6-2 正規曲面特異点の局所Brauer群

要約：2 次元の完備正規局所環 $A$ の穴あきスペクトル $U$ について、局所 Picard 群 $\mathrm{Pic}(U)$ を連結成分と有限群 $\mathrm{NS}(U)$ に分け、$\mathrm{NS}(U)$ が特異点解消の交叉行列の余核として有限で、標準的な自己双対性をもつことを示す。さらに Kummer 列によって $H^1(U,\mu_n)$、$H^2(U,\mu_n)$ を $\mathrm{Pic}(U)$ と $\mathrm{Br}(U)$ で表す。原論文はここから、標数 0 で $\mathrm{Br}(U)(\ell)$ が $\mathrm{Pic}^0(U)$ の Tate 加群の双対になると述べるが、証明の一段を自ら確認していないと明言している。本頁はその主張を「期待される形」として示し、証明済みの部分と分ける。原論文 III の §8.4 と Remarques (8.5) に当たる。

前提知識: 局所Picard群, 判別式形式, Kummer完全列, Tate加群, 特異点解消

この頁で示すこと

$A$ を剰余体 $k$ が代数閉な 2 次元の完備正規局所環、$X=\operatorname{Spec}A$、$x$ を閉点、$U=X\smallsetminus\{x\}$ とし、$\ell\ne p$ とする。

1. $U$ は正則である。
2. 局所 Picard 群の分解（III (8.13)〜(8.15)）：局所 Picard スキーム $\mathrm{Pic}_U$ の存在を引用すると、$0\to\mathrm{Pic}^0(U)\to\mathrm{Pic}(U)\to\mathrm{NS}(U)\to0$ が完全である。
3. $\mathrm{NS}(U)$ の有限性と自己双対性（III (8.16)）：特異点解消の例外曲線の交叉行列 $M$ について $\mathrm{NS}(U)\cong\operatorname{Coker}(M\colon\mathbb Z^r\to\mathbb Z^r)$ を引用すると、$\mathrm{NS}(U)$ は位数 $|\det M|$ の有限群で、$M^{-1}$ から来る対称で完全な対 $\mathrm{NS}(U)\times\mathrm{NS}(U)\to\mathbb Q/\mathbb Z$ をもつ。
4. Kummer 列による記述（III (8.17)〜(8.19)）：$n=\ell^\nu$ について
   $$ 0\to{}_n\mathrm{Pic}^0(U)\to{}_n\mathrm{Pic}(U)\to{}_n\mathrm{NS}(U)\to0,\qquad H^1(U,\mu_n)\cong{}_n\mathrm{Pic}(U), $$
   $$ 0\to\mathrm{NS}(U)/n\to H^2(U,\mu_n)\to{}_n\mathrm{Br}(U)\to0 . $$
5. 期待される双対性（III (8.20)〜(8.22)。証明されていない形として）：$p=0$ なら $\mathrm{Br}(U)(\ell)\cong\operatorname{Hom}\bigl(T_\ell\mathrm{Pic}^0(U),\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell\bigr)$、とくに $\mathrm{Br}(U)(\ell)$ は可除。
   1 と 4 は（3 の引用と、$\mathrm{Pic}^0(U)$ の可除性の引用のもとで）証明が閉じる。4 の証明で使う $\mathrm{Br}(U)=\mathrm{Br}'(U)$（II (2.2)）は、$U$ がネーターで次元 $1$ なので剰余体の分離閉性によらず留保なしに成り立つ。5 は本頁でも証明しない。

背景と動機

前の頁では、代数閉体上の固有な曲面について、$\mathrm{Br}$ と $\mathrm{NS}$ の双対性を見た。原論文 §8.4 はその局所版を考える。固有な曲面の役割を、正規曲面特異点のまわりの「小さな穴あき近傍」$U$ が果たす。$U$ は次元 1 の正則スキームだが、体上有限型ではなく、その Picard 群は特異点の情報を担う。
複素数体上では、$U$ はおおまかに特異点のリンク（3 次元多様体）に当たり、$\mathrm{NS}(U)$ の自己双対性はリンクの絡み形式に対応する。原論文はこうした位相的な描像には触れず、Mumford の交叉行列の負定値性 [Mum61] と、SGA 2 の局所 Picard スキームを使って代数的に進める。
原論文自身が、この節の最後の段について「執筆者はその確認をしていない」（III p. 151）と明記し、困難は無いだろうと付け加えている。したがってこの節は、原論文の中でも証明の状態に注意して読むべき箇所である。

定義と準備

設定. 上の $A,k,X,x,U,\ell$ に加えて、次を置く。

• $A$ は $k$ を部分体として含む（係数体をもつ）とする。原論文はこの仮定がおそらく本質的でないと付言する。
• $X$ は解けるとする：正則なスキーム $\tilde X$ と固有双有理射 $f\colon\tilde X\to X$ で、$U$ の上で同型なものがある（特異点解消）。
• $C_1,\dots,C_r$ を $f^{-1}(x)_{\mathrm{red}}$ の既約成分（例外曲線）、$M=(C_i\cdot C_j)_{i,j}$ をその交叉行列とする。

1 と 2 は原論文が書いていない一段であり、4 の証明で実際に使う。3 は基礎体が代数閉であることを使う箇所で、原論文が「幾何的」な場合に限ると宣言したことがここで効く。
局所 Picard スキーム. 次を引用する（SGA 2 XIII。局所Picard群）。

• (L1) $\mathrm{Pic}(U)$ は、$k$ 上有限型で滑らかな群スキーム $\mathrm{Pic}_U$ の $k$ 有理点の群と標準的に同一視される（III (8.13)）。
  $\mathrm{Pic}^0_U$ を単位元成分、$\mathrm{NS}_U=\mathrm{Pic}_U/\mathrm{Pic}^0_U$ とし、$\mathrm{Pic}^0(U)=\mathrm{Pic}^0_U(k)$、$\mathrm{NS}(U)=\mathrm{NS}_U(k)$ と置く。ここでの右肩の 0 は単位元成分の意味であり、最大可除部分群 $M_{\mathrm{div}}$ とは別物である。また、局所 Picard 群は第4章の相対 Picard 関手とは別の対象である。

主結果と証明

局所 Picard 群の分解

$\mathrm{NS}(U)$ の有限性と自己双対性

さらに次を引用する。

• (L2) 交叉行列 $M$ は負定値である（Mumford [Mum61]）。
• (L3) $\mathrm{NS}(U)$ は $M$ の定める準同型 $\mathbb Z^r\to\mathbb Z^r$ の余核と標準的に同型である（SGA 2 XIII）。

この $b$ は、格子 $(\mathbb Z^r,M)$ の 判別式形式 にほかならない（符号の規約を除く）。原論文は、この自己双対性が解消 $\tilde X$ の選び方によらないことも「容易に確かめられる」と述べるが、本頁ではこの点に立ち入らない。$\mathrm{NS}(U)$ という群そのものは $\mathrm{Pic}_U$ から $U$ だけで決まるので、解消に依存しうるのは対 $b$ の構成の側だけである。

Kummer 列による記述

さらに次を引用する。

• (L4) $\mathrm{Pic}^0(U)$ は $\ell$ 可除である（代数閉体上の連結可換代数群の構造による。原論文は Chevalley のセミナーを引く）。

原論文は 3 を「Kummer の完全列により同型」と一言で済ませ、$\Gamma(U,\mathcal O_U)^\times$ の $n$ 可除性の理由を書かない。本頁の補題の 2・3 がその中身である。
1 と 3 を合わせると、$H^1(U,\mu_n)$ は ${}_n\mathrm{Pic}^0(U)$ の ${}_n\mathrm{NS}(U)$ による拡大であり、2 により $H^2(U,\mu_n)$ は $\mathrm{NS}(U)/n$ の ${}_n\mathrm{Br}(U)$ による拡大である。$\mathrm{NS}(U)$ は有限なので $|{}_n\mathrm{NS}(U)|=|\mathrm{NS}(U)/n|$ である。

期待される双対性

原論文は続けて、$p=0$ を仮定し、次のように論じる。

• 杯積 $H^1(U,\mu_n)\times H^2(U,\mu_n)\to H^3(U,\mu_n^{\otimes2})\cong\mathbb Z/n$ は、局所双対定理（SGA 5 I）により完全な対である。
• この対で $\mathrm{NS}(U)/n$ と ${}_n\mathrm{Pic}^0(U)$ が互いに零化し、商の上に誘導される対 $\mathrm{NS}(U)/n\times{}_n\mathrm{NS}(U)\to\mathbb Z/n$ が $\mathrm{NS}(U)$ の自己双対性から来るものと一致する。
• そうであれば、残りの部分として ${}_n\mathrm{Br}(U)\times{}_n\mathrm{Pic}^0(U)\to\mathbb Z/n$ が完全な対になり、$\nu$ について極限をとって $\mathrm{Br}(U)(\ell)\cong\operatorname{Hom}(T_\ell\mathrm{Pic}^0(U),\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell)$、とくに $\mathrm{Br}(U)(\ell)$ は可除になる。

本頁の立場. 二番目の点（零化と両立性）を原論文の著者は確認しておらず、本頁も確認していない。確認には局所双対の対の明示的な形（跡写像の正規化を含む）が要る。また $H^3(U,\mu_n^{\otimes2})\cong\mathbb Z/n$ の同型は、$k$ が代数閉なので捻りを自明化して書いたものである。したがって本頁は、上の結論を定理としては述べない。
数え上げによる整合性. 局所双対が完全な対を与えるなら $|H^1(U,\mu_n)|=|H^2(U,\mu_n)|$ でなければならない。前の定理の最後の注意から、これは $|{}_n\mathrm{Br}(U)|=|{}_n\mathrm{Pic}^0(U)|$ と同値であり、期待される双対性と矛盾しない。これは証明ではなく、期待される形が位数の上で整合することの確認にとどまる。
Remarques (8.5) の内容. 原論文はこの節の終わりに、(i) 上の確認をしていないこと、(ii) $p=0$ は局所双対定理を使うためだけの仮定であること、(iii) 次元 2 の正則スキーム上のコホモロジー的純性の証明が当時の技術的な障害であったこと、(iv) $k$ が代数閉でない場合（有限体など）の分析が残ること、を述べている。

例と反例

$A_{m-1}$ 型の有理二重点. $k=\mathbb C$、$A=\mathbb C[[u,v,w]]/(uv-w^m)$（$m\ge2$）とする。最小解消の例外曲線は $m-1$ 本の $(-2)$ 曲線の鎖であり、$M$ は $A_{m-1}$ 型の Cartan 行列 $C$ の $-1$ 倍である。$\det C=m$ なので $\mathrm{NS}(U)$ は位数 $m$ である。$C$ は三重対角なので余核は第1基底ベクトル $e_1$ の像で生成され、$\mathrm{NS}(U)\cong\mathbb Z/m$ となる。$C^{-1}$ の成分は $(C^{-1})_{ij}=\min(i,j)\,(m-\max(i,j))/m$ なので
$$ b(\bar e_1,\bar e_1)=-(C^{-1})_{11}=-\frac{m-1}{m}\equiv\frac1m\pmod{\mathbb Z} $$
である。$m=2$ では $\mathrm{NS}(U)\cong\mathbb Z/2$ で $b(\bar e_1,\bar e_1)=1/2$ となる。
有理特異点では $\mathrm{Pic}^0_U$ が自明であり、局所類群が有限であることが Lipman [Lip69] によって示されている（引用）。したがってこの例では $\mathrm{Pic}(U)=\mathrm{NS}(U)\cong\mathbb Z/m$ で、前の定理から $H^1(U,\mu_n)\cong{}_n(\mathbb Z/m)$ である。期待される双対性が成り立つなら $\mathrm{Br}(U)(\ell)=0$ となる。
正則な場合. $A$ が正則（$A=k[[u,v]]$ など）なら、$A$ は一意分解整域なので $\mathrm{Pic}(U)=\operatorname{Cl}(A)=0$ である（局所Picard群 の記事の「正則な場合」）。解消は要らず（$r=0$）、$\mathrm{NS}(U)=0$ と整合する。
$k$ が代数閉でないと補題の 3 が破れる. $k=\mathbb R$、$A=\mathbb R[[u,v]]$、$n=2$ とすると、$-1\in A^\times$ は $A$ の中で平方根をもたない（剰余体 $\mathbb R$ で $-1$ が平方でないため）。したがって $A^\times/2\ne0$ であり、Kummer 列から $H^1(U,\mu_2)\to{}_2\mathrm{Pic}(U)$ は同型にならない（$\mathrm{Pic}(U)=0$ なのに $H^1(U,\mu_2)\ne0$）。破れているのは「剰余体が代数閉」という仮定だけで、完備性・正規性・次元は保たれている。

その後の発展

以下は原論文より後の展開である（2026年9月の時点での記述）。

• 有理特異点. Lipman [Lip69] は 2 次元の有理特異点を詳しく調べ、局所類群が有限であること、したがって上の $A_{m-1}$ の例のように $\mathrm{Pic}(U)=\mathrm{NS}(U)$ となることを示した。
• コホモロジー的純性. Remarques (8.5) が障害として挙げた正則スキーム上のコホモロジー的純性は、のちに Gabber の絶対純性定理として一般の正則スキームについて確立された（証明の公表として Fujiwara [Fuj02]）。これにより、原論文が $p=0$ と局所双対に頼った部分の前提のうち、純性の側は整った。
• $\mathrm{Br}$ と $\mathrm{Br}'$. 本頁では $U$ の次元が 1 なので第2章の結果（II (2.2)。留保なし）で足りるが、より一般に、豊富な可逆層をもつ準コンパクト準分離スキームで $\mathrm{Br}=\mathrm{Br}'$ となることが Gabber によって示され、de Jong が別証明を与えた。
• 本頁の「期待される双対性」の一般的な形とその証明の状況については、本書では立ち入らない。

原論文との対応表

参考文献

• [Gro68] A. Grothendieck, Le groupe de Brauer I, II, III, in: Dix exposés sur la cohomologie des schémas, North-Holland / Masson, 1968（本頁は III の pp. 148–151）。
• [SGA2] A. Grothendieck, Cohomologie locale des faisceaux cohérents et théorèmes de Lefschetz locaux et globaux (SGA 2), North-Holland, 1968.
• [Mum61] D. Mumford, The topology of normal singularities of an algebraic surface and a criterion for simplicity, Publications Mathématiques de l'IHÉS 9 (1961).
• [Lip69] J. Lipman, Rational singularities, with applications to algebraic surfaces and unique factorization, Publications Mathématiques de l'IHÉS 36 (1969).
• [Fuj02] K. Fujiwara, A proof of the absolute purity conjecture (after Gabber), in: Algebraic Geometry 2000, Azumino, Advanced Studies in Pure Mathematics 36, 2002.
• [CTS21] J.-L. Colliot-Thélène, A. N. Skorobogatov, The Brauer–Grothendieck Group, Springer, 2021.