0-4 Galois コホモロジーと中心単純環

体 $k$ と離散 Galois 加群 $M$ について $H^i(k,M)=H^i(\operatorname{Gal}(k^{\mathrm s}/k),M)$（連続コチェインによる）。これは $\operatorname{Spec}k$ のエタールコホモロジーに等しい。正の次数では捩れ群である。Hilbert の定理 90 により $H^1(k,\mathbb G_m)=0$ であり、体の Brauer 群は $\mathrm{Br}(k)=H^2(k,\mathbb G_m)$ と同一視される。

射有限群 $G$ の $\ell$ コホモロジー次元 $\operatorname{cd}_\ell(G)$ は、$\ell$ 準素な捩れ加群のコホモロジーが消え始める次数である。体のすべての有限次拡大の Brauer 群が $0$ のとき、その体は次元 1 以下であるという。有限体、代数閉体上の 1 変数関数体（Tsen の定理）がその代表である。

非アルキメデス局所体 $K$ では不変量写像 $\mathrm{Br}(K)\cong\mathbb Q/\mathbb Z$ がある。大域体 $K$ では完全列 $0\to\mathrm{Br}(K)\to\bigoplus_v\mathrm{Br}(K_v)\to\mathbb Q/\mathbb Z\to0$ がある（実素点では $\mathrm{Br}(\mathbb R)=\mathbb Z/2$、複素素点では $0$）。

大域体 $K$ 上のアーベル多様体 $A$ について、$Ш(A/K)=\ker\bigl(H^1(K,A)\to\prod_vH^1(K_v,A)\bigr)$。局所的にはすべて自明だが大域的に自明でないトーサーの群である。

有限体 $\mathbb F_q$ 上の $X$ について、$\operatorname{Gal}(\bar{\mathbb F}_q/\mathbb F_q)$ は $H^i(X_{\bar k},\mathbb Q_\ell)$ に作用する。幾何的 Frobenius（算術的 Frobenius の逆）の固有値を調べるのが Weil 予想である。

体 $k$ 上の有限次元代数で、両側イデアルが自明で中心が $k$ のもの。次元は平方数 $r^2$ で、代数閉包に係数拡大すると $M_r$ になり、分離閉包の有限部分体で既に分裂する。Wedderburn の定理により $A\cong M_n(D)$（$D$ は中心斜体）と一意に書け、$D$ の類が $[A]\in\mathrm{Br}(k)$ である。Skolem–Noether の定理により自己同型はすべて内部である。

Azumaya 代数は中心単純環をスキームの上に広げたもの、Severi–Brauer 多様体は体上の「射影空間の捻れた形」である。どちらも本書の第 1 章で定義から扱うので、前提として要るのは体上の Severi–Brauer 多様体の概念（Châtelet の定理：有理点をもてば射影空間に同型）程度である。

$\operatorname{End}(V)$ 上の加群の圏は $\mathcal O$ 加群の圏と同値である。自己準同型代数の同型が可逆層のテンソルの違いを除いて加群の同型から来る、という形で使う。