7-1 不分岐コホモロジー

要約：Brauer 群を高次へ一般化する双有理不変量として、固有で滑らかなコンパクト化 $X\supset U$ から来る類だけを残した群 $H^i_{\mathrm{nr}}(U,G)=\operatorname{Im}(H^i(X,F)\to H^i(U,G))$ を導入し、それがコンパクト化によらないことを示す。鍵は、固有双有理射で像が変わらないという比較定理で、「固有」を落とすと成り立たない。関数体の不変量 $H^i_{\mathrm{nr}}(K,G)$ は、基礎体が分離閉なら有限で、超越次数を超える次数で消えるが、基礎体が $\mathbb Q$ ならどちらも成り立たない。低い次数では $H^1_{\mathrm{nr}}$ が $H^1(X)$、$H^2_{\mathrm{nr}}(K,\mu_{\ell^\infty})$ が $\mathrm{Br}'(X)(\ell)$ を与える。原論文 III の §9.1〜§9.6 に当たる。

前提知識: 不分岐コホモロジー, Brauer群の双有理不変性, ℓ進コホモロジー, Tate捻り, Kummer完全列, 局所コホモロジー

この頁で示すこと

$k$ を体、$p$ をその標数とする。

1. 比較定理（III (9.2) に「固有」を補った形）：$X$ が $k$ 上滑らか、$f\colon X'\to X$ が固有双有理射で、開集合 $U\subset X$ の上で同型なら、局所定数な捩れ層 $F$（位数は $p$ と素）について
   $$ \operatorname{Im}\bigl(H^i(X,F)\to H^i(U,F)\bigr)=\operatorname{Im}\bigl(H^i(X',f^*F)\to H^i(U,F)\bigr). $$
   「固有」を外すと偽である（$\mathbb P^1\supset\mathbb G_m$ による反例）。
2. 不変量の定義（III (9.6)(9.7)）：$U$ の固有で滑らかなコンパクト化 $X$ に $G$ が延びるとき、$H^i_{\mathrm{nr}}(U,G)$ は $X$ の選び方によらず、関数体の不変量 $H^i_{\mathrm{nr}}(K,G)$ が定まる。
3. 有限性と消滅（III §9.4、(9.8)。$k$ が分離閉という仮定を補った形）：$H^i_{\mathrm{nr}}(K,G)$ は有限で、$i>\operatorname{trdeg}_kK$ なら 0。$k=\mathbb Q$ ではどちらも偽である。
4. 低い次数の計算（III (9.10)〜(9.16)）：$H^1_{\mathrm{nr}}(K,F)=H^1(X,F)$。$k$ が代数閉なら $H^1_{\mathrm{nr}}(K,\mu_{\ell^\infty})\cong\mathrm{Pic}(X)(\ell)$、$H^2_{\mathrm{nr}}(K,\mu_{\ell^\infty})\cong\mathrm{Br}'(X)(\ell)$ であり、$\mathbb Z_\ell(1)$ 係数の $H^2_{\mathrm{nr}}$ は $T_\ell\mathrm{Br}'(X)$（階数 $B_2-\rho$）である。
   1 は双対性の形式、2 は Zariski–Nagata の純性、3 は SGA 4 の有限性とアフィン消滅、4 はコホモロジー的純性を引用として使う。

背景と動機

第5章で、$\mathrm{Br}'(X)(\ell)$ が固有正則スキームの双有理不変量であることを見た。原論文 §9.1 は、これを高次へ延ばす方向を探す。まず、$H^i(X,\mathbb G_m)$ の $i\ge3$ の項は、講演 II により本質的に $H^i(X,\mu_{\ell^\infty})$ と変わらず、そのままでは新しい双有理不変量にならない、と指摘する。
そこで原論文は、Hodge 理論の「第二種微分」が与える双有理不変量の $\ell$ 進版を求めるという方向を示す。複素数体上なら整係数の超越的コホモロジーが両者をつなぎ、一般の体の上では、両者は同じ「motif」の $\ell$ 進実現と de Rham 実現であるはずだ、と原論文は書く。ただし motif の理論は当時まだ予想の段階にあると明記し、示唆にとどめている。本頁も motif には立ち入らない。
原論文が実際に構成するのは、「境界で分岐しない類」だけを残した群である。境界まで延びる類は、コンパクト化の取り方によらない。これを保証するのが比較定理であり、原論文自身、§9 の展開はこの定理に本質的に依存すると述べている。

定義と準備

標準設定. $U$ を $k$ 上有限型で滑らかな連結スキーム、$G$ を $U$ 上の局所定数な捩れ層で、茎が有限かつ位数が $p$ と素なものとする。
良いコンパクト化. $(U,G)$ の良いコンパクト化とは、$k$ 上固有かつ滑らかな $X$ と稠密開埋入 $U\hookrightarrow X$ で、$G$ が $X$ 上の局所定数層 $F$ の制限になっているものをいう。$X$ の存在は、$p=0$ なら Hironaka の特異点解消により、$k$ が完全で $\dim U\le2$ なら Abhyankar により保証される。$G$ が $X$ まで延びることは仮定である。

これが意味をもつには、右辺が $X$ によらないこと（下の系）と、$G$ が延びるという条件が $X$ によらないこと（下の定理）が要る。原論文は小さな山形の添字で $H^i_\wedge$ と書くが、台つきコホモロジー $H^i_Y$ や点の局所コホモロジーと紛れるので、本書では $H^i_{\mathrm{nr}}$ と書く。
現代の文献では、不分岐コホモロジーを関数体 $K$ の Galois コホモロジーのうち、すべての離散付値で剰余が消える類として定義することが多い（不分岐コホモロジー）。本頁の定義はコンパクト化を使う原論文の形であり、二つの定義の比較には本頁では立ち入らない。
$\ell$ 進係数. $\mu_{\ell^\infty}$ などの帰納極限の層、$\mathbb Z_\ell(j)$ などの射影系についても、$H^i(X,-)$ を記号表のとおり（前者は層のコホモロジー、後者は有限段の射影極限として）とって、同じ式で $H^i_{\mathrm{nr}}$ を定める（III §9.5）。

主結果と証明

固有双有理射による比較

証明には次を引用する（原論文は SGA 4 XVIII と SGA 5 I を引く）。

• (T) 固有射 $f$ について $Rf_*$ は右随伴 $Rf^!$ をもち、$X$ が $k$ 上滑らかで $F$ が上の型のとき、$Rf^!F$ のコホモロジー層は負の次数で 0、次数 0 で $h_*(F'|_{V'})$ に等しい。ここで $V'$ は $X'$ の滑らかな点の開集合、$h\colon V'\hookrightarrow X'$ である。

仮定の役割. (b) は $X$ の滑らかさと $f$ の固有性（$Rf_*$ が (T) の形の右随伴をもつこと）を使う。原論文の印字の言明には「固有」の語が無いが、次の反例のとおり、それでは成り立たない。

反例は比較定理の応用を壊さない。以下で比較定理を当てるのは、固有なスキームの間の射に対してだけであり、それらは自動的に固有だからである。

二つのコンパクト化の比較

証明には次を引用する。

• (ZN) Zariski–Nagata の純性（原論文は SGA 2 X を引く）：$X$ が正則、$U\subset X$ が稠密開集合のとき、$U$ の有限エタール被覆が $X\smallsetminus U$ の余次元 1 の各点で不分岐なら、$X$ の有限エタール被覆に延びる。
• 連結スキーム上の茎が有限な局所定数層は、基本群 $\pi_1$ の有限加群と同じものである。また $X$ が正規なら $\pi_1(U)\to\pi_1(X)$ は全射である。

上げるのは引き戻しだけで済むが、降ろすには純性が要る。この非対称が要点であり、原論文は「よく知られた議論」とだけ述べて論証を書いていない。

原論文は、$H^i_{\mathrm{nr}}$ が $(U,G)$ について一般に反変関手であると「明らかに」と述べる。本頁で証明したのは開集合への制限の場合だけであり、以下でもその場合しか使わない。

有限性と高い次数での消滅

次の二つを引用する（原論文は SGA 4 XIV を引く）。

• (F) 分離閉体上固有なスキーム $X$ と構成可能な捩れ層 $F$ について、$H^i(X,F)$ は有限である。
• (A) 分離閉体上有限型なアフィンスキーム $V$ と構成可能な捩れ層について、$i>\dim V$ なら $H^i(V,-)=0$（Artin のアフィン消滅定理）。

原論文の印字では、この二つの主張に $k$ についての仮定が付いていない。引用している (F)(A) はどちらも分離閉体上の定理であり、一般の体の上では絶対 Galois 群のコホモロジーが加わるので、仮定は外せない。

$k=\mathbb R$、$G=\mathbb Z/2$ でも $H^i_{\mathrm{nr}}(\mathbb R,\mathbb Z/2)=H^i(\mathbb R,\mathbb Z/2)\cong\mathbb Z/2$（すべての $i\ge0$）なので消滅は破れるが、この場合は有限性は破れない。$\mathbb Q$ の例は二つを同時に破る。この例は、次の頁の「$i>\dim X$ なら $N^1H^i=H^i$」という主張に $k$ の仮定が要ることも示す。

低い次数での計算

以下、$k$ を代数閉体、$X$ を $k$ 上固有で滑らかな連結スキーム、$K$ をその関数体とする。

原論文は続けて、これらが $\mathrm{NS}(X)$ の捩れから来る有限群を除いて Picard 多様体や Albanese 多様体で表せ、Albanese 多様体の双有理不変性は古典的に知られていると述べる。本頁ではこの明示には立ち入らない。
2 次の計算には次を引用する。

• (P) コホモロジー的純性（局所コホモロジー）：$X$ が $k$ 上滑らか、$F$ が局所定数で位数が $p$ と素なとき、余次元 $c$ 以上の閉集合 $Z$ について $H^j_Z(X,F)=0$（$j<2c$）。$Z$ が余次元 $c$ の滑らかな閉部分なら $H^{2c}_Z(X,F)\cong H^0(Z,F(-c))$ であり、$c=1$ のとき、この同型を通して $H^2_Z(X,\mu_n)\to H^2(X,\mu_n)$ は因子の類を与える写像になる（Kummer 列による因子の類と一致する）。

原論文は (9.13) を「相対コホモロジーの完全列から」とだけ書き、純性を引かないが、左端の 0 も中央の項の同定も純性なしには出ない。

1 は原論文が「約束どおり」と書く箇所で、§9 の不変量が Brauer 群の一般化であることをここで確かめている。原論文の (9.15) の印字は右辺に $\ell$ 準素成分の記号を付けていないが、左辺が $\ell$ 準素なので上のように読む。係数を $\mu_{\ell^\infty}$ にとるか $\mathbb Z_\ell(1)$ にとるかで、同じ構成が「Brauer 群そのもの」と「その Tate 加群（超越部分）」という別の答えを与える。後者は、$\ell$ 進コホモロジーの次数 2 から代数的な部分を除いたもので、原論文はこれを「超越部分」と呼ぶ。

例と反例

純超越的な関数体. $k$ を代数閉体、$K=k(t_1,\dots,t_n)$ とし、$X=\mathbb P^n_k$ をコンパクト化にとる。$G$ を位数が $p$ と素な定数層とすると、$H^i(\mathbb P^n_k,G)$ は $i$ が奇数なら 0、$i=2j$ なら余次元 $j$ の線形部分空間 $L$ の類で生成される（引用）。$L$ の類は $\mathbb P^n\smallsetminus L$ への制限で 0 になるので、$i\ge1$ で $H^i_{\mathrm{nr}}(K,G)=0$ である。したがって、ある $i\ge1$ で $H^i_{\mathrm{nr}}(K,G)\ne0$ となる関数体 $K$ は、$k$ 上純超越的でない。これが不分岐コホモロジーを有理性の判定に使う基本的な仕組みである。
楕円曲線. $k$ を代数閉体、$E$ を楕円曲線、$K=k(E)$、$n$ を $p$ と素な整数とすると、命題（1次）と Kummer 列により $H^1_{\mathrm{nr}}(K,\mathbb Z/n)=H^1(E,\mathbb Z/n)\cong{}_n\mathrm{Pic}(E)\cong(\mathbb Z/n)^2$ である（$\mu_n\cong\mathbb Z/n$ と同一視）。0 でないので、$K$ は純超越的でない。
固有性を外した比較定理. 上の $\mathbb P^1\supset\mathbb G_m$ の反例。
分離閉性を外した有限性と消滅. 上の $\operatorname{Spec}\mathbb Q$ の反例。

その後の発展

以下は原論文より後の展開である（2026年9月の時点での記述）。

• 有理性の問題. Artin と Mumford [AM72] は、2 次の不分岐な類（Brauer 群の捩れ）を使って、単有理だが有理でない複素 3 次元多様体を構成した。Saltman は同じ種類の不変量で、Noether の問題（有限群の不変体の有理性）に否定的な答えを与えた。Colliot-Thélène と Ojanguren [CTO89] は、関数体の剰余を使った不分岐コホモロジーの定義を整え、3 次の不分岐コホモロジーで同種の例を与えた。
• Bloch–Ogus の理論. Bloch と Ogus [BO74] は Gersten 予想を証明し、不分岐コホモロジーを Zariski 層のコホモロジーとして扱う枠組みを与えた。原論文の定義と、剰余による定義との比較はこの枠組みで扱われる。
• その後の広がり. 不分岐コホモロジーは、安定有理性の判定（退化の方法）などで現在も中心的な道具である。教科書的な整理として [CTS21] がある。

原論文との対応表

原論文の §9.7・§9.8 と段落 (9.9) は次の頁で扱う。

参考文献

• [Gro68] A. Grothendieck, Le groupe de Brauer I, II, III, in: Dix exposés sur la cohomologie des schémas, North-Holland / Masson, 1968（本頁は III の pp. 152–161）。
• [SGA4] M. Artin, A. Grothendieck, J.-L. Verdier, Théorie des topos et cohomologie étale des schémas (SGA 4), Lecture Notes in Mathematics 269, 270, 305, Springer, 1972–1973.
• [AM72] M. Artin, D. Mumford, Some elementary examples of unirational varieties which are not rational, Proceedings of the London Mathematical Society (3) 25 (1972).
• [BO74] S. Bloch, A. Ogus, Gersten's conjecture and the homology of schemes, Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure (4) 7 (1974).
• [CTO89] J.-L. Colliot-Thélène, M. Ojanguren, Variétés unirationnelles non rationnelles : au-delà de l'exemple d'Artin et Mumford, Inventiones mathematicae 97 (1989).
• [CTS21] J.-L. Colliot-Thélène, A. N. Skorobogatov, The Brauer–Grothendieck Group, Springer, 2021.