1-1 位相空間の Brauer 群

要約。位相空間 $X$ 上の行列代数の束（局所的に $M_n(\mathbb C)$ に同型な連続関数の代数の層）から Brauer 群 $\mathrm{Br}(X)$ を作り、$\mathrm{GL}_n$ への持ち上げの障害によって $\mathrm{Br}(X)$ を $H^2(X,\mathcal O_X^\times)$ へ単射に埋め込む。$X$ がコンパクトか連結成分が有限個なら、像は捩れ部分群に入る。パラコンパクトな $X$ では指数完全列で $H^2(X,\mathcal O_X^\times)\cong H^3(X,\mathbb Z)$ となり、有限 CW 複体では $\mathrm{Br}(X)\cong H^3(X,\mathbb Z)_{\mathrm{tors}}$（Serre の定理）が成り立つ。同じ定義は局所環付きトポスでも意味をもち、後の頁のスキームの理論の型になる。

1. この頁で示すこと

$X$ を位相空間、$\mathcal O_X$ を複素数値連続関数の層とする。

• 定理 A.余境界 $\delta$ は単射な群準同型 $\mathrm{Br}(X)\hookrightarrow H^2(X,\mathcal O_X^\times)$ を与える。階数 $n^2$ の代数の類は $n$ で消える。$X$ がコンパクトであるか、連結成分が有限個なら、像は捩れ部分群に含まれる。（$X$ がパラコンパクト・ハウスドルフなら本頁で証明する。一般の $X$ では非可換コホモロジーの一般論を引用する。原論文 I (1.3)・(1.4)・(1.5) に当たる。）
• 定理 B.$X$ がパラコンパクト（ハウスドルフ）なら $H^i(X,\mathcal O_X^\times)\cong H^{i+1}(X,\mathbb Z)$（$i\ge1$）。したがって単射 $c\colon\mathrm{Br}(X)\hookrightarrow H^3(X,\mathbb Z)$ が得られ、定理 A の捩れ性の仮定（コンパクト、または連結成分が有限個）のもとで像は $H^3(X,\mathbb Z)_{\mathrm{tors}}$ に入る。（I の (1.5) の後の段落に当たる。）
• 定理 C（Serre）.$X$ が有限 CW 複体なら $c$ は同型 $\mathrm{Br}(X)\cong H^3(X,\mathbb Z)_{\mathrm{tors}}$ であり、とくに $\mathrm{Br}(X)$ は有限群である。（I (1.6)・(1.7)。ホモトピー論の標準的な事実を引用して証明する。）
• 注意 D.局所環付きトポスでも同じ定義で単射 $\delta$ が得られる。捩れ性は、終対象が準コンパクトなとき、または「$0\ne1$」を課した局所環付きトポスが連結なときに成り立ち、「$0\ne1$」を課さない定義では連結でも成り立たない。定理 C の類似は一般には成り立たない。（I §2、(2.1)。）

2. 背景と動機

体 $k$ の Brauer 群は、$k$ 上の中心単純環を「行列環をテンソルする違い」で割った類の群である（1-2）。Grothendieck の講演 I は、この古典論を Azumaya（局所環）と Auslander–Goldman（可換環）による拡張を経て一般のスキームへ移すことを一つの目的に掲げ、その移行を本人は「本質的に自明」と評している（I, p. 46）。難しいのはむしろ、Brauer 群をコホモロジーで捉える段で、それにはエタールコホモロジーが必要になる。
講演は、その本題に入る前に、位相空間という最も見通しのよい場合から始める。ここではコホモロジーは通常の層コホモロジーで足り、$\mathrm{Br}(X)$ と $H^2(X,\mathbb G_m)$ の関係、捩れ性、全射性（Serre の定理）という、後の頁で繰り返し問われる三つの論点がすべて現れる。とくに「$\mathrm{Br}\to H^2_{\mathrm{tors}}$ は全射か」という問いは、スキームでは $\mathrm{Br}=\mathrm{Br}'$ の問題（2-1）として長く残る。

3. 定義と準備

行列代数の束。$n\ge1$ とする。$\mathcal O_X$ 代数の層 $A$ が階数 $n^2$ の Azumaya 代数であるとは、各点に開近傍 $U$ があって $A|_U\cong M_n(\mathcal O_U)$ となることをいう。これはファイバーが $M_n(\mathbb C)$ の局所自明な代数束の連続切断の層と同じものである。本頁では階数は $X$ 上局所定数であればよく、成分ごとに異なってよい。
構造群。$M_n(\mathbb C)$ の代数自己同型はすべて内部自己同型である（Skolem–Noether の定理。1-2 の定理 C）。層として $\operatorname{Aut}(M_n(\mathcal O_X))$ を求めるには、連続関数の芽の環（局所環）の上の同じ主張が要る。それは 1-3 の定理 B（局所環上の Skolem–Noether）で、ここでもそのまま使える。したがって自己同型の層は
$$\mathrm{PGL}_n=\mathrm{GL}_n/\mathcal O^\times\quad(\text{値は }\mathrm{PGL}_n(\mathbb C)=\mathrm{GL}_n(\mathbb C)/\mathbb C^\times)$$
であり、階数 $n^2$ の Azumaya 代数の同型類の集合は
$$\operatorname{Az}_n(X)\;\cong\;H^1(X,\mathrm{PGL}_{n,X})$$
と一致する（貼り合わせの辞書。トーサー の分類）。$X$ が CW 複体なら右辺は $[X,B\mathrm{PGL}_n(\mathbb C)]$ でもある。
Brauer 群。Azumaya 代数 $A,B$ が同値であるとは、階数正の局所自由加群（ベクトル束の切断の層）$E,E'$ があって $A\otimes\operatorname{End}(E)\cong B\otimes\operatorname{End}(E')$ となることをいう。（階数 $0$ を許すとすべての代数が同値になってしまうので、階数正を課す。原論文は「局所自由」とだけ書くが、この意味に読む。）テンソル積は同値類の上で well-defined であり、
$$\operatorname{End}(E)\otimes\operatorname{End}(E')\cong\operatorname{End}(E\otimes E'),\qquad A\otimes A^{\mathrm{op}}\cong\operatorname{End}_{\mathcal O_X}(A)$$
により類の集合は群になる。単位元は $\operatorname{End}(E)$ の類、$[A]$ の逆元は $[A^{\mathrm{op}}]$ である。これを $\mathrm{Br}(X)$ と書く（Brauer群）。2 番目の同型は $a\otimes b\mapsto(x\mapsto axb)$ で与えられ、局所的に $M_n$ の場合に確かめればよい。
余境界。中心拡大 $1\to\mathbb C^\times\to\mathrm{GL}_n(\mathbb C)\to\mathrm{PGL}_n(\mathbb C)\to1$ から層の完全列 $1\to\mathcal O_X^\times\to\mathrm{GL}_{n,X}\to\mathrm{PGL}_{n,X}\to1$ が得られ（右端の全射性は局所的な持ち上げの存在）、$X$ がパラコンパクト・ハウスドルフなら点付き集合の完全列
$$H^0(X,\mathrm{PGL}_n)\to H^1(X,\mathcal O_X^\times)\to H^1(X,\mathrm{GL}_n)\to H^1(X,\mathrm{PGL}_n)\xrightarrow{\ \delta\ }H^2(X,\mathcal O_X^\times)$$
が得られる。$\delta$ は Čech コサイクルで次のように書ける：$A$ を開被覆 $(U_i)$ 上の推移関数 $g_{ij}\in\mathrm{PGL}_n(U_{ij})$ で与え、（被覆を細かくして）持ち上げ $\tilde g_{ij}\in\mathrm{GL}_n(U_{ij})$ を選ぶと、$\tilde g_{ij}\tilde g_{jk}\tilde g_{ik}^{-1}$ はスカラー $c_{ijk}\in\mathcal O^\times(U_{ijk})$ であり、その類が $\delta(A)$ である。持ち上げの選び方によらず、$\delta$ は中心拡大の射について自然である。パラコンパクトでない空間では、Čech コホモロジーと導来関手のコホモロジーを比べる議論が要り、Giraud の非可換コホモロジーの理論がそれを一般に与える（引用）。
階数が一定でない $A$ については、階数 $m^2$ の点の集合 $X_m$ が開かつ閉なので $X=\bigsqcup_mX_m$ と分け、$H^2(X,\mathcal O_X^\times)=\prod_mH^2(X_m,\mathcal O^\times)$ の成分ごとに $\delta(A)=(\delta(A|_{X_m}))_m$ と定める。
$\delta(A)=0$ であることは、$A$ の構造群が $\mathrm{GL}_n$ へ持ち上がること、すなわち $A\cong\operatorname{End}(E)$（$E$ は階数 $n$ の局所自由加群）であることと同値である。

4. 主結果と証明

以下、§4-3 までは $X$ をパラコンパクト・ハウスドルフとする。一般の $X$ でも、Giraud の理論で $\delta$ の完全性と自然性を認めれば、同じ議論が通る。

4-1. 定理 A の証明

(a) $\delta$ は加法的。成分ごとに考えて、$A,B$ の階数は一定としてよい。$A,B$ を推移関数 $g_{ij},h_{ij}$ で与えると、$A\otimes B$ は $g_{ij}\otimes h_{ij}$ で与えられ、持ち上げとして $\tilde g_{ij}\otimes\tilde h_{ij}$ をとれるので、コサイクルは $c_{ijk}d_{ijk}$ になる。よって $\delta(A\otimes B)=\delta(A)+\delta(B)$。$\operatorname{End}(E)$ は構造群が $\mathrm{GL}$ に持ち上がるので $\delta=0$。したがって $\delta$ は同値類の上で定まり、群準同型 $\delta\colon\mathrm{Br}(X)\to H^2(X,\mathcal O_X^\times)$ を与える。$A\otimes A^{\mathrm{op}}\cong\operatorname{End}(A)$ より $\delta(A^{\mathrm{op}})=-\delta(A)$。
(b) 単射性。$\delta(A)=\delta(B)$ なら $\delta(A\otimes B^{\mathrm{op}})=0$ だから $A\otimes B^{\mathrm{op}}\cong\operatorname{End}(E)$。すると
$$A\otimes\operatorname{End}(B)\cong A\otimes B^{\mathrm{op}}\otimes B\cong\operatorname{End}(E)\otimes B$$
となり $[A]=[B]$。
(c) 階数 $n^2$ なら $n\delta(A)=0$。中心拡大の射
$$\begin{array}{ccccccc}1\to&\mathcal O^\times&\to&\mathrm{GL}_n&\to&\mathrm{PGL}_n&\to1\\ &\downarrow{\scriptstyle \lambda\mapsto\lambda^n}&&\downarrow{\scriptstyle\det}&&\downarrow&\\ 1\to&\mathcal O^\times&\xrightarrow{=}&\mathcal O^\times&\to&1&\to1\end{array}$$
を考える（$\det(\lambda I)=\lambda^n$ なので左の四角は可換）。余境界は中心拡大の射について自然なので、$\delta(A)$ を $n$ 倍したものは下の行の余境界の像に等しい。下の行の商は自明群なので、その $H^1$ は一点で余境界は $0$。よって $n\,\delta(A)=0$。
（原論文 I (1.4) の 4° は、$1\to\mu_n\to\mathrm{SL}_n\to\mathrm{PGL}_n\to1$ を通す証明と、$A^{\otimes n}$ を直接 $\operatorname{End}$ の形に書く証明の二つを与える。上の行列式による証明は本頁で選んだもので、同じ結論を最短で与える。）
(d) 捩れ性の範囲。階数は局所定数関数である。$X$ がコンパクトなら、局所定数関数は有限個の値しかとらず、連結成分が有限個の場合も同じである。どちらでも $A$ の階数 $n_i^2$ の最小公倍数を $N$ とすれば $N\delta(A)=0$ となる。この仮定が外せないことは §5 の反例「捩れ性の仮定を外した場合」で示す。$\square$

4-2. 定理 B の証明

指数写像 $x\mapsto\exp(2\pi i x)$ から層の完全列
$$0\to\mathbb Z_X\to\mathcal O_X\to\mathcal O_X^\times\to0$$
が得られる（全射性は、零にならない連続関数が局所的に連続な対数をもつことによる）。$X$ がパラコンパクトなら $\mathcal O_X$ は細層（1 の分割が使える）なので $H^i(X,\mathcal O_X)=0$（$i\ge1$）。長完全列から連結準同型 $\partial\colon H^i(X,\mathcal O_X^\times)\to H^{i+1}(X,\mathbb Z)$ は同型（$i\ge1$）。$i=2$ として $\delta$ と合成すれば単射 $c=\partial\circ\delta\colon\mathrm{Br}(X)\hookrightarrow H^3(X,\mathbb Z)$ を得る。定理 A (d) の仮定のもとで、像は捩れ部分群に入る。$\square$
**注意.**仮定なしでは像は捩れ部分群に入るとは限らない（§5 の反例「捩れ性の仮定を外した場合」）。原論文の (1.5) の後の段落は「像は捩れ部分群に含まれる」と仮定を書かずに述べるが、直前の (1.5)（コンパクト、または連結成分が有限個）の仮定を受けた文と読む必要がある。

4-3. 定理 C の証明

ホモトピー論の標準的な事実（Bott の周期性による $\pi_*(\mathrm{SU}(N))$ の安定域の計算、Postnikov 塔、Eilenberg–MacLane 空間の有理コホモロジー）は引用として使う。

1. 安定化。$N_k=k!$、$B_k=B\mathrm{PGL}_{N_k}(\mathbb C)$ とし、$A\mapsto A\otimes M_m(\mathcal O_X)$ に対応する群準同型 $\mathrm{PGL}_{N_k}\to\mathrm{PGL}_{N_{k+1}}$（$g\mapsto g\otimes 1_{k+1}$）で $B_k\to B_{k+1}$ を作り、その写像望遠鏡を $B_\infty$ とする。有限 CW 複体 $Y$ について $[Y,B_\infty]=\varinjlim_k[Y,B_k]$ であり、ホモトピー群も帰納極限と交換する。
2. $B_\infty$ のホモトピー群。$\mathrm{SL}_N(\mathbb C)$ は単連結なので $\pi_2(B\mathrm{PGL}_N)=\pi_1(\mathrm{PGL}_N)\cong\mu_N$ であり、$g\mapsto g\otimes1_m$ は包含 $\mu_N\subset\mu_{Nm}$ を誘導する（$\zeta I_N\otimes I_m=\zeta I_{Nm}$）。よって $\pi_2(B_\infty)\cong\mu_\infty\cong\mathbb Q/\mathbb Z$。$j\ge2$ では、安定域で $\pi_{2j}(B\mathrm{PGL}_N)=\pi_{2j-1}(\mathrm{SU}(N))\cong\mathbb Z$（Bott）であり、$g\otimes1_m$ は $g$ の $m$ 個のブロック和に共役なので、誘導写像は $m$ 倍である。帰納極限は $\mathbb Q$ になる。奇数次は $0$ である。原論文はここから $B_\infty$ が Eilenberg–MacLane 空間の積 $K(\mathbb Q/\mathbb Z,2)\times\prod_{i\ge2}K(\mathbb Q,2i)$ にホモトピー同値であると述べる（I, p. 50）。実際、$B_\infty$ は単連結で、Postnikov 塔の各段の $k$ 不変量は前段の奇数次の有理コホモロジーにあり、$K(\mathbb Q/\mathbb Z,2)$ の正の次数の有理コホモロジーは $0$、$K(\mathbb Q,2i)$ の有理コホモロジーは偶数次にしかないので、それらはすべて $0$ である。とくに射影 $p\colon B_\infty\to K(\mathbb Q/\mathbb Z,2)$ はホモトピーを除いて切断 $s$ をもつ。
3. 障害類の同定。$1\to\mu_N\to\mathrm{SL}_N\to\mathrm{PGL}_N\to1$ も層の完全列である（零にならない関数は局所的に $N$ 乗根をもつので、$g$ を $\det(g)^{-1/N}g$ に取り替えられる）。その余境界を $\delta_N\colon H^1(X,\mathrm{PGL}_N)\to H^2(X,\mu_N)$ とし、$\theta(A)$ を $\delta_N(A)$ の $H^2(X,\mathbb Q/\mathbb Z)$（$\mu_N\cong\frac1N\mathbb Z/\mathbb Z$、$\zeta=e^{2\pi i/N}$ で同一視）での像とする。
   • 包含 $(\mu_N,\mathrm{SL}_N,\mathrm{PGL}_N)\to(\mathcal O^\times,\mathrm{GL}_N,\mathrm{PGL}_N)$ は中心拡大の射なので、$\delta$ は $\delta_N$ と $\mu_N\subset\mathcal O^\times$ の合成に等しい。短完全列の射 $(0\to\mathbb Z\to\frac1N\mathbb Z\to\mu_N\to0)\to(0\to\mathbb Z\to\mathcal O_X\to\mathcal O_X^\times\to0)$ を比べると、$\partial\delta(A)=\beta(\theta(A))$ を得る。ここで $\beta\colon H^2(X,\mathbb Q/\mathbb Z)\to H^3(X,\mathbb Z)$ は $0\to\mathbb Z\to\mathbb Q\to\mathbb Q/\mathbb Z\to0$ の Bockstein である。
   • $\theta$ は安定化と両立するので、$B_\infty$ 上の類 $\theta_\infty\in H^2(B_\infty,\mathbb Q/\mathbb Z)=\operatorname{Hom}(\pi_2(B_\infty),\mathbb Q/\mathbb Z)$ を定める。$S^2$ 上の $\mathrm{PGL}_N$ 束 $\xi_\gamma$（貼り合わせ $\gamma\in\pi_1(\mathrm{PGL}_N)$）について、$\delta_N(\xi_\gamma)=0$ は $\xi_\gamma$ が $\mathrm{SL}_N$ 束に持ち上がること、すなわち（$\mathrm{SL}_N$ は単連結なので）$\xi_\gamma$ が自明で $\gamma=1$ であることと同値である。よって $\theta_\infty$ は $\pi_2(B_\infty)\cong\mathbb Q/\mathbb Z$ の自己同型 $\alpha$ を与え、$\theta_\infty=\alpha\circ p$ となる。
4. 類の実現。$x\in H^3(X,\mathbb Z)_{\mathrm{tors}}$ をとる。有限 CW 複体では $H^3(X,\mathbb Q)=H^3(X,\mathbb Z)\otimes\mathbb Q$ なので、Bockstein 完全列 $H^2(X,\mathbb Q/\mathbb Z)\xrightarrow{\beta}H^3(X,\mathbb Z)\to H^3(X,\mathbb Q)$ により、$\beta$ の像は $H^3(X,\mathbb Z)$ の捩れ部分群と一致する。したがって $x=\beta(y)$ となる $y\in H^2(X,\mathbb Q/\mathbb Z)$ がある。（$H^2(X,\mathbb Z/n)\to H^2(X,\mathbb Q/\mathbb Z)$ は単射とは限らない。たとえば $X=\mathbb{RP}^2$、$n=2$ ではこの写像は $0$ である。したがって $\mathbb Q/\mathbb Z$ 係数で直接に $y$ をとる。）$y$ を写像 $X\to K(\mathbb Q/\mathbb Z,2)$ と見て、$f=s\circ\alpha^{-1}\circ y\colon X\to B_\infty$ とおく。
5. 有限段への戻り。$X$ はコンパクトなので、段 1 により $f$ はある有限段 $B_k=B\mathrm{PGL}_N$ を経由し、階数 $N^2$ の Azumaya 代数 $A$ を与える。段 3 により $\theta(A)=f^*\theta_\infty=\alpha(\alpha^{-1}y)=y$ で、$\partial\delta(A)=\beta(y)=x$、すなわち $c(A)=x$。
6. 有限性。有限 CW 複体では $H^3(X,\mathbb Z)$ は有限生成なので、その捩れ部分群は有限である。
   以上により $c$ は全射であり、定理 A・B と合わせて同型である。$\square$

（原論文 I (1.6) の証明は段 1・段 2 の筋を述べるだけで、段 3 の障害類の同定と、段 5 の有限段を経由することは書かれていない。これらは本頁で補った。）

4-4. 注意 D：局所環付きトポス

$\mathcal X$ をトポス、$\mathcal O$ をその可換環対象とする。$U$ と $f\in\mathcal O(U)$ について $U_f$ を $f$ が可逆になる最大の部分対象とする。原論文は、すべての $U,f$ について $U_f\cup U_{1-f}=U$ となるとき $(\mathcal X,\mathcal O)$ を局所環付きと呼ぶ。この定義は零環を局所環として許す。本頁では、さらに $U_0=\emptyset$（空でない対象の上で $0$ は可逆でない）も課すものを「$0\ne1$ の意味で局所環付き」と呼ぶ。位相空間と $\mathcal O_X$、スキームの Zariski・エタールのトポスと構造層は、どれもこの意味で局所環付きである。
「局所的に $M_n(\mathcal O)$ に同型な代数」として Azumaya 代数を定義すると、原論文の定義のままで次が成り立つ。

• (i) 自己同型。$\operatorname{Aut}(M_n(\mathcal O))=\mathrm{GL}_n(\mathcal O)/\mathcal O^\times$。証明の要点.冪等行列 $F$ は、被覆 $U=U_{F_{11}}\cup U_{1-F_{11}}$ の各片で行と列の変形を行えば、$n$ についての帰納法により、被覆の上で対角成分が $0$ か $1$ の対角行列に共役になる。また可換環 $R$ で $R^a\cong R^b$（$a\ne b$）なら $R=0$ である（零行を足した正方行列の行列式を比べる）。自己同型 $\sigma$ について $\sigma(E_{11})\mathcal O^n$ は被覆の上で自由で、その階数を $k$ とすると $\mathcal O^n\cong\mathcal O^{nk}$ なので、$k\ne1$ の片では $\mathcal O=0$ で主張は自明である。$k=1$ の片では基底 $w$ をとり、$w_i=\sigma(E_{i1})w$ を列とする行列 $g$ で $\sigma=\operatorname{Int}(g)$ となる。
• (ii) 単射 $\delta$。Giraud の非可換余境界を用いれば、§4-1 (a)(b) と同じ議論で $\delta\colon\mathrm{Br}\to H^2(\mathcal X,\mathbb G_m)$ は単射準同型で、階数 $n^2$ の代数の類は $n$ で消える（§4-1 (c) の行列式の議論はトポスでもそのまま通る）。
• (iii) 捩れ性。$e_n$ を「$A$ が局所的に $M_n(\mathcal O)$ に同型」となる最大の部分対象とすると、$\{e_n\}$ は終対象 $e$ を覆い、$n\ne m$ なら $e_n\cap e_m$ の上で $\mathcal O^{n^2}\cong\mathcal O^{m^2}$ だから $\mathcal O=0$ である。
  • $e$ が準コンパクトなら、有限個の $e_{n_1},\dots,e_{n_s}$ が覆う。$N=\operatorname{lcm}(n_i)$ とし、$e_{n_i}$ の上の $\mathcal O^{N/n_i}$ を貼り合わせて階数正の局所自由加群 $E$ を作る（重なりでは $\mathcal O=0$ なので貼り合わせの条件は自明）。$A\otimes\operatorname{End}(E)$ は至る所階数 $N^2$ なので、$N\delta(A)=0$。
  • $0\ne1$ の意味で局所環付きなら $e_n\cap e_m=\emptyset$（$n\ne m$）なので、$e$ は $e_n$ たちの直和に分かれる。連結なら $A$ の階数は一定で、$\delta(A)$ は捩れ元である。
  • 原論文 (2.1) は「$X$ が連結なら捩れ」と述べるが、原論文の定義（$0\ne1$ を課さない）のままでは成り立たない（§5 の反例「$0\ne1$ を課さない局所環付き空間」）。
    Zariski 位相のスキームでは「局所的に $M_n$」という定義が狭すぎる（1-3 の例 1）。スキームの理論でエタール位相を使う理由はここにある。原論文は、定理 C の類似は一般のトポスでは成り立たないと述べ、例は挙げていない。§5 の例 3 がその例である。スキームでの類似が $\mathrm{Br}=\mathrm{Br}'$ の問題である（2-1）。

5. 例と反例

例 1（球面と射影空間）。$H^3(S^n,\mathbb Z)$ は $n=3$ のとき $\mathbb Z$、それ以外で $0$ なので、どの球面でも $\mathrm{Br}(S^n)=0$。$S^3$ では $H^3=\mathbb Z$ だが捩れ部分は $0$ であり、$\mathrm{Br}(S^3)=0$。$\mathbb{CP}^m$ も奇数次のコホモロジーが $0$ なので $\mathrm{Br}=0$。

例 2（安定同型類）。$X$ を連結とする。原論文は、$M_m(A)\cong M_{m'}(A')$ となる $A,A'$ を「安定同型」と呼び、その類の可換モノイド $KP(X)$ を特性類で記述する（I (1.8)・(1.9)）。有限 CW 複体では $KP(X)=[X,B_\infty]$ であり、§4-3 の分解 $B_\infty\simeq K(\mathbb Q/\mathbb Z,2)\times\prod_{i\ge2}K(\mathbb Q,2i)$ から全単射
$$KP(X)\cong H^2(X,\mathbb Q/\mathbb Z)\times\prod_{i\ge2}H^{2i}(X,\mathbb Q)$$
が得られる。第 1 成分は $\theta$ で、第 2 成分は正規化した Chern 指標 $\frac1N\mathrm{ch}$ の対数である（$\mathrm{PGL}_N$ 束の有理的な Chern 指標は、$\mathrm{SL}_N$ 束の Chern 指標を有理コホモロジーの同型 $H^*(B\mathrm{PGL}_N,\mathbb Q)\cong H^*(B\mathrm{SL}_N,\mathbb Q)$ で移したもの）。$\frac1N\mathrm{ch}$ の定数項は $1$ で、2 次の項は $0$ である。原論文は $\mathrm{ch}$ 自身の定数項を $1$ と印字しているが、$\mathrm{ch}$ の定数項は階数 $N$ であり、定数項が $1$ になるのは $\frac1N\mathrm{ch}$ である。とくに $KP(X)$ は群である。$\mathrm{Br}(X)$ は $KP(X)$ からさらに $\operatorname{End}(E)$ の差を忘れた商であり、その核に $K$ 理論の情報が残る。アフィンスキームの場合の核の記述（原論文が Serre と Bass に帰する部分）は、本頁では扱わない。

例 3（Serre の定理の類似が成り立たない局所環付き空間）。$X=S^2$ に、連続関数の層の代わりに定数層 $\mathcal O=\mathbb C$ を入れる。茎は $\mathbb C$ なので $0\ne1$ の意味で局所環付きである。$\mathbb G_m$ は離散群 $\mathbb C^\times$ の定数層で、$H^2(S^2,\mathbb G_m)\cong\mathbb C^\times$ の捩れ部分群は $\mu_\infty\ne0$ である。一方、§4-4 (i) により $\operatorname{Aut}(M_n(\mathcal O))$ は離散群 $\mathrm{PGL}_n(\mathbb C)$ の定数層で、$S^2$ は単連結かつ局所可縮なので $H^1(S^2,\mathrm{PGL}_n)$ は一点である。$X$ は連結なので Azumaya 代数の階数は一定で、どれも $M_n(\mathcal O)$ に同型になる。よって $\mathrm{Br}(X)=0$ で、$\delta(\mathrm{Br}(X))\ne H^2(X,\mathbb G_m)_{\mathrm{tors}}$。

6. その後の発展

以下は原論文の主張ではなく、後代の結果の紹介である（本頁の執筆時点 2026 年の知識による。書誌の頁は確認していない）。

• 無限次元への拡張。$H^3(X,\mathbb Z)$ の捩れでない類も、無限次元 Hilbert 空間の射影ユニタリ群の束（Dixmier–Douady 類）として実現される。これは捩れ $K$ 理論（Donovan–Karoubi、のち Atiyah–Segal ら）の出発点になった。有限階数の代数だけを使う $\mathrm{Br}(X)$ が捩れ部分しか見ないことと対になる。
• 位相的周期・指数問題。類 $\alpha\in\mathrm{Br}(X)$ の位数（周期）と、$\alpha$ を表す代数の次数の最小値（指数）の関係が、Antieau–Williams らにより有限 CW 複体の上で調べられた。定理 C の証明の段 5（有限段への戻り）でどの $N$ が必要かを問う問題である。
• スキームでの類似。「$\mathrm{Br}\to H^2_{\mathrm{tors}}$ は全射か」は、スキームでは Gabber と de Jong により広い範囲で肯定的に解かれた。詳しくは 2-1。

7. 原論文との対応表

原論文は I (1.6) の前後で $\delta$ と写像 (☆) を「1.1 の」と引くが、これらが導入されるのは (1.3)・(1.4) である。本頁は導入箇所の番号で対応させた。また原論文は §2 で $\delta_n$ の値を $\mu_{m_X}$ に属すると印字するが、$\mu_n$ の意である。

8. 参考文献

• A. Grothendieck, « Le groupe de Brauer I : Algèbres d'Azumaya et interprétations diverses », Séminaire Bourbaki, 17e année, 1964/65, n° 290；再録：Dix exposés sur la cohomologie des schémas, North-Holland / Masson, 1968, pp. 46–66。本頁は §1・§2（pp. 46–52）に対応する。
• R. Bott, « The stable homotopy of the classical groups », Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A. 43 (1957)。定理 C の段 2 の入力（本頁では開いていない）。
• J. Giraud, Cohomologie non abélienne, Springer, 1971。非可換な余境界の一般論（本頁では開いていない）。
• P. Donovan, M. Karoubi, « Graded Brauer groups and K-theory with local coefficients », Publ. Math. IHÉS 38 (1970)。§6（書誌は記憶による。未確認）。
• B. Antieau, B. Williams, « The topological period–index problem over 6-complexes », J. Topology 7 (2014)。§6（書誌は記憶による。未確認）。
• J.-L. Colliot-Thélène, A. N. Skorobogatov, The Brauer–Grothendieck Group, Springer, 2021。本書全体の現代的な参照（本頁では該当箇所を開いていない）。