1-3 スキーム上の Azumaya 代数と PGL トーサー

要約。スキーム $X$ 上の Azumaya 代数を「有限局所自由で、各点のファイバーが中心単純な代数」と定義し、これがエタール局所に行列代数となる代数と同じであることを示す。行列代数の自己同型の層は $\mathrm{PGL}_r$ なので、階数 $r^2$ の Azumaya 代数は $\mathrm{PGL}_r$ トーサーと一対一に対応し、中心拡大 $1\to\mathbb G_m\to\mathrm{GL}_r\to\mathrm{PGL}_r\to1$ の余境界が単射 $\mathrm{Br}(X)\hookrightarrow H^2(X,\mathbb G_m)$ を与える。Hensel 局所環の上では Azumaya 代数は閉ファイバーで決まり、$\mathrm{Br}(X)\cong\mathrm{Br}(x)$ となる。Zariski 位相では「局所的に行列代数」が成り立たないこと、非被約なスキームでは「全射で分裂する」だけでは Azumaya 代数にならないこと、単元群だけでは $A$ と $A^{\mathrm{op}}$ を区別できないことも例で示す。

1. この頁で示すこと

$X$ をスキーム、$A$ を準連接 $\mathcal O_X$ 代数で、$\mathcal O_X$ 加群として有限表示なものとする。

• 定理 A（特徴づけ）.次は同値である。(i) $A$ は局所自由で、各点 $x$ でファイバー $A(x)=A_x\otimes\kappa(x)$ が $\kappa(x)$ 上中心単純。(ii) $A$ は局所自由（階数正）で、$A\otimes_{\mathcal O_X}A^{\mathrm{op}}\to\mathcal End_{\mathcal O_X}(A)$ が同型。(iii) 各点に開近傍 $U$、$r\ge1$、有限エタール全射 $U'\to U$ があって $A_{U'}\cong M_r(\mathcal O_{U'})$。(iv) fppf 被覆 $X'\to X$ があって $A_{X'}$ が局所的に行列代数。このような $A$ を Azumaya 代数という（Azumaya代数）。さらに、(iii) の $U'\to U$ を単に全射とした条件 (iii)′ は、$X$ が被約なら (i)–(iv) と同値だが、一般には同値でない。（原論文 I (5.1)–(5.5)、(5.7)。(iv) と (iii)′ の扱いは、原論文の (iii) bis を正しい形に直したもの。§5 の反例「原論文の (iii) bis」。）
• 定理 B（Skolem–Noether の局所版）.局所環 $R$ 上で $M_r(R)$ の自己同型はすべて内部で、$\operatorname{Aut}(M_r)=\mathrm{PGL}_r$。したがって $\operatorname{Az}_r(X)\cong H^1(X,\mathrm{PGL}_r)$（エタール位相でも fppf 位相でも同じ）。（I (5.10)、(5.11)。）
• 定理 C.余境界は単射な群準同型 $\delta\colon\mathrm{Br}(X)\hookrightarrow H^2(X,\mathbb G_m)$ を与え、階数 $r^2$ の代数の類は $r$ で消える。（I §2 の (2.1) と §5 を合わせたもの。II §0 の冒頭で前提とされる。）
• 定理 D（Azumaya）.$R$ を Hensel 局所環、$k$ をその剰余体とすると、制限 $\operatorname{Az}_r(R)\to\operatorname{Az}_r(k)$ は全単射で、$\mathrm{Br}(R)\to\mathrm{Br}(k)$ は同型。（I (6.1)、(6.2)。）
• 補足 E（線形群の内部形式）.$\mathrm{PGL}_r$ トーサーは $\mathrm{GL}_r$ の内部形式とも対応するが、群 $A^\times$ だけでは $A$ と $A^{\mathrm{op}}$ を区別できない。（I (7.1)–(7.5)、II §0。）

2. 背景と動機

1-1 の位相空間の理論をスキームへ移すとき、「局所的に行列代数」の「局所的」を何と読むかが最初の問題になる。Zariski 位相では、体 $k$ の中心単純環 $A\ne M_r(k)$ ですら $\operatorname{Spec}k$ の上で局所的に行列代数にならない。一方 1-2 で見たように、中心単純環は分離的な拡大で分裂する。したがって正しい局所性はエタール位相の局所性であり、そこでは Azumaya 代数が $\mathrm{PGL}_r$ トーサーとして分類され、1-1 と同じ余境界の議論がエタールコホモロジーで働く（エタールコホモロジー）。
Grothendieck の講演 I が、Azumaya・Auslander–Goldman の環の理論をスキームへ移すこと自体を「本質的に自明」と評したのは、この辞書が一度立てば議論が形式的になるからである。本頁ではその辞書を、局所環上の二つの事実（定理 B と、Hensel 局所環上の分裂）から組み立てる。

3. 定義と準備

• ファイバー.$A(x)=A_x\otimes_{\mathcal O_{X,x}}\kappa(x)$。
• $\mathrm{PGL}_r$.$M_r$ の代数自己同型の群スキーム。射影空間 $\mathbb P(M_r)$ の中の $\det\ne0$ の開部分として $\mathbb Z$ 上アフィンで滑らかな群スキームであり、$\mathrm{GL}_r\to\mathrm{PGL}_r$ は Zariski 局所に自明な $\mathbb G_m$ トーサーである（$x_{ij}\ne0$ の上で $y\mapsto y/y_{ij}$ が切断）。したがって $\mathrm{PGL}_r$ は $\mathrm{GL}_r/\mathbb G_m$ の Zariski 層としての商を表現する。
• トーサー.群層 $G$ が単純推移的に作用し、局所的に切断をもつ層（トーサー）。$H^1(X,G)$ はその同型類の点付き集合。
• Hensel 局所環.剰余体上の単根が持ち上がる局所環。狭義 Hensel 局所環は、さらに剰余体が分離閉なもの（狭義Hensel局所環）。$\mathcal O_{X,x}^{\mathrm{sh}}$ は $x$ の上の幾何的点のエタール近傍の局所環の帰納極限である。
• 極大エタール部分代数.階数 $r^2$ の $A$ の部分代数 $L$ で、有限エタール（可換、有限局所自由、ファイバーがエタール）で階数 $r$、包含がファイバーごとに単射なもの。切断 $\xi$ は、$\mathcal O_X[\xi]$ が極大エタール部分代数になるとき正則という。
  本頁で引用として使う事実（証明しない）：
• (F1) Hensel 局所環 $R$ 上の有限な可換 $R$ 代数では、剰余環の冪等元が冪等元に持ち上がる。
• (F2) Hensel 局所環 $R$ 上の滑らかなスキーム $Y$ について、$Y(R)\to Y(k)$ は全射（Hensel の補題の幾何的な形）。
• (F3) 有限表示の対象と射は帰納極限と交換する（$\varinjlim$ の議論）。とくに $\mathcal O_{X,x}^{\mathrm{sh}}$ 上の有限表示代数の同型は、あるエタール近傍の上で既に成り立つ。
• (F4) 忠実平坦準コンパクトな射に沿って、準連接加群・アフィン射は降下し、線形写像が同型であることや、加群が有限表示・平坦であることも降りる。滑らかさは、滑らかな全射の始域から終域へ降りる。

4. 主結果と証明

4-1. 局所環上の補題

補題 1（分裂した閉ファイバー）.$R$ を Hensel 局所環、$A$ を $R$ 上有限自由な代数で、$A\otimes k\cong M_r(k)$ とする。すると $A\cong M_r(R)$。
証明.$A\otimes k$ の階数 $1$ の冪等元 $e_0$ をとる。$e_0$ の持ち上げ $a\in A$ は左乗法の特性多項式の根なので、$R[a]$ は $R$ 上有限な可換代数である。$R[a]\otimes k$ は Artin 可換環で、その像 $k[e_0]\cong k\times k$ への全射に沿って冪等元は持ち上がる（Artin 可換環は局所環の積）。これを (F1) で $R[a]$ の冪等元 $e$ に持ち上げると、$e$ は $A$ の冪等元で剰余は $e_0$ である。$P=Ae$ は $A$ の直和因子なので $R$ 上射影的、したがって自由で、$P\otimes k=M_r(k)e_0$ は $r$ 次元だから $P\cong R^r$。左乗法 $\lambda\colon A\to\operatorname{End}_R(P)$ は、閉ファイバーで $M_r(k)\to\operatorname{End}_k(k^r)$ の同型になる。両辺は階数 $r^2$ の自由加群なので、中山の補題で $\lambda$ は全射、階数の比較で同型。$\square$
定理 B の証明.$R$ を局所環、$u$ を $M_r(R)$ の自己同型、$e_{ij}$ を行列単位とする。$f=u(e_{11})$ は冪等元で、閉ファイバーでは $u_0$（1-2 の定理 C により内部 $b(\cdot)b^{-1}$）による $e_{11}$ の像だから階数 $1$。よって $fR^r$ は階数 $1$ の射影加群で、$R$ は局所だから $fR^r=Rq$ と書ける。$a\colon R^r\to R^r$ を $a(\varepsilon_i)=u(e_{i1})q$（$\varepsilon_i$ は標準基底）で定めると、
$$u(e_{jl})\,a(\varepsilon_i)=u(e_{jl}e_{i1})q=\delta_{li}\,u(e_{j1})q=a(e_{jl}\varepsilon_i)$$
なので $u(m)a=am$（$m\in M_r(R)$）。閉ファイバーでは $q_0=\lambda be_1$（$\lambda\ne0$）と書け、$a_0(\varepsilon_i)=\lambda b\varepsilon_i$ だから $a_0$ は可逆、よって $a$ は可逆で $u(m)=ama^{-1}$。$am=ma$（全 $m$）なら $a$ はスカラーなので、$a$ は $R^\times$ 倍を除いて一意。以上から $\operatorname{Aut}(M_r(\mathcal O_X))=\mathrm{GL}_r/\mathbb G_m$ が Zariski 位相でも既に成り立ち、§3 によりこれが $\mathrm{PGL}_r$ である。
$\operatorname{Az}_r(X)\cong H^1(X,\mathrm{PGL}_r)$ は次の辞書による：$A$ に対し $\mathcal Isom(M_r,A)$ は（定理 A (iii) により）エタール局所に切断をもつ $\mathrm{PGL}_r$ トーサーであり、逆にトーサー $T$ から $M_r$ を $T$ で捩って代数を作る。捩った対象が実際にスキーム上の代数として存在することは、アフィンな対象の降下が有効であること（F4）による。fppf 位相でも同じ辞書が成り立ち、fppf トーサーから作った代数は定理 A (iv) により Azumaya 代数なので、(iii) によりエタール局所に自明である。よって両者のトーサーの類は一致する。$\square$
補題 2（正則元の延長）.$A$ が (i) をみたし、$x$ での階数が $r^2$、$\xi\in\Gamma(X,A)$ の $A(x)$ での値 $\xi_0$ が正則（$\kappa(x)[\xi_0]$ が次元 $r$ のエタール代数。1-2 の定理 B (a)）なら、$x$ の近傍で $\xi$ は正則である。
証明.$R=\mathcal O_{X,x}$ とし、$A_x$ を階数 $r^2$ の自由 $R$ 代数とする。$1,\xi_0,\dots,\xi_0^{r-1}$ は独立なので、$M=\sum_{i< r}R\xi^i$ は階数 $r$ の自由な直和因子である。要点は $\xi^r\in M$ を示すことである。

• ネーター化.構造定数、$\xi$ の座標、$A\otimes A^{\mathrm{op}}\to\operatorname{End}(A)$ の逆行列の成分、$1,\dots,\xi^{r-1}$ の独立性を与える小行列式の逆元で生成される $R$ の部分環を、$\mathfrak m$ との交わりで局所化したネーター局所環 $\Lambda$ の上で示せば、底変換で $R$ の場合が従う。$\Lambda$ 上でも仮定は保たれる（剰余体上の $\xi$ の値の生成する代数は、独立性から次元 $\ge r$、次数 $r$ の中心単純環の元なので Cayley–Hamilton から次元 $\le r$、底変換がエタールなのでエタール）。
• Artin 化.$R$ がネーターなら Krull の交叉定理で $\bigcap_n\mathfrak m^n(A/M)=0$ なので、各 $R/\mathfrak m^n$ 上で示せばよい。
• Artin 局所環の場合.$A\otimes\kappa$ は有限分離拡大 $\kappa'=\kappa(\alpha)$ で分裂する（1-2 の定理 B (c)）。$\alpha$ の最小多項式のモニックな持ち上げ $g$ で $R'=R[t]/(g)$ とおくと、$R'$ は $R$ 上有限自由で剰余体 $\kappa'$ の局所 Artin 環であり、1-2 の定理 D により $A\otimes R'\cong M_r(R')$。行列 $\xi\otimes1$ は次数 $r$ の特性多項式の根なので $\xi^r\in M\otimes R'$。$R\to R'$ は忠実平坦なので $\xi^r\in M$。
  $\xi^r=\sum_{i< r}a_i\xi^i$ から $P(t)=t^r-\sum a_it^i$ をとると、$R[t]/(P)\to R[\xi]=M$ は同じ階数の自由加群の全射なので同型で、$P$ の剰余は $\xi_0$ の最小多項式だから判別式は単元である。これらの等式と可逆性は $x$ の近傍へ延び、そこで $\mathcal O[\xi]\cong\mathcal O[t]/(P)$ は階数 $r$ の有限エタール部分代数になる。$\square$

（原論文 I (5.8) は、この補題の証明の各段を「通常の技法」「平坦な降下」で済ませている。上の段取りは本頁で補った。I (5.9) は、狭義 Hensel 化で分裂させて Hamilton–Cayley の多項式を降下で作る別の証明を示している。）

4-2. 定理 A の証明

(i)⇔(ii)：$A\otimes A^{\mathrm{op}}\to\mathcal End(A)$ は同じ階数の局所自由加群の射なので、同型であることは各点のファイバーで確かめればよい（中山の補題）。ファイバーでは 1-2 の定理 A の (ii)⇔(iii) である。(i) のファイバーは $0$ でないので階数は正である。
(iii)⇒(iv)：有限エタール全射は fppf 被覆である。
(iv)⇒(ii)：局所自由性（有限表示かつ平坦）と写像の同型性は忠実平坦な底変換から降りる（F4）。$M_r$ は (ii) をみたす。
(i)⇒(iii)：点 $x$ のアフィン近傍 $U=\operatorname{Spec}R$ で $A$ の階数は一定 $r^2$ としてよい。1-2 の定理 B (a) で $A(x)$ の正則元 $\xi_0$ をとり、$U$ 上の切断 $\xi$ に持ち上げると、補題 2 により $U$ を縮めて $L=\mathcal O_U[\xi]$ は極大エタール部分代数になる。$U'=\operatorname{Spec}L\to U$ は有限エタールで、階数 $r\ge1$ なので全射である。
次に、$A$ を右 $L$ 加群とみる。$L_x$ は $R$ 上有限なので半局所環であり、ファイバー $A(x)$ の $L(x)$ 上の基底（1-2 の定理 B (b)）を持ち上げると、中山の補題により $A_x$ は右 $L_x$ 加群として階数 $r$ の自由加群になる。準同型 $v\colon A\otimes_{\mathcal O}L\to\mathcal End_L(A)$、$a\otimes l\mapsto(y\mapsto ayl)$ は階数 $r^2$ の自由 $L_x$ 加群の間の写像で、各剰余体への底変換が 1-2 の定理 B (b) により同型なので、行列式は $L_x$ の単元で、$v$ は同型である。これを近傍へ延ばすと、$U$ を縮めて $A_{U'}\cong\mathcal End_{\mathcal O_{U'}}(E')$（$E'$ は $A$ を $U'$ 上の階数 $r$ の局所自由加群とみたもの）となる。
最後に $E'$ を自由にする。$x$ の上の $U'$ の点は有限個 $x'_1,\dots,x'_s$ であり、それらの外の元の積閉集合 $S$ で局所化した $L_S$ は半局所環なので、階数一定の射影加群 $E'_S$ は自由である。この自由性は、ある $h\in S$ について $D(h)\subset U'$ の上で既に成り立つ。$Z=U'\smallsetminus D(h)$ の像は、有限射が閉写像であることから $U$ の閉集合で、$x$ を含まない。$U_1=U\smallsetminus(Z\text{ の像})$ とおくと、その逆像 $U'_1$ は $D(h)$ に含まれ、$U'_1\to U_1$ は有限エタール全射で、$A_{U'_1}\cong M_r(\mathcal O_{U'_1})$ となる。$\square$
（$U'$ の Zariski 開部分をとるだけでは $U'\to U$ が有限でなくなるので、上のように底 $U$ の側を縮める。）
(iii)′ について.$A$ が局所自由なら、(iii)′ から (i) が従う（全射 $U'\to U$ の点 $x'$ で $A(x)\otimes\kappa(x')\cong M_r(\kappa(x'))$ となるので、$A(x)$ は中心単純）。$X$ が被約なら、同じ式からファイバーの次元は $r^2$ で一定であり、被約なスキーム上の有限表示加群でファイバーの次元が局所定数なものは局所自由なので、(iii)′ から (i) が従う。被約でない $X$ では、この段が成り立たない（§5 の反例「原論文の (iii) bis」）。
（原論文 I (5.4) は、定理 A の証明に使う写像 $v$ を印字では $A\to\mathcal End_L(V)$ と書くが、階数が合わない。正しくは $A\otimes_{\mathcal O_X}L\to\mathcal End_L(V)$ である。原論文 I (5.1) は (i)⇒(iii) を (5.5)・(5.7) から従うとだけ述べる。）

4-3. 定理 C の証明

1-1 の定理 A と同じ議論が、エタール位相の層で成り立つ。中心拡大 $1\to\mathbb G_m\to\mathrm{GL}_r\to\mathrm{PGL}_r\to1$ はエタール層の完全列である（右端の全射性は §3 により Zariski 局所に既に成り立つ）。非可換コホモロジーの余境界 $\delta\colon H^1(X,\mathrm{PGL}_r)\to H^2(X,\mathbb G_m)$ があり（Giraud。引用。階数が一定でない代数にも $\delta$ が定まる）、$\delta(A)=0$ は $A\cong\mathcal End(E)$（$E$ は階数 $r$ の局所自由加群）と同値である。テンソル積との両立、同値類上での well-definedness、単射性は 1-1 の §4-1 (a)(b) の議論がそのまま通る。$r\delta(A)=0$ も、行列式と $r$ 乗写像による中心拡大の射（1-1 の §4-1 (c)）で示せる。この議論は $r$ が $X$ 上可逆であることを使わない。$X$ が準コンパクトなら $A$ の階数は有限個の値しかとらないので、$\mathrm{Br}(X)$ は捩れ群である。$\square$
注意.$r$ が可逆なら、$1\to\mu_r\to\mathrm{SL}_r\to\mathrm{PGL}_r\to1$ がエタール層の完全列になり、$\delta(A)$ は $H^2(X,\mu_r)$ の元 $\delta_r(A)$ から来る。$r$ が可逆でないときは、この列は fppf 位相でのみ完全である（第4章）。

4-4. 定理 D の証明

単射性.$A,A'\in\operatorname{Az}_r(R)$ の閉ファイバーが同型とする。代数の同型のスキーム $I=\mathcal Isom_{\text{alg}}(A,A')$ は、$A,A'$ が自由なので $\mathcal Hom_R(A,A')\times\mathcal Hom_R(A',A)$ の中の方程式で定まる $R$ 上アフィンな有限表示スキームであり、$A,A'$ がともにエタール局所に $M_r$ に同型であること（定理 A）と定理 B により、$\mathrm{PGL}_r$ トーサーである。したがって $I$ は $R$ 上滑らかで、仮定から $I(k)\ne\emptyset$。(F2) により $I(R)\ne\emptyset$、すなわち $A\cong A'$。
全射性.$s=r^2$ とし、$\mathbb Z$ 上の $s$ 次元の代数の構造定数と単位元のうち、結合律と単位元の条件（閉条件）と、$A\otimes A^{\mathrm{op}}\to\operatorname{End}(A)$ の行列式の可逆性（開条件）をみたすもののなすアフィンスキームを $\Sigma$ とする。定理 A により、$\Sigma(T)$ は $\mathcal O_T^s$ 上の Azumaya 代数の構造の集合である。$\mathrm{GL}_s$ は $\Sigma$ に作用し、$M_r$ の構造の軌道写像 $\pi\colon\mathrm{GL}_s\to\Sigma$ は、定理 A によりエタール層の全射で、固定化群は定理 B により $\mathrm{PGL}_r$ である。よって $\pi$ は $\Sigma$ 上の $\mathrm{PGL}_r$ トーサーであり、滑らかな全射である。$\mathrm{GL}_s$ は滑らかなので、(F4) により $\Sigma$ も滑らかである。$k$ 上の Azumaya 代数 $A_0$ は基底の選択で $\Sigma(k)$ の点を与え、(F2) で $\Sigma(R)$ の点に持ち上がる。
$\mathrm{Br}$ の同型.$\mathrm{Br}(R)\to\mathrm{Br}(k)$ の全射性は上から明らか。単射性：$[A_0]=0$ なら $A_0\cong M_r(k)$（体上では類 $0$ の中心単純環は行列環：Wedderburn の分解の一意性）で、補題 1 により $A\cong M_r(R)$。$\square$
注意.原論文 I (6.1) の証明は、単射性の筋と $\Sigma$ の滑らかさだけを述べ、一般の場合を非可換 Galois コホモロジーの結果に委ねる。上の証明は同じ筋の細部を補ったものである。Hensel でない局所環では (F2) が使えず、定理 D は成り立たない（例 3）。

4-5. 補足 E：線形群の内部形式

$\mathrm{PGL}_r$ は内部自己同型によって $\mathrm{GL}_r$ に作用する。トーサー $T$ で $\mathrm{GL}_r$ を捩った群スキーム $G_T$ は $\mathrm{GL}_r$ の内部形式と呼ばれ、Azumaya 代数 $A$ に対応するものは単元群 $A^\times$（$X'\mapsto\Gamma(X',A_{X'})^\times$）である。同様に既約ノルム $A^\times\to\mathbb G_m$ の核が $\mathrm{SL}_r$ の内部形式、$A^\times/\mathbb G_m=\mathcal Aut(A)$ が $\mathrm{PGL}_r$ の内部形式を与える。
どの $r\ge1$ でも、$\mathrm{GL}_r$ の外部自己同型の群スキームは $\mathbb Z/2$ で、非自明元は転置逆 $g\mapsto{}^tg^{-1}$ である（中心 $\mathbb G_m$ に逆元をとる形で作用するので内部ではない）。$\mathrm{SL}_r$ と $\mathrm{PGL}_r$ の外部自己同型の群は、$r\ge3$ で $\mathbb Z/2$、$r\le2$ で自明であり、$r\le2$ ではこれらの群の形式はすべて内部形式である（引用：分裂簡約群の自己同型群の構造）。群 $G$ だけを見ると、$\mathrm{GL}_r$ の外部自己同型の分の情報が失われる（例 4）。
極大エタール部分代数 $L$ は $A^\times$ の極大トーラス $L^\times$ に対応し、原論文 I (7.5) はこの対応を群スキームの極大トーラスの理論と並べている。II §0 は、$\mathrm{GL}_r$ の形式が Zariski 局所に自明であることと、Zariski 局所に自明な極大トーラスをもつことが同値であると補う（一般の簡約群については引用）。Azumaya 代数の場合は次のように直接示せる：自明な極大エタール部分代数 $L\cong\mathcal O^r$ があれば、$\operatorname{Spec}L\to X$ の切断は $L$ の冪等元 $e$ で $Le\cong\mathcal O$ となるものに対応し、$Ae$ は（幾何的ファイバーで行列単位に共役なので）階数 $r$ の局所自由加群で、左乗法 $A\to\mathcal End(Ae)$ は階数の等しい Azumaya 代数の射として同型である。よって $A$ は Zariski 局所に $M_r$ に同型である。逆は対角行列の部分代数をとればよい。

5. 例と反例

例 1（Zariski 位相では局所的に行列代数にならない）.$k=\mathbb R$、$A=\mathbb H$ とする。$\operatorname{Spec}\mathbb R$ は一点なので、Zariski 局所に $M_2$ ということは $\mathbb H\cong M_2(\mathbb R)$ を意味し、偽である。しかし $\mathbb H$ は定理 A の (i)(ii) をみたし、有限エタール全射 $\operatorname{Spec}\mathbb C\to\operatorname{Spec}\mathbb R$ で分裂するので、Azumaya 代数である。「Zariski 局所に行列代数」は Azumaya 代数より真に狭い条件である（原論文 I (5.12)）。

例 2（Hensel 局所環上の分裂）.$R$ を Hensel 局所環で剰余体が有限体 $\mathbb F_q$ のもの（たとえば $\mathbb Z_p$）とする。$\mathrm{Br}(\mathbb F_q)=0$（Wedderburn の定理）なので、定理 D により $\mathrm{Br}(R)=0$ で、$R$ 上の階数 $r^2$ の Azumaya 代数はすべて $M_r(R)$ に同型である。
例 3（Hensel 性は必要）.$R=\mathbb Z_{(p)}$（$p$ で局所化した整数環。Hensel ではない）、$k=\mathbb F_p$ とする。$\mathrm{Br}(\mathbb F_p)=0$ である。一方 $\mathrm{Br}(\mathbb Z_{(p)})\to\mathrm{Br}(\mathbb Q)$ は単射であり（2-1 の定理 A）、$\mathrm{Br}(\mathbb Z_{(p)})\ne0$ であることが次のように分かる。$p\ne2$ として、$\mathbb Q$ 上の四元数代数 $(-1,-1)$ は $2$ と $\infty$ でのみ分岐し（引用：局所類体論による不変量の計算）、$\mathbb Z_{(p)}$ 上では $i^2=j^2=-1$、$ij=-ji$ の $\mathbb Z_{(p)}$ 代数が Azumaya 代数になる（判別式が $4$ の冪で、$p$ で可逆）。その類は $\mathrm{Br}(\mathbb Q)$ で非零なので $\mathrm{Br}(\mathbb Z_{(p)})$ でも非零。よって $\mathrm{Br}(\mathbb Z_{(p)})\to\mathrm{Br}(\mathbb F_p)=0$ は単射でなく、定理 D は Hensel でない局所環では成り立たない。
例 4（$A$ と $A^{\mathrm{op}}$ は同じ単元群を与える）.写像 $x\mapsto x^{-1}$ は群の同型 $A^\times\to(A^{\mathrm{op}})^\times$ である（$(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}$ は $A^{\mathrm{op}}$ の積で $x^{-1}\cdot y^{-1}$）。一方、$A\cong A^{\mathrm{op}}$ なら $2[A]=0$ である。体の上では逆も成り立つ（同じ次元・同じ類の中心単純環は同型）が、一般のスキームの上では逆は成り立たない（次の反例）。$\mathbb Q_p$ 上の Hasse 不変量 $1/3$ の次数 $3$ の斜体 $D$（引用：局所類体論で $\mathrm{Br}(\mathbb Q_p)\cong\mathbb Q/\mathbb Z$）をとると、$D^{\mathrm{op}}$ の不変量は $-1/3$ で $D\not\cong D^{\mathrm{op}}$ だが、$D^\times\cong(D^{\mathrm{op}})^\times$。したがって $H^1(X,\mathrm{PGL}_r)\to H^1(X,\operatorname{Aut}(\mathrm{GL}_r))$ は単射ではない（原論文 I (7.4)）。$X$ が連結なら、$A^\times\cong B^\times$（群スキームとして）となるのは $B\cong A$ または $B\cong A^{\mathrm{op}}$ のときに限る：$\operatorname{Aut}(\mathrm{GL}_r)=\mathrm{PGL}_r\rtimes\mathbb Z/2$ のトーサーを $\mathrm{PGL}_r$ で割ったものは自明な $\mathbb Z/2$ トーサーで、その二つの切断が $A$ と、転置で捩った $A^{\mathrm{op}}$ に対応する。

例 5（Azumaya 代数の構成：接合積）.$R'/R$ を Galois 群 $G$ の有限エタール Galois 拡大、$c\in Z^2(G,R'^\times)$ を 2 コサイクルとすると、$\bigoplus_{\sigma\in G}R'u_\sigma$（$u_\sigma\lambda=\sigma(\lambda)u_\sigma$、$u_\sigma u_\tau=c(\sigma,\tau)u_{\sigma\tau}$）は $R$ 上階数 $|G|^2$ の Azumaya 代数で、$R'$ で分裂する。2-1 の定理 C で、局所環上の「有限エタール被覆で消える類」がすべてこの形で表されることを見る。

6. その後の発展

以下は原論文の主張ではなく、後代の結果の紹介である（本頁の執筆時点の知識による。書誌の頁は確認していない）。

• Giraud の非可換コホモロジー（1971）.原論文が「準備中」として引く Giraud の理論は、ジェルブと $H^2$ の対応として刊行された。$\mathrm{Br}'$ の元は $\mathbb G_m$ ジェルブで表され、それが Azumaya 代数から来るかどうか（ジェルブが忠実な局所自由の「捩れ層」をもつか）が $\mathrm{Br}=\mathrm{Br}'$ の問題の現代的な言い方になった。
• Grothendieck–Serre 予想.II (1.11) a) は「正則局所スキーム上の半単純群のトーサーで生成点で自明なものは自明」を予想した（2-1 の §6）。$\mathrm{PGL}_r$ の場合はこの頁の辞書と 2-1 の単射性で成り立つ。一般の場合は多くの場合に解決された（等標数の場合は Fedorov–Panin ら）。
• **極大トーラスと正則元.**原論文 I (7.5) の、Azumaya 代数の極大エタール部分代数と群スキームの極大トーラスの並行は、SGA 3 の簡約群スキームの理論に吸収されている。

7. 原論文との対応表

原論文は I (5.2)・(5.3)・(5.5) で「4.1 の条件」「4.4 の条件」と印字するが、指しているのは (5.1)・(5.4) である。本頁はそのように読んで対応させた。また原論文 I (5.13) は、特性多項式 $t^r+c_1t^{r-1}+\cdots+c_r$ の $c_1$ を既約トレース、$c_r$ を既約ノルムと呼ぶが、(7.3) の用法（既約ノルムの核が群をなす）と合うのは、既約トレース $-c_1$、既約ノルム $(-1)^rc_r$ の規約である。

8. 参考文献

• A. Grothendieck, « Le groupe de Brauer I », Séminaire Bourbaki n° 290（1965）；Dix exposés sur la cohomologie des schémas, 1968, pp. 46–66。本頁は §5–§7（pp. 57–63）に対応する。
• A. Grothendieck, « Le groupe de Brauer II : Théorie cohomologique », Séminaire Bourbaki n° 297（1965）；同書 pp. 67–87。本頁は §0 の前半（pp. 67–68）に対応する。
• M. Auslander, O. Goldman, « The Brauer group of a commutative ring », Trans. Amer. Math. Soc. 97 (1960), 367–409（本頁では開いていない。原論文の文献表による）。
• G. Azumaya, « On maximally central algebras », Nagoya Math. J. 2 (1951), 119–150（本頁では開いていない。原論文の文献表による）。
• A. Grothendieck, J. Dieudonné, Éléments de géométrie algébrique IV, Publ. Math. IHÉS。(F1)–(F4) の出典（本頁では該当箇所の番号を確認していない）。
• M. Demazure, A. Grothendieck, Schémas en groupes（SGA 3）, Lecture Notes in Math. 151–153。§4-5 の自己同型群の構造（本頁では該当箇所の番号を確認していない）。
• J. Giraud, Cohomologie non abélienne, Springer, 1971（本頁では開いていない）。
• J. S. Milne, Étale Cohomology, Princeton, 1980。第 IV 章が Brauer 群を扱う（本頁では該当箇所の番号を確認していない）。
• J.-L. Colliot-Thélène, A. N. Skorobogatov, The Brauer–Grothendieck Group, Springer, 2021（本頁では該当箇所を開いていない）。