6-1 Tate加群とBrauer群・Néron–Severi群の双対性

要約：代数閉体上の固有で滑らかな多様体 $X$ について、$\ell$ 進コホモロジー $H^2(X,\mathbb Z_\ell(1))$ が Néron–Severi 群と Brauer 群の Tate 加群をつなぐ完全列
$0\to\mathrm{NS}(X)\otimes\mathbb Z_\ell\to H^2(X,\mathbb Z_\ell(1))\to T_\ell\mathrm{Br}'(X)\to0$
を与えることを示す。曲面では、$V_\ell\mathrm{Br}(X)$ が $\mathrm{NS}(X)$ の直交補空間として非退化な二次形式をもち、その整数性が交叉形式の判別式で決まる。さらに Brauer 群の有限な部分 $\mathrm{Br}(X)(\ell)/\mathrm{Br}(X)(\ell)_{\mathrm{div}}$ は $\mathrm{NS}(X)$ の捩れと双対になる。原論文 III の §8.1〜§8.3 に当たる。

前提知識: Tate加群, ℓ進コホモロジー, Kummer完全列, Tate捻り, Néron–Severi群, 判別式形式

この頁で示すこと

以下、$\ell$ は考えるスキームの上で可逆な素数とする。

1. Brauer 群と Néron–Severi 群をつなぐ完全列（III (8.7)）。$\mathrm{Pic}(X)$ が有限生成な $\mathrm{NS}(X)$ の可除群による拡大で、$H^2(X,\mu_\ell)$ が有限なら
   $$ 0\to\mathrm{NS}(X)\otimes\mathbb Z_\ell\to H^2(X,\mathbb Z_\ell(1))\to T_\ell\mathrm{Br}'(X)\to0 $$
   は完全である。系として $H^2(X,\mathbb Z_\ell(1))_{\mathrm{tors}}\cong\mathrm{NS}(X)(\ell)$ であり、階数を比べて $B_2(X)=\rho(X)+\operatorname{corank}\mathrm{Br}'(X)(\ell)$ を得る（第2章の $B_2-\rho$ の式の別の見方）。
2. 曲面の場合の二次形式（III §8.2 の後半）。代数閉体上の固有で滑らかな連結曲面では、$V_\ell\mathrm{Br}(X)$ は $H^2(X,\mathbb Q_\ell(1))$ の中の $\mathrm{NS}(X)\otimes\mathbb Q_\ell$ の直交補空間と同一視され、杯積から非退化な二次形式をもつ。この形式が $T_\ell\mathrm{Br}(X)$ の上で $\mathbb Z_\ell$ に値をとるのは、$\mathrm{NS}(X)/\mathrm{NS}(X)_{\mathrm{tors}}$ の交叉形式の判別式が $\ell$ で割れないときに限り、そのとき $T_\ell\mathrm{Br}(X)$ は自己双対である。
3. 有限部分の双対性（III (8.8)〜(8.12)）。$\mathrm{Br}'(X)(\ell)/\mathrm{Br}'(X)(\ell)_{\mathrm{div}}\cong H^3(X,\mathbb Z_\ell(1))_{\mathrm{tors}}$ であり、曲面では
   $$ \mathrm{Br}(X)(\ell)/\mathrm{Br}(X)(\ell)_{\mathrm{div}}\cong\operatorname{Hom}\bigl(\mathrm{NS}(X)(\ell),\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell\bigr). $$
   1 は Kummer 列と有限群の極限だけで証明が閉じる。2 と 3 は Poincaré 双対性などの引用に依存する。

背景と動機

第2章で、代数閉体上の固有で滑らかな $X$ について $\mathrm{Br}'(X)(\ell)$ の余階数が $B_2-\rho$ に等しいことを見た。これは Brauer 群の「連続な部分」の大きさを与えるが、その部分がどのような構造をもつか、また残りの有限な部分が何で決まるかは語らない。
原論文 §8 は、この二つの問いに $\ell$ 進コホモロジーで答える。可除群 $(\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell)^r$ はそれ自体では構造を見せないが、Tate 加群 $T_\ell$ をとると階数 $r$ の自由 $\mathbb Z_\ell$ 加群になり、コホモロジーの杯積がその上に形式を与える。原論文は冒頭で、有限体上の曲面の場合（Tate–Shafarevich 群の双対性に結びつく「算術的」な場合）は Tate の講演 [Tat66] に譲り、基礎体が代数閉である「幾何的」な場合に限ると断っている。本頁もこの限定に従う。
曲面の場合の整数性の判定について、原論文は「容易に分かる」（III p. 146、on trouve aisément）とだけ書き、論証を与えない。本頁では格子の初等的な補題としてその中身を補う。

定義と準備

アーベル群の記号. アーベル群 $M$ について ${}_nM=\ker(n\colon M\to M)$、$M(\ell)=\bigcup_\nu{}_{\ell^\nu}M$、$M_{\mathrm{div}}$ を最大可除部分群とする。Tate加群 を
$$ T_\ell M=\varprojlim_\nu{}_{\ell^\nu}M\quad(\text{遷移は }\ell\text{ 倍}),\qquad V_\ell M=T_\ell M\otimes_{\mathbb Z_\ell}\mathbb Q_\ell $$
と定める。遷移写像が $\ell$ 倍であることは、以下のどの計算でも使う。

証明は Tate加群 の記事にある。要点は、有限な因子 $R$ の上では遷移の $\ell$ 倍を繰り返すと 0 になるので射影極限に寄与しないこと、したがって $T_\ell$ は可除部分だけを見ることである。この頁で使うのは、「$T_\ell M$ と $M(\ell)_{\mathrm{div}}$ は互いに他を決め、$M(\ell)$ との差は有限群である」という形である。
$\ell$ 進コホモロジー. 記号表のとおり $\mu_{\ell^\infty}=\varinjlim_\nu\mu_{\ell^\nu}$、
$$ H^i(X,\mathbb Z_\ell(j))=\varprojlim_\nu H^i(X,\mu_{\ell^\nu}^{\otimes j}) $$
とする（ℓ進コホモロジー、Tate捻り）。右辺は層のコホモロジーではなく、有限段の群の射影極限である。原論文は $\mathbb Z_\ell(1)$ を $\mathbb Z_\ell[1]$ と書く。

これも ℓ進コホモロジー の記事で証明される。筋だけを述べる。層の完全列 $0\to\mu_{\ell^\nu}\to\mu_{\ell^\infty}\xrightarrow{\ell^\nu}\mu_{\ell^\infty}\to0$ から $0\to N/\ell^\nu N\to H^i(X,\mu_{\ell^\nu})\to{}_{\ell^\nu}M\to0$ を得る。各項は有限なので、$\nu$ について射影極限をとっても完全性は保たれる（有限群の逆系では $\varprojlim^1=0$）。左端の極限は、上の命題の分解により $N/N_{\mathrm{div}}$ になる。右端は $T_\ell M$ で捩れをもたないので、列は分裂する。
なお、原論文は同じ列を「左端 $N/\ell^\nu N$」ではない形で印字しているが、右端が ${}_{\ell^\nu}M$ である以上、完全列になるのは上の形である。
Néron–Severi 群. 代数閉体 $k$ 上の固有な $X$ について、$\mathrm{Pic}^0(X)=\mathrm{Pic}^0_{X/k}(k)$、$\mathrm{NS}(X)=\mathrm{Pic}(X)/\mathrm{Pic}^0(X)$ とする（Néron–Severi群）。$\mathrm{NS}(X)$ が有限生成であること（基底の定理）と、$\mathrm{Pic}^0(X)$ が可除群であることは、本頁では引用として使う。原論文も、これらを定理としてではなく、次の定理の仮定として置いている。

主結果と証明

Brauer 群と Néron–Severi 群をつなぐ完全列

原論文は (a) を講演 II の (3.1) として引き、(b) の遷移の同定を書かない。(b) が無いと、右端の極限が Tate 加群であることが言えない。

代数閉体 $k$ 上の固有で滑らかな $X$ で $\ell\ne p$ なら、仮定 (H1)(H2) は満たされ（引用：Néron–Severi 群の有限生成性、$\mathrm{Pic}^0(X)$ の可除性、エタールコホモロジーの有限性）、$b=B_2(X)$ である。したがって系の 2 は $\operatorname{corank}\mathrm{Br}'(X)(\ell)=B_2-\rho$ を与える。1 と前の命題を合わせると、$\mathrm{NS}(X)(\ell)$ は $H^1(X,\mu_{\ell^\infty})/H^1(X,\mu_{\ell^\infty})_{\mathrm{div}}$ とも一致するはずで、実際 Kummer 列の低次の部分から $H^1(X,\mu_{\ell^\infty})\cong\mathrm{Pic}(X)(\ell)$（$\Gamma(X,\mathbb G_m)=k^\times$ が可除であることを使う）となり、その可除部分による商は $\mathrm{NS}(X)(\ell)$ である。二つの計算は整合する。

格子の補題

曲面の場合の議論は、次の $\mathbb Z_\ell$ 上の格子の補題に帰着する。以下、有限生成自由 $\mathbb Z_\ell$ 加群 $H$ 上の対称双線形形式 $\langle\ ,\ \rangle$ がユニモジュラーであるとは、$H\to\operatorname{Hom}(H,\mathbb Z_\ell)$ が同型であることをいう。部分加群 $N\subset H$ が飽和であるとは、$H/N$ が捩れをもたないことをいう。$N$ の判別式 $\operatorname{disc}N$ は基底に関する Gram 行列の行列式で、単数倍を除いて定まる。

この補題は 判別式形式 の記事の「直交補の判別式形式」と「商格子の整数性の判定」を $\mathbb Z_\ell$ 上で述べ直したものであり、詳しい証明はそちらにある。本頁で必要なのは 2 の「$\Leftarrow$ と $\Rightarrow$ の両方」で、とくに $\Rightarrow$ は判別式の $\ell$ 指数が指数の 2 乗だけ変わることを使う。原論文の「容易に分かる」はこの一段を指している。
計算例. $H=\mathbb Z_\ell e\oplus\mathbb Z_\ell f$、$\langle e,e\rangle=\langle f,f\rangle=0$、$\langle e,f\rangle=1$（双曲平面。ユニモジュラー）とし、$a\in\mathbb Z_\ell\smallsetminus\{0\}$ について $N=\mathbb Z_\ell(e+af)$ と置く。$H=N\oplus\mathbb Z_\ell f$ なので $N$ は飽和で、$\operatorname{disc}N=\langle e+af,e+af\rangle=2a$。$\langle se+tf,e+af\rangle=sa+t$ だから $N^\perp=\mathbb Z_\ell(e-af)$ である。$\Lambda=H/N$ は $\bar f$ で生成され、$e-af=(e+af)-2af$ の像は $-2a\bar f$ である。よって $[\Lambda:N^\perp]=\ell^{v_\ell(2a)}$ で、補題の 1 のとおりである。$\bar f$ は $\Lambda\otimes\mathbb Q_\ell$ で $(e-af)/(-2a)$ に対応するので
$$ \beta(\bar f,\bar f)=\frac{\langle e-af,e-af\rangle}{4a^2}=\frac{-2a}{4a^2}=-\frac1{2a} $$
であり、これが $\mathbb Z_\ell$ に属するのは $2a$ が $\ell$ 進単数のときに限る。$\ell=2$ なら $a$ をどう選んでも $\beta$ は整数値にならない。

曲面の場合の二次形式

原論文は、次元が 3 以上のときも、偏極の類 $\xi$ を使って $(x,y)\mapsto x\cdot y\cdot\xi^{n-2}$ と置けば同様の結果がある、と一言付け加えている。本頁ではこの場合を扱わない。

有限な部分の双対性

原論文の (8.8)(8.9) は左辺を $\ell$ 準素成分の記号なしに印字しているが、右辺が $\ell$ 準素なので、上のように $\ell$ 準素成分と読む。また (8.11)(8.12) は $\mathrm{Br}$、(8.8)(8.9) は $\mathrm{Br}'$ と書き分けが揺れているが、曲面では (D4) により差は無い。
$\ell$ を $p$ 以外のすべての素数にわたらせると、$\mathrm{Br}(X)/\mathrm{Br}(X)_{\mathrm{div}}$ の素数 $p$ と素な部分が $\mathrm{NS}(X)_{\mathrm{tors}}$ の $p$ と素な部分の双対であることが分かる。

例と反例

射影平面. $X=\mathbb P^2_k$ では $\mathrm{NS}(X)=\mathbb Z h$、$h^2=1$、$B_2=\rho=1$ なので $T_\ell\mathrm{Br}(X)=0$。$\mathrm{NS}(X)$ は捩れをもたないので有限部分も 0 で、$\mathrm{Br}(X)(\ell)=0$（$\ell\ne p$）。
二つの楕円曲線の積. $E,E'$ を $k$ 上の互いに同種でない楕円曲線、$X=E\times E'$ とする。Künneth の公式により $B_2(X)=1+4+1=6$ である。$\mathrm{NS}(X)$ は $e_1=E\times\{\mathrm{pt}\}$、$e_2=\{\mathrm{pt}\}\times E'$ で張られる階数 2 の自由加群で（$\operatorname{Hom}(E,E')=0$ による。引用）、交叉行列は $\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$、判別式は $-1$ である。したがって $\operatorname{corank}\mathrm{Br}(X)(\ell)=4$、$T_\ell\mathrm{Br}(X)$ はすべての $\ell\ne p$ で自己双対であり、$\mathrm{NS}(X)$ が捩れをもたないので $\mathrm{Br}(X)(\ell)\cong(\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell)^4$ である。
楕円曲線の自己積. $E$ を虚数乗法をもたない楕円曲線、$X=E\times E$、$p\ne2$ とする。$\mathrm{NS}(X)$ は $e_1,e_2$ と $\delta=\Delta-e_1-e_2$（$\Delta$ は対角線）で張られることが知られている（引用）。$\Delta\cdot e_1=\Delta\cdot e_2=1$、$\Delta^2=0$ から $\delta\cdot e_1=\delta\cdot e_2=0$、$\delta^2=-2$ となり、交叉形式は双曲平面と $\langle-2\rangle$ の直和で判別式は $2$ である。$B_2=6$、$\rho=3$ なので $T_\ell\mathrm{Br}(X)$ は階数 3 で、定理により、その上の形式は $\ell$ が奇数なら自己双対、$\ell=2$ なら $\mathbb Z_2$ に値をとらない。この例では、判別式の条件を外すと自己双対性という結論が実際に破れる。
Enriques 曲面. 複素数体上の Enriques 曲面 $X$ では $B_2=\rho=10$ で、$\mathrm{NS}(X)_{\mathrm{tors}}\cong\mathbb Z/2$（標準因子の類）であることが知られている（引用）。したがって $\mathrm{Br}(X)$ は有限で、有限部分の双対性から $\mathrm{Br}(X)\cong\mathbb Z/2$ となる。これは Enriques 曲面の Brauer 群についての既知の結果と一致する。
有限性の仮定が要ること. Tate 加群の議論は ${}_\ell M$ の有限性に頼っている。$M=\bigoplus_{n\ge1}\mathbb Z/\ell$ では ${}_\ell M$ は無限だが、遷移の $\ell$ 倍が 0 なので $T_\ell M=0$ である。したがって「$T_\ell M$ が有限階数の自由加群」から ${}_\ell M$ の有限性は出ない。比較の命題の証明（有限群の逆系で $\varprojlim^1=0$ となること）は (H2) のような有限性に頼っており、その有限性を $T_\ell$ の側から取り戻すことはできない。

その後の発展

以下は原論文より後の展開である（2026年9月の時点での記述）。

• 有限体上の曲面. 原論文が Tate の講演 [Tat66] に譲った算術的な場合では、有限体上の曲面について、因子に関する Tate予想 が $\mathrm{Br}(X)$ の有限性と同値であることが Tate と Milne [Mil75] によって示され、$\mathrm{Br}(X)$ が有限なら、その位数がゼータ関数の特殊値と $\mathrm{NS}(X)$ の判別式に結びつく（Artin–Tate の公式）。本頁の「判別式が $T_\ell\mathrm{Br}$ 上の形式の整数性を決める」という現象は、その幾何的な対応物である。
• 超越格子. 複素数体上の曲面では、$\mathrm{NS}(X)$ の $H^2(X,\mathbb Z)$ における直交補（超越格子）を使い、$\mathrm{Br}(X)$ の可除部分を超越格子から記述することが標準的になっている。
• 数体上の有限性. 数体上の Abel 多様体と K3 曲面について、Galois 不変な $\mathrm{Br}(X_{\bar k})$ の部分の有限性が Skorobogatov–Zarhin [SZ08] によって示された。
• 教科書的な整理としては Colliot-Thélène–Skorobogatov [CTS21] がある。

原論文との対応表

参考文献

• [Gro68] A. Grothendieck, Le groupe de Brauer I, II, III, in: Dix exposés sur la cohomologie des schémas, North-Holland / Masson, 1968, pp. 46–188（本頁は III の pp. 143–147）。
• [Tat66] J. Tate, On the conjectures of Birch and Swinnerton-Dyer and a geometric analog, Séminaire Bourbaki, exposé 306, 1966.
• [Mil75] J. S. Milne, On a conjecture of Artin and Tate, Annals of Mathematics 102 (1975).
• [Mil80] J. S. Milne, Étale Cohomology, Princeton University Press, 1980.
• [SZ08] A. N. Skorobogatov, Yu. G. Zarhin, A finiteness theorem for the Brauer group of abelian varieties and K3 surfaces, Journal of Algebraic Geometry 17 (2008).
• [CTS21] J.-L. Colliot-Thélène, A. N. Skorobogatov, The Brauer–Grothendieck Group, Springer, 2021.