1-2 体上の中心単純環と分裂体

要約。体 $k$ 上の有限次元代数 $A\ne0$ について、「代数閉包上で行列環になる」「中心単純である」「$A\otimes A^{\mathrm{op}}\to\operatorname{End}_k(A)$ が同型」の三条件が同値であることを示す。次数 $r$ の中心単純環は次元 $r$ のエタール部分代数 $L$ を含み、$A\otimes_kL\cong M_r(L)$ となる。したがって $A$ は $k$ の有限分離拡大で分裂し、次数を $r$ の約数にとれる。有限次の分裂体がすべて「$A$ と同値な代数の部分体」として得られることも示し、原論文の対応する主張の誤りを反例で示す。最後に、局所 Artin 環上の持ち上げを Hochschild コホモロジーで制御し、中心単純環の持ち上げの存在と一意性、および「自己同型は内部」（Skolem–Noether）を得る。これらはスキーム上の Azumaya 代数（1-3）の点ごとの基礎になる。

1. この頁で示すこと

$k$ を体、$\Omega$ をその代数閉包とする。

• 定理 A.有限次元 $k$ 代数 $A\ne0$ について次は同値：(i) ある $r\ge1$ で $A\otimes_k\Omega\cong M_r(\Omega)$。(ii) $A$ は単純で中心が $k$。(iii) $A\otimes_kA^{\mathrm{op}}\to\operatorname{End}_k(A)$、$a\otimes b\mapsto(x\mapsto axb)$ が同型。このとき $\dim_kA=r^2$。（原論文 I (3.1)。原論文は想起として述べ、$A\ne0$ を明記しないが、零代数を除いて読む。）
• 定理 B.$A$ を次数 $r$（$\dim A=r^2$）の中心単純環とする。(a) $A$ は次元 $r$ の可換エタール部分代数 $L$ を含む。(b) そのような $L$ について、$A$ は右 $L$ 加群として階数 $r$ の自由加群であり、$A\otimes_kL\cong M_r(L)$。(c) $A$ は次数が $r$ の約数である有限分離拡大で分裂する。とくに $k$ が分離閉なら $A\cong M_r(k)$。(d) 有限次拡大 $L/k$（$s=[L:k]$）が $A$ を分裂させるための必要十分条件は、$A$ と同値な中心単純環 $B$ で、$L$ を部分体として含み、右 $L$ 加群として階数 $s$ の自由加群になるものがあることである。$A$ が斜体なら $B$ は $A\otimes_kM_m(k)$ の形にとれ、さらに $r\mid[L:k]$ である。（I (3.2)–(3.9)。(d) の前半は原論文 I (3.9) の主張を正しい形に直したもの。§5 の反例「分裂体の実現」。）
• **定理 C（Skolem–Noether）.**中心単純環の自己同型はすべて内部自己同型である。（I (4.6) はこれを局所 Artin 環上の形で述べる。本頁では古典的な形と無限小の形の両方を示す。）
• 定理 D.$\Lambda$ を局所 Artin 環、$k$ をその剰余体、$A_0$ を $k$ 上の中心単純環とする。$\Lambda$ 上自由で $A\otimes_\Lambda k\cong A_0$ となる結合的 $\Lambda$ 代数 $A$ は存在し、同型を除いてただ一つである。$A$ は単位元をもち、$A$ の $\Lambda$ 代数自己同型はすべて内部である。とくに $A_0\cong M_r(k)$ なら $A\cong M_r(\Lambda)$。（I (4.1)–(4.6)。）

2. 背景と動機

体の Brauer群 の古典論（Brauer、Hasse、Noether、Albert）では、中心単純環とその分裂体が主役である。スキームへ移るとき、Grothendieck は古典論のうち次の二点だけを取り出して使う。

1. 分裂は分離的な拡大で起こる。これがエタール位相で「局所的に行列環」と言える理由になる（1-3）。
2. 中心単純環は変形しない。すなわち無限小の持ち上げが存在して一意であり、自己同型は内部である。これが Hensel 局所環上で Azumaya 代数が閉ファイバーで決まる理由になる（1-3）。
   原論文 I §4 は、2 を Hochschild コホモロジーの消滅として述べ、群スキームの無限小理論と比べるよう読者に促している。本頁は、1 を「極大エタール部分代数」で、2 を平方零の拡大の計算で示す。

3. 定義と準備

• 中心単純環（中心単純環）：有限次元 $k$ 代数で、両側イデアルが $0$ と自身だけであり、中心が $k$ であるもの。次元は平方数 $r^2$ になり（定理 A）、$r$ を次数という。
• エタール代数：有限個の有限分離拡大体の直積に同型な可換 $k$ 代数。同値に、$L\otimes_k\Omega$ が被約（したがって $\Omega^{\dim L}$ に同型）なもの。
• 分裂体：$A\otimes_kK\cong M_r(K)$ となる拡大体 $K$。
• 同値：中心単純環 $A,B$ は、$A\otimes M_m(k)\cong B\otimes M_{m'}(k)$ となる $m,m'\ge1$ があるとき同値という。Wedderburn の構造定理 $A\cong M_m(D)$（$D$ は中心 $k$ の斜体で、同型を除き一意）により、同値であることは付随する斜体が同型であることと同じであり、同値で次元の等しい中心単純環は同型である。類の群が $\mathrm{Br}(k)$ である。
• Hochschild コホモロジー：$k$ 代数 $A_0$ と両側加群 $M$ に対し、$C^n(A_0,M)=\operatorname{Hom}_k(A_0^{\otimes n},M)$ と
  $$(\partial c)(x_1,\dots,x_{n+1})=x_1c(x_2,\dots)+\sum_{i=1}^n(-1)^ic(\dots,x_ix_{i+1},\dots)+(-1)^{n+1}c(x_1,\dots,x_n)x_{n+1}$$
  で定まる複体のコホモロジー $H^n(A_0,M)$。$H^n(A_0,M)=\operatorname{Ext}^n_{A_0\otimes A_0^{\mathrm{op}}}(A_0,M)$ である（引用：Cartan–Eilenberg）。

補題 1（テンソル積の単純性）.$A$ が中心単純、$B$ が単純な $k$ 代数なら $A\otimes_kB$ は単純。
証明.$I\ne0$ を両側イデアルとし、$B$ の基底 $(b_j)$ で $I$ の非零元を $\sum a_j\otimes b_j$ と書いたとき、非零の $a_j$ の個数が最小の元 $z$ をとる。ある $j_0$ で $a_{j_0}\ne0$。$A$ は単純なので $\sum_s u_sa_{j_0}v_s=1$ となる $u_s,v_s$ があり、$z$ を $\sum_s(u_s\otimes1)z(v_s\otimes1)$ に取り替えて $a_{j_0}=1$ としてよい。任意の $a\in A$ について $(a\otimes1)z-z(a\otimes1)=\sum(aa_j-a_ja)\otimes b_j$ は $j_0$ 成分が $0$ なので、最小性から $0$。よって各 $a_j$ は中心 $k$ に属し、$z=1\otimes b$（$b\ne0$）。$B$ は単純なので $1\otimes b$ の生成する両側イデアルは $1\otimes B$ を含み、$I=A\otimes B$。$\square$

4. 主結果と証明

4-1. 定理 A

(ii)⇒(iii)：補題 1 で $A\otimes A^{\mathrm{op}}$ は単純なので、非零の準同型 $A\otimes A^{\mathrm{op}}\to\operatorname{End}_k(A)$ は単射。両辺の次元は $(\dim A)^2$ で等しいから同型。
(iii)⇒(ii)：両側イデアル $I$ は $A\otimes A^{\mathrm{op}}$ の作用で安定だが、$\operatorname{End}_k(A)$ で安定な部分空間は $0$ と $A$ だけなので、$A$ は単純。中心の元 $z$ について $z\otimes1$ は $A\otimes A^{\mathrm{op}}$ の中心に入り、同型で $\operatorname{End}_k(A)$ の中心 $k$ へ移るので $z\in k$（$A\ne0$ なので $k\to A$ は単射）。
(iii)⇔(i)：条件 (iii) は線形写像が同型であるという条件なので、体の拡大で保たれ、かつ拡大から降りる。$M_r(\Omega)$ は (iii) をみたす（行列単位で確かめる）ので (i)⇒(iii)。逆に (iii) なら $A_\Omega$ も (iii) をみたし、上で示したことから $\Omega$ 上中心単純。Wedderburn の構造定理で $A_\Omega\cong M_r(D)$、$D$ は $\Omega$ 上有限次元の斜体だが、$\Omega$ が代数閉なので $D=\Omega$。$\square$

4-2. 定理 B

(a) エタール部分代数の存在。$x\in A$ で $k[x]$ が次元 $r$ のエタール代数になるもの（正則元）を見つければよい。

• $k$ が無限体の場合：同型 $\varphi\colon A_\Omega\cong M_r(\Omega)$ を固定し、$A$ の基底 $a_1,\dots,a_N$（$N=r^2$）と不定元 $t_1,\dots,t_N$ について、$\varphi(\sum t_ia_i)$ の特性多項式の判別式を $D(t)\in\Omega[t_1,\dots,t_N]$ とする。$\varphi$ は全単射なので、$\sum t_ia_i$（$t\in\Omega^N$）の像には対角成分が相異なる対角行列があり、$D\ne0$ である。一方、$\Omega$ 係数の多項式 $f$ が $k^N$ 上で恒等的に $0$ なら $f=0$ である（$f$ の係数の張る $k$ ベクトル空間の基底 $\omega_j$ で $f=\sum_j\omega_jf_j$、$f_j\in k[t]$ と書くと、$t\in k^N$ で $f_j(t)\in k$ なので $f_j(t)=0$ となり、$k$ が無限体だから $f_j=0$）。したがって $D(t)\ne0$ となる $t\in k^N$ があり、$x=\sum t_ia_i$ とおく。$\varphi(x)$ は相異なる $r$ 個の固有値をもつので $\Omega[\varphi(x)]\cong\Omega^r$。$k[x]\otimes_k\Omega\to A_\Omega$ は単射で像は $\Omega[x]$ なので、$\dim_kk[x]=r$ で、$k[x]\otimes\Omega$ は被約、すなわち $k[x]$ はエタールである。
• $k$ が有限体の場合：Wedderburn の定理（有限斜体は可換）により $A\cong M_r(k)$ である。次数 $r$ の拡大 $k_r/k$ をとり、$k_r$ を $k$ 上の $r$ 次元ベクトル空間とみて左乗法で $k_r\subset\operatorname{End}_k(k_r)\cong M_r(k)$ と埋め込めばよい（$k_r$ は有限体なのでエタール）。

(b) 分裂。$L\subset A$ を次元 $r$ の可換エタール部分代数とする。$L\otimes_k\Omega\cong\Omega^r$ の原始冪等元 $f_1,\dots,f_r$ は $A_\Omega\cong M_r(\Omega)$ の中で互いに直交し和が $1$ の非零冪等元だから、どれも階数 $1$ であり、基底を取り替えれば $L_\Omega$ は対角行列の代数になる。
自由性。$L=\prod_iL_i$（$L_i$ は体）と分け、対応する冪等元を $e_i$ とする。$e_i\otimes1$ は $f_j$ のうち $[L_i:k]$ 個の和なので、$A_\Omega e_i$ はその個数の列に台をもつ行列の空間で、$\dim_k(Ae_i)=r[L_i:k]$。よって $\dim_{L_i}(Ae_i)=r$ であり、$A=\bigoplus_iAe_i$ は右 $L$ 加群として階数 $r$ の自由加群である。
同型。$V$ を右 $L$ 加群としての $A$ とし、
$$v\colon A\otimes_kL\to\operatorname{End}_L(V),\qquad a\otimes l\mapsto(y\mapsto ayl)$$
とおく（$L$ は可換なので $L$ 線形で、$L$ 代数の準同型になる）。$L=\prod L_i$ に沿って両辺を分けると、各成分は $A\otimes_kL_i\to\operatorname{End}_{L_i}(Ae_i)$ で、両辺とも $L_i$ 上次元 $r^2$。始域は $L_i$ 上の中心単純環（定理 A の (i) は底変換で保たれる）だから単純で、非零写像は単射、したがって同型。よって $v$ は同型で、$A\otimes_kL\cong M_r(L)$。
(c) 分離的な分裂体。(b) から、$L$ の各成分体 $L_i$ は $A$ を分裂させる有限分離拡大である（$A\otimes L_i$ は $A\otimes L\cong M_r(L)$ の成分）。ただしこれだけでは次数は $r$ 以下としか言えない。次数を $r$ の約数にとるには次のようにする。Wedderburn の定理で $A\cong M_m(D)$（$D$ は中心 $k$ の斜体、次数 $d$、$r=md$）と書く。(a)(b) を $D$ に当てると、$D$ の次元 $d$ のエタール部分代数 $L'$ は斜体の可換部分代数なので整域、したがって体であり、$[L':k]=d$ の分離拡大が $D$ を、したがって $A$ を分裂させる。$d\mid r$ である。$k$ が分離閉なら $L'=k$、$d=1$ で $A\cong M_r(k)$。
（原論文 I (3.8) は「次数は $r$ の約数にとれる」と述べるが、その論証は紙面に無い。上の段落は本頁で補った。）
(d) 分裂体の実現。二重中心化定理（引用：中心単純環 $C$ の忠実な有限次元加群 $W$ について、$B=\operatorname{End}_C(W)$ は $C^{\mathrm{op}}$ と同値な中心単純環で、$\dim_kC\cdot\dim_kB=(\dim_kW)^2$）を使う。
$\Leftarrow$：$B\supset L$ が右 $L$ 加群として階数 $s$ の自由加群なら $\dim_kB=s^2$ で、(b) の「同型」の議論（$L$ は体）がそのまま通り $B\otimes_kL\cong M_s(L)$。$A\otimes L$ と $B\otimes L$ は $\mathrm{Br}(L)$ で同じ類 $0$ をもち、次元が $r^2$ なので、$A\otimes L\cong M_r(L)$。
$\Rightarrow$：$A^{\mathrm{op}}\otimes L\cong(A\otimes L)^{\mathrm{op}}\cong M_r(L)$（転置）なので、$A^{\mathrm{op}}\otimes L$ の単純加群 $W=L^r$ がある。$W$ は $A^{\mathrm{op}}$ の忠実な加群で $\dim_kW=rs$ であり、$L$ の作用は $A^{\mathrm{op}}$ の作用と可換である。$B=\operatorname{End}_{A^{\mathrm{op}}}(W)$ とおくと $L\subset B$ で、二重中心化定理により $B$ は $A$ と同値な中心単純環で $\dim_kB=(rs)^2/r^2=s^2$。$L$ は体なので $B$ は右 $L$ ベクトル空間として次元 $s$ である。$A$ が斜体 $D$ なら、$D$ と同値な $B$ は $M_m(D)=D\otimes M_m(k)$ の形である。
$r\mid[L:k]$：$A$ が斜体なら、$A\otimes L\cong M_r(L)$ の単純加群 $L^r$ は $k$ 上 $r[L:k]$ 次元で、$A\to A\otimes L$ により $A$ 上のベクトル空間になるので、$r^2$ が $r[L:k]$ を割る。$\square$
注意.半単純な可換部分代数は同時対角化できるので、$A$ の可換エタール部分代数の次元は常に $r$ 以下である。次元 $r$ のものを極大エタール部分代数と呼ぶ（原論文 I (3.2)・(3.3) は、これが「自分自身の交換子に等しいエタール部分代数」とも一致することを示す）。可換部分代数一般の次元は $r$ を超えうる（§5 の反例「エタールでない可換部分代数」）ので、「エタール」は外せない。
注意（原論文 I (3.4) の証明）.原論文は正則元の存在を、既約特性多項式の判別式が $k$ 係数の多項式であることから導く。しかしその係数が $k$ に属することの標準的な証明は分離的な分裂体（(c)）を使い、(c) は (a) に依存する。上の (a) の証明は係数を $\Omega$ のまま扱うので、この循環を避けている。

4-3. 定理 C（Skolem–Noether）

$B$ を単純 $k$ 代数、$f,g\colon B\to A$ を中心単純環 $A$ への代数準同型とする。$A$ を $f$（resp. $g$）で左 $B$ 加群、右乗法で右 $A$ 加群とみると、$B\otimes_kA^{\mathrm{op}}$ 加群 $A_f$、$A_g$ が得られる。$B\otimes A^{\mathrm{op}}$ は補題 1 で単純だから、その有限次元加群は同じ単純加群の直和で、次元で同型類が決まる。$\dim A_f=\dim A_g$ なので同型 $\phi\colon A_f\to A_g$ がある。右 $A$ 線形性から $\phi(y)=\phi(1)y$ で、$a=\phi(1)$ は可逆（$\phi$ が全単射）。左 $B$ 線形性から $a f(b)=g(b)a$。$B=A$、$f=\mathrm{id}$、$g=u$（自己同型）とすれば $u(y)=aya^{-1}$。$\square$

4-4. 定理 D（無限小の持ち上げ）

設定.$\Lambda\to\Lambda_0=\Lambda/J$ を局所 Artin 環の全射で、$\mathfrak m J=0$ とする（$J$ は剰余体 $k$ 上のベクトル空間で、$J^2=0$）。$\bar A$ を $\Lambda_0$ 上自由な結合代数、$A$ をその加群としての自由な持ち上げ（基底を持ち上げて作る）、$A_0=\bar A\otimes_{\Lambda_0}k$ とする。$A$ の上の双線形な積で $\bar A$ の積を持ち上げるものを考える。
積の差はコチェイン.二つの持ち上げ $\ast,\ast'$ の差は $A\otimes A\to JA$ を経由し、$\mathfrak mJ=0$ から $A_0\otimes A_0\to A_0\otimes_kJ$ を経由する写像 $c$ で書ける：$x\ast'y=x\ast y+c(x_0,y_0)$。ここで $JA\cong A_0\otimes_kJ$ は $A_0$ 両側加群で、$JA$ の元どうしの積は $0$、$JA$ と $A$ の積は $A_0$ の作用で計算される。
結合律と $\partial$.$\ast$ の結合子 $a_\ast(x,y,z)=(x\ast y)\ast z-x\ast(y\ast z)$ は $JA$ に値をもち（$\bar A$ は結合的）、$A_0^{\otimes3}\to A_0\otimes J$ を経由する。展開すると
$$(x\ast' y)\ast' z=(x\ast y)\ast z+c(x_0,y_0)z_0+c(x_0y_0,z_0),\qquad x\ast'(y\ast' z)=x\ast(y\ast z)+x_0c(y_0,z_0)+c(x_0,y_0z_0)$$
なので $a_{\ast'}=a_\ast-\partial c$ である。ただし
$$(\partial c)(x_0,y_0,z_0)=x_0c(y_0,z_0)-c(x_0y_0,z_0)+c(x_0,y_0z_0)-c(x_0,y_0)z_0.$$
とくに $\ast$ が結合的なら、$\ast'$ が結合的であることは $\partial c=0$ と同値である。
（原論文 I §4 の印字の関係式では、$c(x_0,y_0)z_0$ と $c(x_0,y_0z_0)$ が同じ符号で現れる。上の展開と Hochschild の境界作用素の標準形では、この二項は逆の符号をもつ。）
存在の障害.任意の双線形な積 $\ast$ について、恒等式
$$x\ast a_\ast(y,z,w)-a_\ast(x\ast y,z,w)+a_\ast(x,y\ast z,w)-a_\ast(x,y,z\ast w)+a_\ast(x,y,z)\ast w=0$$
が成り立つ（左辺を積の形に展開すると、10 個の項が二つずつ打ち消し合う）。$a_\ast$ は $JA$ に値をもつので、これは $\partial a_\ast=0$ を意味する。したがって類 $[a_\ast]\in H^3(A_0,A_0\otimes J)$ が定まり、上の計算から $\ast$ の取り方によらない。$[a_\ast]=0$ なら $\partial c=a_\ast$ となる $c$ をとれば $\ast'=\ast+c$ は結合的である。すなわち、$H^3(A_0,A_0\otimes J)=0$ なら $\bar A$ の結合的な持ち上げが存在する。
同型類と自己同型.加群の自己同型 $1+h$（$h\colon A_0\to A_0\otimes J$）で結合的な積を移すと、$c$ は $c+\partial h$ に変わる。したがって、加群の持ち上げを固定したとき、$\bar A$ を持ち上げる結合的な積の同型類は、空でなければ $H^2(A_0,A_0\otimes_kJ)$ の主等質集合になる。同様に、$\bar A$ 上で恒等となる $A$ の代数自己同型 $1+D$ は導分 $D\colon A_0\to A_0\otimes J$ と一対一に対応し、内部自己同型 $x\mapsto(1+j)x(1+j)^{-1}$ は内部導分 $x\mapsto jx-xj$ に対応する。よって「$\bar A$ 上で恒等な自己同型」を内部自己同型で割った群は $H^1(A_0,A_0\otimes J)$ に同型である。
単位元.$\bar A$ が単位元をもち、$A$ が結合的な持ち上げなら、$A$ も単位元をもつ。実際、$\bar A$ の単位元の持ち上げを $e$ とし、$\varepsilon=L_e-\mathrm{id}$（$L_e$ は左乗法）とおくと、$\varepsilon$ は $A$ を $JA$ に、$JA$ を $0$ に写すので $\varepsilon^2=0$。結合性から $L_{e\ast e}=(1+\varepsilon)^2=1+2\varepsilon$ なので、$u=2e-e\ast e$ について $L_u=1$。右乗法についても同様で、$u$ は両側の単位元である。
消滅.$A_0$ が $k$ 上中心単純なら $A_0\otimes_kA_0^{\mathrm{op}}\cong\operatorname{End}_k(A_0)$（定理 A）は行列環で半単純だから、その上の加群はすべて射影的で、$H^n(A_0,M)=\operatorname{Ext}^n(A_0,M)=0$（$n\ge1$）。
定理 D の証明.$\Lambda\supset\mathfrak m\supset\mathfrak m^2\supset\cdots\supset\mathfrak m^N=0$ に沿って $\Lambda/\mathfrak m^{i+1}\to\Lambda/\mathfrak m^i$ を順にたどる。各段は上の設定（$J=\mathfrak m^i/\mathfrak m^{i+1}$）に当たる。存在は $H^3=0$ から、単位元は上の議論から従う。一意性：$A,A'$ を二つの持ち上げとし、$\bmod\mathfrak m^i$ での同型を自由加群の写像 $A\otimes\Lambda/\mathfrak m^{i+1}\to A'\otimes\Lambda/\mathfrak m^{i+1}$ に持ち上げると、冪零イデアルを法として全射なので全射で、同じ階数の自由加群の間なので同型である。これで $A'$ の積を移せば、同じ代数を持ち上げる二つの積になり、$H^2=0$ から同型になる。自己同型 $u$ については、帰納法で $u\bmod\mathfrak m^i$ が内部 $x\mapsto axa^{-1}$ であるとし、$a$ を $A$ の可逆元に持ち上げて $u'=a^{-1}ua$ を考えると、$u'$ は $\bmod\mathfrak m^i$ で恒等なので、$H^1=0$ から $\bmod\mathfrak m^{i+1}$ で内部になる。初段 $i=1$ は定理 C である。$A_0=M_r(k)$ の場合、$M_r(\Lambda)$ は一つの持ち上げなので、一意性から $A\cong M_r(\Lambda)$。$\square$
（原論文 I (4.2) は、この代数を印字では「$k$ 上の」結合代数と書くが、文脈から $\Lambda$ 上の代数である。原論文 I (4.3) は存在の障害を「通常の方法」とだけ述べ、I (4.4) は単位元の持ち上げを「容易な議論」とだけ述べる。上の障害類と単位元の議論は本頁で補った。）

5. 例と反例

例 1（Hamilton の四元数）.$\mathbb H=\mathbb R\oplus\mathbb Ri\oplus\mathbb Rj\oplus\mathbb Rk$ は次数 $2$ の中心単純環で、斜体である。$L=\mathbb R[i]\cong\mathbb C$ は次元 $2$ のエタール部分代数で、$\mathbb H\otimes_{\mathbb R}\mathbb C\cong M_2(\mathbb C)$。$\mathbb R$ の有限分離拡大で次数が $2$ の約数のものは $\mathbb R,\mathbb C$ だけで、$\mathbb H$ を分裂させるのは $\mathbb C$。$\mathrm{Br}(\mathbb R)\cong\mathbb Z/2$ はこの類で生成される（引用）。
例 2（巡回代数）.$K/k$ を次数 $r$ の巡回拡大、$\sigma$ を Galois 群の生成元、$a\in k^\times$ とし、$A=\bigoplus_{i< r}Ku^i$、$u^r=a$、$u\lambda u^{-1}=\sigma(\lambda)$ とおくと、$A$ は次数 $r$ の中心単純環で $K$ はその極大エタール部分代数である。$a$ が $K/k$ のノルムなら $A\cong M_r(k)$ になる（引用）。

例 3（体の拡大での分裂と非分裂）.$\mathbb H\otimes_{\mathbb R}\mathbb R(t)$ は $\mathbb R(t)$ 上でも斜体のままである（$\mathbb R(t)$ に $-1$ の平方根が無いことと、ノルム形式 $x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2$ が $\mathbb R(t)$ 上非等方的であることによる）。一般に、$\mathbb R$ を含む体 $K$ が $\mathbb H$ を分裂させるのは、$K$ で $-1$ が二つの平方の和になるとき、かつそのときに限る（四元数代数 $(-1,-1)$ の分裂の判定。引用）。分裂は拡大の次数の大きさでは決まらない。

6. その後の発展

以下は原論文の主張ではなく、後代の結果の紹介である（本頁の執筆時点の知識による。書誌の頁は確認していない）。

• Merkurjev–Suslin の定理（1982）.$k$ が 1 の $n$ 乗根を含み $n$ が $k$ で可逆なら、${}_n\mathrm{Br}(k)$ は巡回代数（例 2 の型の記号代数）の類で生成される。とくに Brauer 群の $n$ 捩れは Milnor $K$ 群 $K_2(k)/n$ と同型になる。
• **周期と指数.**類の位数（周期）は次数の最小値（指数）を割り、両者は同じ素因数をもつ（古典的）。関数体の上で指数が周期の何乗で抑えられるかという問題（周期・指数予想）は、de Jong（曲面の関数体）や Lieblich らにより研究が進んだ。
• 分離代数.定理 D の消滅は「分離代数（$A_0\otimes A_0^{\mathrm{op}}$ 上 $A_0$ が射影的）」について一般に成り立ち、Auslander–Goldman の Azumaya 代数の理論の基礎になっている。

7. 原論文との対応表

原論文 I (4.5) は、印字で群を $D$、部分群を「$H'$ の $H'_0$」と書くが、それぞれ自己同型の群 $G$、導分の群 $H_0$ の部分群 $H'_0$ の意である。

8. 参考文献

• A. Grothendieck, « Le groupe de Brauer I », Séminaire Bourbaki n° 290（1965）；Dix exposés sur la cohomologie des schémas, 1968, pp. 46–66。本頁は §3・§4（pp. 52–57）に対応する。
• N. Bourbaki, Algèbre, Chap. 8（Hermann, 1958）。中心単純環、Skolem–Noether、二重中心化定理（本頁では開いていない。原論文が引く箇所）。
• H. Cartan, S. Eilenberg, Homological Algebra, Princeton, 1956。Hochschild コホモロジー（本頁では開いていない）。
• P. Gille, T. Szamuely, Central Simple Algebras and Galois Cohomology, Cambridge, 2006（第2版 2017）。定理 A–C、例 2、§6 の Merkurjev–Suslin（本頁では該当箇所の番号を確認していない）。
• I. Reiner, Maximal Orders, Academic Press, 1975。既約特性多項式と既約ノルム（本頁では開いていない）。