1-4 Severi–Brauer スキーム

要約。射影空間 $\mathbb P^{r-1}$ の自己同型群は $\mathrm{PGL}_r$ なので、エタール局所に $\mathbb P^{r-1}_X$ に同型な $X$ スキーム（Severi–Brauer スキーム）は $\mathrm{PGL}_r$ トーサー、したがって階数 $r^2$ の Azumaya 代数と一対一に対応する。これによって Severi–Brauer スキーム $P$ に Brauer 類 $\delta(P)$ が付き、$\delta(P)=0$ であることと $P$ が局所自由加群の射影化であることが同値になる。さらに、$P$ が切断をもてば $P$ は射影化であり、$P$ がファイバー次数 $1$ の可逆層をもつことも同値な条件である。最後に、幾何的ファイバーが射影空間である固有平坦な射はエタール局所に自明であるという定理（原論文では証明が省かれている）を、同型のスキームと Hensel の補題を使って証明する。

1. この頁で示すこと

$X$ をスキーム、$r\ge1$ とする。

• 定理 A（分類）.エタール局所に $\mathbb P^{r-1}_X$ に同型な $X$ スキーム $P$（Severi–Brauer スキーム）の同型類は $H^1(X,\mathrm{PGL}_r)$ と一対一に対応し、したがって $\operatorname{Az}_r(X)$ とも一対一に対応する。（原論文 I (8.1)。）
• 定理 B（類と射影化）.Severi–Brauer スキーム $P$ に類 $\delta(P)\in\mathrm{Br}(X)\subset H^2(X,\mathbb G_m)$ が定まり、次は同値である：(a) $\delta(P)=0$。(b) 階数 $r$ の局所自由加群 $E$ で $P\cong\mathbb P(E)$ となるものがある。(c) $P$ 上の可逆層 $\mathcal L$ で、各幾何的ファイバーに $\mathcal O(1)$ を誘導するものがある。（I (8.4)、II §0（番号なし）。）
• 定理 C（切断の存在）.$P\to X$ が切断をもてば、$P$ は (b) の意味で射影化である。とくに Zariski 局所に切断をもつことと Zariski 局所に自明であることは同値。（II §0（番号なし）。原論文は筋だけを述べる。本頁で細部を補う。）
• 定理 D（ファイバーによる判定）.$f\colon P\to X$ が固有・平坦・有限表示で、点 $x$ の幾何的ファイバーが $\mathbb P^{r-1}$ に同型なら、$x$ の開近傍 $U$ と有限エタール全射 $U'\to U$ で $P\times_XU'\cong\mathbb P^{r-1}_{U'}$ となるものがある。したがって、幾何的ファイバーがすべて射影空間である固有平坦有限表示の $X$ スキームは Severi–Brauer スキームである。（I (8.2)、(8.3)。原論文は証明を省いている。本頁では EGA・FGA・SGA 1 の結果を引用して証明する。）

2. 背景と動機

Severi–Brauer 多様体の概念は Châtelet（1944）に遡る（原論文 II はその名を Châtelet に帰している）。体 $k$ 上の $n$ 次元 Severi–Brauer 多様体とは、$\bar k$ 上で $\mathbb P^n$ になる多様体であり、その同型類は $k$ 上の次数 $n+1$ の中心単純環の同型類と一対一に対応する。典型は実数体上の円錐曲線 $x^2+y^2+z^2=0$ で、これは Hamilton の四元数に対応する。
幾何の側から Brauer 群を見るこの見方は、後の章で重要になる。Severi–Brauer スキームの上では Brauer 類が消え（定理 B の証明の途中で見る）、ファイバー空間の Brauer 群の計算（第3・4章）では、切断をもたない曲線束や射影束の形式が主役になる。原論文 I §8 は、Azumaya 代数に対する定理 A（1-3）の類似として、ファイバーの形だけから局所自明性を導く定理 D を掲げ、形式幾何によって示せると述べて証明を省いている（Severi–Brauer多様体）。

3. 定義と準備

• 射影化.局所自由加群 $E$ に対し $\mathbb P(E)=\operatorname{Proj}\operatorname{Sym}E$ とし（記号表の規約）、$\pi\colon\mathbb P(E)\to X$ の上の標準的な可逆層を $\mathcal O(1)$ と書く。$\pi_*\mathcal O(1)=E$ であり、$\mathbb P(E)\cong\mathbb P(E\otimes M)$（$M$ は可逆層）である。
• $\mathrm{PGL}_r=\operatorname{Aut}(\mathbb P^{r-1})$.$X$ 上の $\mathbb P^{r-1}_X$ の自己同型の層は $\mathrm{PGL}_r$ である（引用。局所的には、自己同型 $\phi$ に対し $\phi^*\mathcal O(1)\cong\mathcal O(1)\otimes M$ となる可逆層 $M$ をとり、Zariski 局所に $M$ を自明化すると、$\phi$ は $\Gamma(\mathcal O(1))=\mathcal O^r$ の線形自己同型からスカラーを除いて来る）。
• Severi–Brauer スキーム.$X$ スキーム $P$ で、エタール被覆 $(U_i\to X)$ と同型 $P_{U_i}\cong\mathbb P^{r-1}_{U_i}$ があるもの。$r-1$ を相対次元という。
• 双対.$\mathrm{PGL}_r$ の自己同型 $g\mapsto{}^tg^{-1}$ でトーサーを移したものに対応する Severi–Brauer スキームを $P^\vee$ と書く。局所的には $\mathbb P^{r-1}$ の超平面のなす射影空間である。

4. 主結果と証明

4-1. 定理 A の証明

Severi–Brauer スキーム $P$ に対し、$\mathcal Isom_X(\mathbb P^{r-1}_X,P)$ はエタール局所に切断をもち、$\operatorname{Aut}(\mathbb P^{r-1})=\mathrm{PGL}_r$ が右から単純推移的に作用するので、$\mathrm{PGL}_r$ トーサーである。逆にトーサー $T$ が与えられたとき、$\mathbb P^{r-1}$ を $T$ で捩った対象は、エタール被覆の上の降下データ付きの射影空間として与えられる。この降下データが有効であること（実際に $X$ スキームが得られること）が要点で、それは $\mathbb P^{r-1}$ の上の相対反標準層 $\omega^{-1}=\det(\Omega^1)^{-1}$ が、どの自己同型でも標準的に保たれる相対豊富な可逆層であることによる：降下データはこの豊富な可逆層を伴うので、射影的な対象の降下が有効になる（引用：忠実平坦降下の理論）。こうして $H^1(X,\mathrm{PGL}_r)$ と Severi–Brauer スキームの同型類が一対一に対応する。1-3 の定理 B と合わせて $\operatorname{Az}_r(X)$ とも対応する。$\square$
具体的な対応.Azumaya 代数 $A$ に対応する $P$ は、「$A$ の右イデアル（または左イデアル）で、$\mathcal O_X$ 加群として階数 $r$ の局所自由な直和因子であるもの」を分類するスキームとして書ける。$A=M_r$ のとき、階数 $r$ の左イデアルは $\{m:\ker m\supset H\}$（$H$ は超平面）の形、右イデアルは $\{m:\operatorname{Im}m\subset\ell\}$（$\ell$ は直線）の形であり、どちらを採るかで $\mathbb P^{r-1}$ とその双対が入れ替わる。本書ではこの規約を固定せず、$A\leftrightarrow P$ をトーサーを経由する対応で定義し、$A^{\mathrm{op}}\leftrightarrow P^\vee$ と覚える（$A^{\mathrm{op}}$ のトーサーは $g\mapsto{}^tg^{-1}$ で移したものになる。実際 $M_r\to M_r^{\mathrm{op}}$、$m\mapsto{}^tm$ は代数同型で、共役 $gmg^{-1}$ を ${}^tg^{-1}(\cdot){}^tg$ に移す）。

4-2. 定理 B の証明

$\delta(P)$ を、$P$ に対応する $\mathrm{PGL}_r$ トーサーの余境界 $\delta\in H^2(X,\mathbb G_m)$ と定める（1-3 の定理 C）。対応する Azumaya 代数 $A$ について $\delta(P)=\delta(A)=[A]$ である。
(a)⇔(b).$\delta(P)=0$ はトーサーの構造群が $\mathrm{GL}_r$ に持ち上がることと同値である。$\mathrm{GL}_r$ トーサーは階数 $r$ の局所自由加群 $E$ と同じで、それを $\mathrm{PGL}_r$ へ押し出したトーサーに対応する Severi–Brauer スキームは $\mathbb P(E)$ である。
(b)⇒(c).$\mathbb P(E)$ の $\mathcal O(1)$ をとればよい。
(c)⇒(b).$\mathcal L$ を (c) の可逆層、$E=f_*\mathcal L$ とする。エタール局所に $P=\mathbb P^{r-1}$ であり、そこでは $\mathcal L\cong\mathcal O(1)\otimes f^*M$（$M$ は底の可逆層）となる（射影空間の束の Picard 群は、底の Picard 群と $\mathbb Z\cdot\mathcal O(1)$ で生成される。Zariski 局所にはこれで十分で、$\mathcal L$ の各ファイバーの次数が $1$ であることを使う。引用）。したがってエタール局所に $E\cong\mathcal O^r\otimes M$ であり、$E$ は階数 $r$ の局所自由加群で、その形成は底変換と交換する（$R^1f_*\mathcal O(1)=0$ による。コホモロジーと底変換の定理）。自然な全射 $f^*E\to\mathcal L$ が $X$ 射 $P\to\mathbb P(E)$ を定め、これはエタール局所に $\mathbb P^{r-1}\to\mathbb P(\mathcal O^r\otimes M)$ の標準同型である。同型であることはエタール局所に確かめればよいので、$P\cong\mathbb P(E)$。$\square$
系（Severi–Brauer スキームの上で類は消える）.$f\colon P\to X$ を Severi–Brauer スキームとすると、$f^*\delta(P)=0\in\mathrm{Br}(P)$。実際 $P\times_XP\to P$（第 2 成分への射影）は $P$ 上の Severi–Brauer スキームで、対角線という切断をもつので、次の定理 C により射影化であり、その類 $f^*\delta(P)$ は $0$ である。

4-3. 定理 C の証明

(1) 接続関係の因子.$P\times_XP^\vee$ の中に、エタール局所に $\{(x,H):x\in H\}$（$\mathbb P^{r-1}\times\mathbb P^{r-1,\vee}$ の中の $\sum x_iy_i=0$ で定まる双次数 $(1,1)$ の因子）となる相対的な有効 Cartier 因子 $I$ がある。これは局所的な定義が $\mathrm{PGL}_r$ の作用（$P$ には $g$、$P^\vee$ には ${}^tg^{-1}$）で保たれるので、エタール降下により $X$ 上で定まる。
(2) 切断から因子へ.$s\colon X\to P$ を切断とし、$I$ を $s\times\mathrm{id}\colon P^\vee\to P\times_XP^\vee$ で引き戻した $D\subset P^\vee$ を考える。エタール局所には、$D$ は点 $s$ を含む超平面のなす $P^\vee$ の超平面、すなわち $\{y:\sum s_iy_i=0\}$ であり（$s$ は局所的に単模ベクトルで与えられるので、この一次式は各ファイバーで零にならない）、$D$ は $X$ 上平坦な相対的有効 Cartier 因子で、各幾何的ファイバーで次数 $1$ の超平面である。
(3) 結論.$\mathcal O_{P^\vee}(D)$ は定理 B (c) の可逆層なので、$P^\vee\cong\mathbb P(F)$（$F$ は階数 $r$ の局所自由加群）。$\mathbb P(F)$ の双対は $\mathbb P(F^\vee)$ であり、$(P^\vee)^\vee=P$ なので $P\cong\mathbb P(F^\vee)$。$\square$
（原論文 II §0 は、切断を双対束上の相対 Cartier 因子と見て $E=g_*(\mathcal L)$ をとるという筋を述べ、詳細を「標準的な技法」に委ねる。上の (1)–(3) は本頁で補った。）
Zariski 局所に切断があれば、Zariski 局所に射影化であり、局所自由加群は Zariski 局所に自由なので、$P$ は Zariski 局所に自明である。逆は明らか。

4-4. 定理 D の証明

原論文 I (8.2) は証明を載せず、形式幾何の技法で示せると述べるだけである。以下は、形式幾何の代わりに同型のスキームと Hensel の補題を使う証明である。次の外部の結果を引用する（本頁では証明しない）。

• (S1) 平坦・有限表示な射は、ファイバーが滑らかな点で滑らかであり、滑らかな点の集合は開である。局所有限表示で形式的に滑らかな射は滑らかである。体 $\kappa$ 上の空でない滑らかなスキームは、$\kappa$ の有限分離拡大に値をもつ点をもつ。エタール射は開写像である。
• (S2) 固有・有限表示な射のあるファイバーの上で豊富な可逆層は、そのファイバーの近傍の上で相対的に豊富である（EGA III）。射影的・平坦・有限表示な $X$ スキーム $P,Q$ について、同型の関手 $\mathcal Isom_X(P,Q)$ は $X$ 上局所有限表示なスキームで表現される（FGA）。
• (S3) $S_0\subset S$ を平方零イデアル $J$ で定まる閉部分スキームとし、$P,Q$ を $S$ 上滑らかとする。$S_0$ 上の同型 $P_0\cong Q_0$ を $S$ 上の同型に持ち上げる障害は $H^1(P_0,T_{P_0/S_0}\otimes J)$ にある（SGA 1 III）。
• (S4) Hensel 局所環上の有限エタールな局所代数は Hensel である。$\mathcal O^{\mathrm h}_{X,x}$ は $x$ のエタール近傍の局所環の帰納極限であり、その上の有限エタール代数の上の有限表示の対象の同型は、$x$ を像に含むあるエタール射 $W\to X$ の上に降りる（1-3 の (F3)）。Hensel 局所環上の滑らかなスキームについて、剰余体の点は持ち上がる（1-3 の (F2)）。

段 1（滑らかさと射影性）.$f$ は平坦で $x$ のファイバーが滑らかなので、(S1) により $f$ はそのファイバーの点で滑らかである。滑らかでない点の閉集合の像は、$f$ が固有なので閉であり、$x$ を含まない。$X$ を $x$ のアフィン近傍に縮めて $f$ を滑らかとする。相対反標準層 $\omega_{P/X}^{-1}$ は $x$ の幾何的ファイバーで $\mathcal O(r)$ になり豊富なので、(S2) により $X$ をさらに縮めれば相対的に豊富で、$P$ は $X$ 上射影的である。
段 2（閉ファイバーの分裂）.$\kappa=\kappa(x)$、$R=\mathcal O^{\mathrm h}_{X,x}$ とする。$I_\kappa=\mathcal Isom_\kappa(\mathbb P^{r-1}_\kappa,P_x)$ は $\bar\kappa$ 上で $\mathrm{PGL}_r$ に同型なので、滑らかで空でない。(S1) により、有限分離拡大 $\kappa'=\kappa(\alpha)$ で $I_\kappa(\kappa')\ne\emptyset$ となる。$\alpha$ の最小多項式のモニックな持ち上げ $g$ で $R'=R[t]/(g)$ とおくと、$R'$ は $R$ 上有限エタールな局所環で剰余体は $\kappa'$、(S4) により Hensel である。
段 3（同型のスキームの滑らかさ）.$I=\mathcal Isom_{R'}(\mathbb P^{r-1}_{R'},P_{R'})$ は (S2) により $R'$ 上局所有限表示である。$R'$ 代数 $S$ と平方零イデアル $J$ について、$S/J$ 上の同型を $S$ 上へ持ち上げる障害は (S3) により $H^1(\mathbb P^{r-1}_{S/J},T\otimes J)$ にある。Euler 列 $0\to\mathcal O\to\mathcal O(1)^{r}\to T\to0$ と、アフィンな底の上で $H^1(\mathcal O(1)\otimes J)=0$、$H^2(\mathcal O\otimes J)=0$ であることから、この群は $0$ である（$r=1$ なら $T=0$）。よって $I$ は形式的に滑らかで、(S1) により $R'$ 上滑らかである。
段 4（切断）.$I$ の閉ファイバーは段 2 により $\kappa'$ 点をもつので、(S4) により $I(R')\ne\emptyset$、すなわち $P_{R'}\cong\mathbb P^{r-1}_{R'}$ である。
段 5（エタール近傍へ）.(S4) により、この同型は $x$ を像に含むあるエタール射 $W\to X$ の上に降り、$P_W\cong\mathbb P^{r-1}_W$ となる。$W$ の像 $U_0$ は (S1) により開で、$W\to U_0$ はエタール被覆なので、$P|_{U_0}$ は Severi–Brauer スキームである。
段 6（有限エタールへ）.定理 A により $P|_{U_0}$ は階数 $r^2$ の Azumaya 代数 $A$ に対応する。1-3 の定理 A (iii) により、$x$ の開近傍 $U\subset U_0$ と有限エタール全射 $U'\to U$ で $A_{U'}\cong M_r(\mathcal O_{U'})$ となるものがある。対応するトーサーは $U'$ 上で自明なので、$P\times_XU'\cong\mathbb P^{r-1}_{U'}$。
最後の主張：幾何的ファイバーがすべて射影空間なら、各点で上の議論が使えるので、$P$ はエタール局所に射影空間である。逆に Severi–Brauer スキームは、固有・平坦・有限表示であることがエタール被覆から降りるので、固有・平坦・有限表示で、幾何的ファイバーは射影空間である。$\square$
原論文 I (8.5) の注意.段 3 で使ったのは $H^1(\mathbb P^{r-1},T)=0$ である。原論文 I (8.5) は定理 D を、この一次の剛性と、$\operatorname{Lie}\mathrm{PGL}_r\to H^0(\mathbb P^{r-1},T)$ が同型であること（自己同型の無限小形）の大域版と読む。どちらも Euler 列から標数によらず従う：$r\ge2$ で $H^1(\mathcal O(1))=0$、$H^2(\mathcal O)=0$ から $H^1(T)=0$、$H^0(\mathcal O(1)^r)=\mathfrak{gl}_r$、$H^0(\mathcal O)=k$、$H^1(\mathcal O)=0$ から $H^0(T)=\mathfrak{gl}_r/k=\operatorname{Lie}\mathrm{PGL}_r$。ただし一次の剛性だけで定理 D が従うわけではなく、同型のスキームの表現可能性（段 1・段 3）と Hensel の補題（段 4）が要る。原論文は、同じことが半単純群の旗多様体でも成り立つだろうと見通しを述べている。

5. 例と反例

例 1（実数体上の円錐曲線）.$C=\{x^2+y^2+z^2=0\}\subset\mathbb P^2_{\mathbb R}$ は $\mathbb C$ 上で $\mathbb P^1$ に同型な Severi–Brauer 曲線である。$C(\mathbb R)=\emptyset$ なので切断をもたず、定理 C の対偶と定理 B から $\delta(C)\ne0$。対応する中心単純環は $\mathbb H$ である。$C$ 上の可逆層の次数はすべて偶数（反標準層 $\omega^{-1}$ が次数 $2$ で、$\mathrm{Pic}(C)$ はそれで生成される。引用）であり、定理 B (c) の次数 $1$ の可逆層が無いことと合う。
例 2（円錐曲線と四元数代数）.体 $k$（標数 $\ne2$）と $a,b\in k^\times$ について、四元数代数 $(a,b)$（$i^2=a$、$j^2=b$、$ij=-ji$）に対応する Severi–Brauer 曲線は円錐曲線 $ax^2+by^2=z^2$ である（引用）。$(a,b)$ が分裂すること、円錐曲線が有理点をもつこと、$b$ が $k(\sqrt a)/k$ のノルムであることは同値である。
例 3（類が $0$ でも $E$ は一意でない）.$\mathbb P(E)\cong\mathbb P(E\otimes M)$ なので、$\delta(P)=0$ のとき $E$ は可逆層のテンソルを除いてしか決まらない。逆に $\mathbb P(E)\cong\mathbb P(E')$ なら $E'\cong E\otimes M$ となる（定理 B (c)⇒(b) の証明で、$\mathcal L$ の取り方の自由度が $f^*M$ だけであることによる）。$\delta$ は $H^1(X,\mathrm{PGL}_r)$ の元のうち、この情報を忘れる。

例 4（相対次元 $0$）.$r=1$ のとき $\mathrm{PGL}_1=1$ で、Severi–Brauer スキームは $X$ 自身だけである。$\operatorname{Az}_1(X)=\{\mathcal O_X\}$ と合う。

6. その後の発展

以下は原論文の主張ではなく、後代の結果の紹介である（本頁の執筆時点の知識による。書誌の頁は確認していない）。

• Amitsur の定理.体上の Severi–Brauer 多様体 $P$ について、$\ker(\mathrm{Br}(k)\to\mathrm{Br}(k(P)))$ は $\delta(P)$ で生成される巡回群である（Amitsur, 1955）。§4-2 の系はその「$\delta(P)$ が核に入る」側である。スキーム上の類似は Gabber らによって扱われた。
• **Artin の講義「Brauer–Severi varieties」（1982）.**定理 D を含む Severi–Brauer 多様体の基礎が、スキームの言葉で整理された。
• 一般化された Severi–Brauer 多様体と旗多様体.$A$ の階数 $dr$ の右イデアルのスキーム（Grassmann 多様体の形式）や、半単純群の旗多様体の形式は、原論文 I (8.5) の見通しの延長として、Tits 指数や Merkurjev–Panin らの動機の研究で用いられている。
• **例 1・2 の一般化.**Severi–Brauer 多様体の有理点の存在は Hasse 原理をみたす（数体上。Châtelet の時代から知られる局所大域原理）。

7. 原論文との対応表

原論文の I は「préschéma de Brauer-Severi」と書き、II は「Severi-Brauer」と書く。本書は後者の語順に統一する。

8. 参考文献

• A. Grothendieck, « Le groupe de Brauer I », Séminaire Bourbaki n° 290（1965）；Dix exposés sur la cohomologie des schémas, 1968, pp. 46–66。本頁は §8（pp. 63–65）に対応する。
• A. Grothendieck, « Le groupe de Brauer II », Séminaire Bourbaki n° 297（1965）；同書 pp. 67–87。本頁は §0 の Severi–Brauer 束の段（pp. 68–69）に対応する。
• F. Châtelet, « Variations sur un thème de H. Poincaré », Ann. Sci. ENS 61 (1944), 249–300（本頁では開いていない。原論文 II の文献表による）。
• A. Grothendieck, « Géométrie formelle et géométrie algébrique », Séminaire Bourbaki n° 182（1959）。原論文が挙げる形式幾何の方法（本頁の証明では使わない。本頁では開いていない）。
• A. Grothendieck, J. Dieudonné, Éléments de géométrie algébrique III, Publ. Math. IHÉS 11, 17。定理 D の証明の (S2) の相対的な豊富さ（本頁では該当箇所の番号を確認していない）。
• A. Grothendieck, « Techniques de construction et théorèmes d'existence en géométrie algébrique IV : Les schémas de Hilbert », Séminaire Bourbaki n° 221（1961）（FGA）。(S2) の同型のスキームの表現可能性（本頁では開いていない）。
• A. Grothendieck, Revêtements étales et groupe fondamental（SGA 1）, Exp. III, Lecture Notes in Math. 224。(S1)(S3) の滑らかさと変形理論（本頁では該当箇所の番号を確認していない）。
• M. Artin, « Brauer–Severi varieties », in Brauer Groups in Ring Theory and Algebraic Geometry, Lecture Notes in Math. 917, Springer, 1982（書誌は記憶による。未確認）。
• P. Gille, T. Szamuely, Central Simple Algebras and Galois Cohomology, Cambridge。体上の Severi–Brauer 多様体と Amitsur の定理（本頁では該当箇所の番号を確認していない）。