5-1 Brauer群の純性

要約：Brauer 群の純性（purity for the Brauer group）とは、正則なスキーム $X$ とその閉部分 $Y$ について、局所コホモロジー層 $\mathcal H^3_Y(\mathbb G_m)$ が消えるという性質であり、Grothendieck が講演「Le groupe de Brauer」III の §6 で名づけた。本頁は原論文の §6 の流れに沿って、低い次数の局所コホモロジー層の計算、純性が成り立つ四つの場合（III (6.1)）、余次元 2 以上の閉集合を除いてもコホモロジー的 Brauer 群の $\ell$ 準素部分が変わらないという帰結（III (6.2)）を解説する。原論文が余次元 1 について述べた見込みと、定理・系の余次元 1 を含む印字の形は成り立たないので、反例と正しい形を示す。

前提知識: Brauer群の純性, 局所コホモロジー, 狭義Hensel局所環, コホモロジー的Brauer群, Kummer完全列, 正則スキーム

この頁で示すこと

記号は本書の記号表に従う。$X$ は局所ネーターかつ正則なスキーム、$Y\subset X$ は各点で余次元 $d>0$ の閉部分スキームとする。原論文は $Y$ に正則性を課していない。局所コホモロジーの層を $\mathcal H^i_Y(F)$、群を $H^i_Y(X,F)$ と書き分ける。$\mathrm{Br}'(X)=H^2(X,\mathbb G_m)_{\mathrm{tors}}$ であり、$X$ がネーター正則なら $H^2(X,\mathbb G_m)$ は捩れ群なので両者は一致する（本書 2-1 の頁）。
対 $(X,Y)$ が純性を満たすとは $\mathcal H^3_Y(\mathbb G_m)=0$ であることをいい、素数 $\ell$ について$\ell$ に関して純性を満たすとは $\mathcal H^3_Y(\mathbb G_m)(\ell)=0$ であることをいう（III (6.7)。純性 の一つの意味である）。本頁の主結果は次のとおりである。

1. 低い次数（III 式 (6.3)〜(6.6)）：$\mathcal H^0_Y(\mathbb G_m)=0$、$\mathcal H^2_Y(\mathbb G_m)=0$、$\mathcal H^1_Y(\mathbb G_m)$ は $d\ge2$ なら $0$、$d=1$ なら $Y$ に台をもつ因子の層。$i\ge2$ なら $\mathcal H^i_Y(\mathbb G_m)_{\bar y}\cong H^{i-1}(X_{\bar y}\setminus Y_{\bar y},\mathbb G_m)$。
2. 純性が成り立つ場合（III (6.1)）：
   • a) $\dim X=1$ で、$Y$ の剰余体が完全なら純性、剰余標数と異なる $\ell$ なら $\ell$ に関して純性。
   • b) $\dim X=2$、$d=2$ なら純性。
   • c) $d\ge2$ で、$X$ が体 $k$ 上滑らか、$\ell\ne\operatorname{char}k$ なら $\ell$ に関して純性。
   • d) $d\ge2$ で、$X$ が標数 $0$ の excellent スキームなら、すべての $\ell$ に関して純性。
3. 除去の不変性（III (6.2) の $d\ge2$ の場合を、純性だけを仮定する形に述べ直したもの）：$X$ がネーター正則、$d\ge2$、$(X,Y)$ が $\ell$ に関して純性を満たすなら、$\mathrm{Br}'(X)(\ell)\cong\mathrm{Br}'(X\setminus Y)(\ell)$ であり、$H^3(X,\mathbb G_m)(\ell)\to H^3(X\setminus Y,\mathbb G_m)(\ell)$ は単射である。
4. 因子の場合（III (6.2) の $d=1$ の場合を、$Y$ の正則性を補って述べたもの）：c) または d) の状況で $Y$ が正則因子なら、完全列
   $$ 0\to\mathrm{Br}'(X)(\ell)\to\mathrm{Br}'(X\setminus Y)(\ell)\to H^1(Y,\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell)\to H^3(X,\mathbb G_m)(\ell)\to H^3(X\setminus Y,\mathbb G_m)(\ell) $$
   がある（引用する純性の形に留保がある）。
5. 成り立たない形：c) d) から $d\ge2$ を外した形、余次元 1 でも剰余標数と異なる $\ell$ ならつねに純性が成り立つという原論文の見込み、III (6.2) の $d=1$ の完全列を $Y$ の正則性なしに読んだ形は、いずれも成り立たない（$X=\mathbb A^2_{\mathbb C}$、$Y=V(xy)$、$\ell=2$）。

背景と動機

正則なスキームでは、余次元 2 以上の閉集合を取り除いても、単数は変わらず（Hartogs 型の延長）、Picard 群も局所的には変わらない（正則局所環の一意分解性）。§6 の問いは、同じことが次の次数、すなわち $H^2(-,\mathbb G_m)$ で起きるかである。原論文はこれを、層 $\mathcal H^i_Y(\mathbb G_m)$ を低い次数から順に計算し、最初に一般論で決まらない $\mathcal H^3_Y(\mathbb G_m)$ の消滅に名前を与える、という形で定式化する。
この性質がなぜ要るかは次の §7（本書 5-2 の頁）で明らかになる。双有理写像は余次元 2 以上の集合の外でしか定義されないので、そこで引き戻した Brauer 類を全体へ戻すには、余次元 2 以上の集合を除いても $\mathrm{Br}'$ が変わらないことが必要になる。
局所コホモロジーを使うのは、位相空間や滑らかな多様体での「コホモロジー的純性」（余次元 $d$ の部分多様体に台をもつコホモロジーが次数 $2d$ 未満で消える）の類似として $\mathbb G_m$ 係数の場合を捉えるためである。原論文はこの二つを Kummer 列で結び、場合 c) d) を位相的な純性から導く。

定義と準備

局所コホモロジー

$Y$ に台をもつ切断の関手 $\Gamma_Y$ の導来関手が群 $H^i_Y(X,F)$ であり、$X$ 上エタールな $U$ ごとに $H^i_{Y\times_XU}(U,F)$ をとって層化したものが層 $\mathcal H^i_Y(F)$ である（局所コホモロジー）。次の二つを引用する（原論文は SGA 4 V 4.3 と VIII 6.6 を引く。本頁では該当箇所を確認していない）。

• 長完全列：$\cdots\to H^i_Y(X,F)\to H^i(X,F)\to H^i(X\setminus Y,F)\to H^{i+1}_Y(X,F)\to\cdots$（原論文の式 (6.1)）。
• 局所から大域へのスペクトル系列：$E_2^{p,q}=H^p(Y,\mathcal H^q_Y(F))\Rightarrow H^{p+q}_Y(X,F)$（原論文の式 (6.2)）。
  層 $\mathcal H^i_Y(F)$ の幾何的点 $\bar y$ での茎は $H^i_{Y_{\bar y}}(X_{\bar y},F)$ である。ここで $X_{\bar y}$ は狭義局所化、$Y_{\bar y}=Y\times_XX_{\bar y}$ である。したがって純性は茎ごとの条件であり、その証明では $X$ を狭義局所としてよい。これに対し群 $H^3_Y(X,\mathbb G_m)$ は $Y$ の大域的な形を拾い、$d=1$ では一般に $0$ にならない。原論文の式番号 (6.1) と定理番号 (6.1)、式番号 (6.2) と系の番号 (6.2) は別のものを指す。

引用する事実

次の事実は証明せずに引用する。出典の該当箇所は本頁では確認していない。

1. 狭義局所なスキームの非輪状性（SGA 4 VIII の型）：狭義局所な $S$ 上の任意のエタール層 $F$ について $H^i(S,F)=0$（$i\ge1$）。
2. 正則局所環の一意分解性（Auslander–Buchsbaum, 1959）。
3. Hartogs 型の延長：正規ネータースキーム上の単数は、余次元 2 以上の閉集合の外から一意に延びる。
4. 捩れ性（II (1.4) として引かれるもの）：$X$ がネーター正則なら、$H^q(X,\mathbb G_m)$ は $q\ge2$ で捩れ群である。ネーター性（とくに準コンパクト性）は落とせない。
5. 生成点への単射性（II (1.8) として引かれるもの）：$X$ がネーター正則なら、$H^2(X,\mathbb G_m)\to\prod_x\mathrm{Br}(\kappa(x))$（$x$ は極大点）は単射である。
6. Kummer 列の極限形（II (3.1)。本書 2-2 の頁）：$\ell$ がネータースキーム $V$ 上可逆なら $0\to\mathrm{Pic}(V)\otimes\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell\to H^2(V,\mu_{\ell^\infty})\to H^2(V,\mathbb G_m)(\ell)\to0$ は完全である。
7. コホモロジー的半純性（原論文は SGA 4 XVI 3.9 と、M. Artin による SGA 4 XX を引く）：場合 c)（$X$ が体上滑らか、$\ell\ne\operatorname{char}k$）と場合 d)（$X$ が標数 $0$ の excellent）では、各 $n$ について $\mathcal H^i_Y(\mu_{\ell^n})=0$（$i<2d$）。
8. 次元 1 以下と次元 2 の正則スキームでの $\mathrm{Br}=H^2$（II (2.2) として引かれるもの）。次元 1 以下のネータースキームでは剰余体の条件なしに成り立ち、正則ネーターで次元 2 以下でも留保なしに成り立つ。II (2.7) の「正則で次元 2」という記載は (2.2) の「次元 2 以下」の要約であって、数学的な差はない（EGA IV・SGA 4 などの標準的な結果による）。
9. Azumaya の定理（I (6.1) として引かれるもの。本書 1-3 の頁）と、2 次元正則局所環の穴あきスペクトル上の Azumaya 代数の順像が再び Azumaya 代数になること（原論文は II (2.2) の証明を参照するだけで番号を挙げない）。
10. 剰余写像（III (2.1)。本書 3-2 の頁）と四元数代数の剰余：完全な剰余体 $\kappa$（標数 $\ne2$）をもつ離散付値環 $A$、素元 $\pi$、単数 $u$ について、剰余写像 $\mathrm{Br}(\operatorname{Frac}A)\to H^1(\kappa,\mathbb Q/\mathbb Z)$ があり、四元数代数 $(u,\pi)_2$ の剰余は $\kappa^\times/(\kappa^\times)^2$ における $\bar u$ の類である。$\operatorname{Spec}A$ 全体から来る類の剰余は $0$ である。

主結果と証明

原論文の §6 は約 5 頁で、低い次数の計算を「直ちに」、帰結を「容易に」で済ませる。本頁は原論文の順に進み、各段で何を使うかを明示する。低い次数の計算の細部は用語解説 Brauer群の純性 にあるので、ここでは要点だけを述べる。

低い次数の局所コホモロジー層（III 式 (6.3)〜(6.6)）

3. を $i=3$ に当てると、純性は、$Y$ の各幾何的点で $\mathrm{Br}'(X_{\bar y}\setminus Y_{\bar y})=0$ となることと言い換えられる。原論文の定義 (6.7) はこの二つの言い方を並べている。

次元 1 の場合（III (6.1) a)）

原論文はここを「第 1 節の管轄である」とだけ書く。前半で使う III (1.1) は、原論文の本文では $R$ が excellent であるという仮定つきで述べられており、狭義 Hensel 化は excellent とは限らない。この仮定は、巻末の正誤表（III 印字 p. 188）で J.-P. Serre の指摘により不要とされている（本書 3-1 の頁）。したがって前半は、正誤表を合わせて読んで初めて閉じる。

余次元 1 についての原論文の見込み

次元 1 の場合を述べた直後に、原論文は一般の $d=1$ について、$\ell$ を $Y$ の剰余標数と異なるものに限れば対 $(X,Y)$ は「つねに」純性を満たすことが「assez plausible」（III 印字 p. 134）だと書く。この見込みは成り立たない。反例は「例と反例」の節にあり、そこで破れているのは $Y$ の正則性である。次元 1 では $Y$ は閉点の集合なので自動的に正則であり、見込みはこの点を一般化しすぎていた。

次元 2 の閉点（III (6.1) b)）

引用 8 を次元 1 の $U$ に当てる段に留保はない：$U$ はネーターで次元 $1$ なので、剰余体の条件なしに II (2.2) が適用できる。この場合だけが $\ell$ の制限なしに純性を与えるのは、Azumaya 代数を余次元 2 の点を越えて延ばす議論が Kummer 列を通らないからである。原論文はこの非対称を説明しない。

滑らかな場合と標数 0 の場合（III (6.1) c) d)）

$d\ge2$ が効くのは (b) の不等式 $3<2d$ だけである。原論文はこの定理の場合 c) d) を余次元の制限なしに印字しているが、原論文の証明も同じく引用 7 の消滅を $i=3$ に当てる形であり、$d=1$ では何も与えない。したがって、原論文の証明自体が $d=1$ を覆っていない。印字のままの形が偽であることは、下の反例が示す。
原論文は、$\ell$ に関する純性が「各 $n$ について $\mathcal H^3_Y(\mu_{\ell^n})=0$」と同値であることも「難なく分かる」と書く。実際、$\ell$ が $X$ 上可逆なとき、Kummer 列の局所コホモロジー層の長完全列で $\mathcal H^2_Y(\mathbb G_m)=0$（低い次数の命題の 4）なので、$\mathcal H^3_Y(\mu_{\ell^n})$ は $\mathcal H^3_Y(\mathbb G_m)$ の $\ell^n$ 倍の核に等しく、同値は $d$ によらず成り立つ。上の証明はこのうち十分性の向きだけを、$\mathcal H^3_Y(\mu_{\ell^n})$ の消滅を引用 7 から得る形で使っている。

余次元 2 以上の閉集合の除去（III (6.2)、$d\ge2$）

原論文の系 (6.2) は、この主張を定理 (6.1) の条件のもとで述べ、根拠を「$d\ge2$ なら $i\le3$ で $\mathcal H^i_Y(\mathbb G_m)(\ell)=0$」とする。その消滅は場合 c) d) では引用 7 から来る。ところが §7 の定理 (7.4)（本書 5-2 の頁）は、定理 (6.1) の条件ではなく純性だけを仮定してこの系を使う。本頁の形は純性だけを仮定し、引用 7 を使わないので、§7 から呼ぶことができる。定理 (6.1) の b) c) d) のもとでは、この形から原論文の系の $d\ge2$ の場合が出る（a) は $\dim X=1$ なので $d\ge2$ では空である）。
(c) で $X$ のネーター性を落とすことはできない。たとえば $p$ 進体を可算無限個並べた直和 $V=\bigsqcup_n\operatorname{Spec}\mathbb Q_p$ は局所ネーター正則だが、$H^2(V,\mathbb G_m)=\prod_n\mathrm{Br}(\mathbb Q_p)$ は第 $n$ 成分に位数 $n$ の元を並べた無限位数の元をもつ（局所類体論により $\mathrm{Br}(\mathbb Q_p)\cong\mathbb Q/\mathbb Z$）。

正則因子の場合（III (6.2)、$d=1$）

原論文は $d=1$ の場合の純性の根拠を定理 (6.1) に置くが、定理 (6.1) の c) d) は $d=1$ では成り立たない。本頁は $Y$ の正則性を補い、消滅の形（引用 7）の代わりに Gysin の形を使って純性を回復した。この Gysin の形は原論文が引く形ではなく、原論文が引く SGA 4 の結果がこの一般性を覆うかを本書は確かめていない。正則な対についての絶対純性は後に一般に示された（「その後の発展」）ので、この定理はその結果に依存している可能性がある。原論文は第 3 項を $H^1(Y_i,\mathbb Q_\ell/\mathbb Z_\ell)$ と和の記号なしに印字し、別の箇所では $H^1(Y,\mathbb Q/\mathbb Z)$ と書く。$Y$ が正則なら成分は交わらないので、両者は同じものである。原論文はまた、この列が III (2.1) の完全列を本質的に含むと注意している。

例と反例

破れの原因は、$Y$ が原点で二本の分枝をもつために、補集合の上で $x$ と $y$ がともに単数になり、独立な二つの単数から四元数代数が作れることにある。$Y$ を $V(x)$ だけにすると $y$ は補集合の上で単数でなく、この構成はできない。実際 $V(x)$ は正則因子なので、正則因子の定理が当たる。

その後の発展

以下は原論文（1966 年の講演、1968 年刊）より後の展開であり、本頁では出典を確認していない。

• 絶対純性。原論文の時点で、$\ell$ が可逆な場合のコホモロジー的純性は、体上滑らかな場合（SGA 4 XVI）と標数 0 の excellent な場合（M. Artin、SGA 4 XX）しか知られていなかった。一般の正則な対についての絶対純性は O. Gabber により示され、その証明は藤原一宏による解説（2002 年）や、Gabber の仕事をまとめた論文集（Astérisque 363–364、2014 年）に記録されているとされる。これにより、本頁の正則因子の定理や定理 (6.1) c) d) の型の主張は、滑らかさや標数 0 の仮定なしに、正則な対について成り立つとされる。
• Brauer 群の純性そのもの。余次元 2 以上の閉集合を除いても $\mathrm{Br}$ が変わらないという主張は、剰余標数の素数の部分も含め、正則なスキーム一般について K. Česnavičius により示された（2019 年に論文として出版）とされ、それ以前に Gabber による部分的な結果があったとされる。これは本書 5-2 の頁で扱う原論文の問い（標数 $p$ の 3 次元での $p$ 準素部分）に直接かかわる。
• 後の文献では、純性は正則な対 $(X,Y)$（$Y$ も正則）について述べるのが標準になったとされる。上の反例はその理由の一つを示している。

原論文との対応表

参考文献

• A. Grothendieck, Le groupe de Brauer III : exemples et compléments, in Dix exposés sur la cohomologie des schémas, North-Holland / Masson, 1968, pp. 88–188（§6 は pp. 133–137、正誤表は p. 188）。
• A. Grothendieck, Le groupe de Brauer I, II, 同書 pp. 46–66, 67–87。
• M. Artin, A. Grothendieck, J.-L. Verdier, Théorie des topos et cohomologie étale des schémas（SGA 4）, Lecture Notes in Math. 269, 270, 305, Springer, 1972–1973。
• M. Auslander, D. A. Buchsbaum, Unique factorization in regular local rings, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 45 (1959)。
• K. Fujiwara, A proof of the absolute purity conjecture (after Gabber), in Algebraic Geometry 2000, Azumino, Adv. Stud. Pure Math. 36, 2002。
• K. Česnavičius, Purity for the Brauer group, Duke Math. J. 168 (2019)。