3-1 次元 1 以下の体

Ser64 の第 I 章 §3–§4 と第 II 章 §2 にある事実として引用する（本頁では章の中の番号を挙げない）。

$D$ を分解する有限次 Galois 拡大 $L/K$ と $L$ 代数の同型 $\varphi\colon D\otimes_KL\cong M_n(L)$ をとる（本書 1-2）。多項式環 $L[x_1,\dots,x_{n^2}]$ の中で $P(x)=\det\varphi\bigl(\sum_ix_ie_i\otimes1\bigr)$ と置くと、$P$ は次数 $n$ の形式である。
別の同型 $\varphi'$ をとっても、Skolem–Noether の定理により $\varphi'=g\varphi g^{-1}$（$g\in\mathrm{GL}_n(L)$）なので行列式は多項式として変わらない。$\sigma\in\operatorname{Gal}(L/K)$ について $\sigma\circ\varphi\circ(1\otimes\sigma^{-1})$（行列の成分に $\sigma$ を施す）も同型だから、$P$ の係数に $\sigma$ を施した多項式は $P$ 自身に等しい。よって $P$ の係数は $K$ に属する。これを $\mathrm{Nrd}$ と置く。
$a\in D$ の左乗法 $\lambda_a\colon D\to D$ は $K$ 線形で、$L$ へ係数拡大すると $M_n(L)$ 上の左乗法 $\varphi(a\otimes1)\cdot$ になる。$M_n(L)$ を $L^n$ の $n$ 個の直和と見れば、その行列式は $\det\varphi(a\otimes1)^n$ である。したがって $\det\lambda_a=\mathrm{Nrd}(a)^n$。$D$ は有限次元なので $a$ が可逆であることと $\lambda_a$ が全単射であることは同値であり、$D$ は斜体なので $a\ne0$ と $a$ 可逆は同値である。よって $\mathrm{Nrd}(a)=0\iff a=0$。

段 1：$(C_1)$ は有限次拡大へ遺伝する。 $L/K$ を $m$ 次拡大、$f$ を $L$ 係数の $n$ 変数・次数 $d$（$0< d< n$）の形式とする。$L$ の $K$ 基底 $w_1,\dots,w_m$ をとり、$x_j=\sum_iy_{ij}w_i$（$y_{ij}$ は $mn$ 個の新しい変数）と置く。ノルム $N_{L/K}$ は $L$ の $K$ 座標について次数 $m$ の形式（乗法写像の行列式）であり、$f(x(y))$ の各座標は $y$ の次数 $d$ の形式だから、$g(y)=N_{L/K}(f(x(y)))$ は $K$ 係数の $mn$ 変数・次数 $dm$ の形式である。$dm< nm$ なので $g$ は非自明な零点 $y$ をもつ。$y\mapsto x$ は $K$ 線形同型なので $x\ne0$ であり、$N_{L/K}(f(x))=0$ である。ノルムは $0$ でない元で $0$ にならないから $f(x)=0$。よって $L$ も $(C_1)$ である。
段 2：$(C_1)$ 体の Brauer 群は $0$。 $D$ を $K$ 上の中心斜体、$\dim_KD=n^2$ とする。$n\ge2$ なら $n< n^2$ だから、 被約ノルム の形式 $\mathrm{Nrd}$ に $(C_1)$ を当てはめて非自明な零点を得る。これは $0$ でない元 $a$ で $\mathrm{Nrd}(a)=0$ となるものを与え、補題に反する。よって $n=1$、$D=K$ であり、$\mathrm{Br}(K)=0$。
段 1 により $K$ の任意の有限次拡大も $(C_1)$ なので、段 2 をそれに適用すればよい。

1 の証明。 $\ell\ne p$ を固定し、$L/K$ を任意の有限次分離拡大とする。$L'=L(\mu_\ell)$ と置くと $[L':L]$ は $\ell-1$ を割るので $\ell$ と素である。$L'$ 上では $\mu_\ell\cong\mathbb Z/\ell\mathbb Z$ である。$\ell$ は $L'$ で可逆なので Kummer完全列 $1\to\mu_\ell\to\mathbb G_m\xrightarrow{\ell}\mathbb G_m\to1$ が使え、Hilbert の定理 90 により $H^1(L',\mathbb G_m)=0$ だから
$$0\to H^2(L',\mu_\ell)\to H^2(L',\mathbb G_m)=\mathrm{Br}(L')$$
が完全である。$L'/K$ は有限次なので仮定より $\mathrm{Br}(L')=0$、よって $H^2(L',\mathbb Z/\ell\mathbb Z)=0$。
制限と余制限の合成 $\operatorname{cor}\circ\operatorname{res}$ は $[L':L]$ 倍であり、$H^2(L,\mathbb Z/\ell\mathbb Z)$ は $\ell$ で消えるので、$\operatorname{res}\colon H^2(L,\mathbb Z/\ell\mathbb Z)\to H^2(L',\mathbb Z/\ell\mathbb Z)$ は単射である。したがって $H^2(L,\mathbb Z/\ell\mathbb Z)=0$。$\operatorname{Gal}(K^{\mathrm s}/K)$ の開部分群は有限次分離拡大 $L$ の Galois 群なので、 判定法 の 1 により $\operatorname{cd}_\ell(K)\le1$。
2 の証明。 次の四段に分ける。
(a) $i=1$ は Hilbert の定理 90 である。$i=2$ は $H^2(K,\mathbb G_m)=\mathrm{Br}(K)=0$（仮定）である。
(b) $i\ge1$ で $H^i(K,\mathbb G_m)$ は捩れ群である。実際、離散加群 $M$ について $H^i(G,M)=\varinjlim_UH^i(G/U,M^U)$（$U$ は開正規部分群）であり、有限群の $i\ge1$ 次コホモロジーは群の位数で消える。
(c) $\ell\ne p$、$i\ge2$ のとき $H^i(K,\mathbb G_m)(\ell)=0$。1 により $H^i(K,\mu_\ell)=0$（$i\ge2$）なので、Kummer 列の長完全列 $H^i(K,\mu_\ell)\to H^i(K,\mathbb G_m)\xrightarrow{\ell}H^i(K,\mathbb G_m)$ から、$\ell$ 倍は単射である。
(d) $p>0$、$i\ge3$ のとき $H^i(K,\mathbb G_m)(p)=0$。標数 $p$ では $x\mapsto x^p$ は $(K^{\mathrm s})^\times$ 上単射なので、離散加群の完全列 $0\to(K^{\mathrm s})^\times\xrightarrow{p}(K^{\mathrm s})^\times\to C\to0$ がある。$C$ は $p$ で消える（$x$ の類の $p$ 倍は $x^p$ の類で $0$）。 判定法 の 3 により $\operatorname{cd}_p(K)\le1$ なので、$i-1\ge2$ で $H^{i-1}(K,C)=0$。長完全列 $H^{i-1}(K,C)\to H^i(K,\mathbb G_m)\xrightarrow{p}H^i(K,\mathbb G_m)$ から $p$ 倍は単射である。
(b)(c)(d) により、$i\ge3$ では捩れ群 $H^i(K,\mathbb G_m)$ のすべての素数準素部分が $0$、したがって群全体が $0$ である。(a) と合わせて結論を得る。

$q=p^m$ とし、$f$ を $\mathbb F_q$ 係数の $n$ 変数・次数 $d$（$0< d< n$）の形式とする。$N$ を $f$ の $\mathbb F_q^n$ における零点の個数とする。$a\in\mathbb F_q$ について $a^{q-1}$ は $a\ne0$ なら $1$、$a=0$ なら $0$ だから、$\mathbb F_q$ の中で
$$N\cdot1=\sum_{x\in\mathbb F_q^n}\bigl(1-f(x)^{q-1}\bigr).$$
右辺の多項式 $1-f^{q-1}$ の単項式 $x_1^{m_1}\cdots x_n^{m_n}$ について、$\sum_{x\in\mathbb F_q^n}x_1^{m_1}\cdots x_n^{m_n}=\prod_i\sum_{t\in\mathbb F_q}t^{m_i}$（$0^0=1$ と約束する）であり、$\sum_{t\in\mathbb F_q}t^m$ は $m>0$ かつ $(q-1)\mid m$ のとき $-1$、それ以外（$m=0$ を含む）のとき $0$ である。$\deg(1-f^{q-1})\le d(q-1)< n(q-1)$ なので、各単項式で $\sum_im_i< n(q-1)$ となり、ある $i$ で $m_i< q-1$、したがってその因子は $0$ である。よって $N\equiv0\pmod p$。$x=0$ は零点なので $N\ge1$、したがって $N\ge p\ge2$ で、非自明な零点がある。

前半は 定理 と 定理 による。有限斜体 $D$ の中心は有限体 $\mathbb F_q$ で、$D$ はその上の中心斜体だから、$\mathrm{Br}(\mathbb F_q)=0$ により $D=\mathbb F_q$ である。

1 は、$k$ 上有限生成の場合が Tsen の定理 Tse33 である。一般の場合は $K$ が有限生成な部分体の代数拡大であるから、前節の観察（$(C_1)$ 体の代数拡大は $(C_1)$）により従う。2 は Lang Lan52 による。原論文 III (1.1) は 2 を「excellent」の仮定つきで引いており、本頁もその形で引用する。

Hensel 離散付値体の分岐理論（Serre『局所体』Ser62 の完備な場合と同じ形で Hensel な場合にも成り立つ。本頁では引用する）により、剰余体が分離閉だから $K$ の非自明な不分岐拡大は無く、$G_K=\operatorname{Gal}(K^{\mathrm s}/K)$ は惰性群に等しい。その野性分岐群 $P$ は正規な pro-$p$ 部分群（$p=0$ なら自明）で、$G_K/P\cong\prod_{q\ne p}\mathbb Z_q$ である。具体的には、$p$ と素な次数 $e$ の分離拡大は、素元 $\pi$ の $e$ 乗根を添加した巡回拡大 $K(\pi^{1/e})$ に限る（$\mu_e\subset K$ は Hensel の補題による）。
$\ell\ne p$ だから、$G_K$ の $\ell$-Sylow 部分群は $P$ と交わらず、商の $\ell$-Sylow 部分群 $\mathbb Z_\ell$ へ同型に写る。 判定法 の 2 により $\operatorname{cd}_\ell(K)=\operatorname{cd}_\ell(\mathbb Z_\ell)=1$。
$H^i(K,\mathbb G_m)(\ell)=0$ は、$i=1$ が Hilbert の定理 90、$i\ge2$ が 定理 の証明の (b)(c) と同じ議論（(c) は $\operatorname{cd}_\ell\le1$ だけを使っている）による。

(ii) は 前の定理 そのものである。
(i) を示す。$\bar k$ を $k$ の代数閉包とすると、$k$ が分離閉なので $\bar k/k$ は純非分離である。$K$ の代数閉包の中で合成体 $\bar K=K\bar k$ をとると、$\bar K/K$ も純非分離である。純非分離拡大は分離閉包の Galois 群を変えないので $G_K\cong G_{\bar K}$、したがってすべての $\ell$ で $\operatorname{cd}_\ell(K)=\operatorname{cd}_\ell(\bar K)$ である。$\bar K$ は代数閉体 $\bar k$ 上の超越次数 1 の体なので、 Tsen の定理 と 定理 ・ 定理 により $\operatorname{cd}_\ell(\bar K)\le1$。$H^i(K,\mathbb G_m)(\ell)=0$ は前の定理の証明の最後の段と同じ議論による。
等号について。$\operatorname{cd}_\ell(K)\ge1$ を言うには、次数 $\ell$ の巡回拡大を一つ作って $H^1(K,\mathbb Z/\ell\mathbb Z)\ne0$ を示せばよい。(ii) では $\mu_\ell\subset K$（Hensel の補題）で、素元 $\pi$ は $\ell$ 乗でないから、Kummer 理論により $K(\pi^{1/\ell})/K$ は次数 $\ell$ の巡回拡大であり、$H^1(K,\mathbb Z/\ell\mathbb Z)\ne0$、よって $\operatorname{cd}_\ell(K)\ge1$。(i) で $K$ が $k$ 上有限生成なら、$K$ は $k$ 上の正則な曲線の関数体として離散付値をもち、その付値の素元について同じ議論が使える（$\mu_\ell\subset k\subset K$）。

$t=\theta^p-\theta$ は $\theta$ の $p$ 次多項式なので $L=k(\theta)$ で $[L:K]=p$ であり、$\theta\mapsto\theta+i$（$i\in\mathbb F_p$）が $L/K$ の自己同型を与えるから、$L/K$ は $\sigma$ で生成される巡回拡大である。
巡回多元環 $(L/K,\sigma,a)$ は $K$ 上の中心単純環で、その類が $0$ であることと $a\in N_{L/K}(L^\times)$ は同値である。また類の位数は $[L:K]=p$ を割る。これらは巡回多元環の標準的な性質として GS17 から引用する。
$a$ がノルムでないことを示す。$h\in L^\times=k(\theta)^\times$ を $h=cF/G$（$c\in k^\times$、$F,G$ は $\theta$ のモニック多項式）と書くと、
$$N_{L/K}(h)=\prod_{i\in\mathbb F_p}h(\theta+i)=c^p\,\frac{\prod_iF(\theta+i)}{\prod_iG(\theta+i)}$$
で、分子・分母は $\theta$ のモニック多項式である。$N_{L/K}(h)=a$ なら $\prod_iF(\theta+i)=(a/c^p)\prod_iG(\theta+i)$ が多項式として成り立ち、最高次の係数を比べて $a=c^p\in k^p$ となり仮定に反する。よって $[\mathcal A]\ne0$ で、位数は $p$ である。

段 1：被約化への帰着。 $X$ はネーターなので、冪零根基のイデアル層 $\mathcal N$ は連接で、ある $r$ で $\mathcal N^r=0$ である。$X_0=X_{\mathrm{red}}$ と置く。冪零な閉埋め込み $X_0\to X$ はエタールサイトを変えないので（SGA4 VIII にある事実として引用する）、以下では同じサイトの上の層として考える。エタールな $U\to X$ について、$\mathcal O(U)$ の元はその $\mathcal N$ による像が可逆なら可逆なので、層の完全列
$$1\to1+\mathcal N\to\mathbb G_{m,X}\to\mathbb G_{m,X_0}\to1$$
がある。$j\ge1$ について $a,b\in\mathcal N^j$ なら $ab\in\mathcal N^{j+1}$ なので、$1+a\mapsto a$ は群の層の同型 $(1+\mathcal N^j)/(1+\mathcal N^{j+1})\cong\mathcal N^j/\mathcal N^{j+1}$ を与える。右辺は $X_0$ 上の連接層であり、準連接層のエタールコホモロジーは Zariski コホモロジーに一致し（SGA4 VII にある事実として引用する）、$\dim X\le1$ なので Grothendieck の消滅定理によりその $H^2$ は $0$ である。$j=r-1,r-2,\dots,1$ の順に長完全列を使うと $H^2(X,1+\mathcal N)=0$ を得る。よって
$$H^2(X,\mathbb G_m)\to H^2(X_0,\mathbb G_m)\quad\text{は単射}$$
である。
段 2：被約な場合。 $X_0$ は被約ネーターで次元 1 以下、閉点の剰余体は $k$ で分離閉である。この条件のもとで、$H^2(X_0,\mathbb G_m)$ から $X_0$ の極大点 $\eta_i$ での $\bigoplus_iH^2(\kappa(\eta_i),\mathbb G_m)$ への制限は単射である（原論文 II (1.8)。本書第 2 章「$\mathrm{Br}$ と $\mathrm{Br}'$」の頁で扱う。本頁では引用する）。次元 1 の成分では $\kappa(\eta_i)$ は $k$ 上超越次数 1 なので、 Tsen の定理 により $\mathrm{Br}(\kappa(\eta_i))=0$ である。次元 0 の成分では $\kappa(\eta_i)=k$ で、代数閉体上の中心斜体は $k$ に限るので $\mathrm{Br}(k)=0$ である（この場合は Tsen の定理の範囲外なので別に扱った）。よって $H^2(X_0,\mathbb G_m)=0$。
段 3。 段 1・2 から $H^2(X,\mathbb G_m)=0$。Azumaya 代数による Brauer 群は $H^2(X,\mathbb G_m)$ に単射で入る（本書 1-3）ので $\mathrm{Br}(X)=0$。