5-3 基本定理の証明

段 1（包含）．$I_x+I_y$ の $i+k+1$ 個の元の積を展開すると、各項は $I_x$ から $i+1$ 個以上か $I_y$ から $k+1$ 個以上を含む。第二の包含は明らか。
段 2（幾何）．$\Delta^{(i)}_\nu\times_X\Delta^{(k)}_\mu$ は $X^{\nu+\mu+1}$ の閉部分スキームでイデアルは $I_x^{i+1}+I_y^{k+1}$、構造層は affine 局所的にテンソル積である。$x_j-y_l=(x_j-x_\nu)+(y_0-y_l)$ だから $I=I_x+I_y$ で、段 1 が両向きの射を与え、合成は遷移射なので pro-対象として同型である。

段 1（$S(i)$ の存在）．座標 $(x_0,\dots,x_{\nu+1},z)$ の空間で、$x$ の対角線のイデアルを $I_x$、$x_{\nu+1}-z$ の生成するイデアルを $J$ とすると、$P^{\nu+1}(i)\otimes P^1(k)$ は $I_x^{i+1}+J^{k+1}$ による商である。$x_{\nu+1}$ を忘れる射影 $(x_0,\dots,x_{\nu+1},z)\mapsto(x_0,\dots,x_\nu,z)$ の像側の対角線のイデアル $I'$ は $x_j-z=(x_j-x_{\nu+1})+(x_{\nu+1}-z)\in I_x+J$ で生成されるので、基本不等式により $I'^{\,i+k+1}\subset I_x^{i+1}+J^{k+1}$。よって射影は $P^{\nu+1}(k+i)\to P^{\nu+1}(i)\otimes P^1(k)$ を誘導する。これは環準同型で、右座標 $x_{\nu+1}$ を $z$ へ送るので右構造について線形である。
段 2（一意性と両立）．$P^{\nu+1}(k+i)$ は座標関数の引き戻しで環として生成されるので、座標の行き先を指定した環準同型は一意で、$i$ についての両立は射影が $i$ によらないことから。原論文は値域を $P^{\nu+1}(i)\otimes P^{\nu+1}(k)$ と印字するが、射影 $P^{\nu+1}(k)\to P^1(k)$ で本補題の形に落ちる。図式では同じ射を $\delta(i)$ と書く（読解ノート B の T-12）。
段 3（(b)）．$S(i)\otimes\mathrm{id}_M$ は $M$ を右座標 $x_{\nu+1}$ から $z$ へ移すので定義でき、$\bar D$ は $P^1(k)$ の左座標について線形なので $\mathrm{id}\otimes\bar D$ も定義できる。extreme left $x_0$ はどの段でも保たれ、余単体構造は座標 $x_0,\dots,x_\nu$ の写像で $x_{\nu+1}$ と $z$ に触れないので $S(i)$ と可換である。
段 4（(c)）．$D'\colon N\to L$ を階数 $k'$ 以下とすると $\overline{D'\circ D}=\bar D'\circ(\mathrm{id}\otimes\bar D)\circ\delta$、$\delta\colon P^1(k+k')\to P^1(k')\otimes P^1(k)$ は座標 $(x,z)\mapsto(x,w,z)$ の射影である（本書『0-5 景・トポス・微分作用素』の $\delta^{m,n}$）。$Q^\nu(D')_i\circ Q^\nu(D)_{i+k'}$ と $Q^\nu(D'\circ D)_i$ はいずれも座標 $(x_0,\dots,x_{\nu+1},w,z)$ の空間への射影を経て $\bar D$、$\bar D'$ を順に施すもので、環準同型の部分は段 2 の一意性で一致する。

段 1（(a)）．$Q^0(M)_i$ は座標 $(x_0,x_1)$、$M$ は $x_1$ に付く。$\Delta^{(n)}$ の座標を $(a,b)$ とすると、$p_0^*Q^0(M)_i$ は座標 $(a,b,x_1)$ の空間をイデアル $((a-b)^{n+1},(a-x_1)^{i+1})$ で割ったものに $M$ を付けたもの、$p_1^*Q^0(M)_i$ はイデアル $((a-b)^{n+1},(b-x_1)^{i+1})$ によるものである。$b-x_1=(b-a)+(a-x_1)$ だから基本不等式により二つのイデアルの系は cofinal で、恒等写像がずれ $n$ の同型 $\varphi_n$ を与える。$\Delta^{(n)}_2$ へ引き戻すと三つの引き戻しはいずれも座標 $(a,b,c,x_1)$ の環の cofinal な商で、$\varphi$ はすべて恒等写像だから余サイクル条件と両立が成り立つ。$Q^0(D)$ は座標の射影と $\bar D$ の合成なので恒等写像と両立する。
段 2（(b)）．$j(m)=1\otimes m$ はどちらの引き戻しでも $1\otimes m$ に行くので水平である。逆に $s$ を水平とし、$r\colon\hat Q^0(M)\to M$ を対角線 $x_0=x_1$ への制限とすると $r\circ j=\mathrm{id}$。切断 $\sigma\colon(x_0,x_1)\mapsto(a,b,x_1)=(x_1,x_0,x_1)$ は $a-b\in I$ なので $\Delta^{(n)}$ 型の商へ落ち、$\sigma^*(p_0^*s)=j(r(s))$、$\sigma^*(p_1^*s)=s$ だから、水平性から $s\equiv j(r(s))$ が $I^{\min(n,i)+1}\otimes M$ を法として成り立つ。$n,i$ は任意だから $s=j(r(s))$。最後に $Q^0(D)_i(1\otimes m)=(\mathrm{id}\otimes\bar D)(1\otimes1\otimes m)=1\otimes D(m)$。

段 1（二重複体）．上の補題（微分作用素の線形化）(b) により $Q^\nu(d)$ は余面射と可換である。
段 2（各列の縮約）．$n$ を固定し、増大した余単体対象 $M^n\xrightarrow{j}Q^0(M^n)_i\rightrightarrows Q^1(M^n)_i\cdots$ を考える。$Q^\nu(M^n)_i$ の座標を $(x_0,\dots,x_\nu,y)$（$M^n$ は $y$）とすると、余単体構造は $x$ の座標の写像で $y$ は固定である。余分な余退化 $s\colon Q^{\nu+1}(M^n)_i\to Q^\nu(M^n)_i$ を閉はめ込み $(x_0,\dots,x_\nu,y)\mapsto(x_0,\dots,x_\nu,y,y)$ の引き戻しで、増大射のレトラクションを $y\mapsto(y,y)$ の引き戻しで定める。これらは座標の写像の合成なので「余分な余退化」の関係式をみたし、増大複体 $0\to M^n\to Q^0(M^n)_i\to Q^1(M^n)_i\to\cdots$ は縮約可能である。ホモトピーは $i$ について両立するので $\varprojlim_i$ を取っても縮約可能、すなわち完全である。
段 3（全複体）．各列が $M^n$ の分解で $M^\bullet$ が下に有界だから、全複体への増大射は擬同型である（引用する事実 5）。

段 1（帰着）．引用する事実 1 のとおり、示すべきは affine スキーム $V$ 上の準連接層の全射的な射影系 $(G_{i'})$ と $G=\varprojlim G_{i'}$ について、(a) $H^q(V,G)=0$（$q>0$）、(b) 閉部分スキーム $j\colon V'\hookrightarrow V$ について $\Gamma(V,G)\to\Gamma(V',\varprojlim j^*G_{i'})$ が全射、の二つである（(2′) により制限の全射性は (b) に帰着し、開はめ込みでは $j^*$ が極限と可換なので (2′) から (2) が従う）。
段 2（(a)）．$W$ を $V$ の基本開集合、$\mathfrak W$ を $W$ の基本開集合による被覆とする。$\Gamma$ は極限と可換なので $C^\bullet(\mathfrak W,G)=\varprojlim_{i'}C^\bullet(\mathfrak W,G_{i'})$。各 $C^\bullet(\mathfrak W,G_{i'})$ は正次数で完全、遷移射は項ごとに全射である（引用する事実 6）。Mittag-Leffler の完全列で $q\ge2$ では両端が $0$、$q=1$ では左端が $\varprojlim^1_{i'}\Gamma(W,G_{i'})=0$。よって $\check H^q(\mathfrak W,G)=0$（$q>0$）で、Cartan の判定（引用する事実 7）により $H^q(V,G)=0$。
段 3（(b)）．各 $i'$ で $0\to\Gamma(V,\mathcal I_{V'}G_{i'})\to\Gamma(V,G_{i'})\to\Gamma(V',j^*G_{i'})\to0$ は完全で、左端の系は遷移射が全射なので $\varprojlim^1=0$、極限を取っても完全である。

段 1（$g$ によらないこと）．二つのレトラクション $g,g'$ は $U$ 上で一致するので $(g,g')\colon T\to X\times_SX$ は $U$ を対角線へ送り、$U$ のイデアルが局所的に冪零（$N$ 乗で $0$）だから $h\colon T\to\Delta^{(N)}$ を通り、$g=p_0\circ h$、$g'=p_1\circ h$ となる。上の命題（formalization の標準 stratification と水平切断）の $\varphi_N$ を $h$ で引き戻すと、系の射 $g^*Q^0(M)_{i'+N}\to g'^*Q^0(M)_{i'}$ と逆向きが得られ、$\varprojlim_{i'}$ を取ると真の同型になる。三つのレトラクションについては余サイクル条件で両立し、局所的な取り替えは $T$ 上で貼り合う。
段 2（層と (Q′)）．射 $t\colon(U',T')\to(U,T)$ について $g\circ t$ が $T'$ のレトラクションで、$t^*\varprojlim\to\varprojlim t^*$ が遷移射を与え、$t$ が開はめ込みなら同型である。よって 4-1 の「無限小景の上の層の記述」の意味で層である。(1′) は定義（遷移射が全射なのは $g^*$ が右完全だから）、(2′) は $j$ がはめ込みなら $g'\circ j$ がレトラクションで $j^*g'^*=(g'\circ j)^*$ が系のレベルで成り立つことによる。
段 3（$D$ と余単体層）．$Q^0(D)$ は各 $g^*$ に移り $\varphi_N$ と両立するので極限で射を定める。$C^{(\nu)}$ は $(X,\Delta^{(i)}_\nu)$（レトラクション $p_0$）での値の極限 $\varprojlim_i\varprojlim_{i'}p_0^*(P^1(i')\otimes M)$ で、$p_0^*(P^1(i')\otimes M)$ は座標 $(x_0,\dots,x_\nu,y)$ の空間を $I_x^{i+1}+(x_0-y)^{i'+1}$ で割ったものに $M$（$y$）を付けたもの、基本不等式により $(\nu+2)$ 座標の対角線の系と cofinal で、極限は $\varprojlim_iQ^\nu(M)_i$ である。これが原論文 小節 6.3 末の「$Q^\bullet(M)$ は $Q^\circ(M)$ に付随する余単体 pro-加群」の内容で、そこで「底変換で得られる」と書かれる式は $P^m\otimes_{P^n}Q^n(M)\cong Q^m(M)$ の意に読む（読解ノート B の U-5）。

段 1（分解）．上の補題（formalization による分解）と引用する事実 5 により $\mathbf H^*(X_{\mathrm{zar}},M^\bullet)\cong\mathbf H^*(X_{\mathrm{zar}},\operatorname{Tot}\varprojlim_iQ^\bullet(M^\bullet))$。
段 2（Čech 計算）．上の命題（formalization の定める special な層）により各項 $Q^0(M^n)_{\mathrm{strat}}$ は (Q′) をみたすので、上の補題（条件 (Q′) の下での Čech 計算）を項ごとに適用し、zigzag の関手性から $\mathbf H^*((X/S)_{\mathrm{strat}},Q^0(M^\bullet)_{\mathrm{strat}})\cong\mathbf H^*(X_{\mathrm{zar}},\operatorname{Tot}C^\bullet(Q^0(M^\bullet)_{\mathrm{strat}}))$。
段 3（結論）．同じ命題により $C^\bullet(Q^0(M^\bullet)_{\mathrm{strat}})=\varprojlim_iQ^\bullet(M^\bullet)$ で、段 1 と合わせる。スペクトル系列は引用する事実 5。原論文は右辺を「$C^*(Q^\circ(M^\bullet_{\mathrm{strat}})$」と印字するが、$Q^\circ(M^\bullet)_{\mathrm{strat}}$ の意である（読解ノート B の T-14）。

$S(i)\colon P^1(i+1)\to P^1(i)\otimes_{x_1}P^1(1)=P^1(i)\oplus(P^1(i)\otimes_{x_1}\Omega^1)$ は座標 $(x_0,x_1)\mapsto(x_0,z)$ の引き戻しで、$S(i)(b)=b+d_{x_1}b$（$1\otimes a=a\otimes1+da$ の $x_1$ 方向の形）。よって $(S(i)\otimes\mathrm{id})(b\otimes m)=b\cdot(1\otimes_zm)+d_{x_1}b\cdot(1\otimes_zm)$ で、$\mathrm{id}\otimes\bar D$ は第一項を $b\otimes D(m)$ に送り、第二項は $da\cdot(1\otimes_zm)=1\otimes_zam-a\cdot(1\otimes_zm)$ の像 $D(am)-aD(m)=\sigma_D(da\otimes m)$ に帰着する。$b\cdot s$ の式は $d_{x_1}$ の Leibniz 則から、$\sigma_{d_\nabla}$ の形は定義から従う。

段 1（$\iota$ は水平）．$\varphi$ は $\hat P^1$ 線形なので $\iota$ は左線形である。座標 $(a,b,x_1)$ へ引き戻すと $p_0^*\iota$ と $p_1^*\iota$ は $\varphi_{(a,x_1)}$ と $\varphi_{(b,x_1)}\circ\varphi_{(a,b)}$ で与えられ、余サイクル条件で一致する（$Q^0(\mathcal E)$ の stratification は恒等写像）。
段 2（$Q^0(\nabla)\circ\iota=0$）．座標 $(x_0,x_1,z)$ の空間 $P^1(i)\otimes_{x_1}P^1(1)$（$\mathcal E$ は $z$）で考える。$S(i)\otimes\mathrm{id}$ は $(x_0,z)$ への射影の引き戻しなので、余サイクル条件により $(S(i)\otimes\mathrm{id})(\iota e)=\varphi_{(x_0,z)}(1\otimes_{x_0}e)=\varphi_{(x_1,z)}(\varphi_{(x_0,x_1)}(1\otimes_{x_0}e))$。$\varphi_{(x_0,x_1)}(1\otimes_{x_0}e)=\sum_kb_k\otimes_{x_1}e_k$ と書くと、これは $\sum_kb_k\cdot\varphi_{(x_1,z)}(1\otimes_{x_1}e_k)$ である。引用する事実 3 により $\bar\nabla=\mathrm{pr}_2\circ\varphi_1^{-1}$（$\mathrm{pr}_2$ は $\mathcal E\oplus(\Omega^1\otimes\mathcal E)$ の第二成分）なので $\bar\nabla(\varphi_1(1\otimes_{\text{左}}e_k))=\mathrm{pr}_2(1\otimes_{\text{左}}e_k)=0$、左線形性により $Q^0(\nabla)_i(\iota e)=0$。原論文の「$\varphi(1\otimes e)$ が水平だから」は示すべきことの言い換えである。$d_\nabla$ は $d_\nabla(at)-a\,d_\nabla(t)=da\wedge t$ が $t$ について線形だから階数 $1$ 以下で（EGA4 16.8.8）、$d_\nabla^2=0$ と線形化の関手性により $Q^0(\Omega^\bullet\otimes\mathcal E)$ は複体で、$\iota$ の像で $Q^0(d_\nabla)=Q^0(\nabla)$ が $0$ だから $\iota$ は複体の射である。$\operatorname{Strat}$ 上の射は各レトラクション $g$ で $g^*\iota$ を取ったもので、段 1 により貼り合う。
段 3（(b)）．$\mathcal D:=\varphi^{-1}\circ Q^0(d_\nabla)\circ\varphi$ とおく。上の補題（線形化の Leibniz 型公式）と $\varphi$ の $\hat P^1$ 線形性から $\mathcal D(b\cdot t)=b\,\mathcal D(t)+d_{x_1}b\wedge t$、また $\widehat\Omega^q_{x_1}$ を生成する $\omega=1\otimes\eta$ について $d_\nabla$ の定義から $\mathcal D(\omega\wedge t)=d_{x_1}\omega\wedge t+(-1)^q\omega\wedge\mathcal D(t)$。$d_{x_1}\otimes\mathrm{id}$ も同じ規則をみたすので差は $\widehat\Omega^\bullet_{x_1}$ 線形で、$G^0$ の生成元 $1\otimes_{x_0}e$ での値 $\varphi^{-1}(Q^0(\nabla)(\iota e))=0$（段 2）で決まり、$0$ である。

段 1（$r=1$）．$d(\sum a_nt^n)=\sum na_nt^{n-1}dt$ の核は $R$、余核は $0$ である。$h(\sum b_nt^ndt):=\sum\frac{b_n}{n+1}t^{n+1}$、$h|_A:=0$ は $R$ 線形で $dh+hd=\mathrm{id}-\epsilon$（$\epsilon$ は定数項への射影）をみたす。ここで $\mathbb Q\subset R$ を使う。
段 2（重さ）．$t^\alpha dt_{j_1}\wedge\cdots\wedge dt_{j_p}$ の重さを $|\alpha|+p$ とすると $\widehat\Omega^p=\prod_m\Omega^p_{(m)}$（$\Omega^p_{(m)}$ は有限階数自由 $R$ 加群）で、$d$ は重さを保つ。$\Omega^\bullet_{(m)}$ は多項式 de Rham 複体 $\Omega^\bullet_{R[t_r]/R}\otimes_R\Omega^\bullet_{R[t_1,\dots,t_{r-1}]/R}$ の重さ $m$ の部分だから、段 1 の $h$ と帰納法で得たホモトピー $h'$（$dh'+h'd=\mathrm{id}-\epsilon'$）から $H:=h\otimes\mathrm{id}+\epsilon\otimes h'$ とおくと $dH+Hd=\mathrm{id}-\epsilon\otimes\epsilon'$ で、$H$ は重さを保つ。よって $m\ge1$ で $\Omega^\bullet_{(m)}$ は縮約可能、$\Omega^\bullet_{(0)}=R$ である。
段 3（係数）．$\widehat\Omega^p/(t)^n\widehat\Omega^p=\bigoplus_{m< n+p}\Omega^p_{(m)}$ だから $\widehat\Omega^\bullet\hat\otimes_RF=\prod_m\Omega^\bullet_{(m)}\otimes_RF$ で、$H\otimes\mathrm{id}_F$ が重さごとに縮約を与える。

段 1（何を示すか）．$\iota\colon\mathcal E_{\mathrm{strat}}\to Q^0(\Omega^\bullet\otimes\mathcal E)_{\mathrm{strat}}$ が擬同型であることを示す。完全性は各対象 $(U\hookrightarrow T)$ の上の $T$ 上の層の複体で確かめればよく、その値はレトラクション $g$ について $\varprojlim_ig^*(P^1(i)\otimes\Omega^\bullet\otimes\mathcal E)$ である（上の命題（formalization の定める special な層））。
段 2（$X$ の上）．上の命題（de Rham 複体への標準準同型）(b) により、複体 $Q^0(\Omega^\bullet\otimes\mathcal E)$ は $G^\bullet=\widehat\Omega^\bullet_{x_1}\hat\otimes\mathcal E$、微分 $d_{x_1}\otimes\mathrm{id}$ に同型で、$\iota$ は $e\mapsto1\otimes e$ である。$X/S$ が滑らかだから $\hat P^1$ は局所的に $\mathcal O_X[\![\xi_1,\dots,\xi_r]\!]$ で、$\widehat\Omega^\bullet_{x_1}$ は $\hat P^1$ の $\mathcal O_X$ 上の連続 de Rham 複体である（引用する事実 4）。上の補題（形式 Poincaré 補題）の縮約 $H$ は重さごとに有理数を成分とする行列だから $\mathcal O_X$ 加群の層の射として定まり（$\mathbb Q\subset\mathcal O_X$）、$\mathcal E\to G^\bullet$ は分裂する分解である。
段 3（$T$ の上）．$g^*$ は各段 $P^1(i)\otimes(\cdot)$ に施してから極限を取る。$g^*\hat P^1=\varprojlim_ig^*P^1(i)$ は $T\times_SX$ における $g$ のグラフに沿った完備化の関数環で、$X/S$ が滑らかだから局所的に $\mathcal O_T[\![\xi]\!]$、移した複体は Kähler 微分の底変換により $\widehat\Omega^\bullet_{g^*\hat P^1/\mathcal O_T}\hat\otimes g^*\mathcal E$ である（引用する事実 4）。同じ縮約（$\mathbb Q\subset\mathcal O_T$）により、これは $g^*\mathcal E=(\mathcal E_{\mathrm{strat}})_{(U,T)}$ の分解である。
段 4（退化）．よって $\mathcal H^q(Q^0(\Omega^\bullet\otimes\mathcal E)_{\mathrm{strat}})$ は $q>0$ で $0$、$q=0$ で $\mathcal E_{\mathrm{strat}}$ であり、上の定理（Zariski 超コホモロジーは stratifying 超コホモロジーである）のスペクトル系列は $q=0$ の行に退化する。辺写像は $\iota$ の誘導する写像なので、得られる同型は (**) である。
段 5（無限小景）．$X/S$ が滑らかなら $\operatorname{Strat}(X/S)=\operatorname{Inf}(X/S)$（引用する事実 2）なので Theorem 4.1 の形になる。原論文はこの一致を引かない（読解ノート B の U-10）。