7-2 余次元フィルトレーションとniveau

要約：コホモロジー類を「どれだけ小さな閉集合の外で消えるか」で分ける余次元フィルトレーション $N^pH^i(X,F)$ を導入する。その 0 番目の商が前の頁の不分岐コホモロジーであり、点の局所コホモロジーを初項とするスペクトル系列がこのフィルトレーションに収束する。滑らかな多様体では純性により初項が剰余体のコホモロジーで書け、次数 $2p$ では $N^p$ がサイクル類で張られる。分離閉体上では $i>\dim X$ で $N^1H^i=H^i$ となるが、基礎体が $\mathbb Q$ なら成り立たない。原論文が「niveau」と名づけた Gysin 像による特徴づけは、易しい包含だけを示し、残りは原論文の主張として紹介する。原論文 III の §9.7〜§9.8、段落 (9.9)、§10.1 に当たる。

前提知識: 余次元フィルトレーション, 不分岐コホモロジー, 局所コホモロジー, スペクトル系列, Gysin写像, サイクル類写像, Tate捻り

この頁で示すこと

$X$ をネーターで有限次元のスキーム、$F$ を $X_{\mathrm{et}}$ 上のアーベル層とする。本頁では文字 $p$ を余次元の添字に使うので、体 $k$ の標数は $\operatorname{char}k$ と書く。

1. 定義と基本性質（III (10.1)）：
   $$ N^pH^i(X,F)=\bigcup_{\operatorname{codim}(X\smallsetminus U)\ge p}\operatorname{Ker}\bigl(H^i(X,F)\to H^i(U,F)\bigr) $$
   は減少フィルトレーションで、$N^0=H^i$、$p>\dim X$ で $N^p=0$。$X$ が体上固有で滑らかで既約なら、$H^i/N^1$ は前の頁の $H^i_{\mathrm{nr}}(K,F)$ である。
2. 余次元のスペクトル系列（III (10.2)(10.3)）：$E_1^{p,q}=\bigoplus_{x\in X^{(p)}}H^{p+q}_x(F)\Rightarrow H^{p+q}(X,F)$ で、付随するフィルトレーションは $N^p$。
3. 純性による初項（III (10.5)(10.6)。$k$ が完全体の場合）：$X$ が $k$ 上滑らかで $F$ が局所定数な $\ell$ 捩れ層なら $E_1^{p,q}=\bigoplus_{x\in X^{(p)}}H^{q-p}(\kappa(x),F(-p))$。
4. 次数 $2p$：$k$ が代数閉、$X$ が固有で滑らかなら、$N^pH^{2p}(X,\mathbb Z_\ell(p))$ は余次元 $p$ のサイクル類で張られる。
5. 高い次数（III §9.8。$k$ が分離閉という仮定を補った形）：$i>\dim X$ なら $N^1H^i(X,F)=H^i(X,F)$。$k=\mathbb Q$ では偽である。
6. Gysin 像（III (9.17)、(10.7)）：余次元 $\ge p$ の固有で滑らかな $Z\to X$ からの Gysin 像は $N^p$ に含まれる。逆の包含（$N^p$ がそれらの像で尽きる）は原論文の主張として紹介し、本頁では証明しない。
   2 は台つきコホモロジーの形式的な性質だけで閉じる。3・4 は純性、5 はアフィン消滅定理を引用する。

背景と動機

前の頁の不分岐コホモロジーは、$H^i(X,F)$ から「空でない開集合に制限すると消える類」を除いた商であった。原論文 §9.7 は、除かれた部分 $N^1H^i$ そのものを調べる。$N^1$ の類は、真の閉集合の外で消える、すなわち低い次元の部分多様体に「支えられた」類である。原論文はこれを、低い次元の固有で滑らかな多様体から Gysin 写像で送られた類として特徴づけ、そうした類を「dimension type（次元型）」あるいは「niveau」が $i$ より小さい類と呼ぶ。
§10.1 は、この考えを余次元ごとに精密にしたフィルトレーション $N^p$ を導入し、局所コホモロジーのスペクトル系列でそれを計算する。原論文は §9 の段階で、このフィルトレーションの 0 番目の商を先取りして使っている。本頁では定義を §10.1 の形で先に置き、§9 の不変量との一致を命題として示す。
このフィルトレーションは、次の頁で、有限体上の Frobenius の固有値や複素数体上の Hodge フィルトレーションと比べられ、Tate 予想・Hodge 予想の一般化へつながる。

定義と準備

余次元. 閉集合 $Z\subset X$ の余次元 $\operatorname{codim}(Z,X)$ は、$Z$ の既約成分の余次元の最小値（$Z=\emptyset$ なら $+\infty$）とする。点 $x$ について $\operatorname{codim}(\overline{\{x\}},X)=\dim\mathcal O_{X,x}$ であり、$X^{(p)}$ を $\dim\mathcal O_{X,x}=p$ となる点の集合とする。

原論文は $N^p$ を $\mathrm{Filt}^p$ と書く。次の頁で Frobenius の固有値や Hodge 分解から来る別のフィルトレーションが現れるので、本書では余次元フィルトレーションに限って $N^p$ を使う。
点の局所コホモロジー. 点 $x$ について
$$ H^n_x(F)=\varinjlim_UH^n_{\overline{\{x\}}\cap U}(U,F) $$
と置く（III (10.4)）。$U$ は $x$ の開近傍を走る。

4 は原論文の式 (9.9) の記法 $\mathrm{Gr}^0H^i$ の中身であり、原論文は §9 でこの一致を §10 の定義を先取りする形で使い、両者の一致を明示していない。4 の同型は $X$ を固定した形なので、前の頁の「コンパクト化によらない」という系は使わない。

主結果と証明

余次元のスペクトル系列

詳しい証明は 余次元フィルトレーション の記事にある。原論文はこの構成を「標準的な考察」と Hartshorne の Residues and Duality に委ね、何も書いていない。また原論文は $X$ を単に体上のスキームとしているが、収束の論証には有限次元性が要る。

滑らかな多様体での初項

次を引用する（原論文は SGA 4 XVI を引く）。

• (P) 滑らかな対の純性：$k$ 上滑らかな $X$ と余次元 $c$ の滑らかな閉部分 $Z$、局所定数な $\ell$ 捩れ層 $F$（$\ell\ne\operatorname{char}k$）について $H^n_Z(X,F)\cong H^{n-2c}(Z,F(-c))$ であり、この同型は $X$ を開集合に縮めることと両立する。
• 完全体上有限型な被約スキームは、稠密な滑らかな開部分をもつ。

完全体の仮定. $r$ を素数、$k=\mathbb F_r(t)$、$X=\mathbb A^1_k$ とし、$x$ を $T^r-t$ の零点とすると、$\overline{\{x\}}=\operatorname{Spec}k(t^{1/r})$ は正則だが $k$ 上滑らかでない。したがって (P) の形の純性は当てられず、上の証明は働かない。この場合は、正則な対についての純性（後述の絶対純性）を使えば同じ形の同型が得られる。原論文は (10.5) を $k$ に仮定を置かずに述べているが、原論文が引く滑らかな対の純性の範囲では、完全体の場合しか閉じない。

次数 $2p$ とサイクル類

$k$ を代数閉体、$X$ を $k$ 上滑らかとする。余次元 $p$ の既約閉集合 $Z$ のサイクル類 $\mathrm{cl}(Z)\in H^{2p}(X,\mathbb Z_\ell(p))$ を、$Z$ の滑らかな稠密開部分 $Z^\circ$ で (P) の同型 $H^{2p}_{Z^\circ}(X^\circ,\mathbb Z/\ell^\nu(p))\cong H^0(Z^\circ,\mathbb Z/\ell^\nu)$ の $1$ に対応する類として定める（$X^\circ=X\smallsetminus(Z\smallsetminus Z^\circ)$。サイクル類写像。標準的な文献の定義との一致は本頁では主張しない）。

詳しい証明は 余次元フィルトレーション の記事にある。原論文は §10.3 でこの事実を「すぐに分かる」とだけ述べ、次の頁の Tate 予想の定式化に使う。

高い次数

原論文はこれを $k$ に仮定を置かずに、前の頁の消滅 (9.8) から導いている。

実際、$X$ の空でない開集合は $X$ だけなので $N^1H^1=0$ であり、$H^1$ の計算は前の頁の反例と同じである。この判定は $N^1$ の定義だけで行えるので、次の小節の証明されていない特徴づけには依存しない。

Gysin 像と niveau

$k$ を完全体とし、$Z$ を $k$ 上固有で滑らかな $\dim X-q$ 次元のスキーム、$g\colon Z\to X$ を射とする（$X$ も固有で滑らかで既約とする）。Gysin写像
$$ g_*\colon H^{i-2q}\bigl(Z,g^*F(-q)\bigr)\to H^i(X,F) $$
を引用する（原論文は SGA 4 XVIII を引く）。

原論文の主張. 原論文は、標数 0（特異点解消が使える場合）で逆も成り立つ、すなわち $\operatorname{Ker}(H^i(X,F)\to H^i(U,F))$ は、像が $X\smallsetminus U$ に含まれる固有で滑らかな $Z$ からの Gysin 像の和に等しいと述べ（III (9.17)）、証明は「難しくない」として、$X\smallsetminus U$ の次元についての帰納法、台つきの完全列、特異点解消を挙げるだけである。§10.1 ではこれを $N^p$ に延ばし、$N^pH^i$ は余次元 $q\ge p$ の固有で滑らかな $Z$ からの Gysin 像の和であると述べる（III (10.7)）。
本頁の立場. 本頁はこの逆の包含を証明しない。原論文の挙げる帰納法をそのまま行うと、$X\smallsetminus U$ の成分の滑らかな部分 $W$ に台をもつ類を、その解消 $Z$ 全体の上の類から来る Gysin 像で打ち消す段が必要になるが、制限 $H^\bullet(Z)\to H^\bullet(W)$ は一般に全射ではない（$H^1(\mathbb P^1)=0$ と $H^1(\mathbb G_m)\ne0$ がその型である）。したがってこの段には追加の議論が要る。
原論文の命名と問い. 原論文は、$N^1H^i$ の元を「次元型（niveau）が $i$ より小さい」と呼び、$H^i/N^1$ を「niveau $i$ の純成分」と呼ぶ。$F$ が定数なら、Gysin 像の和は、$Z\times X$ 上の代数的サイクルによる対応から来る準同型 $H^j(Z)\to H^i(X)$（$j< i$）の像の和と言い換えられる、と原論文は述べる。さらに、$\dim Z< i$ なる $Z$ からの対応で定まる準同型の像は $N^1H^i$ に入ると述べ（この主張は、上の特徴づけと、この頁で $k$ の仮定の欠落を指摘した「$i>\dim X$ なら $N^1H^i=H^i$」の両方から導かれている）、そのうえで逆に、$N^1H^i$ がそうした像で生成されるかどうかは知らない、と明記し、生成されるなら niveau という語のより直観的な正当化になる、と付け加えている。さらに、$k$ が代数閉で $F=\mathbb Z_\ell$ なら、少なくとも有限群を除いて「おそらく」成り立ち、それは Lefschetz の超平面切断定理の「もっともらしい変種」から従うはずで、その変種は Weil 予想の基礎にあるように見える、と見込みを述べている。本頁はこれらを原論文の問いと見込みとして記録し、判定しない。
段落 (9.9) の見通し. 原論文は §9 の終わりで、§9 の展開が比較定理 (9.2) に本質的に依存すること、その定理は滑らかさを正則性に替えれば基礎体なしでも意味をもち、少なくとも excellent なスキームでは成り立つだろうこと、そしてこの問題がコホモロジー的純性に結びつくことを述べ、標数 0 の excellent スキームについては Artin が純性を示したので、そうした底の上で「相対的な」双有理不変量が定義できる、と見通しを述べている。前の頁で見たとおり、(9.2) は「固有」を補えば正しく、§9 で実際に使われるのは固有な射に対してだけなので、この依存の申告は補った形で読めば成り立つ。本頁は相対的な不変量を構成しない。
なお、原論文の本文では「純性」の語が少なくとも三つのもの、すなわちコホモロジー的純性（本頁の (P) とその一般化）、Zariski–Nagata の純性（前の頁）、Brauer 群の純性（第5章）を指す。段落 (9.9) の純性は第一のものである。

例と反例

射影空間. $k$ を代数閉体、$X=\mathbb P^n_k$ とする。$H^{2j}(X,\mathbb Z_\ell(j))=\mathbb Z_\ell\cdot h^j$（$h^j$ は余次元 $j$ の線形部分空間 $L$ のサイクル類）、奇数次は 0 である（引用）。$h^j$ は $X\smallsetminus L$ への制限で消えるので $h^j\in N^jH^{2j}$ であり、$N^{j+1}H^{2j}=0$（次数 $2j$ の定理と $p=j+1$ の半純性による）。したがって $H^{2j}=N^jH^{2j}$、$\mathrm{Gr}^jH^{2j}=H^{2j}$ で、他の $\mathrm{Gr}^p$ は 0 である。とくに $j\ge1$ で $H^{2j}/N^1=0$ であり、前の頁の「純超越的な関数体」の例と一致する。
曲線. $X$ を代数閉体上の固有で滑らかな連結曲線、$\ell\ne\operatorname{char}k$ とする。$H^0=N^0$、$N^1H^0=0$。$H^1$ では、前の頁の 1 次の命題により $H^1\to H^1(U)$ は単射なので $N^1H^1=0$。$H^2(X,\mathbb Z_\ell(1))\cong\mathbb Z_\ell$ は点の類で張られ、点の外で消えるので $N^1H^2=H^2$。これは次数 $2p$（$p=1$）の定理と、$i=2>1=\dim X$ の高い次数の命題の両方の場合になっている。
曲面の $H^2$. 代数閉体上の固有で滑らかな曲面 $X$ について、次数 $2p$ の定理から $N^1H^2(X,\mathbb Z_\ell(1))$ は因子の類で張られ、前の頁の定理により $H^2/N^1\cong T_\ell\mathrm{Br}'(X)$ である。余次元フィルトレーションの言葉では、第6章の完全列は「$H^2$ の $N^1$ 部分が $\mathrm{NS}$、その商が Brauer 群の Tate 加群」という分解になる。
有理数体上の反例. 上の $\operatorname{Spec}\mathbb Q$ の例。

その後の発展

以下は原論文より後の展開である（2026年9月の時点での記述）。

• Bloch–Ogus の理論. Bloch と Ogus [BO74] は、滑らかな多様体について余次元のスペクトル系列の $E_2$ 項を Zariski 層のコホモロジーとして記述し（Gersten 予想の証明による）、その帰結として、余次元フィルトレーションと代数的サイクルの関係を体系的に扱う道を開いた。原論文の余次元のスペクトル系列は、今日この名（coniveau spectral sequence）で呼ばれる。
• 絶対純性. 完全体の仮定を外すのに必要な正則な対の純性は、Gabber の絶対純性定理として確立された（証明の公表として Fujiwara [Fuj02]）。
• Gysin 像による記述. 有理係数では、Deligne の重みの理論 [Del71] により、制限写像の核を特異点解消からの Gysin 像で記述する議論が可能になった。整数係数や捩れ係数での記述の状況には、本書では立ち入らない。
• niveau の問い. 原論文の問い（$N^1$ が低次元からの対応の像で生成されるか）は、今日、代数的サイクルについての予想（標準予想や一般 Hodge 予想の系列）と結びつけて論じられる。次の頁を見よ。

原論文との対応表

参考文献

• [Gro68] A. Grothendieck, Le groupe de Brauer I, II, III, in: Dix exposés sur la cohomologie des schémas, North-Holland / Masson, 1968（本頁は III の pp. 158–168）。
• [SGA4] M. Artin, A. Grothendieck, J.-L. Verdier, Théorie des topos et cohomologie étale des schémas (SGA 4), Lecture Notes in Mathematics 269, 270, 305, Springer, 1972–1973.
• [Har66] R. Hartshorne, Residues and Duality, Lecture Notes in Mathematics 20, Springer, 1966.
• [BO74] S. Bloch, A. Ogus, Gersten's conjecture and the homology of schemes, Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure (4) 7 (1974).
• [Del71] P. Deligne, Théorie de Hodge II, Publications Mathématiques de l'IHÉS 40 (1971).
• [Fuj02] K. Fujiwara, A proof of the absolute purity conjecture (after Gabber), in: Algebraic Geometry 2000, Azumino, Advanced Studies in Pure Mathematics 36, 2002.