6-2 divided power の動機と非固有の場合
結晶景の定義に divided power を入れた理由を、原論文 7.4 の説明に沿って、可逆層の第一 Chern 類の構成として示す。結晶景から Zariski 景への忘却射 $u$ が定める二つの完全列と、divided power イデアル上の指数・対数が与える同型 $(1+\mathcal J)\cong\mathcal J$ を組み合わせると、任意標数で $c(L)\in H^2_{\mathrm{cris}}(X/S)$ が定まる。後半では、原論文 7.5 が指摘する非固有の場合の困難（結晶コホモロジーが $W$ 上無限階数になること）と、それを避けるために原論文が構想した Monsky–Washnitzer の景を、原論文の状態のまま記録する。
前提知識: divided power, Grothendieck位相, トポス, 完全列, 導来関手, Picard群, 第1Chern類, Wittベクトル
この頁で示すこと
$S$ を底スキーム、$X$ を $S$ 上のスキームとし、結晶景 $\operatorname{Cris}(X/S)$、そのトポス $(X/S)_{\mathrm{cris}}$、構造層 $\mathcal O_{X/S}$、はめ込みのイデアル層 $\mathcal J$ は本書『6-1 結晶景と接続景』のとおりとする。対象は冪零な $S$-はめ込み $U\hookrightarrow T$（$U\subset X$ は開）に、イデアル層 $\mathcal I_T$ 上の PD 冪零な divided power 構造 $\Theta$ を添えた三つ組 $(U\hookrightarrow T,\Theta)$ である。$X_{\mathrm{zar}}$ は $X$ の Zariski トポス、$H^n_{\mathrm{cris}}(X/S)=H^n((X/S)_{\mathrm{cris}},\mathcal O_{X/S})$ と書く。divided power 構造 $\gamma_n$ の公理と PD 冪零性（ある $N$ で $J^{[N]}=0$）は本書『0-4 形式スキーム・持上げ・divided power』のとおりで、原論文の $x^{(n)}$ を本書は $\gamma_n(x)$ と書く。
本頁の主結果は次の五つである。
- 忘却射と二つの完全列（原論文 7.4、印字 p. 354）：$(U\hookrightarrow T,\Theta)\mapsto U$ はトポスの射 $u\colon(X/S)_{\mathrm{cris}}\to X_{\mathrm{zar}}$ を定め、$(X/S)_{\mathrm{cris}}$ 上のアーベル層の完全列 $0\to\mathcal J\to\mathcal O_{X/S}\to u^{-1}\mathcal O_X\to0$ と $0\to1+\mathcal J\to\mathcal O_{X/S}^*\to u^{-1}\mathcal O_X^*\to0$ がある。［条件付き：本書『6-1 結晶景と接続景』の結晶景の定義と、景の関手が定めるトポスの射の一般論（SGA4）を引用］
- divided power イデアル上の指数と対数（原論文 7.4 の式 (*)、印字 p. 355）：PD 冪零な PD イデアル $(J,\gamma)$ について $\exp(x)=\sum_{n\ge0}\gamma_n(x)$ と $\log(1+x)=\sum_{n\ge1}(-1)^{n-1}(n-1)!\,\gamma_n(x)$ は互いに逆な群同型 $(J,+)\cong(1+J,\times)$ を与え、層 $\mathcal J$ についても同型 $(1+\mathcal J)\cong\mathcal J$ を与える。［完結］原論文は $\log$ の符号を $(-1)^n$ と印字するが、それでは $\exp$ の逆にならない。
- 第一 Chern 類の構成（原論文 7.4、印字 p. 355）：可逆層 $L$ の類 $[L]\in H^1(X_{\mathrm{zar}},\mathcal O_X^*)$ を $u^{-1}$、第二の完全列の連結準同型、$\log$、包含 $\mathcal J\to\mathcal O_{X/S}$ の順に送って $c(L)\in H^2_{\mathrm{cris}}(X/S)$ を得る。$c(L\otimes L')=c(L)+c(L')$。［条件付き：1・2 と、短完全列のコホモロジー長完全列の一般論］
- 障害類としての解釈（原論文 7.4 の別字体の一文、印字 p. 355）：$u^{-1}[L]$ が結晶景上の可逆 $\mathcal O_{X/S}$ 加群の類へ持ち上がるための必要十分条件は、連結準同型による像が $H^2((X/S)_{\mathrm{cris}},\mathcal J)$ で消えることであり、$c(L)$ はその像の像である。［条件付き：3 と、環付きトポスの $H^1(\mathcal O^*)$ が可逆加群の同型類であること］
- 非固有の場合の無限階数（原論文 7.5、印字 p. 355）：$k$ を標数 $p>0$ の完全体、$S=\operatorname{Spec}W(k)$ とし、$X_0/k$ が固有でないなら $H^*_{\mathrm{cris}}(X_0/S)$ は $W$ 上有限階数でない。原論文は 2.1 の形式的アフィン直線の計算からこれを導く。［未完結：非固有な $X_0$ の結晶コホモロジーを形式的持上げの de Rham コホモロジーに結ぶ段が原論文になく、本書も閉じない］
本頁で閉じるのは 2 である。1・3・4 は結晶景の定義とトポスの一般論の上に立つので条件付きとし、証明そのものは頁内に書く。5 は原論文の推論の構造を書き、どの段が開いているかを示す。Monsky–Washnitzer の景の構想（原論文 7.5）とそれへの期待・評価は、原論文の状態が構想と見込みなので主結果に数えず、定義と注意として記録する。
背景と動機
複素多様体 $X$ 上の可逆層 $L$ の第一 Chern 類は、指数完全列 $0\to\mathbb Z\to\mathcal O_X\xrightarrow{\exp(2\pi i\,\cdot)}\mathcal O_X^*\to0$ の連結準同型 $H^1(X,\mathcal O_X^*)\to H^2(X,\mathbb Z)$ で定める（第1Chern類）。代数的には $d\log\colon\mathcal O_X^*\to\Omega^1_X$ が $H^1(X,\mathcal O_X^*)\to H^1(X,\Omega^1_X)\to H^2_{dR}(X)$ を与え、エタールコホモロジーでは Kummer完全列 $0\to\mu_n\to\mathbb G_m\xrightarrow{n}\mathbb G_m\to0$ が $\ell$ 進の $c_1$ を与える。どの構成も、乗法群 $\mathcal O_X^*$ を加法的な係数へ移す段をもつ。
原論文 7.4（印字 p. 354）は、結晶景の定義に divided power を入れたのは、任意標数で可逆層の第一 Chern 類 $c(L)\in H^2_{\mathrm{cris}}(X/S)$ を標数 $0$ の古典的な定義と類比して定めるために「事実上強いられた」ものだと説明する（原論文は、指数完全列と $d\log$ のどちらを古典的な定義と呼ぶかを書かない）。結晶景では、対象 $(U\hookrightarrow T,\Theta)$ の上で $\mathcal O_T^*$ から $\mathcal O_U^*$ への還元の核が $1+\mathcal I_T$ であり、この乗法群を加法群 $\mathcal I_T$ へ移すのが指数と対数である。$\exp(x)=\sum x^n/n!$ には $n!$ で割る操作が要り、標数 $p$ ではそれができない。イデアル層に divided power 構造 $\gamma_n$（「$x^n/n!$」の役をする写像）を最初から添えておけば、$\exp(x)=\sum\gamma_n(x)$ が任意標数で意味をもつ。これが divided power の動機である。
原論文 7.5（印字 p. 355）は、結晶コホモロジーの限界も同時に指摘する。$X_0$ が標数 $p$ の完全体 $k$ 上の固有でないスキーム、たとえば affine なら、$W=W(k)$ 上の結晶コホモロジーは $W$ 上無限階数の加群になり、$p$ 進コホモロジーとして妥当でない。根拠は本書『2-1 持上げの de Rham コホモロジーの不変性』で閉じた、形式的アフィン直線 $\operatorname{Spf}W\{t\}$ の $H^1_{dR}$ が $K=W[1/p]$ をテンソルしても無限次元になる計算である。この困難を避けるには、Monsky–Washnitzer の弱完備な持上げ（本書『2-2 弱完備代数と Monsky–Washnitzer コホモロジー』）と結晶トポスの考えを組み合わせねばならない、と原論文は述べ、その景の定義を試みる。本頁の後半はこの構想を記録する。
定義と準備
第一 Chern 類の構成に要るのは、結晶景の構造層とイデアル層、Zariski 景への忘却射、そして divided power イデアル上の指数と対数の三つである。まず結晶景の記号を短く繰り返す。
$\operatorname{Cris}(X/S)$ の対象 $(U\hookrightarrow T,\Theta)$ に $\Gamma(T,\mathcal O_T)$ を対応させる層を $\mathcal O_{X/S}$、$\Gamma(T,\mathcal I_T)$（$\mathcal I_T$ ははめ込みのイデアル層）を対応させる層を $\mathcal J$ と書く。$\mathcal J$ は $\mathcal O_{X/S}$ のイデアル層であり、各対象の上で $\Theta$ が与える $\gamma_n\colon\mathcal I_T\to\mathcal I_T$ は射（divided power と両立する射）と可換なので、$\gamma_n\colon\mathcal J\to\mathcal J$ が層の写像として定まる。$\mathcal O_{X/S}^*$ を単元の層、$1+\mathcal J$ を $\{1+x\mid x\in\mathcal J\}$ が定める $\mathcal O_{X/S}^*$ の部分層とする。$\mathcal I_T$ は冪零なので $1+x$（$x\in\mathcal I_T$）は単元で、逆元 $1-x+x^2-\cdots$ も $1+\mathcal I_T$ に入るから、$1+\mathcal J$ はアーベル群の層である。
次に、結晶景の対象からはめ込みの厚み $T$ を忘れる関手を置く。原論文の記号は揺れるので、本書の約束をここで決める。
$\varphi\colon\operatorname{Cris}(X/S)\to\operatorname{Zar}(X)$ を $(U\hookrightarrow T,\Theta)\mapsto U$、射 $(U,T,\Theta)\to(U',T',\Theta')$ には包含 $U\subset U'$ を対応させる関手とする。$X_{\mathrm{zar}}$ 上の層 $G$ に対し、$u^{-1}G:=G\circ\varphi$、すなわち $(u^{-1}G)(U,T,\Theta)=G(U)$ とおく。とくに $u^{-1}\mathcal O_X$ は $(U,T,\Theta)\mapsto\Gamma(U,\mathcal O_U)$、$u^{-1}\mathcal O_X^*$ は $(U,T,\Theta)\mapsto\Gamma(U,\mathcal O_U^*)$ である。
結晶景の被覆は $T$ の Zariski 開被覆であり、$U\hookrightarrow T$ は底空間の同相なので、$T$ の開被覆と $U$ の開被覆は一対一に対応する。したがって $u^{-1}G$ は前層としてだけでなく層の条件を満たす。これが下の命題で $u$ をトポスの射に仕立てる根拠である。
指数と対数の証明で普遍的な場合に帰着するため、divided power 多項式環を使う。
$\Gamma:=\mathbb Z\langle X\rangle$ を一変数の divided power 多項式環とする。$\mathbb Z$ 加群として $X^{[a]}$（$a\ge0$）を基底とする自由加群で、積は $X^{[a]}X^{[b]}=\binom{a+b}{a}X^{[a+b]}$、$\Gamma^+:=\bigoplus_{a\ge1}\mathbb ZX^{[a]}$ は $\gamma_n(X^{[a]})=\frac{(na)!}{n!\,(a!)^n}X^{[na]}$ で PD イデアルである（本書『0-4 形式スキーム・持上げ・divided power』の divided power 包絡の言明の例）。$X^{[a]}$ の重みを $a$ とし、$\Gamma_w$ を重み $w$ の斉次部分、$\hat\Gamma:=\prod_{w\ge0}\Gamma_w$ を重みによる完備化とする。$X^{[a]}\mapsto X^a/a!$ は単射な環準同型 $\Gamma\to\mathbb Q[X]$ を与え、重みを次数に移すので、$\hat\Gamma\to\mathbb Q[\![X]\!]$ も単射である。$\mathbb Q[X]$ のイデアル $(X)$ 上のただ一つの divided power 構造 $f\mapsto f^n/n!$ は $\Gamma^+$ 上の構造を延長し、$\gamma_n$ は重み $w$ の斉次元を重み $nw$ の斉次元へ送る。よって $\hat\Gamma^+:=\prod_{w\ge1}\Gamma_w$ の上でも $\gamma_n(\sum_wf_w)=\sum_{\sum_wn_w=n}\prod_w\gamma_{n_w}(f_w)$（各重みには有限個の項しか寄与しない）で divided power 構造が定まり、$\mathbb Q[\![X]\!]$ の中では $\gamma_n(f)=f^n/n!$ である。
引用する事実
次の事実は証明せずに引用する。出典は本書の第 0 章の頁と『6-1 結晶景と接続景』、および SGA4・Stacks で、後の二つの該当箇所は本頁では確認していない。
- 結晶景の定義（本書『6-1 結晶景と接続景』）：対象・射・被覆族と、$(X/S)_{\mathrm{cris}}$ 上の層が各対象 $(U,T,\Theta)$ 上の Zariski 層 $\mathcal F_{(U,T)}$ の系で記述され、層の列の完全性が各対象上の Zariski 層の列の完全性で判定できること（本書『0-5 景・トポス・微分作用素』の環付きトポスの記述と同じ）。
- 景の関手が定めるトポスの射（SGA4 III、Stacks「Sites and Sheaves」）：景の関手 $\varphi\colon\mathcal C\to\mathcal C'$ が被覆を被覆へ送り、被覆の射に関する fiber 積を保ち、かつ $\mathcal C$ の各対象 $Z$ について $\varphi(Z)$ の任意の被覆が $Z$ のある被覆の像で細分されるなら、$G\mapsto G\circ\varphi$ は $\tilde{\mathcal C}'$ から $\tilde{\mathcal C}$ への完全関手で右随伴をもち、トポスの射 $u\colon\tilde{\mathcal C}\to\tilde{\mathcal C}'$ の逆像 $u^{-1}$ である。トポスの射はコホモロジーの写像 $H^n(\tilde{\mathcal C}',G)\to H^n(\tilde{\mathcal C},u^{-1}G)$ を誘導し、これは短完全列の連結準同型と可換である。
- 長完全列と可逆加群（本書『0-5 景・トポス・微分作用素』、SGA4 V）：アーベル層の短完全列はコホモロジーの長完全列を与える。環付きトポス $(T,\mathcal O)$ について、可逆 $\mathcal O$ 加群の同型類の群は $H^1(T,\mathcal O^*)$ と標準的に同型で、テンソル積が加法に対応する。$X_{\mathrm{zar}}$ ではこれは $\operatorname{Pic}(X)\cong H^1(X,\mathcal O_X^*)$ である。
- divided power の公理と包絡（本書『0-4 形式スキーム・持上げ・divided power』）：公理 (1)〜(5)、$n!\,\gamma_n(x)=x^n$、PD 冪零性の定義、$\mathbb Q$ 代数での一意性、および $\mathbb Z\langle X\rangle$ の普遍性：PD 環 $(A,J,\gamma)$ と $x\in J$ に対し、$X\mapsto x$ なる PD 準同型 $\Gamma\to A$（$\gamma_n$ と可換な環準同型）がただ一つ存在する（Roby Rob65）。
- 形式的持上げの de Rham コホモロジー（本書『2-1 持上げの de Rham コホモロジーの不変性』の定理（形式的持上げの de Rham コホモロジーは大きすぎる））：$H^1(\Omega^\bullet_{W\{t\}/W})\otimes_WK$ は $K$ 上無限次元である。
- crucial test（本書『6-1 結晶景と接続景』）：$X_0/k$ が固有滑らかで固有滑らかな持上げ $X/W$ をもち、見込み a)・b) が $n$ について両立する形で成り立つなら、$H^*_{\mathrm{cris}}(X_0/W)\cong H^*_{dR}(X/W)$。証明の極限移行は、固有性から来るコホモロジーの有限性（Mittag-Leffler 条件）を使う。
- Monsky–Washnitzer 代数と持上げの景（本書『2-2 弱完備代数と Monsky–Washnitzer コホモロジー』）：M–W 代数の定義と、affine 開集合とその M–W 持上げの組を対象とする景 $X_{0,WM}$。
以上で、構造層とイデアル層、忘却関手、divided power 多項式環が揃った。最初の主結果は、忘却関手がトポスの射を定め、構造層と単元の層のそれぞれについて、はめ込みに沿った還元の核を $\mathcal J$、$1+\mathcal J$ として捉える二つの完全列である。
主結果と証明
忘却射と二つの完全列
忘却関手 $\varphi$ はトポスの射 $u\colon(X/S)_{\mathrm{cris}}\to X_{\mathrm{zar}}$ を定め、その逆像は $u^{-1}G=G\circ\varphi$ である。$(X/S)_{\mathrm{cris}}$ 上のアーベル層の列
$$0\to\mathcal J\to\mathcal O_{X/S}\to u^{-1}\mathcal O_X\to0,\qquad0\to1+\mathcal J\to\mathcal O_{X/S}^*\to u^{-1}\mathcal O_X^*\to0$$
はどちらも完全である。ここで第三項への写像は、対象 $(U\hookrightarrow T,\Theta)$ の上で $\mathcal O_T\to\mathcal O_U$（および $\mathcal O_T^*\to\mathcal O_U^*$）への還元である。
段 1（トポスの射）．$\operatorname{Cris}(X/S)$ の対象 $(U\hookrightarrow T,\Theta)$ の被覆族は $T$ の Zariski 開被覆 $(T_i)$ から来る族 $((U\cap T_i\hookrightarrow T_i,\Theta|_{T_i}))_i$ で、$U\hookrightarrow T$ は冪零はめ込みだから底空間の同相であり、$U$ の開被覆と $T$ の開被覆は一対一に対応する。よって $\varphi$ は被覆を $U$ の Zariski 被覆へ送り（被覆の射の fiber 積 $(U\cap T_i\cap T_j\hookrightarrow T_i\cap T_j)$ は $U_i\cap U_j$ へ移るので fiber 積も保つ）、逆に $\varphi(U,T,\Theta)=U$ の任意の Zariski 被覆は $(U,T,\Theta)$ の被覆の像である。引用する事実 2 により $G\mapsto G\circ\varphi$ は層を層へ送る完全関手で右随伴をもち、トポスの射 $u$ の逆像である。
段 2（第一の列）．引用する事実 1 により、完全性は各対象 $(U\hookrightarrow T,\Theta)$ の上で、$T$ 上の Zariski 層の列 $0\to\mathcal I_T\to\mathcal O_T\to\mathcal O_U\to0$ の完全性に帰着する（$u^{-1}\mathcal O_X$ の $(U,T,\Theta)$ 上の値 $\mathcal O_U$ は、底空間が同じなので $T$ 上の層と見てよい）。$U\hookrightarrow T$ は閉はめ込みで $\mathcal O_U=\mathcal O_T/\mathcal I_T$ だから完全である。
段 3（第二の列）．同じく各対象の上で $0\to1+\mathcal I_T\to\mathcal O_T^*\to\mathcal O_U^*\to0$ の完全性を示す。核が $1+\mathcal I_T$ であることは、$a\in\mathcal O_T^*$ の像が $1$ であることが $a-1\in\mathcal I_T$ と同値だからである。全射性は層としての全射性、すなわち局所的な持上げの存在でよい。$\bar a\in\mathcal O_U^*$ の局所的な持上げ $a\in\mathcal O_T$ を取り、$\bar a$ の逆元の持上げ $b$ を取ると $ab=1+x$（$x\in\mathcal I_T$）であり、$\mathcal I_T$ は冪零だから $1+x$ は単元、よって $a$ は単元である。
命題の証明では、原論文の記号のうち $u^*$・$u_*$ の揺れを $u^{-1}$ に統一した。原論文の印字が誤植かどうかは、逆向きの射を考えると決着する。
原論文は関手を $u^*$、完全列の第三項を $u_*\mathcal O_X$・$u_*\mathcal O_X^*$ と印字する（読解ノート B の T-19 は表記の揺れとして記録する）。本書は上の命題のとおり $u^{-1}$ と書く。ただし印字 $u_*$ は次の意味に読めば誤植ではない。$i\colon\operatorname{Zar}(X)\to\operatorname{Cris}(X/S)$、$U\mapsto(U\hookrightarrow U,0)$（自明な厚み。イデアル $0$ 上の divided power 構造は $\gamma_n(0)=0$ のただ一つ）は $\varphi\circ i=\mathrm{id}$ を満たし、被覆を保ち被覆を持ち上げるので、引用する事実 2 によりトポスの射 $\bar u\colon X_{\mathrm{zar}}\to(X/S)_{\mathrm{cris}}$、$\bar u^{-1}F=F\circ i$ を定める。$\bar u_*G$ の対象 $(U\hookrightarrow T,\Theta)$ 上の値は $\operatorname{Hom}(\bar u^{-1}h_{(U,T,\Theta)},G)$ であり、$(V\hookrightarrow V,0)$ から $(U\hookrightarrow T,\Theta)$ への射は $V\subset U$ と、$V\hookrightarrow V\to T$ が $V\subset U\hookrightarrow T$ に等しいという条件で一意に定まる射 $V\to T$ の組だから、$\bar u^{-1}h_{(U,T,\Theta)}=h_U$ で $\bar u_*G(U,T,\Theta)=G(U)$。すなわち $\bar u_*=u^{-1}$、また $\bar u^{-1}u^{-1}G=G\circ\varphi\circ i=G$ で $u\circ\bar u=\mathrm{id}$ である。原論文の $u_*$ はこの $\bar u_*$ と読める。本書『5-2 冪零はめ込みでの不変性と微分作用素』の $u_*$ についても同じ読みが成り立つ。
二つの完全列で、単元の層の還元の核は $1+\mathcal J$、構造層の還元の核は $\mathcal J$ である。両者を結ぶのが指数と対数であり、ここで初めて divided power が使われる。
指数と対数
$(J,\gamma)$ を環 $A$ の PD 冪零な PD イデアルとする。$x\in J$ について
$$\exp(x):=\sum_{n\ge0}\gamma_n(x),\qquad\log(1+x):=\sum_{n\ge1}(-1)^{n-1}(n-1)!\,\gamma_n(x)$$
とおく。どちらも有限和で、$\exp\colon(J,+)\to(1+J,\times)$ と $\log\colon(1+J,\times)\to(J,+)$ は互いに逆な群同型である。$(X/S)_{\mathrm{cris}}$ 上のイデアル層 $\mathcal J$ についても、対象ごとに同じ式で定めた $\exp$ と $\log$ は互いに逆なアーベル層の同型 $\mathcal J\cong1+\mathcal J$ を与える。
段 1（有限和と行き先）．PD 冪零性により $J^{[N]}=0$ なる $N$ があり、$n\ge N$ なら $\gamma_n(x)\in J^{[n]}\subset J^{[N]}=0$ である。よって両方の和は $n< N$ の項だけで、$n\ge1$ で $\gamma_n(x)\in J$ だから $\exp(x)\in1+J$、$\log(1+x)\in J$ である。
段 2（$\exp$ の加法性）．公理 (2) $\gamma_n(x+y)=\sum_{i+j=n}\gamma_i(x)\gamma_j(y)$ を $n$ について足すと、有限和なので順序を変えてよく、$\exp(x+y)=\sum_{i,j}\gamma_i(x)\gamma_j(y)=\exp(x)\exp(y)$ となる。
段 3（普遍的な場合の恒等式）．$\Gamma=\mathbb Z\langle X\rangle$ とその完備化 $\hat\Gamma\subset\mathbb Q[\![X]\!]$ を上の定義のとおりとする。$\hat\Gamma$ の中で $E:=\sum_{n\ge0}\gamma_n(X)=\sum X^{[n]}$、$\Lambda:=\sum_{n\ge1}(-1)^{n-1}(n-1)!\,\gamma_n(X)$ とおくと、$\mathbb Q[\![X]\!]$ の中では $E=\sum X^n/n!=e^X$、$\Lambda=\sum(-1)^{n-1}X^n/n=\log(1+X)$ である。$z:=E-1\in\hat\Gamma^+$ について $\hat\Gamma$ の divided power で $\sum_{m\ge1}(-1)^{m-1}(m-1)!\,\gamma_m(z)$ を作ると（$\gamma_m(z)$ は重み $\ge m$ の成分しかもたないので、この和は $\hat\Gamma$ の中で各重みごとに有限和である）、$\mathbb Q[\![X]\!]$ の中では $\sum(-1)^{m-1}z^m/m=\log(1+z)=\log(e^X)=X$ であり、$\hat\Gamma\to\mathbb Q[\![X]\!]$ は単射だから、$\hat\Gamma$ の中で
$$\sum_{m\ge1}(-1)^{m-1}(m-1)!\,\gamma_m(E-1)=X\qquad\text{(i)}$$
が成り立つ。同様に $\Lambda\in\hat\Gamma^+$ について $\sum_{n\ge0}\gamma_n(\Lambda)$ は $\mathbb Q[\![X]\!]$ の中で $e^{\log(1+X)}=1+X$ だから、$\hat\Gamma$ の中で
$$\sum_{n\ge0}\gamma_n(\Lambda)=1+X\qquad\text{(ii)}$$
が成り立つ。ここで使った形式冪級数の恒等式 $\log(e^X)=X$、$e^{\log(1+X)}=1+X$ は $\mathbb Q$ 上の標準的なものである。
段 4（$A$ への移行）．$x\in J$ を取る。引用する事実 4 により $X\mapsto x$ なる PD 準同型 $\theta\colon\Gamma\to A$ がある。$\theta$ は $\Gamma_w$（$w\ge N$）を $J^{[N]}=0$ へ送る（$\Gamma_w$ は $X^{[w]}=\gamma_w(X)$ で張られ、$\theta(X^{[w]})=\gamma_w(x)$）。よって $\theta$ は重み $\ge N$ を消して $\hat\theta\colon\hat\Gamma\to A$ に延び、$\hat\theta$ は環準同型で、$\hat\Gamma^+$ 上の $\gamma_n$ と $J$ 上の $\gamma_n$ を両立させる（$\gamma_n(\sum_wf_w)$ の展開の各項は $\prod_w\gamma_{n_w}(f_w)$ で、$\theta$ が PD 準同型だから項ごとに移り、公理 (2) で $A$ の側でまとめ直せる）。$\hat\theta(E)=\exp(x)$、$\hat\theta(\Lambda)=\log(1+x)$ であり、(i) に $\hat\theta$ を施すと $\log(\exp(x))=x$、(ii) に施すと $\exp(\log(1+x))=1+x$ を得る。よって $\exp$ と $\log$ は互いに逆な全単射で、段 2 により $\exp$ は準同型だから、両方とも群同型である。
段 5（層への移行）．対象 $(U\hookrightarrow T,\Theta)$ の上で、$\Gamma(T,\mathcal I_T)$ は $\Gamma(T,\mathcal O_T)$ の PD イデアルで、$\Theta$ が PD 冪零（$\mathcal I_T^{[N]}=0$ なる $N$ がある）だから、$\Gamma(T,\mathcal I_T)^{[N]}\subset\Gamma(T,\mathcal I_T^{[N]})=0$ により同じ $N$ で PD 冪零である。開集合 $V\subset T$ 上の切断についても同じである。段 1〜4 を各対象に当てると、$\exp\colon\mathcal J\to1+\mathcal J$ と $\log\colon1+\mathcal J\to\mathcal J$ は前層の写像として定義され（射は $\gamma_n$ と可換だから制限と両立する）、各対象の上で互いに逆な同型である。よって層の同型である。
原論文 7.4 の式 (*)（印字 p. 355）は $\log(1+x)=\sum_{n\ge1}(n-1)!\,(-1)^nx^{(n)}$ と印字する（読解ノート B の T-16）。この符号では $\log(1+x)=-x+\gamma_2(x)-\cdots$ となり、$\log(\exp(x))\equiv-x$（重み $\ge2$ を法として）で $\exp$ の逆にならない。正しい符号は $(-1)^{n-1}$ で、本書『0-4 形式スキーム・持上げ・divided power』の言明もこの形である。$\exp$ の式 $1+\sum_{n\ge1}x^{(n)}$ は原論文のとおりでよい。
$\exp$ と $\log$ を得るのに使ったのは、公理 (2)（加法性）、$\mathbb Z\langle X\rangle$ の普遍性、PD 冪零性による有限和の三つだけである。これで、単元の還元の核 $1+\mathcal J$ を加法的な $\mathcal J$ に取り替える道具が揃い、第一 Chern 類が構成できる。
第一 Chern 類
$L$ を $X$ 上の可逆層、$[L]\in H^1(X_{\mathrm{zar}},\mathcal O_X^*)$ をその類とする。写像の列
$$H^1(X_{\mathrm{zar}},\mathcal O_X^*)\xrightarrow{u^{-1}}H^1((X/S)_{\mathrm{cris}},u^{-1}\mathcal O_X^*)\xrightarrow{\ \delta\ }H^2((X/S)_{\mathrm{cris}},1+\mathcal J)\xrightarrow{\ \log\ }H^2((X/S)_{\mathrm{cris}},\mathcal J)\to H^2_{\mathrm{cris}}(X/S)$$
（$\delta$ は第二の完全列の連結準同型、最後は $\mathcal J\subset\mathcal O_{X/S}$ が誘導する写像）による $[L]$ の像を $c(L)\in H^2_{\mathrm{cris}}(X/S)$ と書き、$L$ の第一 Chern 類という。$c(L\otimes L')=c(L)+c(L')$ が成り立ち、$c$ は群準同型 $\operatorname{Pic}(X)\to H^2_{\mathrm{cris}}(X/S)$ である。
段 1（各写像が準同型であること）．$u^{-1}$ によるコホモロジーの写像は引用する事実 2、連結準同型 $\delta$ は引用する事実 3 の長完全列の一部、$\log$ は上の命題（divided power イデアル上の指数と対数）の層の同型が誘導する同型、最後は層の射が誘導する写像で、いずれもアーベル群の準同型である。
段 2（加法性）．引用する事実 3 により $\operatorname{Pic}(X)\cong H^1(X_{\mathrm{zar}},\mathcal O_X^*)$ でテンソル積は加法に対応するから、$[L\otimes L']=[L]+[L']$（$H^1(\mathcal O_X^*)$ の群構造を加法で書く）。準同型の合成は準同型なので $c(L\otimes L')=c(L)+c(L')$ である。
構成の各段は、Zariski の類を結晶景へ持ち込み（$u^{-1}$）、厚みの方向への延長の障害を測り（$\delta$）、乗法を加法に直し（$\log$）、構造層の係数へ落とす（包含）と読める。原論文は $\delta$ の像について「持上げの障害」と述べる一文を別字体で添える。その正確な形は次の命題である。
$\delta\colon H^1((X/S)_{\mathrm{cris}},u^{-1}\mathcal O_X^*)\to H^2((X/S)_{\mathrm{cris}},1+\mathcal J)$ を第二の完全列の連結準同型とする。$u^{-1}[L]$ が結晶景上の可逆 $\mathcal O_{X/S}$ 加群の類 $[\mathcal L]\in H^1((X/S)_{\mathrm{cris}},\mathcal O_{X/S}^*)$ の像になる（$\mathcal L$ が $L$ の持上げである）ための必要十分条件は $\delta(u^{-1}[L])=0$ である。$c(L)$ は $\delta(u^{-1}[L])$ の $\log$ による像を $H^2_{\mathrm{cris}}(X/S)$ へ送ったものだから、$c(L)\ne0$ なら $L$ は持ち上がらない。逆は、$H^2((X/S)_{\mathrm{cris}},\mathcal J)\to H^2_{\mathrm{cris}}(X/S)$ が単射なら成り立つ。$\mathcal L$ が $L$ の持上げなら、自明な厚み $(X\hookrightarrow X,0)$ 上の $\mathcal L$ の値は $L$ に同型である。
段 1（完全性）．第二の完全列の長完全列 $H^1(\mathcal O_{X/S}^*)\to H^1(u^{-1}\mathcal O_X^*)\xrightarrow{\delta}H^2(1+\mathcal J)$ の完全性が最初の主張であり、引用する事実 3 により $H^1((X/S)_{\mathrm{cris}},\mathcal O_{X/S}^*)$ は可逆 $\mathcal O_{X/S}$ 加群の同型類の群である。$\log$ は同型だから $\delta(u^{-1}[L])=0$ と $\log\delta(u^{-1}[L])=0$ は同値で、後者が $0$ なら $c(L)=0$。$H^2(\mathcal J)\to H^2(\mathcal O_{X/S})$ が単射なら逆も成り立つ。
段 2（自明な厚み上の値）．上の注意（原論文の印字 $u_*$ の読み方）の $\bar u$ について $\bar u^{-1}u^{-1}=\mathrm{id}$ であり、$\bar u^{-1}\mathcal O_{X/S}=\mathcal O_X$、$\bar u^{-1}\mathcal L$ は $(X\hookrightarrow X,0)$ 上の $\mathcal L$ の値である。層の射 $\mathcal O_{X/S}^*\to u^{-1}\mathcal O_X^*$ に $\bar u^{-1}$ を施すと $\mathcal O_X^*$ の恒等写像になる（対象 $(U\hookrightarrow U,0)$ の上では還元 $\mathcal O_U^*\to\mathcal O_U^*$ が恒等だから）ので、$[\mathcal L]\mapsto u^{-1}[L]$ に $\bar u^{-1}$ を施すと $[\bar u^{-1}\mathcal L]=\bar u^{-1}u^{-1}[L]=[L]$ となる。$\bar u^{-1}\mathcal O_{X/S}=\mathcal O_X$ だから $\bar u$ は環付きトポスの射で、$\bar u^{-1}\mathcal L$ は可逆 $\mathcal O_X$ 加群であり、その類が $\bar u^{-1}[\mathcal L]$ である。
原論文の「$c(L)$ は $L$ を結晶景上の可逆層へ持ち上げる障害と見られる」の一文（印字 p. 355）は別字体で印字され、仏語式の綴りを含む（読解ノート B の U-7）。後からの挿入である可能性があり、帰属は判定しない。上の命題のとおり、障害そのものは $H^2((X/S)_{\mathrm{cris}},\mathcal J)$ の類であり、$c(L)$ はその像である。
以上で 7.4 の内容は閉じた。divided power は、単元の層の核 $1+\mathcal J$ を加法群 $\mathcal J$ へ移すためだけに使われている。次は原論文 7.5、すなわち固有でない $X_0$ で結晶コホモロジーが大きくなりすぎるという指摘である。
非固有の場合
$k$ を標数 $p>0$ の完全体、$W=W(k)$、$S=\operatorname{Spec}W$ とし、$X_0$ を $k$ 上の固有でない（たとえば affine な）スキームとする（原論文は滑らかさを仮定しない）。原論文 7.5 は、$H^*_{\mathrm{cris}}(X_0/S)$ が $W$ 上有限階数の加群にならず、$p$ 進コホモロジーとして妥当でないと断定し、その根拠として 2.1 の形式的アフィン直線の de Rham コホモロジーの計算を引く。
要点のみ述べる。原論文の推論は二段からなる。段 1（形式的持上げの計算）．$X_0=\mathbb A^1_k$ の形式的持上げ $\operatorname{Spf}W\{t\}$ について、$H^1(\Omega^\bullet_{W\{t\}/W})\otimes_WK$ は $K$ 上無限次元である（引用する事実 5）。段 2（結晶コホモロジーへの接続）．$H^*_{\mathrm{cris}}(\mathbb A^1_k/S)$ が $H^*_{dR}(\operatorname{Spf}W\{t\}/W)$ に一致すれば、段 1 により $H^1_{\mathrm{cris}}(\mathbb A^1_k/S)\otimes K$ は無限次元で、$W$ 上有限階数でない。段 2 の一致は、crucial test（引用する事実 6）の非固有版に当たる。crucial test の証明は、見込み a)・b) のほかに、$W_n$ 上の結晶コホモロジーの射影極限を取る段で固有性から来る有限性（Mittag-Leffler 条件）を使い、非固有では形式完備化の de Rham コホモロジーへの移行に別の根拠が要る。原論文はこの段を書かず、本書もこの頁の範囲では閉じない。状態は未完結である。
原論文はこの困難を、固有性を仮定して避けるのではなく、景の定義を変えて避けようとする。$p$ 進完備な持上げの代わりに Monsky–Washnitzer の弱完備な持上げを厚みの役に使う、という構想である。
$k$、$W$ を上のとおりとし、$X_0$ を $k$ 上のスキームとする。原論文 7.5（印字 p. 355–356）が「とりあえず」と断って試みる環付き景の対象は三つ組 $(U_0=\operatorname{Spec}A_0,\ U=\operatorname{Spec}A,\ D)$ である。ここで $U_0$ は $X_0$ の affine 開集合、$A$ は全射 $A\to A_0$（augmentation）をもつ $W$ 上の Monsky–Washnitzer 代数（本書『2-2 弱完備代数と Monsky–Washnitzer コホモロジー』）、$D$ は augmentation イデアル $J=\ker(A\to A_0)$ 上の位相的に冪零な divided power 構造で、$\operatorname{Spec}A$ が無限小の厚みの役を演じる。射は明らかなもの、位相は $X_0$ の Zariski 位相から誘導する（本書『4-1 infinitesimal 景と stratifying 景』の無限小景と同じ仕方）。対応するトポスを原論文は $X_0$ の $k$ 上の Monsky–Washnitzer トポスと呼び $(X_0/k)_{WM}$ と書く。本書はこの定義を写すだけで、この景の上の主張は立てない。原論文は「位相的に冪零」の意味を書かず、本書もここでは定めない。
原論文 7.5 は次の三つを述べる（印字 p. 355–356）。(a) 非固有の場合の困難は、Monsky–Washnitzer の持上げを結晶トポスの基本的な考えと組み合わせる方法を「好むと好まざるとにかかわらず」作らねばならないことの明白な証拠に見える（見込み）。(b) 上の景の、局所環の標準層を係数とするコホモロジーは $X_0$ の正しい Betti 数（$k$ が代数閉なら $\ell\ne p$ の $\ell$ 進理論と同じもの）を与えると期待してよい（期待）。(c) 惜しい点として、この構想は不等標数のスキームにも働く結晶コホモロジーと比べ、標数 $p>0$ の完全な基礎体という仮定に密着しすぎているように見える（評価）。いずれも判定の対象ではなく、原論文の状態のまま記録する。本書『2-2 弱完備代数と Monsky–Washnitzer コホモロジー』の持上げの景 $X_{0,WM}$ は持上げ $A$ だけを対象とし、divided power 構造 $D$ を添えない点で上の景と異なる。
例と反例
指数と対数は有限和なので、小さい環で具体的に計算できる。まず PD 冪零な場合に同型が実際に成り立つことを確かめ、次に PD 冪零性を外すと同型が存在しないことを見る。
(a) $A=\mathbb Z/27$、$J=(3)$、$\gamma_n(3x)=3^nx^n/n!$（$W(\mathbb F_3)=\mathbb Z_3$ の標準的な構造を降ろしたもの。本書『0-4 形式スキーム・持上げ・divided power』の例 (c)。$p=3$ なので PD 冪零である）。$v_3(\gamma_n(3))=n-v_3(n!)=(n+s_3(n))/2$ は $n=1,2,3,4$ で $1,2,2,3$、$n\ge5$ では $(n+1)/2\ge3$ だから、$\mathbb Z/27$ では $\gamma_n(3)=0$（$n\ge4$）、$\gamma_2(3)=\gamma_3(3)=9/2=9\cdot14=18$（$2^{-1}=14$）。よって $\exp(3)=1+3+18+18=13$、$\log(1+3)=3-18+2\cdot18=21$。検算：$\gamma_n(21)=7^n\gamma_n(3)$ で $\gamma_2(21)=22\cdot18=18$、$\gamma_3(21)=19\cdot18=18$ だから $\exp(21)=1+21+18+18=4=1+3$、また $\log(13)=\log(1+12)$ は $\gamma_2(12)=16\cdot18=18$、$\gamma_3(12)=10\cdot18=18$ から $12-18+36=3$ である。$1+J=\{1+3k\}$ と $J=3\mathbb Z/27$ はどちらも位数 $9$ の巡回群で、$\exp$ がその同型を与えている。(b) $A=\mathbb F_p[t]/(t^p)$、$J=(t)$、$\gamma_n(t)=t^n/n!$（$n< p$）、$\gamma_n(t)=0$（$n\ge p$）（同じ頁の例 (d)。$J^{[p]}=0$ なので PD 冪零）。このとき $\exp(t)=\sum_{n< p}t^n/n!$、$\log(1+t)=\sum_{n< p}(-1)^{n-1}t^n/n$ は通常の級数を次数 $p-1$ で切ったものである。$p=3$ では $\exp(t)=1+t+2t^2$、$\log(1+t)=t+t^2$ で、$x=t+2t^2$ について $x+x^2=t+3t^2=t$、$y=t+t^2$ について $1+y+2y^2=1+t+3t^2=1+t$ となり、$t^3=0$ の下で互いに逆である。
外す条件は PD 冪零性である。$A=\mathbb Z/8$、$J=(2)$ に $\mathbb Z_2$ の $(2)$ 上の標準的な構造 $\gamma_n(2x)=2^nx^n/n!$ を降ろす（$8\mathbb Z_2$ は部分 PD イデアルである：$v_2(\gamma_n(8x))\ge3n-v_2(n!)\ge2n+1\ge3$）。$\mathbb Z/4$ では $1+J=\{1,3\}$ と $J=\{0,2\}$ がともに位数 $2$ で同型になってしまうので、$\mathbb Z/8$ を取る。$J^3=0$ だから $J$ は冪零だが、$v_2(\gamma_{2^i}(2))=2^i-(2^i-1)=1$ なので $\gamma_{2^i}(2)$ は $\mathbb Z/8$ の中で $2$ または $6$ であり、すべての $i$ で零でない。すなわち PD 冪零でなく、$\exp(2)=\sum\gamma_n(2)$ は零でない項を無限個もち定義できない。しかもこの場合は、どんな写像でも同型 $(1+J,\times)\cong(J,+)$ は存在しない：$1+J=\{1,3,5,7\}$ は $3^2=5^2=7^2=1$ により $(\mathbb Z/2)^2$ であり、$J=\{0,2,4,6\}$ は位数 $4$ の巡回群である。上の命題（divided power イデアル上の指数と対数）の PD 冪零性の仮定は、和を有限にするためだけでなく、結論のためにも必要である。$p\ge3$ では $\mathbb Z/p^n$ の $(p)$ に降ろした標準的な構造は PD 冪零である（本書『0-4 形式スキーム・持上げ・divided power』の例 (c)）ので、これは $p=2$ に特有の現象であり、$\operatorname{Spec}\mathbb F_2\hookrightarrow\operatorname{Spec}\mathbb Z/8$ に標準的な divided power を添えたものが原論文の結晶景の対象にならない理由でもある。
第一 Chern 類については、その値を直接計算する手段を本頁はもたないが、自明な厚みへの制限では必ず消えることが確かめられる。
上の注意（原論文の印字 $u_*$ の読み方）のトポスの射 $\bar u\colon X_{\mathrm{zar}}\to(X/S)_{\mathrm{cris}}$ について、$\bar u^{-1}\mathcal J$ は $U\mapsto\mathcal J(U\hookrightarrow U,0)=0$ だから零層であり、$\bar u^{-1}\mathcal O_{X/S}=\mathcal O_X$ である。$c(L)$ は $H^2((X/S)_{\mathrm{cris}},\mathcal J)$ の類の像なので、$\bar u^{-1}$ で $H^2(X_{\mathrm{zar}},\bar u^{-1}\mathcal J)=0$ を経由し、$\bar u^{-1}c(L)=0\in H^2(X_{\mathrm{zar}},\mathcal O_X)$ となる。第一 Chern 類は厚みの方向にだけ現れ、Zariski 位相だけでは見えない。同じ理由で、$\bar u^{-1}$ を第二の完全列に施すと $0\to0\to\mathcal O_X^*\to\mathcal O_X^*\to0$ となり、$\delta$ の $\bar u^{-1}$ による像は零である。
$k$、$W$ を上のとおりとする。$X_0=\mathbb P^1_k$ は固有滑らかな持上げ $\mathbb P^1_W$ をもち、$H^*_{dR}(\mathbb P^1_W/W)$ は次数 $0,1,2$ で $W,0,W$ である（Hodge–de Rham 系列が $E_1$ で退化し、$H^1(\mathbb P^1_W,\Omega^1)=W$）。見込み a)・b) を仮定すれば、crucial test（引用する事実 6）により $H^*_{\mathrm{cris}}(\mathbb P^1_k/W)$ も $W,0,W$ で、有限階数である。可逆層 $\mathcal O(1)$ の $c(\mathcal O(1))\in H^2_{\mathrm{cris}}(\mathbb P^1_k/W)$ がこの $W$ の生成元に当たるかどうかは、本書は確かめていない。一方 $X_0=\mathbb A^1_k$ では、上の命題（非固有の場合の無限階数）の段 2 の接続が閉じていないため、本書が確かめられるのは形式的持上げの側の $H^1(\Omega^\bullet_{W\{t\}/W})\otimes K$ が無限次元であることまでである。過収束級数環 $W\{t\}^\dagger$ に取り替えると $H^1\otimes K=0$ になる（本書『2-1 持上げの de Rham コホモロジーの不変性』）ことが、Monsky–Washnitzer の景の構想の出発点である。
その後の発展
以下は原論文の主張ではなく、後代の結果の紹介である（本頁の執筆時点 2026 年の知識による。「本書は確かめていない」と付したものは文献を開いていない）。概説は Illusie Ill94 を見よ。
- Berthelot の結晶コホモロジー（Ber74、1974 年。BO78）：結晶景を、底の PD 環 $(S,I,\gamma)$ と両立する divided power 厚みで定義し直し、PD 冪零性を要求しない（本書『6-1 結晶景と接続景』の「その後の発展」）。滑らかな $X_0$ とその滑らかな持上げ（固有性は不要）について $W_n$ 上の結晶コホモロジーと de Rham コホモロジーの比較定理が成り立ち、$W$ 上では形式的持上げの de Rham コホモロジーに一致する（BO78 §7。本書は確かめていない）。これが正しければ $H^1_{\mathrm{cris}}(\mathbb A^1_k/W)\cong H^1(\Omega^\bullet_{W\{t\}/W})$ で、上の命題（非固有の場合の無限階数）の段 2 が後代の理論で閉じ、原論文 7.5 の断定が裏づけられる。
- 結晶コホモロジーの Chern 類（Berthelot–Illusie BI70、1970 年）：結晶コホモロジーにおける Chern 類の理論。原論文 7.4 の構成との関係は本書は確かめていない。PD 冪零性を仮定しない Berthelot の理論では、$\exp$ と $\log$ が $\mathcal J$ 全体で定義されるとは限らないので、構成には修正が要ると考えられるが、本書は確かめていない。
- rigid コホモロジー（Berthelot Ber86、1986 年。教科書は Le Stum LS07。van der Put vdP86 も参照）：Monsky–Washnitzer の方法を一般のスキームへ拡張し、滑らかな affine では $H^*_{WM}(X_0)\otimes K$ に一致する $K$ 係数の理論。有限性は Berthelot Ber97（1997 年）が示した。原論文 7.5 の「Monsky–Washnitzer の持上げと結晶トポスの考えの組み合わせ」の後代の実現であり、Le Stum の overconvergent 景（LS11、2011 年）は、弱完備な厚みを対象とする景として原論文の構想にいっそう近い形をもつ（本書は確かめていない）。基礎体の完全性については、rigid コホモロジーは $k$ に完全性を要求しない（本書は確かめていない）。
- 教科書的な記述：Stacks「Crystalline Cohomology」の章（タグ 07GI）は Berthelot の定義による結晶景と比較定理を扱う。原論文の PD 冪零版の結晶景は扱わない。
原論文との対応表
本頁が対応する原論文は Crystals and the De Rham cohomology of schemes Gro68c である。
| 本頁 | 原論文 | 印字頁 |
|---|---|---|
| 背景と動機（divided power を入れた理由） | 7.4 冒頭 | 354 |
| 定義（結晶景の構造層とイデアル層）、定義（忘却関手と Zariski 層の引き戻し）、命題（忘却射と二つの完全列）、注意（原論文の印字 $u_*$ の読み方） | 7.4 の忘却関手と二つの完全列 | 354 |
| 定義（一変数の divided power 多項式環と重み）、命題（divided power イデアル上の指数と対数）、注意（原論文の符号） | 7.4 の式 (*) | 355 |
| 定理（第一 Chern 類の構成） | 7.4 の $c(L)$ の構成 | 355 |
| 命題（障害類としての解釈）、注意（障害類の一文の帰属） | 7.4 の別字体の一文 | 355 |
| 命題（非固有の場合の無限階数） | 7.5 冒頭（2.1 の計算を引く） | 355 |
| 定義（Monsky–Washnitzer の景の構想） | 7.5 の環付き景 $(X_0/k)_{WM}$ | 355–356 |
| 注意（原論文の期待と評価） | 7.5 の見込み・期待・評価 | 355–356 |
参考文献
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