3-5 Tate–Shafarevich 群と大域の比較

Tate–Shafarevich 群との比較（comparison with the Tate–Shafarevich group）とは、本書『3-4 曲線束の Brauer 群と局所不変量』の設定（正則な 1 次元スキーム $Y$ 上の固有平坦な曲線束 $f\colon X\to Y$、$X$ は正則 2 次元）で、基本完全列 $0\to S\to\mathrm{Br}'(Y)\to\mathrm{Br}'(X)\to H^1(Y,P)\to T\to0$ の中央の項 $H^1(Y,P)$ を生成ファイバーのヤコビアンの Tate–Shafarevich 群 $Ш$ で書き表し、誤差 $S,T$ を抑えることである。本頁では、生成点での値の層 $B$ について局所条件で定まる部分群 $Ш(Y,B)\subset H^1(Y,B)$ を定義し、仮定のもとで $H^1(Y,P)\cong Ш(Y,B)$ を示し、$S,T$ が次数の最大公約数 $\delta$ で消えることを示す。代数閉体上では $\mathrm{Br}'(X)\cong H^1(Y,B)$、有限体上では仮定を補った形で $0\to\mathrm{Br}'(X)\to Ш(Y,B)\to\mathbb Z/\Delta\mathbb Z\to0$ を得る。原論文 III §4 の後半に当たる。
前提知識: Tate–Shafarevich群, Néronモデル, 相対Picard関手, Brauer群, Hensel局所環

この頁で示すこと

本頁は本書『3-4 曲線束の Brauer 群と局所不変量』の設定と記号をそのまま用いる（下の「定義と準備」に再掲する）。$Y$ は正則な整スキームで次元 1、局所環はすべて excellent、$K$ はその関数体、$f\colon X\to Y$ は固有平坦な射で $X$ は正則で 2 次元、$f_*\mathcal O_X=\mathcal O_Y$ である。$P=R^1f_*\mathbb G_m$、$B=i_*i^*P$ は生成点での値の層、$A=\ker(\deg\colon B\to\mathbb Z_Y)$ は生成ファイバーのヤコビアンに当たる層、$S,T$ は基本完全列の誤差項、$\delta,\delta',\delta''$ と $d_y$、$\bar\delta''_y$ は次数の最大公約数と閉ファイバーの整数である。仮定 (F) は $F=0$、(L) はすべての閉点で $H^1(\bar Y,P)=0$、(D) は $\deg\colon B\to\mathbb Z_Y$ が層の射として全射、を指す。
本頁の主結果は次の 7 つである。

1. $S$ と $T$ は $\delta$ で消える（原論文 III Prop. (4.3)）：$S$ と $T$ は $\delta$ 倍で $0$ になり、$Y$ が代数閉体上の曲線なら $S=T=0$ で $\mathrm{Br}'(X)\cong H^1(Y,P)$ である。［完結。原論文が使う $\delta$ の「有限平坦被覆の次数の最大公約数」としての解釈は証明せず、必要な向きだけを示す］
2. 有限体上の底（原論文 III Cor. (4.4)）：$Y$ が有限体上の固有な正則曲線なら $S=0$ で $T$ は位数が $\delta$ を割る巡回群であり、$0\to\mathrm{Br}'(X)\to H^1(Y,P)\to T\to0$ は完全である。［完結。$Y$ が固有でない場合の $S,T$ の有限性は引用］
3. $H^1(Y,P)$ と $Ш(Y,B)$ の一致（原論文 III Prop. (4.5)）：(F)、すべての閉点での (L)、およびすべての閉点で「$H^1(\kappa(y),\mathbb Q/\mathbb Z)$ の $d_y$ で消える元は $0$」を仮定すれば、$H^1(Y,P)\cong Ш(Y,B)$ であり、$0\to\mathrm{Br}'(X)/\operatorname{Im}\mathrm{Br}'(Y)\to Ш(Y,B)\to T\to0$ は完全である。［条件付き：仮定 (F)・(L) と局所項の条件を置く。原論文の言明には (L) が書かれていない］
4. ヤコビアンの Tate–Shafarevich 群との比較（原論文 III (4.32)–(4.38)）：(D) のもとで、中間の群 $Ш'(Y,A)$（$Ш(Y,A)\subset Ш'(Y,A)\subset H^1(Y,A)$）について $0\to\mathbb Z/\delta''\mathbb Z\to Ш'(Y,A)\to Ш(Y,B)\to0$ は完全であり、すべての閉点で $\bar\delta''_y=1$ なら $Ш'(Y,A)=Ш(Y,A)$ である。［条件付き：仮定 (D) を置く］
5. 代数閉体上の曲線の上の曲線束（原論文 III (4.6)）：$Y$ が代数閉体上の正則な曲線なら $\mathrm{Br}'(X)\cong H^1(Y,B)=Ш(Y,B)$ であり、(D) のもとで $\delta=\delta'=\delta''$ かつ $0\to\mathbb Z/\delta\mathbb Z\to H^1(Y,A)\to H^1(Y,B)\to0$ は完全である。［完結］
6. 有限体上の曲線束と Ш（仮定を補った形）（原論文 III (4.7) の式 (4.41)）：$Y$ が有限体上の固有な正則曲線で、(L) を認め、すべての閉点で $d_y=1$ なら、$\Delta$ を 2 の巡回群 $T$ の位数として $\Delta\mid\delta$ であり、$0\to\mathrm{Br}'(X)\to Ш(Y,B)\to\mathbb Z/\Delta\mathbb Z\to0$ は完全である。［条件付き：有限剰余体の場合の (L) を原論文から引用。原論文の形（$d_y$ の仮定なし）は、反例「本書『3-4 曲線束の Brauer 群と局所不変量』の円錐曲線束（すべての閉点で $\delta_y=1$ だがある閉点で $d_y=2$）」により $H^1(Y,P)$ を $Ш(Y,B)$ に置き換える段が正当化されない］
7. 有限体上でのヤコビアンの Ш（原論文 III (4.7) の式 (4.42)）：同じ設定で (D) とすべての閉点での $\bar\delta''_y=1$ を仮定すれば、$0\to\mathbb Z/\delta''\mathbb Z\to Ш(Y,A)\to Ш(Y,B)\to0$ は完全である。［条件付き：仮定 (D) と $\bar\delta''_y=1$ を置く。原論文の根拠 (4.43)「$\bar\delta_y=\delta_y$」は反例「本書『3-4 曲線束の Brauer 群と局所不変量』の円錐曲線束（$\delta_y=1$、$\bar\delta_y=2$ の閉点）」で破れる］
   証明は、本書『3-4 曲線束の Brauer 群と局所不変量』の基本完全列・整除関係・閉点の閉包とノルム・局所項の計算と、本書『次元 1 以下の体』『次元 1 のスキームと類体論』の結果を名前で引いて、本頁の中で閉じる。$Ш(Y,B)$ の定義と、それが $K$ の Galois コホモロジーの部分群であること（命題（Galois コホモロジーによる $Ш$ の記述））、$H^1(Y,P)$ の像の局所条件による記述（命題（局所条件による像の記述））は本頁で示す。原論文自身がこの節を「長く技術的で、後の節の理解には必要でない」と断っている（III 印字 p. 107）。本頁は、証明できた段と、原論文から引用する段、原論文自身が未解決とする点、偽の主張を区別して示す。

背景と動機

有限体 $\mathbb F_q$ 上の曲線 $Y$ の上の楕円曲面 $X\to Y$ を考えると、$X$ の Brauer 群と、生成ファイバー（関数体 $K$ 上の楕円曲線 $E$）の Tate–Shafarevich 群 $Ш(E/K)$ は、どちらも「局所的には自明だが大域的には自明でない」ねじれを測る群である。Artin と Tate は、有限体上の曲面についての予想公式の研究の中で、この二つが本質的に同じ群であることに注目した。原論文 III §4 は、その比較を少し一般化した形で、層のコホモロジーの言葉で述べ直す。
考え方は次のとおりである。Leray スペクトル系列により、$\mathrm{Br}'(X)$ は底 $Y$ の Brauer 群と、相対 Picard 層 $P$ の $H^1$ の間に挟まれる。高次の項は本書『Artin の定理（Hensel 離散付値環上の曲面）』の系 $R^qf_*\mathbb G_m=0$（$q\ge2$）で消える。$P$ を生成点での値の層 $B$ と比べると、その差は閉ファイバーの既約成分と重複度で決まる局所的な項になる。$H^1(Y,B)$ は関数体 $K$ の Galois コホモロジー $H^1(K,\mathrm{Pic}_{X_\eta})$ の部分群であり、局所条件を課した部分群が Tate–Shafarevich 群である。基本列と局所の不変量は本書『3-4 曲線束の Brauer 群と局所不変量』で扱った。本頁は、Tate–Shafarevich 群、大域の比較、底が特別な場合、の順に進む。

定義と準備

設定と記号は本書『3-4 曲線束の Brauer 群と局所不変量』のものをそのまま用いる。証明に要るものだけを短く再掲する。詳しい定義と証明はそちらにある。

誤差 $S,T$ の大きさと局所項を測る整数も、同じく再掲する。

本書『3-4 曲線束の Brauer 群と局所不変量』で示した次の事実を、名前で引いて使う。

1. 基本完全列（定理）：$S=\operatorname{Coker}(\mathrm{Pic}(X)\to\mathrm{Pic}(X/Y))$、$T=\ker(H^3(Y,\mathbb G_m)\to H^3(X,\mathbb G_m))$ と置くと、$0\to S\to\mathrm{Br}'(Y)\to\mathrm{Br}'(X)\to H^1(Y,P)\to T\to0$ は完全で、$S\cong\ker(\mathrm{Br}'(Y)\to\mathrm{Br}'(X))$ である。
2. 次数の最大公約数の整除関係（命題）：$\delta''\mid\delta'\mid\delta$。$\mathrm{Br}(K)=0$ なら $\delta=\delta'=\delta''$、$\mathrm{Br}'(Y)=0$ なら $\delta=\delta'$。$\delta$ は $X_\eta$ の閉点の次数の最大公約数に等しい。同じことが $\delta_y$ の系列と $\bar\delta_y$ の系列でも成り立ち、$\delta''_y\mid\bar\delta''_y$、$\delta_y\mid\bar\delta_y$ である（逆向きの整除は一般には成り立たない）。
3. 閉点の閉包とノルム（補題）：$X_\eta$ の閉点 $Q$、$e=[\kappa(Q):K]$ について、各 $q$ で $\ker(H^q(Y,\mathbb G_m)\to H^q(X,\mathbb G_m))$ は $e$ で消える。
4. $E$ と $F$ の構造（命題）：$F_{\bar y}$ は $p_y$ 準素捩れ群（$p_y$ は $\kappa(y)$ の標数指数）で、$\kappa(y)$ が完全なら $0$ である。本書『3-4 曲線束の Brauer 群と局所不変量』と同じく、条件 $F=0$ を (F) と書く。(F) のもとで $0\to E\to P\to B\to0$ は完全である。
5. 局所項の計算（命題）：$H^1(y,E_y)$ は $H^1(\kappa(y),\mathbb Q/\mathbb Z)$ の部分群で $d_y$ で消え、$\operatorname{Gal}(\kappa(y)^{\mathrm s}/\kappa(y))\cong\hat{\mathbb Z}$（たとえば $\kappa(y)$ が有限体）なら $\mathbb Z/d_y\mathbb Z$ である。
6. 局所項をもつ完全列（命題）：(F) のもとで $0\to\bigoplus_yH^0(y,E_y)\to\mathrm{Pic}(X/Y)\to\mathrm{Pic}(X_\eta/\eta)\to\bigoplus_yH^1(y,E_y)\to H^1(Y,P)\to H^1(Y,B)\to\bigoplus_yH^2(y,E_y)$ は完全であり、すべての閉点の剰余体が分離閉なら $H^1(Y,P)\cong H^1(Y,B)$ である。

主結果と証明

Tate–Shafarevich 群

基本完全列は $\mathrm{Br}'(X)$ を $H^1(Y,P)$ で近似する。この $H^1(Y,P)$ を、局所条件で切り出した Galois コホモロジーの部分群として書き直すのが本頁の主題であり、まずその部分群に名前を付ける。

この群は関数体の Galois コホモロジーで書ける。

第 2 の列は、Tate と Shafarevich による Tate–Shafarevich群 の元の定義（幾何的な場合）とほぼ同じ形である。違いは、元の定義が Hensel 化の分数体 $\bar K_y$ の代わりに完備化を使う点にある。原論文は、$G$ が $\eta$ 上のアーベルスキームから来る場合には二つの局所群 $H^1$ が一致し、二つの定義が一致すると、Raynaud の結果を引いて述べる（本頁では引用にとどめる）。$Y$ が数体の整数環のスペクトルである算術的な場合には、元の定義はアルキメデス素点での完備化も考えるので、ここでの定義とは一致しない。
$Ш(Y,B)$ が実際に $H^1(Y,P)$ の像を捉えるかどうかは、次の命題により、閉点ごとの局所の問題に帰着する。

条件 (L) は、剰余体 $\kappa(y)$ が分離閉なら成り立つ（$\bar Y$ が狭義 Hensel 局所になり、正次数のコホモロジーが消える）。原論文は、$\kappa(y)$ が有限体のときも (L) が成り立つと述べ、その根拠として III Rem. (3.4) b)（本書『Artin の定理（Hensel 離散付値環上の曲面）』の命題）を挙げる。その命題により $H^1(\bar Y,P)\cong H^1(\kappa(y),\mathrm{Pic}(X_y\otimes\kappa(y)^{\mathrm s}))$ となり、右辺が Lang の定理によって消える、という筋である。本頁は、『Artin の定理（Hensel 離散付値環上の曲面）』の命題の仮定と閉ファイバーの Picard スキームの構造に依存するこの段を再現せず、有限剰余体の場合の (L) を引用として扱う。『Artin の定理（Hensel 離散付値環上の曲面）』の命題の $H^1$ の場合は、次元 1 のネータースキームで Brauer 群とコホモロジー的 Brauer 群が一致するという II (2.2) の引用による（本書『Artin の定理（Hensel 離散付値環上の曲面）』参照）。この引用に留保はないので、この段も留保なしに成り立つ。

大域の比較：誤差 $S,T$ の制御

$H^1(Y,P)$ と $\mathrm{Br}'(X)$ の差は基本完全列の $S,T$ である。それが次数の最大公約数 $\delta$ で制御されることを示す。

原論文は、$\delta$ を「有限平坦被覆の次数の最大公約数」と解釈することから直ちに結論する。本頁はその解釈を証明していないので、本書『3-4 曲線束の Brauer 群と局所不変量』の補題（閉点の閉包とノルム）で $X_\eta$ の閉点の閉包を直接使い、必要な向き（$\delta$ が被覆の次数の最大公約数で割り切られること）だけを示した。
底が有限体上の固有曲線なら、$\mathrm{Br}'(Y)$ と $H^3(Y,\mathbb G_m)$ が分かっているので、$S,T$ はさらに具体的になる。

原論文 III Cor. (4.4) は、$Y$ が固有でない場合も含めて $S,T$ が有限であると述べ、その理由を「§1・§2 の結果から $H^2(Y,\mathbb G_m)$ と $H^3(Y,\mathbb G_m)$ は $\mathbb Q/\mathbb Z$ の有限個の直和に含まれる」とだけ書く。本頁は固有でない場合のこの包含を確かめておらず、その場合の有限性は引用として扱う（これを認めれば、$\delta$ で消えることから有限性が従う）。

大域の比較：$H^1(Y,P)$ と $Ш(Y,B)$

局所項が消える条件を揃えると、$H^1(Y,P)$ は $Ш(Y,B)$ そのものになり、誤差は $T$ だけが残る。

原論文 III Prop. (4.5) の言明には条件 (L) が書かれていない。しかし $Ш(Y,B)$ が $H^1(Y,P)$ の像を表すのは (L) のもとでの帰結であり、原論文は直前の文脈で仮定済みとして読ませていると解される。本頁は (L) を仮定として明示した。

大域の比較：ヤコビアンの層と中間の群

$B$ の生成点での値 $i^*B=i^*P$ から次数写像 $\deg\colon i^*B\to\mathbb Z_\eta$ が定まり、$Y$ は正規なので $\mathbb Z_Y=i_*\mathbb Z_\eta$ だから、層の射 $\deg\colon B\to\mathbb Z_Y$ を得る。
$$J=\ker(\deg\colon i^*B\to\mathbb Z_\eta),\qquad A=i_*J=\ker(\deg\colon B\to\mathbb Z_Y)$$
と置く（$i_*$ は左完全）。$J$ は生成ファイバーのヤコビアン（次数 $0$ の Picard 群）に当たる $\eta$ 上の層である。

次を仮定する。
$$\deg\colon B\to\mathbb Z_Y\ \text{は層の射として全射}.\tag{D}$$
閉点 $y$ の上の幾何的点での茎は $B_{\bar y}=\mathrm{Pic}(\tilde X_{\tilde\eta}/\tilde\eta)\to\mathbb Z$ で、その像は $\delta''_y\mathbb Z$ なので、閉点の茎での全射性は $\delta''_y=1$ と同値である。生成点の茎での全射性は、たとえば $X_\eta$ が滑らかなら成り立つ（分離閉体上の滑らかな曲線は有理点をもつ）。原論文はこの仮定を「すべての閉点で $\delta_y=1$」と同じだと述べて置く。$\delta''_y\mid\delta_y$ なので、原論文の条件は閉点の茎での全射性を導く。
(D) のもとで、$B$ の $Ш$ とヤコビアンの層 $A$ の $Ш$ がどれだけ違うかを、局所化ごとの $\delta''$ で測る。

$\delta''_y\mid\bar\delta''_y$ は一方向なので、原論文の仮定「$\delta_y=1$」（したがって $\delta''_y=1$）からは $\bar\delta''_y=1$ は出ない。$Ш'(Y,A)=Ш(Y,A)$ を言うには、Hensel 化の側の不変量についての仮定が別に要る。

底が特別な場合：代数閉体上の曲線

以上を、底が代数閉体上の曲線の場合に当てはめる。この場合は局所項も誤差 $S,T$ も消える。

底が特別な場合：有限体上の固有曲線

以下、$Y$ を有限体 $k$ 上の固有な正則代数曲線とする。閉点の剰余体は有限体で完全なので (F) が成り立ち、本書『次元 1 のスキームと類体論』により $\mathrm{Br}'(Y)=0$ なので本書『3-4 曲線束の Brauer 群と局所不変量』の命題（次数の最大公約数の整除関係）の 3 により $\delta=\delta'$ である。(L) は上で述べたとおり原論文からの引用として使う。

仮定 $d_y=1$ を補った理由を、原論文の対応する式と比べて述べる。

ヤコビアンの側でも、同じ設定で述べておく。

ここでも、原論文の式と本頁の仮定の違いを記す。

有限体上の場合の限界を、原論文自身がどう見ていたかを添えておく。

例と反例

以下の二つの例は、定数族という最も簡単な場合に本頁の仮定がすべてみたされ、主結果がどの形になるかを示す。

同じ構成を有限体の上で行う。

その後の発展

以下は原論文（1966–1968 年）の後の話題で、本頁の証明には使っていない。文献の中身は本頁で確かめていないので、要点だけを記す。

• Artin–Tate 予想：原論文の自己批判が「さらに進んだ分析が与えるはず」とした Artin と Tate の予想公式は、Tate の Bourbaki 講演 Tat66（1966 年）で述べられたものである。有限体上の曲面の Brauer 群の有限性は、因子についての Tate 予想と関係づけられ、Milne Mil75（1975 年）はこの方向で Artin–Tate 公式を論じている。楕円曲面については、本頁の型の比較により、Brauer 群の有限性と生成ファイバーの Tate–Shafarevich 群の有限性が結びつく。これらは本書第 7 章で扱う。
• Néron モデルと Picard 関手：原論文が Raynaud の後の論文に譲った内容は、Raynaud による Picard 関手の特殊化の研究 Ray70（1970 年）と、Bosch–Lütkebohmert–Raynaud の本 BLR90（1990 年）に整理されている。
• 原論文が未解決とした $\Delta$ の決定や $\delta=\delta'$ の問いについて、その後の状況を本頁は確かめていない。

原論文との対応表

本頁が対応する原論文は Le groupe de Brauer III Gro68 である。
頁は『Dix exposés』（1968）の印字頁である。本頁は原論文の段落の順ではなく、Tate–Shafarevich 群、大域の比較、底が特別な場合、の順に並べた。基本列と局所の不変量に当たる箇所は本書『3-4 曲線束の Brauer 群と局所不変量』の対応表にある。