5-1 基本定理の言明と Čech 型スペクトル系列

要点のみ述べる。証明は本書『5-3 基本定理の証明』に置き、ここでは三つの段への帰着だけを示す。
段 1（stratifying 景へ移る）．$X/S$ が滑らかなので $\operatorname{Strat}(X/S)=\operatorname{Inf}(X/S)$（引用する事実 7）であり、左辺は $H^*((X/S)_{\mathrm{strat}},\mathcal O_{X/S})$ に等しい。原論文はこの一致を明示しない。
段 2（Čech 計算）．構造層は条件 (Q) をみたすので、下の定理（一般の場合の余単体層による計算）により左辺は $X_{\mathrm{zar}}$ 上の余単体層 $\mathcal F^\bullet$、$\mathcal F^{(\nu)}(U)=\mathcal O(U^\nu_{/U})$ の超コホモロジーである。stratification をもつ $\mathcal E$ についても同じで、$\mathcal E_{\mathrm{strat}}$ の余単体層は 5-3 で無限階微分作用素の複体 $C^\bullet(\mathcal E)$ として扱う。
段 3（de Rham 複体との比較）．5-3 では、$\mathcal O_X$ 加群 $M$ に Artin–Rees pro-加群 $Q^\circ(M)=(P^n_{X/S}\otimes M)_n$ を対応させる formalizing functor を作り、微分作用素の複体 $M^\bullet$ について $\mathbf H^*(X_{\mathrm{zar}},M^\bullet)\cong\mathbf H^*((X/S)_{\mathrm{strat}},Q^\circ(M^\bullet)_{\mathrm{strat}})$ を示す。$M^\bullet=\Omega^\bullet_{X/S}\otimes\mathcal E$（stratification の定める接続 $\nabla$ が可積分なので複体をなす。引用する事実 7）に取ると、$\mathcal E_{\mathrm{strat}}\to Q^\circ(\Omega^\bullet\otimes\mathcal E)_{\mathrm{strat}}$ が $\operatorname{Strat}(X/S)$ 上の複体の射を与え、標数 $0$ で $X/S$ が滑らかなら形式 Poincaré 補題により擬同型になる。これが同型を与える。

段 1（第一の同型）．滑らかなら $\operatorname{Strat}(X/\mathbb C)=\operatorname{Inf}(X/\mathbb C)$（引用する事実 7）。
段 2（第二の同型）．基本定理により $H^*((X/\mathbb C)_{\inf},\mathcal O)\cong H^*_{dR}(X/\mathbb C)$、de Rham の比較定理（引用する事実 8）により $H^*_{dR}(X/\mathbb C)\cong H^*(X^{an},\mathbb C)$。

段 1（一意性）．対象 $U\hookrightarrow T$ のイデアル層 $\mathcal J$ は $\mathbb Q$ 代数のイデアルなので、その上の divided power 構造は $\gamma_n(x)=x^n/n!$ に限る（引用する事実 9）。
段 2（冪零性）．$\mathcal J$ は局所的に冪零（$\mathcal J^{N}=0$）だから、$\sum n_i\ge N$ なら $\gamma_{n_1}(x_1)\cdots\gamma_{n_r}(x_r)\in\mathcal J^{\sum n_i}=0$ で、この divided power 構造は冪零である。
段 3（射）．$\operatorname{Inf}(X/S)$ の射 $j\colon T\to T'$ は $j^*(x^n/n!)=(j^*x)^n/n!$ をみたすので自動的に divided power と両立する。よって忘却関手は対象と射の全単射で、被覆族も同じである。

段 1（局所的な射の存在）．対象 $(U\hookrightarrow T)$ を取る。stratifying 景の定義により、$T$ の開被覆 $(T_\lambda)$ と $S$ 射 $g_\lambda\colon T_\lambda\to X$ で $g_\lambda|_{U\cap T_\lambda}$ が包含に一致するものがある。$g_\lambda$ は景の射 $(U\cap T_\lambda\hookrightarrow T_\lambda)\to(X\hookrightarrow X)$ であるから $\tilde X(U\cap T_\lambda,T_\lambda)\ne\emptyset$ で、エピ射の判定（引用する事実 3）により $\tilde X\to e$ はエピ射である。
段 2（無限小景）．$\operatorname{Inf}(X/S)$ の対象で局所的にもレトラクションをもたないものがあれば、その上で $\tilde X$ は局所的にも空である。滑らかでない例は「例と反例」で与える。

上の命題（stratifying 景では恒等射の表す層が終対象を覆う）と Čech 型スペクトル系列（引用する事実 1）。

段 1（値の記述）．対象 $(U\hookrightarrow T)$ について $\tilde X^{\nu+1}(U,T)$ は、$S$ 射 $T\to X$ で $U$ 上包含を誘導するものの $\nu+1$ 組、すなわち $S$ 射 $h\colon T\to X^{\nu+1}$ で $U$ を対角線へ送るものの集合である。
段 2（近傍を通ること）．$U$ のイデアル層 $\mathcal J\subset\mathcal O_T$ は局所的に冪零である。$h$ は $U$ を対角線へ送るので $h^{-1}(\mathcal I_\nu)\mathcal O_T\subset\mathcal J$、したがって $T$ の各点の近傍で $h^{-1}(\mathcal I_\nu^{n+1})\mathcal O_T=0$ となる $n$ があり、そこで $h$ は $\Delta^{(n)}_\nu$ を通る。逆に $\Delta^{(n)}_\nu$ を通る射は $U$ を対角線へ送る。よって前層として $\tilde X^{\nu+1}=\varinjlim_n\widetilde{\Delta^{(n)}_\nu}$ が、$T$ が準コンパクトな対象の上で成り立つ。
段 3（層化）．層の帰納極限は前層の帰納極限の層化であり（引用する事実 3）、$T$ の準コンパクトな開集合は基底をなすので、両辺は層として一致する。単体的構造の対応は、$\tilde X^{\nu+2}\to\tilde X^{\nu+1}$ の射影が $X^{\nu+2}\to X^{\nu+1}$ の座標の忘却に対応することから従う。

段 1（局所化）．左辺は $\operatorname{Ext}^*(\mathbb Z[\widetilde{(U,T)}],F)$ で、$(U,T)$ の上へ局所化した景 $\mathcal C_{/(U,T)}$ のトポス $\mathcal T'$ のコホモロジー $H^*(\mathcal T',F|)$ に一致する（引用する事実 3）。
段 2（トポスの射）．景の関手 $\rho\colon\operatorname{Zar}(T)\to\mathcal C_{/(U,T)}$、$T'\mapsto\bigl((U\cap T'\hookrightarrow T')\to(U\hookrightarrow T)\bigr)$（$T'\subset T$ 開）は開被覆を被覆族へ送り、有限極限（$T'\cap T''$ と終対象 $T$）を保つ。よってトポスの射 $j\colon\mathcal T'\to\operatorname{Sh}(T_{\mathrm{zar}})$ が定まり、$j_*F=F\circ\rho$、すなわち $(j_*F)(T')=F(U\cap T',T')$ で $j_*F=F_{(U,T)}$ である。
段 3（$j_*$ の完全性）．$\mathcal T'$ の層のエピ射 $F\to F'$ は局所全射、すなわち各対象 $((U',T')\to(U,T))$ と $s\in F'(U',T')$ について $T'$ の Zariski 被覆の上で $s$ が持ち上がることである。$T'$ が $T$ の開集合の場合に限れば、これは $j_*F\to j_*F'$ の局所全射性そのものである。$j_*$ は右随伴として核を保つので完全であり、$j^{-1}$ も完全なので $j_*$ は入射的対象を保つ。
段 4（結論）．$F$ の入射的分解 $F\to I^\bullet$ について $j_*I^\bullet$ は $F_{(U,T)}$ の入射的分解で、$\Gamma(T,j_*I^q)=I^q(U,T)=\Gamma(\mathcal T',I^q)$（$(U,T)$ は局所化した景の終対象）。両辺のコホモロジーを取ると主張を得る。

段 1（各近傍での消滅）．$\Delta^{(n)}_\nu$ は affine（引用する事実 4）で、上の命題（対象の上のコホモロジーは Zariski コホモロジーである）と条件 (Q)(1) により $H^q(\widetilde{\Delta^{(n)}_\nu},F)=H^q(\Delta^{(n)}_\nu,F_{(X,\Delta^{(n)}_\nu)})$ は $q>0$ で消える。
段 2（Milnor 完全列）．上の補題（恒等射の表す層の積は無限小近傍の表す層の帰納極限である）により $\tilde X^{\nu+1}=\varinjlim_n\widetilde{\Delta^{(n)}_\nu}$ で、遷移射はモノ射である。Milnor 完全列（引用する事実 2）
$$0\to\varprojlim{}^1_nH^{q-1}(\widetilde{\Delta^{(n)}_\nu},F)\to H^q(\tilde X^{\nu+1},F)\to\varprojlim_nH^q(\widetilde{\Delta^{(n)}_\nu},F)\to0$$
において、$q\ge2$ では両端が段 1 により $0$ である。$q=1$ では左端が $\varprojlim^1_nF(\Delta^{(n)}_\nu)$ で、$q=0$ の場合は $H^0(\tilde X^{\nu+1},F)=\varprojlim_nF(\Delta^{(n)}_\nu)$ を与える。
段 3（遷移射の全射性）．$i_n\colon\Delta^{(n)}_\nu\hookrightarrow\Delta^{(n+1)}_\nu$ は閉はめ込みなので条件 (Q)(2) により $F_{(X,\Delta^{(n)}_\nu)}=i_n^*F_{(X,\Delta^{(n+1)}_\nu)}$ であり、$\Delta^{(n+1)}_\nu$ が affine で係数が準連接だから、閉部分スキームへの制限 $F(\Delta^{(n+1)}_\nu)\to F(\Delta^{(n)}_\nu)$ は準連接層の全射の大域切断として全射である（引用する事実 4）。よって $\varprojlim^1=0$（引用する事実 2）で $H^1(\tilde X^{\nu+1},F)=0$。

上の系（stratifying トポスの Čech 型スペクトル系列）の $E_2^{pq}$ は、上の補題（affine の場合の高次コホモロジーの消滅）により $q>0$ で $0$、$q=0$ で $H^p(\nu\mapsto F(X^\nu_{/X}))$ である。第一象限のスペクトル系列は一行に退化し $E_2^{p0}\cong H^p$。余面射の対応は、Čech 脈体の射影 $\tilde X^{\nu+2}\to\tilde X^{\nu+1}$ が上の補題（恒等射の表す層の積は無限小近傍の表す層の帰納極限である）の下で $\Delta^{(n)}_{\nu+1}\to\Delta^{(n)}_\nu$ の座標の忘却に対応することから従う。

段 1（$\mathcal F^{(\nu)}$ が層であること）．$\Delta^{(n)}_{\nu,U}=\Delta^{(n)}_\nu\times_XU$ で、条件 (Q)(2) により $F_{(U,\Delta^{(n)}_{\nu,U})}=F_{(X,\Delta^{(n)}_\nu)}|_{\Delta^{(n)}_{\nu,U}}$ だから、$U\mapsto F(\Delta^{(n)}_{\nu,U})$ は $X$ の底空間上の層 $(p_0)_*F_{(X,\Delta^{(n)}_\nu)}$ である。層の射影極限は層なので $\mathcal F^{(\nu)}=\varprojlim_n(p_0)_*F_{(X,\Delta^{(n)}_\nu)}$ は層である。
段 2（Zariski 位相への射影）．景の関手 $\varphi\colon\operatorname{Strat}(X/S)\to\operatorname{Zar}(X)$、$(U,T)\mapsto U$ を取る。$(U,T)$ の被覆族（$T$ の Zariski 被覆）と $U$ の Zariski 被覆は底空間の同相で一対一に対応する。Zariski 層 $G$ に対し $\pi^{-1}G:=G\circ\varphi$ は $\operatorname{Strat}(X/S)$ 上の層で、被覆が対応するので層化と可換、よって $\pi^{-1}$ は完全で余極限を保つ。右随伴 $\pi_*$ は $(\pi_*F)(V)=\operatorname{Hom}(\pi^{-1}\tilde V,F)$ で与えられ、$\pi$ はトポスの射で $\pi_*$ は入射的対象を保つ（引用する事実 3）。
段 3（終対象の部分層）．$X$ の開集合 $V$ について $e_V:=\pi^{-1}\tilde V$ は「$U\subset V$ なる対象 $(U,T)$」の上で一点、他で空となる終対象の部分層である。$U\subset V$ なる対象は $\operatorname{Strat}(V/S)$ の対象と同じもの（レトラクション $T\to X$ は底空間が $U\subset V$ に入るので $V$ を通る）だから $(\pi_*F)(V)=\Gamma((V/S)_{\mathrm{strat}},F|)$、とくに $\Gamma(X,\pi_*F)=\Gamma((X/S)_{\mathrm{strat}},F)$ である。
段 4（$\tilde V\to e_V$ はエピ射）．対象 $(V\hookrightarrow V)$ の表す層を $\tilde V$ と書く。その像は $e_V$ に入り、$U\subset V$ なる対象は局所的にレトラクション $T_\lambda\to X$ をもち、それは $V$ を通るので $(U_\lambda,T_\lambda)\to(V,V)$ を与える。よって $\tilde V\to e_V$ は局所全射で、引用する事実 1 の一般形により $\mathbb Z[\tilde V^{\bullet+1}]\to\mathbb Z[e_V]$ は分解である（$e_V\subset e$ はモノ射なので $e_V$ 上の積は $e$ 上の積 $\tilde V^{\nu+1}$ に等しい）。
段 5（二重複体）．$F\to I^\bullet$ を入射的分解とし、$X_{\mathrm{zar}}$ 上の前層の二重複体 $K^{\nu,q}(V):=\operatorname{Hom}(\mathbb Z[\tilde V^{\nu+1}],I^q)$ を作る。$q$ を固定した列は、段 4 と $I^q$ の入射性により $0\to(\pi_*I^q)(V)\to K^{0,q}(V)\to K^{1,q}(V)\to\cdots$ が完全で、$\pi_*I^\bullet\to\operatorname{Tot}K$ は各 $V$ で擬同型である。$\nu$ を固定した行 $K^{\nu,\bullet}(V)$ は $H^*(\tilde V^{\nu+1},F)$ を計算し、その $H^0$ は $\operatorname{Hom}(\tilde V^{\nu+1},F)=\varprojlim_nF(\Delta^{(n)}_{\nu,V})=\mathcal F^{(\nu)}(V)$（上の補題（恒等射の表す層の積は無限小近傍の表す層の帰納極限である）を $V$ について適用）、$V$ が affine（$S$ の affine 開集合の上にあるもの）なら $q>0$ で $0$（上の補題（affine の場合の高次コホモロジーの消滅）を $V$ について適用）。よって affine な $V$ では $\mathcal F^\bullet(V)\to\operatorname{Tot}K(V)$ が擬同型である。
段 6（結論）．前層の複体の射 $\pi_*I^\bullet\to\operatorname{Tot}K\leftarrow\mathcal F^\bullet$ は、左が各 $V$ で、右が affine な $V$ で擬同型である。affine 開集合は底空間の基底をなすので、両者のコホモロジー前層の層化は一致し、層化の完全性により層の複体の擬同型 $\pi_*I^\bullet\to(\operatorname{Tot}K)^a\leftarrow\mathcal F^\bullet$ を得る。$\pi_*I^q$ は入射的で $\Gamma(X,\pi_*I^\bullet)=\Gamma((X/S)_{\mathrm{strat}},I^\bullet)$ だから $\mathbf H^*(X_{\mathrm{zar}},\pi_*I^\bullet)=H^*((X/S)_{\mathrm{strat}},F)$ で、擬同型は超コホモロジーの同型を誘導する（引用する事実 5）。同型はこの zigzag で標準的に与えられ、$F$ について関手的で、affine な $V$ へ制限すると上の定理（affine の場合の余単体複体による計算）の同型に一致する。スペクトル系列は余単体層の定義のとおり。

対象 $(U\hookrightarrow T)$ について、$U\subset X\hookrightarrow Y$ は $S$ 射で $U\hookrightarrow T$ は冪零な厚みだから、形式的滑らかさ（引用する事実 6）により $T$ の Zariski 被覆 $(T_\lambda)$ の上に延長 $T_\lambda\to Y$ がある。これが $\tilde Y(U\cap T_\lambda,T_\lambda)$ の元で、$\tilde Y\to e$ は局所全射である。スペクトル系列は引用する事実 1。

段 1（$\tilde Y^{\nu+1}$ の記述）．$\tilde Y^{\nu+1}(U,T)$ は $S$ 射 $T\to Y^{\nu+1}$ で $U$ を対角線の $X$ へ送るものの集合で、$U$ のイデアルの冪零性により、局所的にある $X^{(n)}_{Y,\nu}$ を通る。上の補題（恒等射の表す層の積は無限小近傍の表す層の帰納極限である）と同じ議論で $\tilde Y^{\nu+1}=\varinjlim_n\widetilde{X^{(n)}_{Y,\nu}}$ である。$(X\hookrightarrow X^{(n)}_{Y,\nu})$ は $\operatorname{Inf}(X/S)$ の対象で、$X$ が affine なら底空間が同相な冪零な厚みとして affine である（引用する事実 4）。
段 2（affine の場合）．上の命題（対象の上のコホモロジーは Zariski コホモロジーである）は無限小景でも成り立つので、上の補題（affine の場合の高次コホモロジーの消滅）の三つの段が $\Delta^{(n)}_\nu$ を $X^{(n)}_{Y,\nu}$ に替えてそのまま通る（条件 (Q)(2) は閉はめ込み $X^{(n)}_{Y,\nu}\hookrightarrow X^{(n+1)}_{Y,\nu}$ に適用する）。上の命題（形式的滑らかなスキームの表す層は終対象を覆う）のスペクトル系列が一行に退化して (a) を得る。
段 3（一般の場合）．上の定理（一般の場合の余単体層による計算）の段 2〜6 を、$\pi\colon(X/S)_{\inf}\to\operatorname{Sh}(X_{\mathrm{zar}})$、$e_V=\pi^{-1}\tilde V$ として繰り返す。$\tilde V$ の代わりに $\tilde Y_V:=\tilde Y\times e_V$（$U\subset V$ なる対象で $\tilde Y$ の値、他で空）を使う。$\tilde Y_V\to e_V$ は上の命題により局所全射、$\tilde Y_V^{\nu+1}=\varinjlim_n\widetilde{V^{(n)}_{Y,\nu}}$、$\operatorname{Hom}(\tilde Y_V^{\nu+1},F)=\mathcal F^{(\nu)}(V)$、affine な $V$ で $H^q(\tilde Y_V^{\nu+1},F)=0$（$q>0$、段 2）である。二重複体 $K^{\nu,q}(V)=\operatorname{Hom}(\mathbb Z[\tilde Y_V^{\nu+1}],I^q)$ について段 5・6 がそのまま通る。