0-5 景・トポス・微分作用素

圏 $\mathcal C$ の Grothendieck位相（前位相の形で述べる）とは、各対象 $U$ に射の族 $\{U_i\to U\}_{i\in I}$ の集まり（被覆族）を指定したもので、(a) 同型 $U'\xrightarrow{\sim}U$ だけからなる族は被覆族、(b) 被覆族 $\{U_i\to U\}$ と射 $V\to U$ について引き戻し $U_i\times_UV$ が存在して $\{U_i\times_UV\to V\}$ は被覆族、(c) 被覆族の各項をさらに被覆族で置き換えた合成の族も被覆族、をみたすものをいう。位相を備えた圏を景（site）という。例：スキーム $X$ の開集合の圏に、和が全体になる開集合の族を被覆族とした小 Zariski 景 $X_{\mathrm{zar}}$。$X$ 上エタールなスキームの圏に、像の和が全体になるエタール射の族を被覆族としたエタール景 $X_{\text{ét}}$。平坦・局所有限表示・全射な族による fppf 景。原論文の無限小景 $\operatorname{Inf}(X/S)$ は、対象が $S$ 上の冪零はめ込み $U\hookrightarrow T$（$U$ は $X$ の開集合）、被覆族が $T$ の Zariski 開被覆 $(T_i)$ から作る $\{(U\times_TT_i\hookrightarrow T_i)\to(U\hookrightarrow T)\}$ である。

景 $\mathcal C$ 上の前層とは関手 $\mathcal F\colon\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathbf{Set}$（またはアーベル群・環の圏へ）である。前層 $\mathcal F$ が層であるとは、すべての被覆族 $\{U_i\to U\}$ について $\mathcal F(U)\to\prod_i\mathcal F(U_i)\rightrightarrows\prod_{i,j}\mathcal F(U_i\times_UU_j)$ が等化子の図式であることをいう。層の圏を景のトポスといい $\tilde{\mathcal C}$ と書く。層化関手は包含の左随伴で完全である。対象 $U$ が表す前層 $h_U=\operatorname{Hom}(-,U)$ は、Zariski 景と無限小景では被覆族が Zariski 開被覆なので明らかに層であり（スキームへの射は Zariski 局所的に貼り合う）、エタール景・fppf 景でも層である（射の忠実平坦降下、SGA1 VIII・Stacks「Descent」）。トポスには終対象 $e$（一点集合の定数層）があり、大域切断関手は $\Gamma(\tilde{\mathcal C},\mathcal F)=\operatorname{Hom}(e,\mathcal F)$ である。景に終対象 $X$ があれば $\Gamma(\tilde{\mathcal C},\mathcal F)=\mathcal F(X)$ だが、無限小景には一般に終対象がない。アーベル群の層の圏は入射対象を十分にもち、コホモロジー $H^q(\tilde{\mathcal C},\mathcal F)$ は $\Gamma$ の導来関手である。層 $Y\in\tilde{\mathcal C}$ に対しては $H^q(Y,\mathcal F)=\operatorname{Ext}^q(\mathbb Z[Y],\mathcal F)$（$\mathbb Z[Y]$ は $Y$ が生成する自由アーベル層）と定め、$Y=h_U$ なら局所化した景 $\mathcal C/U$ のコホモロジーである。トポスの射 $u\colon\tilde{\mathcal C}\to\tilde{\mathcal C}'$ とは随伴対 $u^{-1}\dashv u_*$ で $u^{-1}$ が完全なものをいい、Lerayスペクトル系列 $H^p(\tilde{\mathcal C}',R^qu_*\mathcal F)\Rightarrow H^{p+q}(\tilde{\mathcal C},\mathcal F)$ が収束する。

トポス $T$ とその中の可換環の層 $\mathcal O$ の組 $(T,\mathcal O)$ を環付きトポスといい、$\mathcal O$ 加群とはアーベル群の層 $\mathcal M$ に作用 $\mathcal O\times\mathcal M\to\mathcal M$ を与えたものをいう。環付きトポスの射 $(T,\mathcal O)\to(T',\mathcal O')$ とはトポスの射 $u$ と環の準同型 $u^\sharp\colon\mathcal O'\to u_*\mathcal O$ の組で、加群の逆像は $u^*\mathcal M'=u^{-1}\mathcal M'\otimes_{u^{-1}\mathcal O'}\mathcal O$ である。$\mathcal O$ 加群のコホモロジーはアーベル群の層として計算したものと一致する。無限小景では、各対象 $(U\hookrightarrow T)$ に $\Gamma(T,\mathcal O_T)$ を対応させる層が構造層 $\mathcal O_{X/S}$ であり、$\mathcal O_{X/S}$ 加群 $\mathcal F$ は、各 $(U\hookrightarrow T)$ 上の $\mathcal O_T$ 加群 $\mathcal F_{(U,T)}$ と、射 $g\colon(U\hookrightarrow T)\to(U'\hookrightarrow T')$ ごとの遷移写像 $g^*\mathcal F_{(U',T')}\to\mathcal F_{(U,T)}$（開埋め込みでは同型、合成に関して推移的）の系と同じものである。遷移写像がすべて同型である加群を原論文は（stratifying 景の上で、小節 4.2）special といい、後代の言葉では結晶（crystal）という。

$S$ 上のスキーム $X$ について、対角射 $\Delta\colon X\to X\times_SX$ の像を定義するイデアル層を $\mathcal I$ とし（分離的でなければ対角線の像が閉である開集合の上で考える）、閉部分スキーム $V(\mathcal I^{n+1})$ を対角線の $n$ 次無限小近傍 $\Delta^{(n)}$ と書く。二つの射影 $p_0,p_1\colon\Delta^{(n)}\to X$ があり、$n$ 次主要部の層は $\mathcal P^n_{X/S}=p_{0*}\mathcal O_{\Delta^{(n)}}=\mathcal O_{X\times_SX}/\mathcal I^{n+1}$ で、$p_0$ による左 $\mathcal O_X$ 代数構造と $p_1$ による右 $\mathcal O_X$ 代数構造をもつ（本書は左構造を既定とする）。$\mathcal P^0_{X/S}=\mathcal O_X$、$\mathcal P^1_{X/S}=\mathcal O_X\oplus\Omega^1_{X/S}$（左構造で。$\mathcal I/\mathcal I^2=\Omega^1_{X/S}$ は Kähler微分の定義）である。右構造から来る環準同型 $d^n\colon\mathcal O_X\to\mathcal P^n_{X/S}$、$f\mapsto1\otimes f$ は $\mathcal O_X$ 線型でなく、$n$ 階の普遍微分作用素という。$X$ が $S$ 上滑らかで $x_1,\dots,x_d$ がエタール座標（$X\to\mathbb A^d_S$ がエタール）なら、$\xi_i=1\otimes x_i-x_i\otimes1$ とおいて $\mathcal P^n_{X/S}\cong\mathcal O_X[\xi_1,\dots,\xi_d]/(\xi_1,\dots,\xi_d)^{n+1}$ であり、$\xi^\alpha$（多重指数 $|\alpha|\le n$）を基底とする局所自由左 $\mathcal O_X$ 加群である。$(\nu+1)$ 重積 $X^{\nu+1}=X\times_S\cdots\times_SX$ の小さい対角線の $n$ 次無限小近傍を $\Delta^{(n)}_\nu$ と書き（$\Delta^{(n)}_1=\Delta^{(n)}$）、これは $\nu+1$ 個の射影 $p_j\colon\Delta^{(n)}_\nu\to X$ をもつ。

$\mathcal O_X$ 加群 $\mathcal M,\mathcal N$ について、$S$ に相対的な $n$ 階以下の微分作用素 $D\colon\mathcal M\to\mathcal N$ とは、$f^{-1}\mathcal O_S$ 線型な写像で、左構造について $\mathcal O_X$ 線型な $\phi\colon\mathcal P^n_{X/S}\otimes_{\mathcal O_X}\mathcal M\to\mathcal N$（テンソルは右構造でとる）を用いて $D=\phi\circ(d^n\otimes\mathrm{id})$ と分解するものをいう。$\phi$ は $D$ から一意に決まり、$\operatorname{Diff}^n_{X/S}(\mathcal M,\mathcal N)=\mathcal{H}om_{\mathcal O_X}(\mathcal P^n_{X/S}\otimes\mathcal M,\mathcal N)$ である。$0$ 階は $\mathcal O_X$ 線型写像、$1$ 階の $\mathcal O_X\to\mathcal O_X$ は $f\mapsto af+\theta(f)$（$\theta$ は導分）の形である。合成について $\operatorname{Diff}^m\circ\operatorname{Diff}^n\subset\operatorname{Diff}^{m+n}$ で、これは環準同型 $\delta^{m,n}\colon\mathcal P^{m+n}_{X/S}\to\mathcal P^m_{X/S}\otimes_{\mathcal O_X}\mathcal P^n_{X/S}$（テンソルは $\mathcal P^m$ の右構造と $\mathcal P^n$ の左構造でとる。$X^3\to X^2$ の中央の因子を省く射影から誘導され、$1\otimes f\mapsto1\otimes1\otimes f$）に対応する（EGA4 16.8.9）。微分作用素の層は $\mathcal D_{X/S}=\bigcup_n\mathcal{H}om_{\mathcal O_X}(\mathcal P^n_{X/S},\mathcal O_X)$ で、合成を積とする環の層（一般に非可換）である。$X$ が $S$ 上滑らかでエタール座標 $x_1,\dots,x_d$ をもつとき、基底 $\xi^\alpha$ の双対基底を $\partial^{[\alpha]}$ と書くと、$n$ 階以下の微分作用素 $\mathcal O_X\to\mathcal O_X$ は $\sum_{|\alpha|\le n}a_\alpha\partial^{[\alpha]}$（$a_\alpha\in\mathcal O_X$）と一意に書け、$\mathcal D_{X/S}$ はすべての $\partial^{[\alpha]}$ を基底とする局所自由左 $\mathcal O_X$ 加群である。$\partial^{[\alpha]}$ は Taylor 展開 $1\otimes f=\sum_\alpha\partial^{[\alpha]}(f)\,\xi^\alpha$ で特徴づけられ、$\partial^{[\alpha]}(x^\beta)=\binom\beta\alpha x^{\beta-\alpha}$、$\partial^{[\alpha]}(fg)=\sum_{\beta+\gamma=\alpha}\partial^{[\beta]}(f)\partial^{[\gamma]}(g)$、$\partial^{[\alpha]}\partial^{[\beta]}=\binom{\alpha+\beta}{\alpha}\partial^{[\alpha+\beta]}$ をみたす。とくに $\partial_i=\partial^{[e_i]}$ は導分 $\partial/\partial x_i$ で、$\partial_i^{\,m}=m!\,\partial^{[me_i]}$ である。

圏 $\mathcal C$ の pro-対象とは、有向な添字圏上の射影系 $A=(A_i)_{i\in I}$ のことで、射は $\operatorname{Hom}(A,B)=\varprojlim_j\varinjlim_i\operatorname{Hom}(A_i,B_j)$ で定める（極限はとらない）。原論文（小節 6.2）の Artin–Rees pro-対象とは、$\mathbb Z$ を添字とする射影系 $(A_i)_{i\in\mathbb Z}$ で、射 $(A_i)\to(B_i)$ を、ある整数 $k$ についての遷移写像と両立する射の族 $(A_{i+k}\to B_i)_{i\in\mathbb Z}$ とし、$k$ を大きくして一致する族を同一視したものをいう。有限のずれを同一視するので、ネーター環のイデアル $J$、有限生成加群 $M$ とその部分加群 $N$ についての Artin–Rees の補題 $J^nM\cap N=J^{n-c}(J^cM\cap N)$（$n\ge c$）は、系 $(J^nM\cap N)_n$ と $(J^nN)_n$ が Artin–Rees pro-対象として同型であることを述べている。アーベル群の射影系 $(A_n)_{n\ge0}$ について、$\varprojlim A_n$ と $\varprojlim^1A_n$ は $\prod A_n\to\prod A_n$、$(a_n)\mapsto(a_n-\rho_n(a_{n+1}))$ の核と余核であり、Mittag-Leffler条件（各 $n$ で像 $\operatorname{im}(A_m\to A_n)$ が $m\gg n$ で一定）が成り立てば $\varprojlim^1A_n=0$ である。遷移写像がすべて全射なら、また $(A_n)$ が体上の有限次元線型空間と線型写像の系なら（像の減少列が止まる）、この条件は成り立つ。

$\boldsymbol\Delta$ を有限全順序集合 $[\nu]=\{0<1<\cdots<\nu\}$（$\nu\ge0$）と順序を保つ写像の圏とする（対角射 $\Delta$ とは別物）。圏 $\mathcal C$ の余単体対象とは共変関手 $A^\bullet\colon\boldsymbol\Delta\to\mathcal C$、$[\nu]\mapsto A^\nu$ のことで、$i$ を飛ばす単射 $[\nu-1]\to[\nu]$ が誘導する余面射 $\partial^i\colon A^{\nu-1}\to A^\nu$（$0\le i\le\nu$）と、$i$ と $i+1$ を重ねる全射が誘導する余退化射 $s^i\colon A^{\nu+1}\to A^\nu$ で生成される。逆変関手 $\boldsymbol\Delta^{\mathrm{op}}\to\mathcal C$ は単体的対象で、Čech 脈体 $\nu\mapsto\tilde X^{\nu+1}$ はその例である。アーベル圏の余単体対象 $A^\bullet$ に付随する複体は $A^0\xrightarrow{d}A^1\xrightarrow{d}A^2\to\cdots$、$d=\sum_{i=0}^{\nu}(-1)^i\partial^i\colon A^{\nu-1}\to A^\nu$ で、そのコホモロジーを $H^p(\nu\mapsto A^\nu)$ と書く。正規化複体 $N^\nu(A)=\bigcap_{i}\ker(s^i\colon A^\nu\to A^{\nu-1})$ は付随する複体の部分複体で、包含は擬同型である（Dold–Kan 対応の余単体版）。$S$ 上のスキーム $X$ について $I\mapsto X^I$（有限全順序集合 $I$ で添字づけた $S$ 上の積）は単体的スキーム、$I\mapsto\mathcal O_{X^I}$ は余単体環である。原論文の余単体 pro-環 $P^\bullet$ は $P^\nu=(\mathcal O_{\Delta^{(n)}_\nu})_{n\ge0}$ で、$P^0=\mathcal O_X$、$P^1=(\mathcal P^n_{X/S})_n$ である。$\nu+1$ 個の射 $[0]\to[\nu]$ が与える環準同型 $p^\nu_j\colon\mathcal O_X\to P^\nu$（$j=0,\dots,\nu$）のうち、$p^\nu_0$ による代数構造を原論文は extreme left、$p^\nu_\nu$ によるものを extreme right と呼ぶ。$X_{\mathrm{zar}}$ 上の余単体層 $\mathcal F^\bullet$ の超コホモロジーは付随する複体の超コホモロジーで、スペクトル系列 $E_2^{p,q}=H^p(\nu\mapsto H^q(X_{\mathrm{zar}},\mathcal F^{(\nu)}))\Rightarrow\mathbf H^{p+q}(X_{\mathrm{zar}},\mathcal F^\bullet)$ が収束する。