2-1 Br と Br′

要約。Azumaya 代数から作る $\mathrm{Br}(X)$ は、$H^2(X,\mathbb G_m)$ の捩れ部分群 $\mathrm{Br}'(X)$（コホモロジー的 Brauer 群）に単射で入る。本頁では、Cartier 因子の層を使って、エタール局所に因子分解的なスキーム（とくに正則なスキーム）では $H^q(X,\mathbb G_m)$（$q\ge2$）が捩れであり、$H^2(X,\mathbb G_m)$ が関数体の Brauer 群へ単射することを示す。次に、ネーター・スキーム上の $H^2(X,\mathbb G_m)$ の元は余次元 $\ge2$ の閉集合の外で Azumaya 代数で表されること、したがって次元 $\le1$ なら（剰余体に仮定を置かずに）$\mathrm{Br}=H^2$、正則で次元 $\le2$ なら $\mathrm{Br}=\mathrm{Br}'=H^2$ であることを示す。局所スキームでは「有限エタール被覆で消える類」がちょうど Azumaya 代数の類であり、Hensel 局所スキームでは $\mathrm{Br}=H^2$ である。仮定を外したときの失敗（非正規曲線、幾何的単分岐な曲線、特異点をもつ正規曲面）と、$\mathrm{Br}=\mathrm{Br}'$ の問題のその後も述べる。

1. この頁で示すこと

$X$ をネーター・スキームとする。$\mathrm{Br}'(X)=H^2(X,\mathbb G_m)_{\mathrm{tors}}$ と書く（記号表の注）。

• 定理 A（捩れ性と単射性）.$X$ の局所環の狭義 Hensel 化がすべて一意分解整域であるとする（例：$X$ が正則）。(1) $q\ge2$ で $H^q(X,\mathbb G_m)$ は捩れ群である。とくに $\mathrm{Br}'(X)=H^2(X,\mathbb G_m)$。(2) $X$ が整なら、関数体 $K$ への制限 $H^2(X,\mathbb G_m)\to\mathrm{Br}(K)$ は単射で、したがって $\mathrm{Br}(X)\hookrightarrow\mathrm{Br}(K)$。また、因子分解性の代わりに $\dim X\le1$ を仮定しても (1) は成り立つ。$\dim X\le1$ で (2) の型の単射性を言うには、閉点の剰余体が分離閉であるという仮定を置く。（原論文 II (1.4)、(1.5)、(1.8)、(1.10)。）
• 定理 B（Azumaya 代数による実現）.$\xi\in H^2(X,\mathbb G_m)$ とする。(1) 閉集合 $Y$ で、そのすべての点 $y$ が $\dim\mathcal O_{X,y}\ge2$ をみたし、$\xi|_{X\smallsetminus Y}\in\mathrm{Br}(X\smallsetminus Y)$ となるものがある。(2) $\dim\mathcal O_{X,y}\le2$ のすべての点で $X$ が正則なら（例：$X$ が正則）、$Y$ のすべての点で $\dim\mathcal O_{X,y}\ge3$ とできる。(3) とくに、$\dim X\le1$ なら $\mathrm{Br}(X)=H^2(X,\mathbb G_m)$ であり（剰余体についての仮定は要らない）、$X$ が正則で $\dim X\le2$ なら $\mathrm{Br}(X)=\mathrm{Br}'(X)=H^2(X,\mathbb G_m)$。(4) $X$ が正則・連結で $\dim X\le2$ なら、$\mathrm{Br}(X)=\bigcap_{x\in X^{(1)}}\mathrm{Br}(\mathcal O_{X,x})$（関数体 $K$ の $\mathrm{Br}(K)$ の中の共通部分）。（II (2.1)、(2.2)、(2.3)。原論文の仮定との関係は §5 の注意。）
• 定理 C（局所スキーム）.$X=\operatorname{Spec}R$、$R$ 局所環とする（ネーターでなくてよい）。$\xi\in H^2(X,\mathbb G_m)$ が $\mathrm{Br}(X)$ に属することと、有限エタール全射 $X'\to X$ で $\xi|_{X'}=0$ となるものがあること（$\xi$ が isotrivial であること）は同値。（II (2.4)。）
• 定理 D（Hensel 局所スキーム）.$R$ が Hensel 局所環なら $\mathrm{Br}(R)=H^2(R,\mathbb G_m)$。（II (2.5)。）
  局所スキームの $\ell$ 捩れについての判定（II (2.6)）は §4-5 で触れる。

2. 背景と動機

1-3 で $\mathrm{Br}(X)\hookrightarrow H^2(X,\mathbb G_m)$ を得た。位相空間では Serre の定理により像はちょうど捩れ部分群であった（1-1）。スキームでも同じことが言えるかが、講演 II の中心的な問いである。
講演 II は二つのことに気づく。第一に、$H^2(X,\mathbb G_m)$ はそもそも捩れとは限らない（Mumford の正規曲面。§5）。したがって比べる相手は捩れ部分群であるべきである。第二に、全射性を保証する満足な一般判定法が当時は無く、しかも $H^2(X,\mathbb G_m)$ は Azumaya 代数による解釈とは独立に計算しやすい対象である。そこで講演 II は $H^2(X,\mathbb G_m)$ を「コホモロジー的 Brauer 群」と名づけ、以後の計算（第2〜7章）はこの群を主な対象にする。講演者自身、全射性の問いに対して、複素数体上の正規曲面や非特異 3 次元多様体でも答えを知らないと述べている（II, p. 76）。
本頁の方法は二つある。一つは、$\mathbb G_m$ を「有理関数」と「因子」の二つの層に分けることである。有理関数の側は体の Galois コホモロジーに帰着して捩れになり、因子の側は点ごとの層に分かれて計算できる（コホモロジー的Brauer群）。もう一つは、Azumaya 代数を生成点から始めて余次元の低い点を一つずつ越えて延ばし、各段で類が一致することを Mayer–Vietoris 列で確かめることである。

3. 定義と準備

Cartier 因子の層.$X$ を被約なネーター・スキームとし、$g_i\colon\eta_i=\operatorname{Spec}\kappa(\eta_i)\to X$ を生成点（有限個）とする。可逆な有理関数の層を $\mathcal R_X^\times=\bigoplus_ig_{i*}\mathbb G_{m,\eta_i}$ と定める（アフィンでエタールな $U$ の上では、$U$ の全商環の単元群である）。$X$ は被約なので $\mathbb G_m\to\mathcal R_X^\times$ は単射で、その余核を Cartier 因子の層 $\mathcal Div_X$ と呼ぶ：
$$0\to\mathbb G_m\to\mathcal R_X^\times\to\mathcal Div_X\to0.\tag{3.1}$$
Weil 因子の層.$X$ が正規なら、各 $x\in X^{(1)}$ で $\mathcal O_{X,x}$ は離散付値環であり、付値で $\mathcal Div_X\to\mathcal Z^1_X=\bigoplus_{x\in X^{(1)}}i_{x*}\mathbb Z$ が得られる（$i_x\colon\operatorname{Spec}\kappa(x)\to X$）。これは単射で、幾何的点 $\bar y$ での余核は狭義 Hensel 化の因子類群 $\mathrm{Cl}(\mathcal O^{\mathrm{sh}}_{X,\bar y})$ である。したがって、これが同型であることは、エタール局所環（狭義 Hensel 化）がすべて一意分解整域であることと同値である。余核を局所 Picard 群の層と呼ぶ（局所Picard群）。
本頁で引用として使う事実（証明しない）.

• (G1) 体 $F$ の Galois コホモロジー $H^q(F,M)$ は、$q\ge1$ で捩れ群である（射有限群の連続コホモロジーは正の次数で捩れ）。
• (G2) 点 $i\colon\operatorname{Spec}F\to X$（$X$ は準コンパクト準分離）とエタール層 $M$ について、$R^qi_*M$ の幾何的点 $\bar y$ での茎は、$\operatorname{Spec}\mathcal O^{\mathrm{sh}}_{X,\bar y}\times_X\operatorname{Spec}F$（体の有限個の積の帰納極限）の $M$ 係数コホモロジーであり、$q\ge1$ で捩れである。$H^p(X,-)$ は捩れ層に対して捩れ群を与え、ネーター・スキーム上では直和と交換する。閉点 $x$ について $i_{x*}$ は完全である。
• (G3) Hilbert の定理 90：$H^1(F,\mathbb G_m)=0$。$H^1(X,\mathbb G_m)=\mathrm{Pic}(X)$。半局所環と、Krull 次元 $0$ の環の Picard 群は $0$。
• (G4) 正則局所環は一意分解整域であり（Auslander–Buchsbaum）、その狭義 Hensel 化も正則。
• (G5) Leray のスペクトル系列 $H^p(X,R^qf_*F)\Rightarrow H^{p+q}(Y,F)$ と、その低次の完全列
  $$0\to H^1(X,f_*F)\to H^1(Y,F)\to H^0(X,R^1f_*F)\to H^2(X,f_*F)\to H^2(Y,F).$$
• (G6) Hochschild–Serre のスペクトル系列：$X'\to X$ が有限群 $G$ の Galois 被覆なら $H^p(G,H^q(X',F))\Rightarrow H^{p+q}(X,F)$。
• (G7) 狭義 Hensel 局所環のエタールコホモロジーは正の次数で $0$。アフィンな遷移射をもつ準コンパクト準分離なスキームの射影系の極限で、コホモロジーは帰納極限と交換する。
• (G8) 極限：ネーターなアフィン $X$ と点 $x$ について、$\operatorname{Spec}\mathcal O_{X,x}$ 上の有限表示の加群・代数とその射・同型は、$x$ のあるアフィン近傍へ延び、二つの延長は近傍を縮めれば一致する。$x$ の近傍の有限個のアフィン開集合からなる系の極限（たとえば $\operatorname{Spec}\mathcal O_{X,x}$ の開部分）についても同じである。
• (G9) Zariski 開集合 $U,V$ について Mayer–Vietoris の完全列 $H^1(U\cap V,\mathbb G_m)\xrightarrow{\partial}H^2(U\cup V,\mathbb G_m)\to H^2(U,\mathbb G_m)\oplus H^2(V,\mathbb G_m)$ があり、開集合への制限について自然である。
• (G10) 位相的不変性：冪零イデアルで定まる閉埋め込みはエタール景の同値を与える。準連接層に付随するエタール層のコホモロジーは Zariski コホモロジーに等しく、ネーター空間の次元を超える次数で $0$、アフィンなら正の次数で $0$ である。環 $R$ と冪零イデアル $N$ について、$R/N$ 上の Azumaya 代数は $R$ 上の Azumaya 代数に持ち上がる（分離代数の Hochschild コホモロジーの消滅）。
• (G11) ネーター局所環 $\mathcal O$ の Hensel 化 $\mathcal O^{\mathrm h}$ はネーターで、$\mathcal O\to\mathcal O^{\mathrm h}$ は忠実平坦な局所準同型、$\mathcal O/\mathfrak m^k\cong\mathcal O^{\mathrm h}/\mathfrak m^k$ であり、被約性・正規性・正則性・次元を保つ。$(\mathcal O^{\mathrm h})^{\mathrm{sh}}=\mathcal O^{\mathrm{sh}}$。
• (G12) 正規ネーター局所環上の連接層は反射包をとれる。2 次元の正則局所環上の反射的な有限生成加群は自由である。$\dim R\ge2$ の正規ネーター局所環 $R$ について、穴あきスペクトル上の反射的な層の切断は $R$ 上の加群そのものに等しい（Hartogs 型の性質）。忠実平坦な局所準同型 $A\to B$（ネーター正規整域）で $\mathrm{Cl}(A)\to\mathrm{Cl}(B)$ は単射である。

4. 主結果と証明

4-1. 定理 A の証明

$X$ は正規で、連結成分ごとに考えて $X$ は整としてよい。$g\colon\eta=\operatorname{Spec}K\to X$ を生成点とする。仮定と §3 により (3.1) は
$$0\to\mathbb G_m\to g_*\mathbb G_{m,K}\to\bigoplus_{x\in X^{(1)}}i_{x*}\mathbb Z\to0\tag{4.1}$$
となる。
(a) 真ん中の項.(G5) の Leray の系列で $H^p(X,R^qg_*\mathbb G_m)\Rightarrow H^{p+q}(K,\mathbb G_m)$。$q\ge1$ の $R^qg_*\mathbb G_m$ は (G2) で捩れ層なので、$p+q\ge1$、$q\ge1$ の $E_2$ 項は捩れ。$E_\infty^{n,0}$ は $H^n(K,\mathbb G_m)$ の部分群で、$n\ge1$ では (G1) により捩れ。$E_2^{n,0}=H^n(X,g_*\mathbb G_m)$ から $E_\infty^{n,0}$ への道のりでは、捩れ群（$E_r^{n-r,r-1}$）からの微分の像で割るだけなので、$E_2^{n,0}$ は捩れ群による捩れ群の拡大であり、捩れである。したがって $H^n(X,g_*\mathbb G_m)$ は $n\ge1$ で捩れ。
(b) 右の項.各 $x\in X^{(1)}$ について、同じ議論（$i_x$ への Leray の系列と、$H^n(\kappa(x),\mathbb Z)$ が $n\ge1$ で捩れであること）で $H^n(X,i_{x*}\mathbb Z)$ は $n\ge1$ で捩れ。(G2) により直和と交換するので $H^n(X,\mathcal Z^1_X)$ も捩れ。さらに $n=1$ では 0 である：(G5) より $H^1(X,i_{x*}\mathbb Z)\hookrightarrow H^1(\kappa(x),\mathbb Z)=\operatorname{Hom}_{\mathrm{cont}}(\mathrm{Gal},\mathbb Z)=0$（射有限群から捩れの無い離散群への連続準同型は像が有限なので $0$）。
(c) (1) の証明.(4.1) の長完全列
$$H^{q-1}(X,\mathcal Z^1_X)\to H^q(X,\mathbb G_m)\to H^q(X,g_*\mathbb G_m)$$
で、$q\ge2$ なら両端が (a)(b) により捩れなので、真ん中も捩れ。
(d) (2) の証明.(4.1) と (b) の $H^1(X,\mathcal Z^1_X)=0$ から、$H^2(X,\mathbb G_m)\to H^2(X,g_*\mathbb G_m)$ は単射。次に (G5) の低次の完全列で、$H^2(X,g_*\mathbb G_m)\to H^2(K,\mathbb G_m)$ の核は $H^0(X,R^1g_*\mathbb G_m)$ の像である。$R^1g_*\mathbb G_m$ の幾何的点 $\bar y$ での茎は、(G2) により $H^1(\operatorname{Spec}(\mathcal O^{\mathrm{sh}}_{X,\bar y}\otimes_{\mathcal O_X}K),\mathbb G_m)$ である。$\mathcal O^{\mathrm{sh}}_{X,\bar y}$ は正規整域で、$\mathcal O^{\mathrm{sh}}_{X,\bar y}\otimes K$ はその商体である。Hilbert の定理 90（G3）によりこの群は $0$。よって $R^1g_*\mathbb G_m=0$ で、合成 $H^2(X,\mathbb G_m)\to H^2(K,\mathbb G_m)=\mathrm{Br}(K)$ は単射。1-3 の定理 C と合わせて $\mathrm{Br}(X)\hookrightarrow\mathrm{Br}(K)$。$\square$
注意（原論文の番号の入れ替わり）.原論文 II は、ここで使った「$H^1(X,i_{x*}\mathbb Z)=0$」（II (1.9)）と「Brauer 群の生成点への単射性」（II (1.10)）を、後の段落で互いに取り違えて引いている（II (1.11) a) と式 (6)）。本頁の証明は内容で並べた。
被約な場合の同じ議論.$X$ が被約なネーター・スキーム（正規とは限らない）なら、(a) の議論は各生成点 $g_i$ にそのまま通り、$H^n(X,\mathcal R_X^\times)$ は $n\ge1$ で捩れである。(d) の後半の議論も、$R^1g_{i*}\mathbb G_m$ の茎が Krull 次元 $0$ の環 $\mathcal O^{\mathrm{sh}}_{X,\bar y}\otimes\kappa(\eta_i)$ の Picard 群で $0$（G3）となることから通り、$H^1(X,\mathcal R_X^\times)=0$、$H^2(X,\mathcal R_X^\times)\hookrightarrow\bigoplus_i\mathrm{Br}(\kappa(\eta_i))$ を得る。したがって (3.1) の境界写像 $\partial\colon H^1(X,\mathcal Div_X)\to H^2(X,\mathbb G_m)$ は単射で、その像が制限 $H^2(X,\mathbb G_m)\to\bigoplus_i\mathrm{Br}(\kappa(\eta_i))$ の核である。（II (1.6)、(1.7)。）
次元 $\le1$ の場合.まず次の補題を示す。
補題 0（冪零元による不変性）.$X$ をネーター、$X_0=X_{\mathrm{red}}$、$d=\dim X$ とする。制限 $H^q(X,\mathbb G_m)\to H^q(X_0,\mathbb G_m)$ は $q\ge d+1$ で同型であり、$X$ がアフィンなら $q\ge1$ で同型である。
証明.(G10) により $X$ と $X_0$ のエタール景は同じである。冪零根基を $N$ とすると、単元は冪零元を法として持ち上がるので $1\to1+N\to\mathbb G_{m,X}\to\mathbb G_{m,X_0}\to1$ は完全である。$1+N$ は $1+N^i$ による有限のフィルトレーションをもち、$(1+N^i)/(1+N^{i+1})\cong N^i/N^{i+1}$（$1+a\mapsto a$）は準連接層に付随する層である。(G10) により $q>d$（アフィンなら $q\ge1$）で $H^q(X,1+N)=0$ となり、長完全列から主張が従う。$\square$
$\dim X\le1$ とする。$X$ が被約なら、$\mathcal Div_X$ の生成点での茎は $0$ で、準コンパクトなエタールな $U$ の上の切断の台は有限個の閉点からなるので、
$$\mathcal Div_X=\bigoplus_{x}i_{x*}\bigl(\mathcal Div_{X,x}\bigr)$$
（$x$ は $\dim\mathcal O_{X,x}=1$ の閉点。$\mathcal Div_{X,x}$ は $\operatorname{Spec}\kappa(x)$ 上のエタール層で、幾何的点での値は狭義 Hensel 化の Cartier 因子の群）となる。閉点では $i_{x*}$ は完全なので、$H^q(X,\mathcal Div_X)=\bigoplus_xH^q(\kappa(x),\mathcal Div_{X,x})$ は $q\ge1$ で捩れ（G1）であり、上の被約な場合の議論と合わせて、$q\ge2$ で $H^q(X,\mathbb G_m)$ は捩れである。一般の $X$ では、補題 0（$d\le1$）により $q\ge2$ で $H^q(X,\mathbb G_m)\cong H^q(X_{\mathrm{red}},\mathbb G_m)$ なので、同じ結論を得る（II (1.5)）。
一方、(2) の型の単射性は一般には成り立たない。$H^1(X,\mathcal Div_X)=\bigoplus_xH^1(\kappa(x),\mathcal Div_{X,x})$ は、$\mathcal Div_{X,x}$ が捩れの無い定数層とは限らないため $0$ とは限らない（§5 の例 1）。閉点の剰余体 $\kappa(x)$ が分離閉なら、この群は $0$ で、生成点への制限は単射になる（II (1.8)）。原論文 II (1.11) c) は、この仮定を「剰余体の次元が $\le1$」または「$X$ が幾何的単分岐」に弱められるだろうと見込むが、後者は成り立たない（§5 の反例「幾何的単分岐な曲線」）。前者は本書では扱わない。

4-2. 定理 C の証明（局所スキーム）

必要性.$\xi=\delta(A)$ なら、1-3 の定理 A (iii) により有限エタール全射 $U'\to X$ で $A$ は行列代数になり、$\xi|_{U'}=0$。$X$ は局所なので近傍 $U$ は $X$ 自身にとれる。
十分性.$\xi|_{X'}=0$ となる有限エタール全射 $X'\to X$ をとる。$X'$ を連結成分の一つに置き換え、その Galois 閉包をとることで、$X'\to X$ は有限群 $G$ の Galois 被覆としてよい。(G6) の Hochschild–Serre の系列
$$E_2^{p,q}=H^p(G,H^q(X',\mathbb G_m))\Rightarrow H^{p+q}(X,\mathbb G_m)$$
で、$X'$ は半局所スキーム（有限個の閉点をもつアフィンスキーム）なので $H^1(X',\mathbb G_m)=\mathrm{Pic}(X')=0$。したがって $E_2^{p,1}=0$ で、低次の完全列
$$0\to H^2(G,\Gamma(X',\mathbb G_m))\xrightarrow{\ \alpha\ }H^2(X,\mathbb G_m)\xrightarrow{\ \beta\ }H^2(X',\mathbb G_m)$$
を得る。$\xi\in\ker\beta$ なので、$\xi=\alpha(c)$ となる 2 コサイクル $c\in Z^2(G,R'^\times)$（$X'=\operatorname{Spec}R'$）がある。接合積（1-3 の例 5）
$$A_c=\bigoplus_{\sigma\in G}R'u_\sigma,\qquad u_\sigma\lambda=\sigma(\lambda)u_\sigma,\quad u_\sigma u_\tau=c(\sigma,\tau)u_{\sigma\tau}$$
は $R$ 上階数 $|G|^2$ の Azumaya 代数であり、その類について $\delta(A_c)=\varepsilon\,\alpha(c)$ が成り立つ（接合積の古典的な計算。引用。$\varepsilon=\pm1$ は符号の規約だけで決まり、$c$ によらない）。$\delta$ の像 $\mathrm{Br}(X)$ は部分群なので、$\xi=\alpha(c)=\varepsilon\,\delta(A_c)\in\mathrm{Br}(X)$。$\square$

4-3. 定理 D の証明（Hensel 局所スキーム）

$R$ を Hensel 局所環、$R^{\mathrm{sh}}$ をその狭義 Hensel 化とする。$R^{\mathrm{sh}}$ は、剰余体の有限分離拡大に対応する $R$ 上の有限エタール局所代数 $R_i$ の帰納極限である（Hensel 性により、剰余体の有限分離拡大は有限エタール拡大に一意に持ち上がる）。$\xi\in H^2(R,\mathbb G_m)$ は (G7) により $H^2(R^{\mathrm{sh}},\mathbb G_m)=0$ で消え、同じく (G7) により、ある $R_i$ の上で既に消える。$\operatorname{Spec}R_i\to\operatorname{Spec}R$ は有限エタール全射なので $\xi$ は isotrivial で、定理 C により $\xi\in\mathrm{Br}(R)$。$\square$
とくに Hensel 局所環では $H^2(R,\mathbb G_m)$ 全体が捩れであり、1-3 の定理 D と合わせて $H^2(R,\mathbb G_m)\cong\mathrm{Br}(R)\cong\mathrm{Br}(k)$ となる。

4-4. 定理 B の証明

開集合 $U$ の上で $\xi$ が実現されるとは、$U$ 上の Azumaya 代数 $A$ で $\xi|_U=\delta(A)$ となるものがあることをいう。まず局所環の場合を二つの補題で扱う。
補題 1（格子の対応）.$\mathcal O$ を次元 $1$ のネーター局所環、$f\in\mathfrak m$ を非零因子で $V(f)=\{\mathfrak m\}$ となるもの、$\mathcal O\to\mathcal O'$ を平坦な局所準同型で、すべての $k$ について $\mathcal O/f^k\to\mathcal O'/f^k$ が同型なものとする。$K=\mathcal O_f$、$K'=\mathcal O'_f$、$V$ を自由 $K$ 加群、$V'=V\otimes_KK'$ とする。有限生成で $L_f=V$ となる部分 $\mathcal O$ 加群 $L\subset V$ を格子と呼ぶ（$\mathcal O'$ についても同様）。このとき $L\mapsto L\otimes_{\mathcal O}\mathcal O'$ は $\mathcal O$ 格子の全体から $\mathcal O'$ 格子の全体への全単射で、包含を保つ。$V$ が $K$ 代数なら、積 $L_1L_2$ と、$1$ を含むことも保たれる。
証明.$\mathcal O\to\mathcal O'$ は平坦な局所準同型なので忠実平坦で、$L\otimes\mathcal O'\to V'$ は単射である。$V$ の基底が張る格子 $L_0$ と $L'_0=L_0\otimes\mathcal O'$ をとる。どの格子 $L$ についても、ある $N$ で $f^NL_0\subset L\subset f^{-N}L_0$ となる（$\mathcal O'$ についても同様）。この範囲の $\mathcal O$ 格子は $Q_N=f^{-N}L_0/f^NL_0\cong(\mathcal O/f^{2N})^r$ の部分加群と一対一で、$\mathcal O'$ 格子は $Q'_N\cong(\mathcal O'/f^{2N})^r$ の部分加群と一対一である。仮定により $Q_N\to Q'_N$ は同型で、$\mathcal O'$ は $Q'_N$ に $\mathcal O'/f^{2N}=\mathcal O/f^{2N}$ を通して作用するので、両者の部分加群は一致する。平坦性により $(L\otimes\mathcal O')/f^NL'_0=(L/f^NL_0)\otimes\mathcal O'$ はこの同型で $L/f^NL_0$ に対応し、$N$ を大きくしても対応は両立する。積 $L_1L_2$ は $L_1\otimes L_2\to V$ の像なので、平坦な $\mathcal O'$ を掛けると $(L_1\otimes\mathcal O')(L_2\otimes\mathcal O')$ になる。$1\in L$ は $\mathcal O\cdot1+L=L$ と同値で、これも $\mathcal O'$ を掛けて保たれる。$\square$
補題 2（次元 $\le1$ の局所環）.$\mathcal O$ を次元 $\le1$ のネーター局所環とすると、$\mathrm{Br}(\mathcal O)=H^2(\operatorname{Spec}\mathcal O,\mathbb G_m)$。
証明.$S=\operatorname{Spec}\mathcal O$、$s$ を閉点、$\kappa=\kappa(s)$ とする。
(0) 次元 $0$.$\mathcal O$ は Artin 局所環で、補題 0（アフィン）により $H^2(S,\mathbb G_m)\cong H^2(\kappa,\mathbb G_m)=\mathrm{Br}(\kappa)$。1-2 の定理 D により $\kappa$ 上の中心単純環は $\mathcal O$ 上の自由な代数に持ち上がり、これは Azumaya 代数である。$\mathrm{Br}(\mathcal O)\to H^2(S,\mathbb G_m)$ は単射なので、両者は一致する。
(1) 次元 $1$ で $\mathcal O$ が被約.

• (a) $\mathcal O$ は被約なので随伴素イデアルは極小素イデアルだけで、$\mathfrak m$ はその和に含まれない。よって非零因子 $f\in\mathfrak m$ があり、$V(f)=\{\mathfrak m\}$ である。$K=\mathcal O_f$ は極小素イデアルでの剰余体の有限積である。(G11) により $\mathcal O^{\mathrm h}$ はネーター・被約・次元 $1$ で、$\mathcal O/f^k$ は長さ有限なので $\mathcal O/f^k\cong\mathcal O^{\mathrm h}/f^k$ である。$K^{\mathrm h}=\mathcal O^{\mathrm h}_f$ も体の有限積である。
• (b) $\zeta\in H^2(S,\mathbb G_m)$ をとる。$\zeta|_K$ は各成分の体の中心単純環 $A_\eta$（次数 $d_\eta$）で表される。定理 D により $\zeta|_{\mathcal O^{\mathrm h}}=\delta(B^{\mathrm h})$ となる Azumaya 代数 $B^{\mathrm h}$（次数 $e$）がある。
• (c) $D=\prod_\eta d_\eta$ とし、$A'=\prod_\eta A_\eta\otimes M_{eD/d_\eta}$、$B'=B^{\mathrm h}\otimes M_D$ とおくと、どちらも各成分で次数 $eD$ で、$A'$ は自由 $K$ 加群である。$K^{\mathrm h}$ の各成分の体 $\kappa'$ の上で $A'\otimes\kappa'$ と $B'\otimes\kappa'$ は同じ類 $\zeta|_{\kappa'}$・同じ次数の中心単純環なので同型である。よって $K^{\mathrm h}$ 代数の同型 $\varphi\colon B'\otimes K^{\mathrm h}\cong A'\otimes_KK^{\mathrm h}$ がある。
• (d) 補題 1（$V=A'$、$\mathcal O'=\mathcal O^{\mathrm h}$）を $\varphi(B')$ に当てると、$\mathcal O$ 格子 $\Lambda\subset A'$ で $\Lambda\otimes\mathcal O^{\mathrm h}=\varphi(B')$ となるものがあり、$\Lambda$ は $1$ を含む部分代数である。$\Lambda\otimes\mathcal O^{\mathrm h}$ は自由なので、忠実平坦性から $\Lambda$ は平坦で有限生成、したがって自由である。$\Lambda\otimes\Lambda^{\mathrm{op}}\to\operatorname{End}(\Lambda)$ も $\mathcal O^{\mathrm h}$ を掛けると同型になるので同型で、$\Lambda$ は Azumaya 代数であり $\Lambda_f=A'$。
• (e) $\theta=\delta(\Lambda)-\zeta$ とおくと、$\theta|_K=0$、$\theta|_{\mathcal O^{\mathrm h}}=0$。§4-1 の被約な場合の議論により、$\theta=\partial(d)$、$d\in H^1(S,\mathcal Div_S)$ と書け、$\partial$ は単射である。$\mathcal Div_S$ は閉点に台をもつので $H^1(S,\mathcal Div_S)=H^1(\kappa,\mathcal D)$、$\mathcal D=(\mathcal O^{\mathrm{sh}}\otimes_{\mathcal O}K)^\times/(\mathcal O^{\mathrm{sh}})^\times$ である。$S^{\mathrm h}=\operatorname{Spec}\mathcal O^{\mathrm h}$ についても、$(\mathcal O^{\mathrm h})^{\mathrm{sh}}=\mathcal O^{\mathrm{sh}}$、$\mathcal O^{\mathrm{sh}}\otimes_{\mathcal O^{\mathrm h}}K^{\mathrm h}=\mathcal O^{\mathrm{sh}}\otimes_{\mathcal O}K$ なので、同じ Galois 加群 $\mathcal D$ を得る。平坦な射 $u\colon S^{\mathrm h}\to S$ は生成点を生成点に写し、(3.1) の射を与え、$u^*\colon H^1(S,\mathcal Div_S)\to H^1(S^{\mathrm h},\mathcal Div_{S^{\mathrm h}})$ は同型である。$\partial^{\mathrm h}(u^*d)=u^*\theta=0$ で $\partial^{\mathrm h}$ は単射なので $u^*d=0$、$d=0$、$\theta=0$。よって $\zeta=\delta(\Lambda)\in\mathrm{Br}(\mathcal O)$。

(2) 次元 $1$ で一般.$\mathcal O_0=\mathcal O_{\mathrm{red}}$ とすると、補題 0（アフィン）により $H^2(S,\mathbb G_m)\cong H^2(\operatorname{Spec}\mathcal O_0,\mathbb G_m)$。(1) により $\zeta$ の像は $\delta(\Lambda_0)$ と書け、(G10) により $\Lambda_0$ は $\mathcal O$ 上の Azumaya 代数 $\Lambda$ に持ち上がる。$\delta(\Lambda)$ と $\zeta$ は同じ像をもつので等しい。$\square$
（原論文 II (2.1) の証明は、この補題に当たる段を「局所環が 1 次元なので難しくない」とだけ述べる。上の (1) の格子による貼り合わせと、生成点と Hensel 化の両方で消える類が $0$ であることの議論は本頁で補った。(e) は閉点の剰余体についての仮定を使わない。）
段 1（生成点）.$\eta_1,\dots,\eta_m$ を既約成分の生成点とし、$\eta_j$ を含み他の既約成分と交わらないアフィン開集合 $V_j$ をとる（$V_j$ は互いに交わらない）。$\mathcal O_{X,\eta_j}$ は次元 $0$ なので、補題 2 により $\xi|_{\operatorname{Spec}\mathcal O_{X,\eta_j}}=\delta(A_j^0)$。(G8) により $A_j^0$ は縮めた $V_j$ 上の Azumaya 代数 $A_j$ に延び、(G7)（$\operatorname{Spec}\mathcal O_{X,\eta_j}$ は $V_j$ の射影極限）によりさらに縮めれば $\xi|_{V_j}=\delta(A_j)$。$U=\bigsqcup_jV_j$ の上で $\xi$ は実現される。
段 2（次元 1 の点を越える）.$U$ をすべての生成点を含む開集合、$A$ を $U$ 上の Azumaya 代数で $\xi|_U=\delta(A)$ となるものとする。$X\smallsetminus U$ の点 $x$ で $\dim\mathcal O_{X,x}=1$ のものは、真の一般化（生成点で $U$ に属する）が $X\smallsetminus U$ に無いので、$X\smallsetminus U$ の既約成分の生成点であり、有限個しかない。その一つ $x$ について、$x$ を含む開集合 $V''$ と $U\cup V''$ 上の実現を作る。

• (a) 補題 2 により $\xi|_{\operatorname{Spec}\mathcal O_{X,x}}=\delta(B^0)$。$f\in\mathfrak m_x$ を $\mathcal O_{X,x}$ のどの極小素イデアルにも属さないようにとると、$\operatorname{Spec}\mathcal O_{X,x}\cap V(f)=\{x\}$。$x$ の連結なアフィン近傍 $V$ を、$f$ が $V$ 上の関数になり、$X\smallsetminus U$ の既約成分と $V(f)$ の既約成分のうち $x$ を含まないものと交わらないようにとる。$x$ を含むそれらの成分の生成点は $x$ の一般化で、それぞれ $X\smallsetminus U$、$V(f)$ に属するので $x$ 自身である。よって $V\cap(X\smallsetminus U)=V\cap V(f)$、すなわち $V\cap U=V\cap D(f)$。(G8)(G7) により、$V$ をこの形のまま縮めて、$V$ 上の Azumaya 代数 $B$ で $\xi|_V=\delta(B)$ となるものをとる。
• (b) $\eta'_1,\dots,\eta'_t$ を $x$ の一般化である生成点とする。$U_x=\operatorname{Spec}\mathcal O_{X,x}\smallsetminus\{x\}=\operatorname{Spec}(\mathcal O_{X,x})_f$ は、各 $\operatorname{Spec}\mathcal O_{X,\eta'_i}$（一点のスキーム）の直和である。$A$ の次数は $U$ の連結成分 $C$ ごとに一定値 $d_C$、$B$ の次数は一定値 $e$ である。$\eta'_i$ を含む成分の $d_C$ の積を $D$ とし、そのような成分の上で $A$ を $A\otimes M_{eD/d_C}$ に、$B$ を $B\otimes M_D$ に取り替える（類は変わらない）。すると各 $\eta'_i$ で両者の次数は $eD$ である。
• (c) 各 $\mathcal O_{X,\eta'_i}$ は Artin 局所環で、その上の Azumaya 代数は剰余体上の代数で決まる（1-2 の定理 D）。剰余体上では両者は同じ類（$\xi$ の制限）・同じ次数の中心単純環なので同型である。よって同型 $\varphi\colon A|_{U_x}\cong B|_{U_x}$ がある。
• (d) $U_x$ は、$x$ のアフィン近傍 $V'\subset V$ を動かしたときの $D(f)\cap V'$ の射影極限なので、(G8) により $\varphi$ はある $V'$ の上の同型 $A|_{D(f)\cap V'}\cong B|_{D(f)\cap V'}$ に延びる。$D(f)\cap V'=U\cap V'$ なので、$A$ と $B|_{V'}$ をこの同型で貼り合わせて、$U\cup V'$ 上の Azumaya 代数 $C$ を得る。
• (e) $\theta=\delta(C)-\xi|_{U\cup V'}$ は $U$ と $V'$ の上で $0$ なので、(G9) により $\theta=\partial(\lambda)$、$\lambda\in H^1(U\cap V',\mathbb G_m)=\mathrm{Pic}(D(f)\cap V')$。$\lambda|_{U_x}\in\mathrm{Pic}(U_x)=0$（Artin 局所環の積。G3）なので、(G8) により $x$ のアフィン近傍 $V''\subset V'$ で $\lambda|_{D(f)\cap V''}$ は自明になる。(G9) の自然性により $\theta|_{U\cup V''}=\partial(\lambda|_{U\cap V''})=0$。よって $\xi$ は $U\cup V''$ 上で $C$ により実現される。
  $U\cup V''$ の補集合は $X\smallsetminus U$ に含まれ $x$ を含まない。これを有限回くり返すと、補集合のすべての点で $\dim\mathcal O\ge2$ となる。これが (1) である。

段 3（次元 2 の点を越える）.(2) の仮定のもとで、段 2 の $U$、$A$ から始める。$X\smallsetminus U$ の点 $y$ で $\dim\mathcal O_{X,y}=2$ のものは、同じ理由で $X\smallsetminus U$ の既約成分の生成点であり、有限個である。その一つ $y$ をとる。

• (a) $R=\mathcal O_{X,y}$ は 2 次元の正則局所環で、一意分解整域である（G4）。$U_y=\operatorname{Spec}R\smallsetminus\{y\}$ の点は $\dim\mathcal O\le1$ なので $U$ に属する。
• (b) $A|_{U_y}$ の連接な延長の反射包 $M$ をとると（G12）、$M$ は自由な $R$ 加群で $M|_{U_y}=A|_{U_y}$、$\Gamma(U_y,\widetilde M)=M$ である。$A$ の乗法は $M\otimes M\to\Gamma(U_y,A)=M$ を与え、結合律と単位元は $\Gamma(U_y,A)$ の中で確かめられる。$M\otimes M^{\mathrm{op}}\to\operatorname{End}_R(M)$ は同じ階数の自由加群の射で $U_y$ の上で同型なので、その行列式は $\Gamma(U_y,\mathcal O)^\times=R^\times$ に属し、同型である。よって $M$ は $R$ 上の Azumaya 代数である。
• (c) $R$ は正則なので、定理 A (2) により $H^2(R,\mathbb G_m)\to\mathrm{Br}(\operatorname{Frac}R)$ は単射で、$\delta(M)$ と $\xi|_{\operatorname{Spec}R}$ は生成点で一致するので等しい。
• (d) (G8)(G7) により $M$ は $y$ の連結なアフィン近傍 $V$ 上の Azumaya 代数 $M_V$ に延び、$\xi|_V=\delta(M_V)$。段 2 (a) と同じく $V$ を縮めて $V\cap(X\smallsetminus U)=V\cap\overline{\{y\}}$ とし、$V\cap\overline{\{y\}}$ の定義イデアルの生成元 $f_1,\dots,f_r$ をとる。$V\cap U=\bigcup_iD(f_i)$、$U_y=\bigcup_i\operatorname{Spec}R_{f_i}$ である。
• (e) (b) の等式 $M|_{U_y}=A|_{U_y}$ は、(G8) により $y$ のアフィン近傍 $V'\subset V$ の上の同型 $A|_{V'\cap U}\cong M_V|_{V'\cap U}$ に延びる。貼り合わせて $U\cup V'$ 上の Azumaya 代数 $C$ を得る。
• (f) 段 2 (e) と同じく $\theta=\delta(C)-\xi=\partial(\lambda)$、$\lambda\in\mathrm{Pic}(V'\cap U)$。$U_y$ は正則なので $\mathrm{Pic}(U_y)=\mathrm{Cl}(R)=0$ であり、(G8) により $y$ の近傍 $V''$ で $\lambda$ は自明になり、$\xi$ は $U\cup V''$ 上で実現される。
  これを有限回くり返すと、補集合のすべての点で $\dim\mathcal O\ge3$ となる。これが (2) である。

(3) の証明.$\dim X\le1$ なら、すべての点で $\dim\mathcal O_{X,y}\le1$ なので、(1) の $Y$ は空である。$X$ が正則で $\dim X\le2$ なら、(2) の $Y$ は空で、定理 A により $H^2(X,\mathbb G_m)$ は捩れなので $\mathrm{Br}(X)=\mathrm{Br}'(X)=H^2(X,\mathbb G_m)$。
(4) の証明.$X$ は正則・連結なので整である。定理 A (2) を $X$ と各 $\operatorname{Spec}\mathcal O_{X,x}$ に当てて、$\mathrm{Br}(X)\subset\mathrm{Br}(\mathcal O_{X,x})\subset\mathrm{Br}(K)$ を得る。逆に $\alpha$ がすべての $x\in X^{(1)}$ で $\mathrm{Br}(\mathcal O_{X,x})$ に入るとする。$\alpha$ を表す中心単純環 $A_K$ を、(G8) により稠密な開集合 $U$ の上の Azumaya 代数 $A$ に延ばす。$x\in X^{(1)}\smallsetminus U$ では、仮定により $\mathcal O_{X,x}$ 上の Azumaya 代数 $B^0$ で類が $\alpha$ のものがある。段 2 の (a)(b)(d) を、(c) を「$A\otimes K$ と $B^0\otimes K$ は同じ類・同じ次数の中心単純環なので同型」に替えて行えば、$U\cup V'$ 上の Azumaya 代数で生成点での類が $\alpha$ のものを得る（類を比べる (e) は不要）。これをくり返したあと、段 3 の (a)(b)(d)(e) を同様に行えば（(c)(f) は不要）、$\dim X\le2$ なので $X$ 全体の上の Azumaya 代数 $C$ で $[C\otimes K]=\alpha$ となるものを得る。$\square$
（原論文 II は、(2.1) の第二の主張の議論と (2.2) の第二の主張が本質的に Auslander–Goldman によると述べている。(4) の証明はコホモロジーを使わず、Auslander–Goldman の形に当たる。）

4-5. 局所スキームの $\ell$ 捩れ

$X$ を局所スキーム、$\ell$ を剰余標数と異なる素数とする。Kummer 列（2-2）により $H^2(X,\mathbb G_m)$ の $\ell^n$ 捩れ元は $H^2(X,\mu_{\ell^n})$ から来るので、定理 C と合わせると次が分かる：$H^2(X,\mathbb G_m)$ の $\ell$ 準素部分がすべて $\mathrm{Br}(X)$ に入ることは、すべての $n$ とすべての $\zeta\in H^2(X,\mu_{\ell^n})$ が有限エタール被覆で消えることと同値である（II (2.6)）。「$\Leftarrow$」は、$\zeta$ を消す有限エタール全射がその像も消すことによる。「$\Rightarrow$」は、$\zeta$ の像を消す有限エタール全射 $X'\to X$ をとると、$X'$ は半局所なので $\mathrm{Pic}(X')/\ell^n=0$ であり、Kummer 列から $\zeta|_{X'}=0$ となることによる。原論文は、$X$ が体上の滑らかなスキームの局所化ならこの条件がみたされると述べ、その根拠として Artin の「良い近傍」（SGA 4 XI）を挙げる。この最後の主張は 1968 年版の言明から脱落しており、Bourbaki 版の正誤表で補われている。本頁ではこの主張を証明せず、引用として扱う。

5. 例と反例

例 1（非正規曲線では生成点への単射性が崩れる）.$X=\operatorname{Spec}\mathbb R[x,y]/(x^2+y^2)$ とする。$x^2+y^2$ は $\mathbb R$ 上既約なので $X$ は整な曲線であり、原点 $o$ だけが特異点で、$\kappa(o)=\mathbb R$。$t=y/x$ は $t^2=-1$ をみたすので、関数体は $K=\mathbb C(x)$ である。Tsen の定理（3-1）により $\mathrm{Br}(\mathbb C(x))=0$。一方、四元数 $\mathbb H\otimes_{\mathbb R}\mathcal O_X$ は $X$ 上の Azumaya 代数で、原点への制限は $\mathbb H\ne0\in\mathrm{Br}(\mathbb R)$ だから、その類は $\mathrm{Br}(X)$ で $0$ でない。したがって $\mathrm{Br}(X)\to\mathrm{Br}(K)$ は単射でない。この例は定理 A (2) の「狭義 Hensel 化が一意分解整域」を破り（$o$ での狭義 Hensel 化は $\mathbb C$ 上の 2 本の直線の交点で、整域ですらない）、次元 $\le1$ の場合の「閉点の剰余体が分離閉」という仮定（§4-1）も破っている（$\kappa(o)=\mathbb R$）。なお $\dim X=1$ なので、定理 B (3) により $\mathrm{Br}(X)=H^2(X,\mathbb G_m)$ は成り立っている。原論文 II (1.11) b) は、この例を Auslander–Goldman に帰している。

例 2（孤立特異点をもつ正規曲面と Mumford の例）.$X$ を正規なネーター・スキーム、$Z$ を有限個の閉点の集合とし、$Z$ の外で狭義 Hensel 化が一意分解整域であるとする。$x\in Z$ について $U_x=\operatorname{Spec}\mathcal O_{X,x}\smallsetminus\{x\}$、$\bar U_x=\operatorname{Spec}\mathcal O^{\mathrm{sh}}_{X,x}\smallsetminus\{\text{閉点}\}$、$\pi_x$ を剰余体の絶対 Galois 群とする。局所 Picard 群の層は $Z$ に台をもち、$0\to\mathcal Div_X\to\mathcal Z^1_X\to(\text{局所 Picard 群の層})\to0$ と $H^1(X,\mathcal Z^1_X)=0$ から、
$$\ker\bigl(H^2(X,\mathbb G_m)\to\mathrm{Br}(K)\bigr)\cong H^1(X,\mathcal Div_X)\cong\Bigl(\bigoplus_{x\in Z}\mathrm{Pic}(\bar U_x)^{\pi_x}\Bigr)\Big/\operatorname{Im}Z^1(X)$$
を得る（$X$ が整の場合。$Z^1(X)$ は $X$ の Weil 因子の群で、各 Weil 因子を各点 $x$ での局所的な類に送る）。ここで $\bar U_x$ と $U_x$ は局所的に因子分解的なので $\mathrm{Pic}(\bar U_x)=\mathrm{Cl}(\mathcal O^{\mathrm{sh}}_{X,x})$、$\mathrm{Pic}(U_x)=\mathrm{Cl}(\mathcal O_{X,x})$ であり、後者は前者の部分群である（G12）。したがって完全列
$$0\to\operatorname{Coker}\Bigl(Z^1(X)\to\bigoplus_{x\in Z}\mathrm{Pic}(U_x)\Bigr)\to H^1(X,\mathcal Div_X)\to\bigoplus_{x\in Z}\mathrm{Pic}(\bar U_x)^{\pi_x}/\operatorname{Im}\mathrm{Pic}(U_x)\to0$$
がある。$Z$ が 1 点 $x$ なら、$\mathcal O_{X,x}$ の高さ $1$ の素イデアルはどれも $X$ の余次元 $1$ の点の閉包の局所的な類なので左端は $0$ で、
$$H^1(X,\mathcal Div_X)\cong\mathrm{Pic}(\bar U_x)^{\pi_x}/\operatorname{Im}\mathrm{Pic}(U_x)$$
となる。原論文 II (1.11) b) の式 (7)・(7 bis) はこの右辺を $x\in Z$ についての直和の形で述べ、「(6) から容易に導かれる」とするが、$Z$ が 2 点以上では一般に成り立たない（次の反例）。
原論文は同じ段落で、講演者自身の留保「Sauf malentendu de la part du conférencier」（II, p. 75）を付けて、Mumford の例を挙げる。Mumford は、局所環 $\mathcal O_{X,x}$ が一意分解整域であるのに $\mathrm{Pic}(\bar U_x)$ が捩れでも有限型でもない（望むなら複素数体上の）正規曲面を構成した、という。$x$ の外で狭義 Hensel 化が一意分解整域なら、上の 1 点の場合の式から $H^1(X,\mathcal Div_X)\cong\mathrm{Pic}(\bar U_x)$ は捩れでなく、$H^2(X,\mathbb G_m)$ は捩れでない。本頁は Mumford の構成を確かめていないので、この例は原論文の主張の引用にとどめる。定理 A の仮定を「Zariski 局所環が一意分解整域」に弱めてはいけないことを示す例として挙げられている。

例 3（4 枚の平面。原論文の時点で未解決の試験台）.アフィン 3 次元空間の中で一般の位置にある 4 枚のアフィン平面の和 $X$ は、複素位相で $S^2$ とホモトピー同値である。原論文 II は、Kummer 理論（2-2）で得られる $H^2(X,\mathbb G_m)$ の $n$ 捩れの標準的な元が Azumaya 代数で表されるかを問い、答えを与えていない（II, p. 76）。$X$ は正規でも既約でもなく、次元 $2$ なので、定理 B (3) の範囲の外にある。
例 4（正則曲面の Brauer 群の記述）.$X=\mathbb A^2_k$（$k$ は標数 $0$ の代数閉体）なら、定理 B (4) により $\mathrm{Br}(X)=\bigcap_{x\in X^{(1)}}\mathrm{Br}(\mathcal O_{X,x})\subset\mathrm{Br}(k(s,t))$ であり、これは「すべての既約曲線に沿って不分岐な類」の群である。$\mathrm{Br}(\mathbb A^2_k)=0$ が知られている（Auslander–Goldman。引用）ので、$k(s,t)$ の非零の類はどれかの曲線に沿って分岐する。
注意（原論文の仮定）.1968 年版の II (2.1) は「$X$ はネーター」とだけ仮定して二つの主張（余次元 $\ge2$、正則なら余次元 $\ge3$ の外で Azumaya 代数で表せる）を述べ、段 2 の類の一致を II (1.8) の単射性で確かめる。II (1.8) は因子分解性か閉点の剰余体の分離閉性を要するので、原論文の証明の筋はこの仮定では閉じない。Bourbaki 版の正誤表は、第一の主張に「余次元 $\le1$ で正則」、第二の主張に「余次元 $\le2$ で正則」を付け加え、II (2.2) の次元 $\le1$ の場合に「剰余体が分離閉」（括弧内で、コホモロジー次元 $\le1$ でおそらく足りると注記）を付け加えている。
本頁の証明は、段 2 で II (1.8) を使わず、局所環についての補題 2 と Mayer–Vietoris 列で類を一致させる。したがって、第一の主張は 1968 年版の仮定（ネーター）のままで成り立ち、次元 $\le1$ のネーター・スキームでは剰余体に仮定を置かずに $\mathrm{Br}=H^2$ が成り立つ（定理 B (3)）。II (2.2) の印字には「ネーター」の語が無いが、(2.1) の系として置かれているので、本頁はネーターのスキームについての主張と読む。ネーターでないスキームについては、本頁は何も述べない。第二の主張には、余次元 $\le2$ の点での正則性が段 3 で要る（正誤表の仮定と同じ）。また II (2.7) は $\mathrm{Br}=\mathrm{Br}'$ となる場合として「正則で次元 $2$」と書くが、(2.2) の「次元 $\le2$」と数学的な差は無い（正則で次元 $\le1$ の場合は次元 $\le1$ の場合に含まれる）。

6. その後の発展

以下は原論文の主張ではなく、後代の結果の紹介である（本頁の執筆時点 2026 年の知識による。書誌の頁は確認していない）。

• Gabber と de Jong.$\mathrm{Br}(X)=\mathrm{Br}'(X)$ は、Gabber により（アフィンスキームや、二つのアフィン開集合の和などの場合に）示され、de Jong が Gabber の未刊の結果の証明を与えて、アフィンスキーム上の豊富な可逆層をもつ（準射影的な）スキームへ広げた（2000 年代前半）。講演 II の問い（像は捩れ部分群全体か）は、この範囲では肯定的に解かれた。
• 反例.Edidin–Hassett–Kresch–Vistoli（2001）は、分離的でない正規曲面で $\mathrm{Br}\ne\mathrm{Br}'$ となる例を与え、分離的なスキームで一般に等号が成り立つかは未解決のまま残った、とされる。代数的スタックの上でも Brauer 群の比較が調べられている。
• Grothendieck–Serre 予想.II (1.11) a) は、定理 A の $\mathrm{PGL}_r$ トーサーへの帰結（正則なら、生成点で自明な $\mathrm{PGL}_r$ トーサーは局所自明）が、正則局所スキーム上の任意の半単純群について成り立つと予想した。この予想は今日 Grothendieck–Serre 予想と呼ばれ、体を含む正則局所環の場合（Fedorov–Panin ら）など多くの場合に解決された。
• 純性.定理 B (4) の共通部分の記述は、「Brauer 群は余次元 $2$ 以上の閉集合を除いても変わらない」という純性の最も簡単な場合である。一般の正則スキームでの純性は Gabber と Česnavičius（2019 年頃）により示された。詳しくは 5-1。

7. 原論文との対応表

原論文 II (2.7) は $H^2(X,\mathbb G_m)$ 全体を $\mathrm{Br}'(X)$ と名づけ、$\mathrm{Br}=\mathrm{Br}'$ となる場合として「ネーターで次元 $\le1$」「正則で次元 $2$」「Hensel 局所」「標数 $0$ の体上の滑らかなスキームの局所化」を挙げる。本書の $\mathrm{Br}'$ は捩れ部分群であり、正則な場合には両者は一致する（定理 A）。また原論文は II (1.10) の右辺を $\mathrm{Br}(X_i)$ と印字するが、生成点の局所環の Brauer 群の意である。

8. 参考文献

• A. Grothendieck, « Le groupe de Brauer II : Théorie cohomologique », Séminaire Bourbaki n° 297（1965）；Dix exposés sur la cohomologie des schémas, 1968, pp. 67–87。本頁は §1・§2（pp. 70–80）に対応する。Bourbaki 版の正誤表は同講演の Bourbaki 版の末尾にある。
• M. Artin, A. Grothendieck, J.-L. Verdier, Théorie des topos et cohomologie étale des schémas（SGA 4）, Lecture Notes in Math. 269, 270, 305。(G2)(G6)(G7)(G10) と Artin の良い近傍の出典（本頁では該当箇所の番号を確認していない）。
• A. Grothendieck, J. Dieudonné, Éléments de géométrie algébrique IV, Publ. Math. IHÉS。(G8)(G11) の出典（本頁では該当箇所の番号を確認していない）。
• D. Mumford, « The topology of normal singularities of an algebraic surface and a criterion for simplicity », Publ. Math. IHÉS 9 (1961), 5–22（本頁では開いていない。原論文 II の文献表による）。
• M. Auslander, O. Goldman, « The Brauer group of a commutative ring », Trans. Amer. Math. Soc. 97 (1960)（本頁では開いていない）。
• P. Samuel, Lectures on Unique Factorization Domains, Tata Institute, 1964。$A_1$ 型の特異点の類群と、類群の忠実平坦な拡大での単射性（本頁では開いていない）。
• A. J. de Jong, « A result of Gabber »（プレプリント）。§6（書誌は記憶による。未確認）。
• D. Edidin, B. Hassett, A. Kresch, A. Vistoli, « Brauer groups and quotient stacks », Amer. J. Math. 123 (2001)。§6（書誌は記憶による。未確認）。
• K. Česnavičius, « Purity for the Brauer group », Duke Math. J. 168 (2019)。§6（書誌は記憶による。未確認）。
• J. S. Milne, Étale Cohomology, Princeton, 1980；J.-L. Colliot-Thélène, A. N. Skorobogatov, The Brauer–Grothendieck Group, Springer, 2021。本頁全体の現代的な参照（本頁では該当箇所の番号を確認していない）。