0-1 前提知識と読み方

要約。本書を読むのに要る分野（可換環論とホモロジー代数、スキーム論、層とコホモロジー、Galois コホモロジー、中心単純環、代数曲線と代数曲面、$\ell$ 進の道具、Hodge 理論の初歩）を一覧にし、各概念の要点を数行で述べる。あわせて、本書のどの頁で何のために使うか、用語解説記事と標準的な教科書のどこを見ればよいかを案内する。最後に、頁ごとに要る前提の対応表、読む順序の案、全頁に共通する記号と約束をまとめる。

この頁の使い方

本書は、Grothendieck の連続講演「Le groupe de Brauer」I・II・III（『Dix exposés sur la cohomologie des schémas』、1968 年所収）を道案内にして、スキームの Brauer 群の理論を主題ごとに解説する。原論文は、当時の読者が EGA と SGA 4 を手元に置いていることを前提に書かれており、多くの段を「よく知られている」「直ちに分かる」で済ませる。本書の各頁はその段を補うが、補うときにも、エタールコホモロジーの基本定理や代数曲面の交叉理論などは引用として使う。この頁は、その引用される側の知識を整理したものである。
使い方は三通りを想定している。

1. 最初に通して読む。次の「本書を読むのに要る分野」で全体の地図をつかみ、「各概念の要点」は見出しだけ拾う。
2. 頁を読んでいて分からない語に出会ったら引く。「各概念の要点」は分野ごとに並べ、各項目に「使う頁」を付けた。
3. どこから読むかを決める。「頁ごとの前提の対応表」と「読む順序の案」を見る。
   すべての概念を先に学んでから本文に入る必要はない。とくに第 1 章と第 2 章は、可換環論・スキーム論・層コホモロジーの基本と、体の Galois コホモロジーの初歩があれば読み始められる。$\ell$ 進の道具、曲面の交叉理論、Hodge 理論は、第 2 章の後半と第 6・7 章に入る前に補えばよい。

本書を読むのに要る分野

分野ごとに、本書で要る水準の目安を示す。「◎」は本書の多くの頁で証明の中で使うもの、「○」は一部の頁で使うもの、「△」は背景や動機として触れるだけのものである。

各概念の要点

各項目は「定義の要点」「本書での使いどころ」「案内」の順に書く。案内の教科書は略号で示し、書誌は末尾の「参考文献」にまとめた。用語解説記事が未作成のものも、リンクの形で示してある。

1. 可換環論

平坦性と忠実平坦性.$A$ 加群 $M$ が平坦であるとは、$-\otimes_AM$ が完全列を保つことをいう。さらに $M\otimes_AN=0$ なら $N=0$ となるとき忠実平坦という。忠実平坦な $A\to B$ に沿っては、加群とその間の写像の性質（同型である、有限生成である、など）を $B$ 上で確かめてよい。

• 使いどころ：fppf 位相の被覆（1-3、4-1、4-2）、降下（1-3、1-4）、Amitsur 複体の完全性（4-2）。
• 案内：[AM] 第 2・3 章、[Mat] 第 3 章（§7）、[Har] III.9。

完備化と Hensel 局所環.局所環 $(A,\mathfrak m,k)$ が Hensel であるとは、モニック多項式の剰余体での単根が $A$ の根に持ち上がることをいう。同値に、$A$ 上の有限代数が局所環の有限個の積に分解する。剰余体が分離閉な Hensel 局所環を狭義 Hensel 局所環と呼ぶ。完備局所環は Hensel である。スキームの点 $x$ に対して、Hensel 化 $\mathcal O_{X,x}^{\mathrm h}$ と狭義 Hensel 化 $\mathcal O_{X,x}^{\mathrm{sh}}$ がある。後者はエタール位相での「点の十分小さな近傍」の役を果たす。

• 使いどころ：Hensel 局所環の Brauer 群は剰余体の Brauer 群に等しい（1-3）。エタール層の茎と高次順像の茎の計算（2-1、3-2、4-1、4-2、5-1）。Hensel 離散付値環の上の計算（3-2、3-3、3-4）。
• 案内：Hensel局所環、狭義Hensel局所環、[Mil] 第 I 章 §4、[AM] 第 10 章（完備化）、[Stacks]「More on Algebra」の Hensel 環の節。

正則局所環・一意分解性・離散付値環・正規環.ネーター局所環 $(A,\mathfrak m)$ が正則であるとは、$\dim A=\dim_k\mathfrak m/\mathfrak m^2$ となることをいう。正則局所環は一意分解整域である（Auslander–Buchsbaum の定理）。次元 1 の正則局所環が離散付値環である。正規ネーター整域は、高さ 1 の素イデアルでの局所化（離散付値環）の共通部分に等しい。この事実は「余次元 2 の点を越えて関数が延びる」（Hartogs 型の性質）の代数版であり、本書で繰り返し使う。

• 使いどころ：正則スキームでは $H^2(X,\mathbb G_m)$ が捩れ群になり、Brauer 群が関数体の Brauer 群に埋め込まれる（2-1）。純性（5-1）、双有理不変性（5-2）、正規曲面特異点（6-2）。
• 案内：正則スキーム、Noether環、[AM] 第 9・11 章、[Mat] 第 8 章（§19・§20）。

**japonais な環と excellent 環.**ネーター整域が japonais であるとは、分数体の有限次拡大での整閉包が有限加群になることをいう。excellent 環はその強い形で、完備化との相性がよい。

• 使いどころ：3-3・3-4 で、近似定理を使うための仮定として現れる。5-1 の標数 0 の場合にも現れる。
• 案内：[Mat] 第 11 章（§32）。本書の範囲では、定義を知っていれば足りる。

2. ホモロジー代数

**長完全列と導来関手.**アーベル圏の短完全列から、左完全関手の右導来関手の長完全列が得られる。層のコホモロジーは大域切断の関手の右導来関手である。

• 使いどころ：全頁。とくに Kummer 列の長完全列（2-2）と、局所コホモロジーの長完全列（5-1、7-2）。
• 案内：完全列、導来関手、Ext関手、[Wei] 第 2・3 章。

帰納極限と射影極限.アーベル群の有向帰納極限は完全である。射影極限は左完全にすぎず、その右導来関手 $\varprojlim^1$ が現れる。射影系が Mittag-Leffler 条件（像が十分先で安定する）をみたせば $\varprojlim^1=0$ である。

• 使いどころ：$\mu_{\ell^\infty}=\varinjlim\mu_{\ell^\nu}$ と $\mathbb Z_\ell(1)=\varprojlim\mu_{\ell^\nu}$ の扱い（2-2、6-1）、形式的な分裂の代数化（3-3）。
• 案内：Mittag-Leffler条件、[Wei] 第 3 章（§3.5）。

**スペクトル系列.**本書に現れるのは次の四つの型である。

1. Leray のスペクトル系列 $E_2^{p,q}=H^p(Y,R^qf_*F)\Rightarrow H^{p+q}(X,F)$ と、その低次の完全列
   $$0\to H^1(Y,f_*F)\to H^1(X,F)\to H^0(Y,R^1f_*F)\to H^2(Y,f_*F)\to H^2(X,F).$$
2. Hochschild–Serre のスペクトル系列：有限群 $G$ の Galois 被覆 $X'\to X$ について $H^p(G,H^q(X',F))\Rightarrow H^{p+q}(X,F)$。
3. 局所から大域へのスペクトル系列 $H^p(X,\mathcal H^q_Y(F))\Rightarrow H^{p+q}_Y(X,F)$。
4. 余次元のスペクトル系列（7-2 で構成する）。

• 使いどころ：1 は 2-1、3-2、3-4、4-1 の骨格である。2 は 2-1、3 は 5-1、4 は 7-2。
• 案内：スペクトル系列、Lerayスペクトル系列、[Wei] 第 5 章、第 6 章（Lyndon–Hochschild–Serre のスペクトル系列）。

Hochschild コホモロジー.$k$ 代数 $A$ と両側加群 $M$ に対する $H^n(A,M)=\operatorname{Ext}^n_{A\otimes A^{\mathrm{op}}}(A,M)$。中心単純環では $n\ge1$ で消え、これが変形の剛性を与える。

• 使いどころ：1-2 の無限小の議論だけ。
• 案内：[Wei] 第 9 章。

3. スキーム論

平坦射・有限表示・fppf.射 $f\colon X\to Y$ が平坦であるとは、各点で局所環の間の準同型が平坦であることをいう。平坦かつ局所有限表示で全射な射の族を被覆とする位相が fppf 位相（次の節）である。

• 使いどころ：1-3、1-4、第 4 章。
• 案内：[Har] III.9、[Liu] 第 4 章、[Poo] 第 3・4 章。

**エタール射.**平坦・不分岐・局所有限表示な射。同値に、相対次元 0 の滑らかな射。体上のエタール代数は有限分離拡大体の有限個の積である。エタール射は「代数的な局所同相」の役を果たし、エタール位相の開集合になる。

• 使いどころ：全頁。Azumaya 代数と Severi–Brauer スキームはエタール局所に自明なものとして定義される（1-3、1-4）。
• 案内：[Mil] 第 I 章、[Fu]、[Stacks]「Étale Morphisms of Schemes」。

**滑らかな射.**平坦・局所有限表示で、幾何的ファイバーが正則な射。各点の近傍で、アフィン空間へのエタール射を経由する。Hensel 局所環の上の滑らかなスキームでは、剰余体の点が持ち上がる。

• 使いどころ：滑らかな群スキームについての比較定理（4-2）、体上滑らかな場合の純性（5-1）、不分岐コホモロジーの標準設定（7-1）。
• 案内：滑らかな射、[Har] III.10、[Liu] 第 4・6 章。

**固有射.**分離的・有限型・普遍閉な射。付値判定法（離散付値環の分数体の点が離散付値環全体へ一意に延びる）が使える。

• 使いどころ：有限性定理と固有底変換定理を使う場面（2-2、7-x）。有理写像が余次元 1 の点で定義されること（5-2）。3-3 の曲面は Hensel 離散付値環上固有である。
• 案内：固有射、[Har] II.4。

射影化とブローアップ.局所自由加群 $E$ に対し $\mathbb P(E)=\operatorname{Proj}\operatorname{Sym}E$（本書は Grothendieck の規約をとる）。閉部分スキーム $Y\subset X$（イデアル層 $\mathcal I$）のブローアップは $\mathrm{Bl}_YX=\operatorname{Proj}\bigoplus_n\mathcal I^n$ であり、$Y$ の逆像は Cartier 因子（例外因子）になる。正則な $X$ の正則な中心（余次元 $c$）のブローアップでは、例外因子は中心の上の $\mathbb P^{c-1}$ 束である。

• 使いどころ：Severi–Brauer スキーム（1-4）、双有理不変性の第一の証明（5-2）、特異点解消（6-2、7-1）。
• 案内：ブローアップ、双有理写像、[Har] II.7、V.3、V.5、[Liu] 第 8 章。

群スキームと Picard スキーム.$\mathbb G_m$、$\mu_n$、$\mathrm{GL}_r$、$\mathrm{PGL}_r$、標数 $p$ の $\alpha_p$ など。$Y$ 上の可換群スキームは fppf 層を定める。体上固有なスキーム $X$ の Picard 関手は、局所有限型の群スキーム $\mathrm{Pic}_{X/k}$ で表現される。

• 使いどころ：$\mathrm{PGL}_r=\operatorname{Aut}(M_r)=\operatorname{Aut}(\mathbb P^{r-1})$（1-3、1-4）、相対 Picard 群と障害（4-1）、比較定理（4-2）、局所 Picard スキーム（6-2）。
• 案内：群スキーム、Picardスキーム、相対Picard関手、Weil制限、[FGAex] の Kleiman の部、[Poo] 第 5 章。

忠実平坦降下.忠実平坦かつ準コンパクトな射 $Y'\to Y$ に沿って、準連接層・アフィン射とその間の射は「降下データ」から一意に復元される。

• 使いどころ：Azumaya 代数と $\mathrm{PGL}_r$ トーサーの対応（1-3）、Severi–Brauer スキームの分類（1-4）、fppf 位相で群スキームが層になること（第 4 章）。
• 案内：忠実平坦降下、[FGAex] の Vistoli の部、[Poo] 第 4 章。

極限の議論.有限表示の対象と射は、アフィンなスキームの射影系の極限と交換する。たとえば $\mathcal O_{X,x}^{\mathrm{sh}}$ の上で成り立つ有限表示の同型は、あるエタール近傍の上で既に成り立つ。

• 使いどころ：1-3、2-1、4-2 で、狭義 Hensel 局所環での結果をエタール近傍に広げる段。
• 案内：EGA IV の §8（本書の頁でも引用として示す）、[Stacks]「Limits of Schemes」。

形式的関数定理と存在定理.完備局所環上固有な $X$ について、$X$ 上の連接層は、閉ファイバーの無限小近傍の上の連接層の両立する系と同じものである（Grothendieck の存在定理）。

• 使いどころ：3-3（Artin の定理）だけ。
• 案内：形式的関数定理、[Har] III.11、EGA III。

**特異点解消.**標数 0 では任意の多様体に特異点解消がある（Hironaka）。次元 2 では任意の標数で、excellent な 2 次元スキームに解消がある（Abhyankar、Lipman）。

• 使いどころ：6-2 の設定、7-1 のコンパクト化の存在、7-2 の niveau の議論。本書では「解消がある」ことを仮定として明示して使う。
• 案内：特異点解消。

4. 層とコホモロジー

位相空間の層コホモロジー.パラコンパクト空間では、連続関数の層は細層であり、正の次数のコホモロジーをもたない。指数列 $0\to\mathbb Z\to\mathcal O\to\mathcal O^\times\to0$ から $H^i(X,\mathcal O^\times)\cong H^{i+1}(X,\mathbb Z)$（$i\ge1$）が出る。

• 使いどころ：1-1 だけ。1-1 ではさらに、Eilenberg–MacLane 空間と Bott の計算を引用する。
• 案内：[Hat] 第 3・4 章、[Har] III.1–III.4。

Grothendieck 位相とサイト.圏と、各対象の「被覆」の族を指定したものをサイトという。前層が層であるとは、各被覆について貼り合わせの条件をみたすことをいう。本書では Zariski サイト $X_{\mathrm{Zar}}$、エタールサイト $X_{\mathrm{et}}$、fppf サイト $X_{\mathrm{fppf}}$ を使う。$X$ 上のスキームが表す関手は fppf 層である（Grothendieck の降下定理）。

• 使いどころ：全頁。1-1 の注意では、局所環付きトポスという一般形も現れる。
• 案内：Grothendieck位相、表現可能関手、[FGAex] の Vistoli の部、[Mil] 第 II 章。

エタールコホモロジー.エタールサイトの層の圏での大域切断の関手の導来関手 $H^i(X_{\mathrm{et}},F)$。層が $0$ であることは、幾何的点での茎がすべて $0$ であることと同値であり、茎は狭義 Hensel 化の上の値である。狭義 Hensel 局所環のスペクトルでは正の次数のコホモロジーが消える。本書が引用する基本定理は、固有底変換定理、滑らか底変換定理、有限性定理、Poincaré 双対性、コホモロジー的純性（Gabber の絶対純性を含む）、Lefschetz の跡公式、複素数体上の比較定理（エタールコホモロジーと特異コホモロジーの一致）である。

• 使いどころ：全頁。
• 案内：エタールコホモロジー、[Mil]、[Fu]、SGA 4½ 所収の「Arcata」（最短の入門）、[Stacks]「Étale Cohomology」。

Čech コホモロジーと非可換 $H^1$.被覆 $U\to X$ の Čech 複体 $G(U)\rightrightarrows G(U\times_XU)\cdots$ のコホモロジー。非可換な群層 $G$ でも $H^1(X,G)$ は点付き集合として定義でき、$G$ トーサーの同型類と一致する。中心拡大 $1\to A\to E\to G\to1$ からは余境界 $\delta\colon H^1(X,G)\to H^2(X,A)$ が定まる。

• 使いどころ：Azumaya 代数の類を $\delta\colon H^1(X,\mathrm{PGL}_r)\to H^2(X,\mathbb G_m)$ で送ることが本書全体の出発点である（1-1、1-3、1-4）。比較定理の証明（4-2）。
• 案内：トーサー、Čechコホモロジー、[Mil] 第 III 章（§2・§4）、[Ser-GC] 第 I 章 §5。

局所コホモロジー.閉集合 $Y\subset X$ に台をもつ切断の関手の導来関手 $H^i_Y(X,F)$ と、その層版 $\mathcal H^i_Y(F)$。長完全列 $\cdots\to H^i_Y(X,F)\to H^i(X,F)\to H^i(X\smallsetminus Y,F)\to H^{i+1}_Y(X,F)\to\cdots$ と、切除（$Y$ の近傍だけで決まること）が基本である。

• 使いどころ：Brauer 群の純性は $\mathcal H^3_Y(\mathbb G_m)=0$ という形で述べられる（5-1）。余次元フィルトレーションのスペクトル系列の初項（7-2）。
• 案内：局所コホモロジー、Brauer群の純性、[Wei]（環の局所コホモロジーを扱う箇所）、SGA 2。

Kummer 列.$n$ が $X$ 上可逆なら、エタール層の完全列 $1\to\mu_n\to\mathbb G_m\xrightarrow{\,n\,}\mathbb G_m\to1$ がある。$n$ が可逆でなくても、fppf 層としては完全である。長完全列から $0\to\mathrm{Pic}(X)/n\to H^2(X,\mu_n)\to{}_n\mathrm{Br}'(X)\to0$ が出る。これが Brauer 群の $\ell$ 部分を捩れ係数のコホモロジーで計算する唯一の入口である。

• 使いどころ：2-2 以後のほとんどの頁。
• 案内：Kummer完全列、[Mil] 第 II・III 章。

fppf 位相と比較定理.fppf サイトでのコホモロジー $H^i(X_{\mathrm{fppf}},F)$。滑らかな可換群スキーム $G$ については $H^i(X_{\mathrm{et}},G)\cong H^i(X_{\mathrm{fppf}},G)$ である（本書 4-2 で証明する）。したがって $\mathbb G_m$ 係数ではどちらで計算してもよく、$\mu_p$ のような滑らかでない群で違いが現れる。

• 使いどころ：第 4 章、および $\operatorname{Az}_r(X)\cong H^1(X,\mathrm{PGL}_r)$ がどちらの位相でも成り立つこと（1-3）。
• 案内：fppf位相、エタールコホモロジーとfppfコホモロジーの比較定理、[Mil] 第 III 章 §3、[Poo] 第 6 章。

5. Galois コホモロジー

射有限群のコホモロジー.体 $k$ と離散 Galois 加群 $M$ について $H^i(k,M)=H^i(\operatorname{Gal}(k^{\mathrm s}/k),M)$（連続コチェインによる）。これは $\operatorname{Spec}k$ のエタールコホモロジーに等しい。正の次数では捩れ群である。Hilbert の定理 90 により $H^1(k,\mathbb G_m)=0$ であり、体の Brauer 群は $\mathrm{Br}(k)=H^2(k,\mathbb G_m)$ と同一視される。

• 使いどころ：全頁。とくに生成点への制限（2-1、3-2、5-x、7-1）。
• 案内：Galoisコホモロジー、[Ser-GC] 第 I・II 章、[Ser-LF] 第 X 章、[GS] 第 3・4 章、[Wei] 第 6 章（§6.11）。

コホモロジー次元と次元 1 以下の体.射有限群 $G$ の $\ell$ コホモロジー次元 $\operatorname{cd}_\ell(G)$ は、$\ell$ 準素な捩れ加群のコホモロジーが消え始める次数である。体のすべての有限次拡大の Brauer 群が $0$ のとき、その体は次元 1 以下であるという。有限体、代数閉体上の 1 変数関数体（Tsen の定理）がその代表である。

• 使いどころ：3-1 の主題。3-2、3-3（コホモロジー次元による $\mathbb G_m$ 係数の消滅）、4-1。
• 案内：コホモロジー次元、[Ser-GC] 第 I 章 §3、第 II 章 §3。

局所体と大域体の類体論.非アルキメデス局所体 $K$ では不変量写像 $\mathrm{Br}(K)\cong\mathbb Q/\mathbb Z$ がある。大域体 $K$ では完全列 $0\to\mathrm{Br}(K)\to\bigoplus_v\mathrm{Br}(K_v)\to\mathbb Q/\mathbb Z\to0$ がある（実素点では $\mathrm{Br}(\mathbb R)=\mathbb Z/2$、複素素点では $0$）。

• 使いどころ：3-2（整数環の Brauer 群、$\mathrm{Br}(\mathbb Z)=0$）、3-4（有限体上の曲線束）。
• 案内：類体論、[Ser-LF] 第 XII 章、[CF] 第 VI・VII 章。

Tate–Shafarevich 群.大域体 $K$ 上のアーベル多様体 $A$ について、$Ш(A/K)=\ker\bigl(H^1(K,A)\to\prod_vH^1(K_v,A)\bigr)$。局所的にはすべて自明だが大域的に自明でないトーサーの群である。

• 使いどころ：3-4（曲線束の Brauer 群との比較）、6-1 と 7-3 の背景（Artin–Tate の予想）。
• 案内：Tate–Shafarevich群、[Sil] 第 X 章。

Frobenius.有限体 $\mathbb F_q$ 上の $X$ について、$\operatorname{Gal}(\bar{\mathbb F}_q/\mathbb F_q)$ は $H^i(X_{\bar k},\mathbb Q_\ell)$ に作用する。幾何的 Frobenius（算術的 Frobenius の逆）の固有値を調べるのが Weil 予想である。

• 使いどころ：7-3。6-1 でも有限体の場合に触れる。
• 案内：Weil予想、[Har] 付録 C。

6. 非可換代数

中心単純環と体の Brauer 群.体 $k$ 上の有限次元代数で、両側イデアルが自明で中心が $k$ のもの。次元は平方数 $r^2$ で、代数閉包に係数拡大すると $M_r$ になり、分離閉包の有限部分体で既に分裂する。Wedderburn の定理により $A\cong M_n(D)$（$D$ は中心斜体）と一意に書け、$D$ の類が $[A]\in\mathrm{Br}(k)$ である。Skolem–Noether の定理により自己同型はすべて内部である。

• 使いどころ：1-2 の主題であり、第 1 章全体の出発点。次元 1 以下の体（3-1）の被約ノルム、四元数環の剰余（5-1）。
• 案内：中心単純環、Brauer群、[GS] 第 1・2・4 章。1-2 の頁自体が、この節の内容を証明つきで述べる。

**Azumaya 代数と Severi–Brauer 多様体.**Azumaya 代数は中心単純環をスキームの上に広げたもの、Severi–Brauer 多様体は体上の「射影空間の捻れた形」である。どちらも本書の第 1 章で定義から扱うので、前提として要るのは体上の Severi–Brauer 多様体の概念（Châtelet の定理：有理点をもてば射影空間に同型）程度である。

• 使いどころ：1-3、1-4、3-3、4-1。
• 案内：Azumaya代数、Severi–Brauer多様体、[GS] 第 5 章。

森田同値.$\operatorname{End}(V)$ 上の加群の圏は $\mathcal O$ 加群の圏と同値である。自己準同型代数の同型が可逆層のテンソルの違いを除いて加群の同型から来る、という形で使う。

• 使いどころ：1-3、3-3。

7. 代数曲線と代数曲面

Picard 群と因子.$\mathrm{Pic}(X)=H^1(X,\mathbb G_m)$ は可逆層の同型類の群で、Zariski・エタール・fppf のどの位相で計算しても同じである。正規なスキームでは Weil 因子、正則なスキームでは Cartier 因子と Weil 因子が一致し、$\mathrm{Pic}$ は因子類群になる。

• 使いどころ：全頁。Kummer 列で $\mathrm{Br}'$ と並ぶ項（2-2）、因子の層の完全列（2-1、3-2）。
• 案内：Picard群、[Har] II.6、[Liu] 第 7 章。

Picard スキームと Néron–Severi 群.代数閉体 $k$ 上固有な $X$ について、$\mathrm{Pic}^0(X)$ を Picard スキームの単位元成分の $k$ 点とし、$\mathrm{NS}(X)=\mathrm{Pic}(X)/\mathrm{Pic}^0(X)$ と置く。$\mathrm{NS}(X)$ は有限生成であり（Néron–Severi の定理）、その階数が Picard 数 $\rho$ である。$\mathrm{Pic}^0(X)$ は $\operatorname{char}k$ と異なる $\ell$ で割り切れる。

• 使いどころ：$\mathrm{Br}'(X)(\ell)$ の余階数が $B_2-\rho$ になること（2-2）、Tate 加群の完全列 $0\to\mathrm{NS}(X)\otimes\mathbb Z_\ell\to H^2(X,\mathbb Z_\ell(1))\to T_\ell\mathrm{Br}'(X)\to0$（6-1）、局所版（6-2）。
• 案内：Néron–Severi群、Picardスキーム、[FGAex] の Kleiman の部、[Ful] 第 19 章。

曲面の交叉理論.体上射影的な正則曲面 $X$ の上で、因子の交叉数 $D\cdot E$ が定まり、$\mathrm{NS}(X)$ 上の対称双線形形式を与える（Hodge 指数定理により符号は $(1,\rho-1)$）。曲線束の連結なファイバーについて、その成分の交叉行列は半負定値で、核（有理係数）はファイバー全体の類で張られる（Zariski の補題）。正規曲面特異点の解消の例外曲線の交叉行列は負定値である（Mumford）。

• 使いどころ：3-4（ファイバーの重複度と $d_y$）、6-1（$\mathrm{NS}$ 上の二次形式と判別式）、6-2（交叉行列の余核）。
• 案内：交叉理論、判別式形式、[Har] V.1、[Liu] 第 9 章、[Ful] 第 2 章。

曲線束・重複ファイバー・Néron モデル.正則な 1 次元の底 $Y$ の上の固有平坦な射 $f\colon X\to Y$（$X$ は正則な曲面）を曲線束と呼ぶ。閉ファイバーは重複度つきの成分の和 $\sum a_jC_j$ に分かれる。生成ファイバーのヤコビアンは、$Y$ 上の Néron モデルという「滑らかで分離的な最良の延長」をもつ。

• 使いどころ：3-4 だけ。3-3 の Artin の定理も同じ設定の局所版である。
• 案内：Néronモデル、重複ファイバー、[BLR] 第 1・9 章、[Liu] 第 9・10 章。

曲線の基本.代数閉体上の固有滑らかな連結曲線 $X$ では、$H^2(X,\mu_n)\cong\mathbb Z/n$ で、$\mathrm{Pic}(X)/n\to H^2(X,\mu_n)$ は次数を $n$ で割った余りである。したがって $\mathrm{Br}(X)=0$ が Kummer 列からも出る（2-2。3-1 は被約でない曲線を含めて別の道で示す）。

• 使いどころ：2-2、3-1、4-1。
• 案内：[Mil] の曲線のコホモロジーを扱う節、[Har] 第 IV 章。

Betti 数と Lefschetz の公式.$B_i=\operatorname{rank}_{\mathbb Z_\ell}H^i(X_{\bar k},\mathbb Z_\ell)$ は、$X$ が固有滑らかなら $\ell$ によらない（一般の次元では Weil 予想と底変換から出る）。Poincaré 双対性により $B_i=B_{2d-i}$（$d=\dim X$）。曲面では、$B_1$ が Albanese 多様体の次元の 2 倍であることと、Lefschetz の跡公式 $\sum_i(-1)^iB_i=c_2$ から、$B_2$ が $\ell$ によらないことが直接分かる。

• 使いどころ：2-2（曲面で $\mathrm{Br}(X)(\ell)$ の余階数が $\ell$ によらないこと）、6-1。
• 案内：ℓ進コホモロジー、[Mil] の Poincaré 双対性の章。

8. $\ell$ 進の道具

$\ell$ 準素部分と Tate 加群.アーベル群 $M$ について、$M(\ell)$ はその $\ell$ 準素部分、$T_\ell M=\varprojlim{}_{\ell^\nu}M$（遷移は $\ell$ 倍）、$V_\ell M=T_\ell M\otimes\mathbb Q_\ell$ である。${}_\ell M$ が有限なら $M(\ell)\cong(\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell)^r\oplus(\text{有限})$ と分解し、$r$（余階数）は $T_\ell M$ の階数に等しい。$T_\ell$ は有限部分を見ない。

• 使いどころ：2-2 の余階数、6-1 と 6-2 の双対性。
• 案内：Tate加群、[Sil] 第 III 章（§7。楕円曲線の場合）。

Tate 捻り.$\mathbb Z_\ell(1)=\varprojlim\mu_{\ell^\nu}$、$\mathbb Z_\ell(j)=\mathbb Z_\ell(1)^{\otimes j}$、$\mu_{\ell^\infty}=\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell(1)$。分離閉体の上では $\mathbb Z_\ell(1)\cong\mathbb Z_\ell$ だが、同型は 1 の冪根の系の選び方による。Galois 作用を見るときは捻りを区別しなければならない。

• 使いどころ：2-2 以後。7-3 では捻りが Frobenius の固有値を $q^j$ 倍ずらすことが本質になる。
• 案内：Tate捻り。

$\ell$ 進コホモロジー.$H^i(X,\mathbb Z_\ell(j))=\varprojlim_\nu H^i(X,\mu_{\ell^\nu}^{\otimes j})$（層のコホモロジーではなく、有限段の群の射影極限）。有限段の群が有限なら、$\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell$ 係数との比較の完全列 $0\to(\text{有限})\to H^i(X,\mathbb Z_\ell(1))\to T_\ell H^i(X,\mu_{\ell^\infty})\to0$ がある。

• 使いどころ：2-2、6-1、7-1、7-2、7-3。
• 案内：ℓ進コホモロジー、[Mil] の後半の章、[Fu]。

サイクル類写像と Gysin 写像.余次元 $p$ のサイクルに類 $\mathrm{cl}(Z)\in H^{2p}(X,\mathbb Z_\ell(p))$ を対応させる写像。$p=1$ では Kummer 列の連結準同型 $\mathrm{Pic}(X)\to H^2(X,\mathbb Z_\ell(1))$ である。閉部分多様体 $Z\subset X$ からの Gysin 写像 $H^{i-2c}(Z,\mathbb Z_\ell(j-c))\to H^i(X,\mathbb Z_\ell(j))$（$c$ は余次元）は、純性（コホモロジー的純性定理）から作られる。

• 使いどころ：2-2、6-1（$p=1$）、7-2（niveau の記述）、7-3（Tate 予想）。
• 案内：サイクル類写像、Gysin写像、[Ful] 第 19 章、[Mil] の後半の章。

Weil 予想と Tate 予想.有限体 $\mathbb F_q$ 上の固有滑らかな $X$ について、$H^i(X_{\bar k},\mathbb Q_\ell)$ 上の Frobenius の固有値は絶対値 $q^{i/2}$ の代数的整数である（Deligne による証明）。Tate 予想は、$H^{2p}(X_{\bar k},\mathbb Q_\ell(p))$ の Galois 不変元が代数的サイクルの類で張られることを主張する。$p=1$ の場合は $\mathrm{Br}(X)$ の $\ell$ 部分の有限性と同値である（とくに曲面について、Artin–Tate の枠組み）。

• 使いどころ：6-1 の背景、7-3 の主題。本書では「証明済みの定理」「予想」「その後に解けた場合」を時点つきで区別して書く。
• 案内：Weil予想、Tate予想、[Har] 付録 C、[CTS] の有限性を扱う章。

9. Hodge 理論の初歩

Hodge 分解とフィルトレーション.複素数体上の滑らかな射影多様体 $X$ について $H^i(X,\mathbb C)=\bigoplus_{r+s=i}H^{r,s}$、$\overline{H^{r,s}}=H^{s,r}$。Hodge フィルトレーションは $F^pH^i=\bigoplus_{r\ge p}H^{r,s}$ である。これらをまとめたものが（重さ $i$ の）Hodge 構造である。

• 使いどころ：7-3。
• 案内：Hodge構造、[Voi] 第 I 巻の Hodge 分解と Hodge 構造の章、[GH] 第 0 章。

Lefschetz の $(1,1)$ 定理.$\mathrm{NS}(X)\otimes\mathbb Q$ は $H^2(X,\mathbb Q)\cap H^{1,1}$ に一致する。したがって $\rho\le h^{1,1}$ であり、$B_2=2h^{2,0}+h^{1,1}$ から $B_2-\rho\ge2h^{2,0}$ が出る。たとえば K3 曲面では $B_2=22$、$h^{2,0}=1$ なので、$\mathrm{Br}(X)$ は少なくとも $(\mathbb Q/\mathbb Z)^2$ を含む（2-2 の $B_2-\rho$ と、複素数体上の比較定理を合わせる）。

• 使いどころ：2-2 の頁の具体的な計算、6-1 の背景、7-3。
• 案内：[GH] 第 1 章、[Voi] 第 I 巻の Hodge 類の章。

Hodge 予想と一般 Hodge 予想.Hodge 予想は $H^{2p}(X,\mathbb Q)\cap H^{p,p}$ が代数的サイクルの類で張られることを主張する。一般 Hodge 予想は、有理係数の余次元フィルトレーション $N^pH^i$ が「$F^p$ に含まれる $H^i(X,\mathbb Q)$ の最大の部分 Hodge 構造」に一致することを主張する（Grothendieck による修正後の形）。

• 使いどころ：7-3 の主題。7-2 で定義する余次元フィルトレーションとの関係として述べる。
• 案内：Hodge予想、一般Hodge予想、余次元フィルトレーション、[Voi] 第 I・II 巻。

頁ごとの前提の対応表

行は本書の頁、列は前提の分野である。「◎」はその頁の証明の中心で使うもの、「○」は一部の段や引用で使うもの、空欄はほとんど使わないものを表す。「頁の前提」の列には、その頁の前に読んでおくとよい本書の頁を挙げた。

表から読み取れることを三つ挙げておく。

• 層とコホモロジーはほぼ全頁で中心にある。エタールコホモロジーの定義と、茎が狭義 Hensel 化で計算できること、Leray のスペクトル系列の低次の完全列の三つは、最初に身につけておく価値がある。
• 中心単純環が本質的に要るのは第 1 章と 3-1 だけである。第 2 章以後は、Brauer 群をほぼ $H^2(X,\mathbb G_m)$ として扱う。
• 曲線・曲面と $\ell$ 進の道具は、第 2 章の後半から一気に必要になる。2-2 の $B_2-\rho$ が、Picard 数・Betti 数・Tate 加群がそろって現れる最初の場所である。

読む順序の案

最短の道筋

本書の中心の流れは次の四頁である。
$$\text{1-3}\ \longrightarrow\ \text{2-1}\ \longrightarrow\ \text{2-2}\ \longrightarrow\ \text{5-1}$$
1-3 で Azumaya 代数の類を $H^2(X,\mathbb G_m)$ に送る写像を作り、2-1 で正則スキームでの基本性質（捩れ性と生成点への単射性）を示し、2-2 で Kummer 列によって $\ell$ 部分を計算し、5-1 で Brauer 群が余次元 2 以上の閉集合を除いても変わらないことを示す。体の中心単純環に慣れていれば、1-1 と 1-2 は飛ばして 1-3 から読める。1-2 の定理（分離的な分裂体の存在、Skolem–Noether の定理）は 1-3 の中で引用の形で使われるので、必要になったときに戻ればよい。
この四頁の後は、関心に応じて次の道のどれかへ進む。

各頁の冒頭の「この頁で示すこと」に主結果と原論文の番号の対応がまとめてあるので、まずそこだけを全頁通して読むのも一つの方法である。

背景が薄い読者のための準備の順

本書の前提を一から身につけるときは、次の順を勧める。括弧内は主な参照先である。

1. 可換環論：局所化、平坦性、完備化、次元論、正則局所環、離散付値環（[AM] の全体、次に [Mat] の §7・§8・§19・§20）。
2. ホモロジー代数：導来関手、Ext と Tor、帰納極限と射影極限、スペクトル系列（[Wei] 第 2・3・5 章）。
3. スキーム論：スキーム、射の性質、準連接層とそのコホモロジー、平坦射と滑らかな射、因子と Picard 群、ブローアップ（[Har] 第 II・III 章、または [Liu] 第 2〜8 章）。
4. Galois コホモロジーと中心単純環：射有限群のコホモロジー、Hilbert の定理 90、体の Brauer 群、コホモロジー次元（[GS] 第 1〜4 章、[Ser-GC] 第 I・II 章）。ここまでで本書の第 1 章と 3-1 が読める。
5. エタールコホモロジー：エタール射、Grothendieck 位相、エタール層とその茎、Čech コホモロジーとトーサー、fppf 位相との比較、基本定理の主張（[Mil] 第 I〜III 章、SGA 4½ 所収の「Arcata」、[Poo] 第 6 章）。ここまでで第 2 章と第 4 章が読める。
6. 代数曲面：交叉理論、Hodge 指数定理、Picard スキームと Néron–Severi 群、曲線束（[Har] 第 V 章、[Liu] 第 9 章、[FGAex] の Kleiman の部）。
7. $\ell$ 進の道具：Tate 加群、$\ell$ 進コホモロジー、サイクル類、Weil 予想の主張（[Mil] の後半、[Fu]、[Har] 付録 C）。ここまでで第 3・5・6 章が読める。
8. 類体論：局所体の Brauer 群と大域体の相互律（[Ser-LF]、[CF] 第 VI・VII 章）。3-2 と 3-4 の前に。
9. Hodge 理論：Hodge 分解、Lefschetz の $(1,1)$ 定理、Hodge 予想の主張（[Voi]、[GH] 第 0・1 章）。7-3 の前に。
   Brauer 群そのものについての現代的な通読用の教科書としては [CTS] があり、本書の各頁の「その後の発展」の多くはそこで扱われている。本書と並行して読むと、原論文の主張が今日どこまで一般化されたかが分かる。

記号と約束

全頁で共通に使う記号と約束の要点をまとめる。各頁でも必要な箇所で繰り返す。

一般の約束

• 素数 $\ell$.$\ell$ はつねに素数を表し、とくに断らない限り、考えているスキームの上で可逆な素数（すべての剰余標数と異なる素数）とする。体 $k$ の標数を $p\ge0$ と書き、$p=0$ のときは「$\ell\ne p$」を「任意の $\ell$」と読む。
• 群の書き方.Brauer 群とコホモロジー群は加法的に書く：$[A]+[B]=[A\otimes B]$、$-[A]=[A^{\mathrm{op}}]$。$\mathbb G_m$ の切断の群だけは乗法的に書く。
• 捩れの記号.アーベル群 $M$ について、${}_nM=\ker(n\colon M\to M)$、$M_{\mathrm{tors}}$ は捩れ部分群、$M(\ell)=\bigcup_\nu{}_{\ell^\nu}M$ は $\ell$ 準素部分、$M_{\mathrm{div}}$ は最大可除部分群である。$T_\ell M=\varprojlim_\nu{}_{\ell^\nu}M$（遷移は $\ell$ 倍）、$V_\ell M=T_\ell M\otimes_{\mathbb Z_\ell}\mathbb Q_\ell$。$\ell$ 準素で ${}_\ell M$ が有限なとき、$M$ は余有限型であるといい、$M\cong(\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell)^r\oplus(\text{有限})$ の $r$ を余階数 $\operatorname{corank}M$ と呼ぶ。
• **原論文の番号.**原論文の番号は、講演の番号を前に付けて「I (1.4)」「II (2.1)」「III (6.1)」のように書く。頁は『Dix exposés』（1968）の印字頁で書く。
• **用語.**本書では「純性」「ブローアップ」「fppf 位相」「Severi–Brauer」「Tate 捻り」「余次元フィルトレーション」を使う。原論文の préschéma も本書ではスキームと呼ぶ。

コホモロジーの書き分け

• 添字の無い $H^i(X,F)$ はエタールコホモロジー $H^i(X_{\mathrm{et}},F)$ である。位相空間を扱う 1-1 だけは通常の層コホモロジーを表す。
• 他の位相では必ず添字を付ける：$H^i(X_{\mathrm{fppf}},F)$、$H^i(X_{\mathrm{Zar}},F)$。
• 体 $k$ については $H^i(k,M)=H^i(\operatorname{Spec}k_{\mathrm{et}},M)$（Galois コホモロジー）。
• 非可換な群層 $G$ については、$H^1(X,G)$ は $G$ トーサーの同型類の点付き集合である。
• $H^i_Y(X,F)$、$\mathcal H^i_Y(F)$ は閉集合 $Y$ に台をもつ局所コホモロジー、$H^i_{\mathrm{nr}}$ は不分岐コホモロジー、$N^pH^i(X)$ は余次元フィルトレーション（余次元 $\ge p$ の閉集合の外で消える類）である。

係数

• $\mathbb G_m$ は乗法群、$\mu_n=\ker(n\colon\mathbb G_m\to\mathbb G_m)$、$\mu_{\ell^\infty}=\varinjlim_\nu\mu_{\ell^\nu}$。
• $\mathbb Z_\ell(1)=\varprojlim_\nu\mu_{\ell^\nu}$（遷移は $\ell$ 乗）、$\mathbb Z_\ell(j)=\mathbb Z_\ell(1)^{\otimes j}$、$\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell(1)=\mu_{\ell^\infty}$。原論文の $\mathbb Z_l[1]$ は本書の $\mathbb Z_\ell(1)$ である。
• $H^i(X,\mathbb Z_\ell(j))=\varprojlim_\nu H^i(X,\mu_{\ell^\nu}^{\otimes j})$（有限段の群の射影極限）。

Brauer 群

• $\mathrm{Br}(X)$ は Azumaya 代数の類の群である。$A\sim B$ は、局所自由加群 $E,E'$ で $A\otimes\operatorname{End}(E)\cong B\otimes\operatorname{End}(E')$ となるものがあることをいう。
• $\mathrm{Br}'(X)=H^2(X,\mathbb G_m)_{\mathrm{tors}}$（コホモロジー的 Brauer 群）。原論文 II は $H^2(X,\mathbb G_m)$ 全体を $\mathrm{Br}'(X)$ と呼ぶが、本書は今日の多くの文献に合わせて捩れ部分群を $\mathrm{Br}'(X)$ と書く。両者の差は捩れでない部分だけなので、${}_n\mathrm{Br}'(X)$、$\mathrm{Br}'(X)(\ell)$、$T_\ell\mathrm{Br}'(X)$ はどちらの定義でも同じである。$X$ が正則なら $H^2(X,\mathbb G_m)$ は捩れ群で、両者は一致する（2-1）。捩れでない部分に触れるときは $H^2(X,\mathbb G_m)$ と書く。
• 余境界 $\delta\colon H^1(X,\mathrm{PGL}_r)\to H^2(X,\mathbb G_m)$ により単射 $\mathrm{Br}(X)\hookrightarrow\mathrm{Br}'(X)$ が得られる（1-3）。これが全射かどうか（$\mathrm{Br}=\mathrm{Br}'$ の問題）は本書を通じた主題の一つである。
• $\operatorname{Az}_r(X)$ は階数 $r^2$ の Azumaya 代数の同型類の集合（原論文の $P_r(X)$）、$\mathrm{PGL}_r$ は射影一般線形群（原論文の $GP(r)$、$GPL(r)$）、$A^{\mathrm{op}}$ は反対代数（原論文の $A^\circ$）、$P^\vee$ は Severi–Brauer スキーム $P$ の双対である。

スキームと不変量

• $\kappa(x)$ は点 $x$ の剰余体、$\mathcal O_{X,x}^{\mathrm h}$ と $\mathcal O_{X,x}^{\mathrm{sh}}$ は Hensel 化と狭義 Hensel 化、$\bar x$ は幾何的点、$X^{(1)}$ は余次元 1 の点の集合、$K=K(X)$ は整スキームの関数体である。
• $X_{\bar k}$ は体 $k$ 上のスキームの $\bar k$ への底変換で、$\bar k$ が代数閉包か分離閉包かは頁ごとに明示する。
• $\mathbb P(E)=\operatorname{Proj}\operatorname{Sym}E$（Grothendieck の規約）、$\mathbb P^{r-1}_X=\mathbb P(\mathcal O_X^r)$。
• $\mathrm{Pic}(X)=H^1(X,\mathbb G_m)$、$\mathrm{Pic}_{X/k}$ と $\mathrm{Pic}^0_{X/k}$ は Picard スキームとその単位元成分、$\mathrm{NS}(X)=\mathrm{Pic}(X)/\mathrm{Pic}^0(X)$、$\rho=\operatorname{rank}\mathrm{NS}(X)$、$B_i=\operatorname{rank}_{\mathbb Z_\ell}H^i(X_{\bar k},\mathbb Z_\ell)$。
• $\mathcal R_X^\times$ は可逆な有理関数の層、$\mathcal Div_X$ は Cartier 因子の層、$\mathcal Z^1_X$ は Weil 因子の層（2-1、3-2）、$Ш$ は Tate–Shafarevich 群（3-4）。

頁の読み方の約束

• 各頁は、おおむね「この頁で示すこと」「背景と動機」「定義と準備」「主結果と証明」「例と反例」「その後の発展」「原論文との対応表」「参考文献」の順に並ぶ。
• 証明のうち、他の文献の結果に頼る段は「引用」と明記し、頁の「定義と準備」に一覧で示す。原論文が省いた段を本書で補ったときは、そのことを明記する。
• 原論文の主張が印字のままでは成り立たないときは、正しい形（補うべき仮定）と、印字のままでは成り立たないことを示す反例を並べて書く。
• 本書で証明を閉じられなかった段は、仮定として明示したうえで先へ進む。
• 「その後の発展」の節は原論文の主張と分けて書き、何年の時点での知見かを明記する。予想は予想として、証明済みの定理と区別する。

参考文献

原論文：

• A. Grothendieck, « Le groupe de Brauer I : Algèbres d'Azumaya et interprétations diverses », « II : Théorie cohomologique », « III : Exemples et compléments », in: Dix exposés sur la cohomologie des schémas, North-Holland / Masson, 1968, pp. 46–66, 67–87, 88–188（I・II は Séminaire Bourbaki n° 290、n° 297 の再録）。
  前提知識の教科書（略号順。ASIN は Amazon の商品ページで確認できたものだけを記す）：
• [AM] M. F. Atiyah, I. G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, 1969。ASIN 0201407515（Westview 版）。
• [BLR] S. Bosch, W. Lütkebohmert, M. Raynaud, Néron Models, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) 21, Springer, 1990。
• [CF] J. W. S. Cassels, A. Fröhlich (eds.), Algebraic Number Theory, Academic Press, 1967。第 VI 章（Serre、局所類体論）、第 VII 章（Tate、大域類体論）。
• [CTS] J.-L. Colliot-Thélène, A. N. Skorobogatov, The Brauer–Grothendieck Group, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) 71, Springer, 2021。ASIN 3030742474。
• [FGAex] B. Fantechi, L. Göttsche, L. Illusie, S. L. Kleiman, N. Nitsure, A. Vistoli, Fundamental Algebraic Geometry: Grothendieck's FGA Explained, Mathematical Surveys and Monographs 123, American Mathematical Society, 2005。Vistoli の部（Grothendieck 位相、ファイバー圏、降下）と Kleiman の部（Picard スキーム）。
• [Fu] L. Fu, Etale Cohomology Theory, revised edition, Nankai Tracts in Mathematics 14, World Scientific, 2015。ASIN 9814675083。
• [Ful] W. Fulton, Intersection Theory, 2nd ed., Springer, 1998。ASIN 0387985492。
• [GH] P. Griffiths, J. Harris, Principles of Algebraic Geometry, Wiley, 1978。
• [GS] P. Gille, T. Szamuely, Central Simple Algebras and Galois Cohomology, 2nd ed., Cambridge Studies in Advanced Mathematics 165, Cambridge University Press, 2017。
• [Har] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics 52, Springer, 1977。ASIN 0387902449。
• [Hat] A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2002。
• [Liu] Q. Liu, Algebraic Geometry and Arithmetic Curves, Oxford Graduate Texts in Mathematics 6, Oxford University Press, 2002。ASIN 0199202494（ペーパーバック版）。
• [Mat] H. Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 8, Cambridge University Press, 1986。ASIN 0521367646（ペーパーバック版）。
• [Mil] J. S. Milne, Étale Cohomology, Princeton Mathematical Series 33, Princeton University Press, 1980。ASIN 0691171106（再刊版）。
• [Poo] B. Poonen, Rational Points on Varieties, Graduate Studies in Mathematics 186, American Mathematical Society, 2017。ASIN 1470437732。
• [Ser-GC] J.-P. Serre, Galois Cohomology, Springer Monographs in Mathematics, Springer, 1997（原著 Cohomologie galoisienne, Lecture Notes in Mathematics 5, 1964）。ASIN 3540421920。
• [Ser-LF] J.-P. Serre, Local Fields, Graduate Texts in Mathematics 67, Springer, 1979（原著 Corps locaux, Hermann, 1962）。ASIN 0387904247。
• [Sil] J. H. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, Graduate Texts in Mathematics 106, Springer, 1986（第 2 版 2009）。
• [Stacks] The Stacks Project Authors, The Stacks Project（オンライン）。
• [Voi] C. Voisin, Hodge Theory and Complex Algebraic Geometry I・II, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 76・77, Cambridge University Press, 2002–2003。第 I 巻は ASIN 0521718015（ペーパーバック版）。
• [Wei] C. A. Weibel, An Introduction to Homological Algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 38, Cambridge University Press, 1994。ASIN 0521559871。
  基礎文献（本文の各頁で引用するもの）：
• A. Grothendieck, J. Dieudonné, Éléments de géométrie algébrique (EGA) II–IV, Publ. Math. IHÉS 8, 11, 17, 20, 24, 28, 32, 1961–1967。
• M. Artin, A. Grothendieck, J.-L. Verdier, Théorie des topos et cohomologie étale des schémas (SGA 4), Lecture Notes in Mathematics 269, 270, 305, Springer, 1972–1973。
• P. Deligne, Cohomologie étale (SGA 4½), Lecture Notes in Mathematics 569, Springer, 1977。所収の「Arcata」（Cohomologie étale : les points de départ）はエタールコホモロジーの短い入門である。
• A. Grothendieck, Cohomologie locale des faisceaux cohérents et théorèmes de Lefschetz locaux et globaux (SGA 2), North-Holland, 1968。