_0,1)$ により $\overline{\underline G}\cong\underline G\oplus\mathbb Z$ なので $0\to\underline G\xrightarrow{e}\overline{\underline G}\xrightarrow{j}\mathbb Z\to0$ は完全列で、$p\mapsto[p]$ は $\underline G$ 同変な同型 $\underline P\cong j^{-1}(1)$ である。
- $\underline L^\bullet$：次数 $-1$ に $\underline G$、次数 $0$ に $\overline{\underline G}$ を置き微分を $e$ とした複体。$j$ は擬同型 $\underline L^\bullet\to\mathbb Z$ である。
- $\underline H^\bullet$：Hom 複体 $\underline{\mathrm{Hom}}^\bullet_{S'}(\Omega^\bullet_{X'/S'},\Omega^\bullet_{X''/S'})$。$q$ 次の項は $\underline{\mathrm{Hom}}^{(q)}_{S'}$、微分は $d_H(\eta)=d''\circ\eta-(-1)^q\eta\circ d'$（複体とホモロジー）。
$u(p)$ と $\theta(\partial)$ は $\underline H^0$ の、$i(\partial)$ は $\underline H^{-1}$ の局所切断で、$d_H(i(\partial))=\theta(\partial)$ は定義そのものである。$p$ の取り替えによる $u(p)$ の差が $\underline H^\bullet$ の余境界になることが構成の要である。
引用する事実
次の事実は証明せずに引用する。出典は主に SGA1 III、EGA4 16、Har66 で、該当箇所は本頁では確認していない。
- 持上げの局所同型（本書『0-4 形式スキーム・持上げ・divided power』の定理（持上げの障害類と持上げの集合（SGA 1 III））の (a)）：$X$ の各 affine 開集合 $U$ 上で、$X'|_U$ と $X''|_U$ の間に $U$ 上恒等を誘導する $S'$ 同型がある。すなわち $\underline P$ はどの affine 開集合上でも切断をもつ。
- Kähler 微分の基本事実（EGA IV 16 の型）：$\Omega^\bullet_{X'/S'}$ は $\mathcal O_{X'}$ と $d'\mathcal O_{X'}$ で次数付き環として生成され、$\mathcal O_{X'}$ 線型写像 $\Omega^1_{X'/S'}\to\mathcal O_{X'}$ は次数 $-1$ の導分に一意に延び、$d'$ と可換な次数 $0$ の導分は $\Omega^0$ 上の値で決まる。厚みの取り替え $w\colon S'_1\to S'$ と $X'_1=X'\times_{S'}S'_1$ について $\Omega^\bullet_{X'_1/S'_1}=\Omega^\bullet_{X'/S'}\otimes_{f^{-1}\mathcal O_{S'}}f^{-1}\mathcal O_{S'_1}$（底空間は共通）。
- 導来圏の Hom と Čech 表示（Har66 の型）：(a) $X$ 上のアーベル層の複体 $\underline H^\bullet$ について $\operatorname{Hom}_{D(X)}(\mathbb Z,\underline H^\bullet)=\mathbf H^0(X,\underline H^\bullet)$（超コホモロジー）。(b) 擬同型 $j\colon\underline L^\bullet\to\mathbb Z$（$\underline L^\bullet$ は次数 $-1,0$）と複体の射 $\varphi\colon\underline L^\bullet\to\underline H^\bullet$ について、開被覆 $\mathfrak U=(U_a)$ 上で $1\in\mathbb Z$ の持上げ $\ell_a\in\underline L^0(U_a)$ をとり $e(m_{ab})=\ell_b-\ell_a$ とおくと、$\varphi\circ j^{-1}$ は Čech 二重複体 $\check C^s(\mathfrak U,\underline H^t)$（微分 $\check\delta+(-1)^sd_H$）の全次数 $0$ の余輪体 $\bigl((\varphi^0(\ell_a))_a,(\varphi^{-1}(m_{ab}))_{ab}\bigr)$ の類の像である（Čechコホモロジー）。(c) 標準写像 $\mathbf H^0(X,\underline H^\bullet)\to\operatorname{Hom}_{D(f^{-1}\mathcal O_{S'})}(\Omega^\bullet_{X'/S'},\Omega^\bullet_{X''/S'})$ があり、$\mathrm{id}\in\underline H^0$ の類は恒等射に写る。(d) 導来圏の合成は Hom 複体の合成が誘導する Čech 超余鎖のカップ積で計算でき、全次数 $0$ の余輪体については $(y\smile x)_a=y_a\circ x_a$、$(y\smile x)_{ab}=y_a\circ x_{ab}+y_{ab}\circ x_b$。同じ被覆 $\mathfrak U$ が有限 affine 被覆なら、$\mathbf Rf_*\Psi$ は事実 4 の Čech 模型 $\operatorname{Tot}\check C(\mathfrak U,\Omega^\bullet_{X'/S'})\to\operatorname{Tot}\check C(\mathfrak U,\Omega^\bullet_{X''/S'})$ の上で余輪体 $\Psi_{\mathfrak U}$ とのカップ積が定める鎖写像で表される。
- 導来圏での底変換（本書『1-1 代数的 de Rham コホモロジーの長所と限界』の定理（導来圏での底変換））：$f$ が準コンパクト・分離的・滑らか、$g\colon S_1\to S$ 任意について $\mathbf Lg^*\mathbf Rf_*\Omega^\bullet_{X/S}\cong\mathbf Rf_{1*}\Omega^\bullet_{X_1/S_1}$ で、$g$ について推移的。厚みの取り替え $w\colon S'_1\to S'$ のとき、この同一視は Čech 模型の項ごとの $\otimes_{f^{-1}\mathcal O_{S'}}f^{-1}\mathcal O_{S'_1}$ で与えられる（同定理の証明の段 3・段 4）。
- Tor スペクトル系列（Wei94 の型）：$q\colon S'\to S$ と上に有界な $K^\bullet\in D(\mathcal O_S)$ について スペクトル系列 $E_2^{a,b}=L_{-a}q^*\mathcal H^b(K^\bullet)\Rightarrow\mathcal H^{a+b}(\mathbf Lq^*K^\bullet)$ があり、すべての $\mathcal H^b(K^\bullet)$ が平坦なら $\mathcal H^b(\mathbf Lq^*K^\bullet)=q^*\mathcal H^b(K^\bullet)$。
主結果と証明
まず接続の言い換えを整理し、次に $u$・$i$・$\theta$ の関係式を確かめ、それを使って標準元を構成する。
導来圏の意味の接続の言い換え
$f\colon X\to S$ を準コンパクト・分離的・滑らかな射、$K^\bullet=\mathbf Rf_*\Omega^\bullet_{X/S}$ とする。
(a) 次の与件から $K^\bullet$ の導来圏の意味の絶対接続が得られる：各平方零の厚み $S\hookrightarrow S'$ と $f$ の滑らかな持上げの各対 $X'$、$X''$ について $D(\mathcal O_{S'})$ の同型 $c_{X',X''}\colon\mathbf Rf_*\Omega^\bullet_{X'/S'}\xrightarrow{\sim}\mathbf Rf_*\Omega^\bullet_{X''/S'}$ が与えられ、$c_{X',X'}=\mathrm{id}$、三つの持上げについて推移的、かつ厚みの取り替え $w\colon S'_1\to S'$（$S$ 上の射）について、$X'_1=X'\times_{S'}S'_1$、$X''_1=X''\times_{S'}S'_1$ と引用する事実 4 の同一視のもとで $\mathbf Lw^*(c_{X',X''})=c_{X'_1,X''_1}$。
(b) $K^\bullet$ の導来圏の意味の絶対接続を与えることは、$S'=\Delta^{(1)}_S$（$S\times_{\mathbb Z}S$ の対角線の 1 次無限小近傍。本書『0-5 景・トポス・微分作用素』）とその二つの射影 $q_1,q_2$ についての一つの同型 $c\colon\mathbf Lq_1^*K^\bullet\xrightarrow{\sim}\mathbf Lq_2^*K^\bullet$ で、三重積の小さい対角線の 1 次近傍 $\Delta^{(1)}_{S,2}$ 上で余サイクル条件を満たすものを与えることと同値である。
段 1（(a)）．データ $(h,q_1,q_2)$ に対し $X':=X\times_{S,q_1}S'$、$X'':=X\times_{S,q_2}S'$ とおく。$q_i\circ h=\mathrm{id}$ なので $X'\times_{S'}S=X$、すなわち $X'$、$X''$ は $f$ の滑らかな持上げである。引用する事実 4 により $\mathbf Rf_*\Omega^\bullet_{X'/S'}\cong\mathbf Lq_1^*K^\bullet$、$\mathbf Rf_*\Omega^\bullet_{X''/S'}\cong\mathbf Lq_2^*K^\bullet$ であり、$c_{q_1,q_2}$ をこの同型で $c_{X',X''}$ を移したものと定める。恒等と推移性は与件と底変換の同一視の関手性から従う。厚みの取り替え $w$ については $q_i\circ w=q_{i,1}$ から $X\times_{S,q_{i,1}}S'_1=(X\times_{S,q_i}S')\times_{S'}S'_1$、すなわちデータ側の底変換は与件側の $X'_1$、$X''_1$ に一致し、与件の両立条件と引用する事実 4 の推移性から (iii) が従う。
段 2（(b)、接続から $c$ へ）．$\Delta^{(1)}_S\supset S$ は平方零の厚みで二つの射影はそのレトラクションなので $c:=c_{q_1,q_2}$ とおく。余サイクル条件は、$\Delta^{(1)}_{S,2}$ の三つの射影をレトラクションとした (ii) を、(iii) により $\Delta^{(1)}_{S,2}\to\Delta^{(1)}_S$ の三つの射による引き戻しに書き直したものである。
段 3（(b)、$c$ から接続へ）．任意のデータ $(h,q_1,q_2)$ について $(q_1,q_2)\colon S'\to S\times_{\mathbb Z}S$ は $S$ 上で対角線を通り、$I^2=0$ なので対角線のイデアルの引き戻しの平方は $0$ である。よって一意な射 $\sigma\colon S'\to\Delta^{(1)}_S$ を経由し、$q_i=\mathrm{pr}_i\circ\sigma$。$c_{q_1,q_2}:=\mathbf L\sigma^*(c)$ と定める。$q_1=q_2=q$ なら $\sigma$ は対角線と $q$ の合成で、$c$ の対角線への制限 $\psi$ は余サイクル条件から $\psi=\psi\circ\psi$、$\psi$ は同型なので $\psi=\mathrm{id}$、よって (i)。(ii) は余サイクル条件の引き戻し、(iii) は $\sigma_1=\sigma\circ w$ から従う。二つの対応は互いに逆である：$c\mapsto(c_{q_1,q_2})\mapsto c_{\mathrm{pr}_1,\mathrm{pr}_2}=c$ は明らかで、逆は (iii) を $w=\sigma$ に当てれば従う。ここで (iii) が要る。
残るのは (a) の与件、すなわち任意の持上げの対の間の同型系を作ることで、それが本頁の本体である。
内積と Lie 微分の関係式
設定のもとで次が成り立つ。
(a) $i(\partial)=u(p)\circ\iota'(\partial)$ は $p\in\underline P$ の選び方に依らず、$i(\partial)=\iota''(\partial)\circ u(p)$ とも書ける。$i$ は $\underline G$ について加法的で、像は $I\cdot\Omega^{\bullet-1}_{X''/S'}$ に入る。
(b) $\theta(\partial)=i(\partial)d'+d''i(\partial)$ は $d'$・$d''$ と可換（$\theta(\partial)d'=d''\theta(\partial)$）、$u(p)$ をひねった積の規則 $\theta(\partial)(\omega\wedge\eta)=\theta(\partial)\omega\wedge u(p)\eta+u(p)\omega\wedge\theta(\partial)\eta$ を満たし、$\Omega^0$ 上では $\theta(\partial)(a')=u(p)(\bar\delta_\partial(da))$（$a$ は $a'$ の像）である。逆にこの三条件は $\theta(\partial)$ を一意に定める（原論文の定義）。
(c) 関係式 $u(p\cdot\partial)=u(p)+\theta(\partial)$ と $\theta(\partial+\partial')=\theta(\partial)+\theta(\partial')$ が成り立つ。
段 1（$X'$ 上の計算）．$\sigma\in\underline G$ に対し $u(\sigma):=(\sigma^\sharp)^{-1}=\mathrm{id}+\delta_\sigma$ が $\Omega^\bullet_{X'/S'}$ に誘導する自己同型も $u(\sigma)$ と書き、$\Theta'(\sigma):=\iota'(\sigma)d'+d'\iota'(\sigma)$ とおく。主張：$u(\sigma)-\mathrm{id}=\Theta'(\sigma)$。両辺とも (i) $f^{-1}\mathcal O_{S'}$ 線型で $d'$ と可換（$d'\Theta'=d'\iota'd'=\Theta'd'$）、(ii) $\Omega^0$ 上で $a'\mapsto\delta_\sigma(a')=\bar\delta_\sigma(da)$ に一致し（$\iota'(\sigma)(d'a')=\bar\delta_\sigma(da)$）、(iii) 次数 $0$ の導分である。(iii) は、$\Theta'$ については次数 $-1$ と $+1$ の導分の次数付き交換子だから、$u(\sigma)-\mathrm{id}$ については $(u\omega)(u\eta)-\omega\eta=(u\omega-\omega)\eta+\omega(u\eta-\eta)+(u\omega-\omega)(u\eta-\eta)$ で、$u(\sigma)-\mathrm{id}$ の像が $I\cdot\Omega^\bullet_{X'/S'}$ に入る（$\Omega^0$ 上は $\delta_\sigma$ の像、$d'a'$ 上は $d'(\delta_\sigma a')\in I\Omega^1_{X'/S'}$、積は帰納法）ので最後の項が $I^2=0$ で消えるからである。引用する事実 2 により主張が従う。あわせて $\Theta'(\sigma)$ は像が $I\Omega^\bullet_{X'/S'}$ に入り、$I\Omega^\bullet_{X'/S'}$ を零に写す。
段 2（(a)）．$\tilde p=p\cdot\sigma$ とすると $(p\circ\sigma)^\sharp=\sigma^\sharp\circ p^\sharp$ なので $u(\tilde p)=u(p)\circ u(\sigma)$。$\iota'(\partial)$ の像は $I\Omega^\bullet_{X'/S'}$ に入り、段 1 により $u(\sigma)$ はその上で恒等なので $u(\tilde p)\iota'(\partial)=u(p)\iota'(\partial)$。第二の表示：$u(p)\iota'(\partial)$ と $\iota''(\partial)u(p)$ はどちらも $u(p)$ をひねった次数 $-1$ の導分で、$\Omega^1_{X'/S'}$ 上では、$\omega$ と $u(p)\omega$ が $\Omega^1_{X/S}$ に同じ像をもち、$u(p)$ が $I\mathcal O_{X'}\to I\mathcal O_{X''}$ 上で定義の同一視に一致することから、ともに $\bar\delta_\partial(\bar\omega)$ を与える。加法性は $\iota'$ の $\bar\delta$ についての線型性から従う。
段 3（(b)）．$\theta(\partial)=u(p)\Theta'(\partial)$（$d''u(p)=u(p)d'$）なので、段 1 の $\Theta'$ の性質を $u(p)$ で移せばよい：$\theta d'=u(p)d'\Theta'=d''\theta$、積の規則は $\Theta'$ の導分性に $u(p)$ の環準同型性を合わせたもの、$\Omega^0$ 上の値は $u(p)(\bar\delta_\partial(da))$。一意性：三条件を満たす写像は $\mathcal O_{X'}$ と $d'\mathcal O_{X'}$ 上の値が決まり、積の規則で全体が決まる（引用する事実 2）。
段 4（(c)）．第一式：$u(p\cdot\sigma)-u(p)=u(p)(u(\sigma)-\mathrm{id})=u(p)\Theta'(\sigma)=\theta(\sigma)$。第二式は $i$ の加法性から従う。
関係式 (c) の第一式は $\overline{\underline G}$ の関係 $[p\cdot\partial]=[p]+e(\partial)$ と同じ形をしている。これが、$u$ と $\theta$ を合わせて $\overline{\underline G}$ からの準同型に貼れる理由である。
標準元とその Čech 表示
複体の射 $\varphi\colon\underline L^\bullet\to\underline H^\bullet$ が $\varphi^{-1}=i$、$\varphi^0([p])=u(p)$、$\varphi^0(e(\partial))=\theta(\partial)$ で定まる。$X$ の開被覆 $\mathfrak U=(U_a)$ で各 $U_a$ 上 $\underline P$ が切断 $p_a$ をもつものをとり、$U_{ab}$ 上 $p_a=p_b\cdot\partial_{ab}$ とおく。このとき $\partial_{ac}=\partial_{ab}+\partial_{bc}$ であり、
$$\Psi_{\mathfrak U}:=\bigl((u(p_a))_a,\ (-i(\partial_{ab}))_{ab}\bigr)\in\check C^0(\mathfrak U,\underline H^0)\oplus\check C^1(\mathfrak U,\underline H^{-1})$$
は Čech 二重複体の全次数 $0$ の余輪体で、その類は $p_a$ の取り替えと被覆の細分に依らない。この類が引用する事実 3 (b) の意味で $\varphi\circ j^{-1}\in\mathbf H^0(X,\underline H^\bullet)$ を表す。
段 1（$\varphi$）．$\varphi^0$ を $\mathbb Z[\underline P]\oplus\underline G\to\underline H^0$、$[p]\mapsto u(p)$、$\partial\mapsto\theta(\partial)$ で定めると、関係 $[p\cdot\partial]-[p]-e(\partial)$ は命題（内積と Lie 微分の関係式）(c) の第一式で零に写るので $\overline{\underline G}$ 上 well-defined、加法性は同 (c) の第二式による。鎖写像条件：次数 $-1$ で $d_H(i(\partial))=d''i(\partial)+i(\partial)d'=\theta(\partial)=\varphi^0(e(\partial))$、次数 $0$ で $d_H(u(p))=d''u(p)-u(p)d'=0$、$d_H(\theta(\partial))=d_Hd_H(i(\partial))=0$。
段 2（余輪体）．$p_a=p_b\partial_{ab}=p_c\partial_{bc}\partial_{ab}$ で $\underline G$ は可換だから $\partial_{ac}=\partial_{ab}+\partial_{bc}$。$1\in\mathbb Z$ の持上げ $\ell_a=[p_a]$ について $\ell_b-\ell_a=[p_b]-[p_a]=-e(\partial_{ab})$ なので、引用する事実 3 (b) の $m_{ab}$ は $-\partial_{ab}$ で、表示は $\varphi^0(\ell_a)=u(p_a)$、$\varphi^{-1}(m_{ab})=-i(\partial_{ab})$、すなわち $\Psi_{\mathfrak U}$ である。次数 $(0,1)$ の成分は $d_H(u(p_a))=0$。次数 $(1,0)$ の成分は $\check\delta(u(p))_{ab}-d_H(-i(\partial_{ab}))=u(p_b)-u(p_a)+\theta(\partial_{ab})=0$（同 (c) 第一式）。次数 $(2,-1)$ の成分は $\check\delta(-i(\partial))_{abc}=-i(\partial_{bc}-\partial_{ac}+\partial_{ab})=0$。
段 3（独立性）．$p'_a=p_a\cdot\sigma_a$ と取り替えると $u(p'_a)=u(p_a)+\theta(\sigma_a)$、$\partial'_{ab}=\partial_{ab}+\sigma_a-\sigma_b$ で、二つの余輪体の差 $\bigl((\theta(\sigma_a))_a,(i(\sigma_b)-i(\sigma_a))_{ab}\bigr)$ は全次数 $-1$ の元 $(i(\sigma_a))_a$ の微分である。細分写像で $\Psi_{\mathfrak U}$ は細かい被覆の同じ形の余輪体に写る。
余輪体 $\Psi_{\mathfrak U}$ の $0$ 次成分は局所的な鎖写像 $u(p_a)$、$1$ 次成分はその食い違いを消すホモトピー $i(\partial_{ab})$ である。
設定のもとで、標準元 $\Psi_{X',X''}\in\mathbf H^0(X,\underline H^\bullet)$ を $\varphi\circ j^{-1}$（引用する事実 3 (a)(b)）と定め、引用する事実 3 (c) により $D(f^{-1}\mathcal O_{S'})$ の射 $\Psi_{X',X''}\colon\Omega^\bullet_{X'/S'}\to\Omega^\bullet_{X''/S'}$ と見る。
(a) $\Psi_{X',X'}=\mathrm{id}$。三つの持上げ $X'$、$X''$、$X'''$ について $\Psi_{X'',X'''}\circ\Psi_{X',X''}=\Psi_{X',X'''}$。したがって $\Psi_{X',X''}$ は同型である。
(b) $f$ が準コンパクト・分離的なら、$\mathbf Rf_*$ を施して得る $D(\mathcal O_{S'})$ の同型 $c_{X',X''}\colon\mathbf Rf_*\Omega^\bullet_{X'/S'}\xrightarrow{\sim}\mathbf Rf_*\Omega^\bullet_{X''/S'}$ の族は命題（導来圏の意味の接続の言い換え）(a) の与件をなし、$K^\bullet=\mathbf Rf_*\Omega^\bullet_{X/S}$ の導来圏の意味の絶対接続を定める。
段 1（恒等）．$X'=X''$ のとき $\underline P$ は大域切断 $\mathrm{id}$ をもつ。被覆を $\mathfrak U=(X)$、$p=\mathrm{id}$ ととると $\partial_{ab}=0$、$\Psi_{\mathfrak U}=(\mathrm{id})$ で、引用する事実 3 (c) によりこれは恒等射である。
段 2（推移性）．$\underline P_{12}$、$\underline P_{23}$、$\underline P_{13}$ を三つの持上げの間の同型の層とし、共通の被覆 $\mathfrak U$ 上で $p_a\in\underline P_{12}(U_a)$、$q_a\in\underline P_{23}(U_a)$ をとり $r_a:=q_a\circ p_a\in\underline P_{13}(U_a)$ とおく。$p_a=p_b\partial_{ab}$、$q_a=q_b\partial'_{ab}$ とすると、補題（無限小自己同型の線型化と共役）(b) により $\partial'_{ab}p_b=p_b\partial'_{ab}$（同じ $\bar\delta$ に対応する自己同型どうし）なので $r_a=q_b\partial'_{ab}p_b\partial_{ab}=r_b\cdot(\partial'_{ab}+\partial_{ab})$。また $(q\circ p)^\sharp=p^\sharp q^\sharp$ から $u(r_a)=u(q_a)u(p_a)$。よって $\Psi_{13}$ の Čech 表示は $\bigl((u(q_a)u(p_a))_a,\ (-i_{13}(\partial_{ab}+\partial'_{ab}))_{ab}\bigr)$ である。一方、引用する事実 3 (d) により $\Psi_{23}\circ\Psi_{12}$ はカップ積 $\bigl((u(q_a)u(p_a))_a,\ (u(q_a)\circ(-i_{12}(\partial_{ab}))+(-i_{23}(\partial'_{ab}))\circ u(p_b))_{ab}\bigr)$ で表される。命題（内積と Lie 微分の関係式）(a) により $u(q_a)i_{12}(\partial)=u(r_a)\iota'(\partial)=i_{13}(\partial)$、$i_{23}(\partial')u(p_b)=u(q_b)\iota''(\partial')u(p_b)=u(r_b)\iota'(\partial')=i_{13}(\partial')$（$i_{13}$ は切断の選び方に依らない）。よって二つの余輪体は一致し、$\Psi_{23}\circ\Psi_{12}=\Psi_{13}$。同型：$\Psi_{X'',X'}\circ\Psi_{X',X''}=\Psi_{X',X'}=\mathrm{id}$ で、逆向きも同様である。
段 3（$\mathbf Rf_*$ と厚みの取り替え）．$\Psi$ は $f^{-1}\mathcal O_{S'}$ 加群の導来圏の射なので $\mathbf Rf_*\Psi$ は $D(\mathcal O_{S'})$ の射で、恒等と推移性は関手性で保たれる。厚みの取り替え $w\colon S'_1\to S'$ について $X'_1=X'\times_{S'}S'_1$、$X''_1=X''\times_{S'}S'_1$ とおく。$X$ 上恒等な同型 $p\colon X'\to X''$ は底変換で $p_1\colon X'_1\to X''_1$ を与え、$\underline G\to\underline G_1$ も同様で torsor の構造と両立する。引用する事実 2 の底変換のもとで $u(p_1)=u(p)\otimes1$、$i_1(\partial_1)=i(\partial)\otimes1$、$\theta_1(\partial_1)=\theta(\partial)\otimes1$（いずれも $\Omega^0$・$\Omega^1$ 上の値で決まる）。被覆 $\mathfrak U$ を有限 affine 被覆にとれば（$X$ は準コンパクト。引用する事実 1）、$\Psi_{1,\mathfrak U}$ は $\Psi_{\mathfrak U}$ の $\otimes1$ による像であり、$\mathbf Rf_*\Psi$ は Čech 模型の上で $\Psi_{\mathfrak U}$ とのカップ積（引用する事実 3 (d)）、引用する事実 4 の同一視は Čech 模型の $\otimes1$ で与えられ、カップ積は $\otimes1$ と可換なので $\mathbf Lw^*(c_{X',X''})=c_{X'_1,X''_1}$。命題（導来圏の意味の接続の言い換え）(a) により接続を得る。
これで、大域的な同型 $X'\cong X''$ がなくても導来圏の同型が持上げの対ごとに標準的に定まった。個々の相対 de Rham 層に降ろすには次の系の仮定が要る。
$f\colon X\to S$ を準コンパクト・分離的・滑らかな射とし、相対 de Rham 層 $H^i_{dR}(X/S)=\mathcal H^i(K^\bullet)$ がすべて有限階数の局所自由とする。このとき定理（標準元と持上げの間の標準同型）の接続は、各 $H^i_{dR}(X/S)$ 上の絶対 1-connection、すなわち $\Delta^{(1)}_S$ 上の同型 $q_1^*H^i_{dR}(X/S)\cong q_2^*H^i_{dR}(X/S)$ で対角線上恒等かつ余サイクル条件を満たすものを誘導する。$S$ が滑らかなら、本書『4-2 接続・stratification・可積分性』の対応により $\nabla\colon H^i_{dR}(X/S)\to\Omega^1_S\otimes H^i_{dR}(X/S)$ の形に書ける。
命題（導来圏の意味の接続の言い換え）(b) の $c\colon\mathbf Lq_1^*K^\bullet\cong\mathbf Lq_2^*K^\bullet$（$S'=\Delta^{(1)}_S$）をとる。引用する事実 5 により、$\mathcal H^i(K^\bullet)$ が平坦なので $\mathcal H^i(\mathbf Lq_j^*K^\bullet)=q_j^*\mathcal H^i(K^\bullet)$ であり、$c$ の $\mathcal H^i$ をとって $q_1^*H^i_{dR}\cong q_2^*H^i_{dR}$ を得る。対角線への制限が恒等であることは接続の条件 (i)、余サイクル条件は $\Delta^{(1)}_{S,2}$ 上の $c$ の余サイクル条件に $\mathcal H^i$ をとったものである（$\Delta^{(1)}_{S,2}$ への引き戻しでも同じ理由で $\mathcal H^i$ と引き戻しが交換する）。
原論文が「局所自由（したがって底変換と可換）」と括弧書きする理由もここにある。局所自由でなければ $\mathcal H^i(\mathbf Lq_j^*K^\bullet)$ は $q_j^*H^i_{dR}$ と一致するとは限らない。
原論文（印字 p. 326）は「導来圏の意味の接続、さらにやや強い構造」を構成すると予告するが、その中身を明示しない。本書の読みは、(1) レトラクションを経由しない任意の持上げの対に対する同型系（命題（導来圏の意味の接続の言い換え）(a) の与件）、(2) $\mathbf Rf_*$ を施す前の複体レベルの標準元 $\Psi_{X',X''}\in\mathbf H^0(X,\underline H^\bullet)$、の二つで、推測として記し判定はしない。本頁の構成は $\mathbb Z$ を固定した底 $T$ に替えても字面どおり通る（$\Delta^{(1)}_{S/T}$ を使う。例ではそう使う）。可積分性は 1 次の厚みだけでは定式化できず、原論文も 3.4 では主張しない。
$X$ が affine なら $\underline P$ は大域切断 $p$ をもち（引用する事実 1）、$\Psi_{X',X''}$ は鎖写像 $u(p)$ の類である。$S'=\Delta^{(1)}_S$ のとき $p$ を与えることは $d_S$ を $\mathcal O_X$ の導分に延ばすことと同じで、前頁の導分の持上げに当たる。
印字 p. 328 の $u$ の定義で $\underline{\mathrm{Isom}}$ の第一引数の添字は太い二重の点に印字されるが、$\underline P$ は $X'$ から $X''$ への同型の層なので $\Omega^\bullet_{X'/S'}$ と読む。印字 p. 329 の末尾の同型は $\Omega^\bullet_{X''/S''}$ と 2 回印字するが $S''$ は存在せず $S'$ と読む。$\mathbf Rf_*$ が両辺同じ記号なのは底空間が共通なので誤植ではない。
例と反例
まず $\underline P$ が大域切断をもつ場合に接続がどう見えるかを確かめる。
$f=\mathrm{id}_S$ なら $\underline G=0$、$\underline P$ は一点、$\Psi=\mathrm{id}$ で、$H^0=\mathcal O_S$ 上の接続は $\mathcal O_{S'}$ の恒等、すなわち $\nabla=d\colon\mathcal O_S\to\Omega^1_S$ である。次に $k$ を標数 $0$ の体、$S=\operatorname{Spec}k[s]$、$X=\operatorname{Spec}k[s,t,(t-s)^{-1}]$ とし、$k$ に関する接続を $S'=\Delta^{(1)}_{S/k}=\operatorname{Spec}A'$、$A'=k[s,\epsilon]/(\epsilon^2)$、$q_1(s)=s$、$q_2(s)=s+\epsilon$ で見る。$X'=\operatorname{Spec}A'[t,(t-s)^{-1}]$、$X''=\operatorname{Spec}A'[t,(t-s-\epsilon)^{-1}]$ で、$p^\sharp(t)=t+\epsilon$ は $t-s-\epsilon\mapsto t-s$ を満たすので $X$ 上恒等な同型 $p\colon X'\to X''$ を与える。$H^1_{dR}(X/S)$ は $(t-s)^ndt$（$n\ne-1$）が完全なので $\omega=dt/(t-s)$ の類で生成される階数 $1$ の自由加群で、$u(p)\colon t\mapsto t-\epsilon$ は $\omega$ を $dt/(t-s-\epsilon)$、すなわち $X''$ 側の同じ生成元に写す。よって $\nabla[\omega]=0$ で、$\partial_s\omega=dt/(t-s)^2=d(-(t-s)^{-1})$ が完全であることと合う。別の切断 $p'=p\cdot\sigma$（$\sigma^\sharp(t)=t-\epsilon g(t)$）では $u(p')(\omega)-u(p)(\omega)=u(p)(\epsilon\,d(g/(t-s)))$ で差は完全形式である。
$X$ を体 $k$ 上の固有滑らかな種数 $g\ge2$ の曲線、$S'=\operatorname{Spec}k[\epsilon]/(\epsilon^2)$ とする。持上げの同型類は $H^1(X,T_X)$（次元 $3g-3>0$）の torsor（本書『0-4 形式スキーム・持上げ・divided power』）なので、$X$ 上恒等な同型で結ばれない持上げ $X'$、$X''$ がある。このとき $\underline P(X)=\emptyset$ で $\Psi_{X',X''}$ の Čech 表示は $1$ 次成分を必ず含むが、それでも $\mathbf Rf_*\Omega^\bullet_{X'/S'}\cong\mathbf Rf_*\Omega^\bullet_{X''/S'}$ である。
$k$ を標数 $0$ の体、$S=\operatorname{Spec}k[s]$、$X=\operatorname{Spec}k[s,t,(t^2-s)^{-1}]$ とする。$f$ は affine で相対次元 $1$ なので $K^\bullet$ は平坦加群の複体 $B\to\Omega^1_{B/A}$ で表され $\mathcal H^2=0$、よって各閉点 $s_0$ で $H^1_{dR}(X/S)\otimes k(s_0)=H^1_{dR}(X_{s_0})$ である。$s_0\ne0$ のファイバーは $\bar k$ 上 $\mathbb A^1$ から 2 点を除いたもので $H^1_{dR}$ は 2 次元、$s_0=0$ では $\mathbb A^1\setminus\{0\}$ で 1 次元。よって $H^1_{dR}(X/S)$ は有限階数の局所自由でなく、系（相対 de Rham 層の絶対接続）は適用できない。$f$ は affine なので前頁の構成で接続自体は存在し、系の仮定は十分条件にすぎない。
外す条件は $I^2=0$ である。$S=\operatorname{Spec}k$、$S'=\operatorname{Spec}k[\epsilon]/(\epsilon^3)$、$X'=\mathbb A^1_{S'}$ とする。$X$ 上恒等な $S'$ 自己同型は $\sigma^\sharp(t)=t+\epsilon a(t)+\epsilon^2b(t)$ の形で、$\sigma_1^\sharp\sigma_2^\sharp(t)=t+\epsilon(a_1+a_2)+\epsilon^2(b_1+b_2+a_1a_2')$ なので $a_1=1$、$a_2=t$ では順序で結果が変わり、$\underline G$ は可換でない。また $\delta=\mathrm{id}-\sigma^\sharp$ は $\delta(t^2)-2t\,\delta(t)=-\epsilon^2a^2\ne0$ で導分でない。したがって補題（無限小自己同型の線型化と共役）と可換層 $\underline G$ による拡大 $\overline{\underline G}$ が成り立たず、本頁の構成は 1 次の厚みに限られ、高次へ延ばす問題は次頁で扱う。
その後の発展
以下は後代の結果の紹介である（時点を明記）。現代的な全体像は Ill94、BO78 を見よ。
- Gauss–Manin 接続の代数的構成：Katz–Oda KO68（1968 年）は $\Omega^\bullet_X$ の $f^*\Omega^\bullet_S$ による濾過のスペクトル系列の $d_1$ として可積分な接続を構成した。本頁の構成との一致は本書は確かめていない。標数 $p$ での $p$ 曲率は Katz Kat70・Kat72（1970・1972 年）。
- 解析化との比較：Deligne Del70（1970 年）が正則特異点の理論とともに与えた（本書『3-1 不変性からの帰結と超越的接続』）。本書は確かめていない。
- 結晶と持上げの独立性：Berthelot Ber74（1974 年）・Berthelot–Ogus BO78 では、divided power 付きの厚みの上で二つの持上げの de Rham コホモロジーが標準同型になることが結晶の定義に組み込まれ、本頁の同型系はその 1 次の原型に当たる（本書『6-1 結晶景と接続景』）。本書は確かめていない。
- 同じ手法の再登場：Deligne–Illusie DI87（1987 年）は Frobenius の局所持上げの torsor から導来圏の射を Čech 表示で貼り合わせ、de Rham 複体の分解を得た。本頁と同じ型である（概説は Ill96）。本書は確かめていない。
原論文との対応表
本頁が対応する原論文は Crystals and the De Rham cohomology of schemes Gro68c の小節 3.4 である。
| 本頁 | 原論文 | 印字頁 |
|---|---|---|
| 背景と動機、注意（やや強い構造の読み） | 小節 3.3 末、3.4 冒頭 | 326 |
| 定義（導来圏の意味の絶対接続）、命題（導来圏の意味の接続の言い換え） | 小節 3.4（図式と接続の言い換え） | 326–327 |
| 定義（持上げの無限小自己同型層と同型の torsor）、補題（無限小自己同型の線型化と共役） | 小節 3.4（$\underline G$・$\underline P$、SGA 1 III の同型） | 327 |
| 定義（輸送 u、内積 i、Lie 微分 θ）、命題（内積と Lie 微分の関係式） | 小節 3.4（$u$・$i$・$\theta$、式 (*)・(**)） | 328 |
| 定義（torsor に付随する拡大と複体 L、Hom 複体 H）、補題（標準元の Čech 表示）、定理（標準元と持上げの間の標準同型） | 小節 3.4（拡大、$\underline L^\bullet$、$\varphi$、$\Psi$、標準同型） | 328–329 |
| 系（相対 de Rham 層の絶対接続） | 小節 3.4 冒頭（局所自由の場合） | 326 |
| 注意（原論文の印字の乱れ） | 小節 3.4 | 328–329 |
参考文献
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