3-2 次元 1 のスキームと類体論

$U\to X$ をエタールで有限型とする。底が正則なので $U$ も正則ネーターで、連結成分 $U_j$ は整である。$\mathcal R_X^\times(U)=\Gamma(U\times_X\eta,\mathbb G_m)=\prod_jK(U_j)^\times$ であり、$U$ は被約だから $\mathcal O(U)^\times\to\prod_jK(U_j)^\times$ は単射である。
$U$ が整のとき、$\operatorname{div}\colon K(U)^\times\to\bigoplus_{u}\mathbb Z$（$u$ は $U$ の閉点）を $f\mapsto(\operatorname{ord}_u f)_u$ で定める。$U$ は正規なので $\mathcal O(U)=\bigcap_u\mathcal O_{U,u}$、よって $\ker\operatorname{div}=\mathcal O(U)^\times$ である。全射性は層として言えばよい：閉点 $u$ と $n\in\mathbb Z$ について、素元 $\pi$ をとり $f=\pi^n$ と置くと、$f$ が零点・極をもつ他の閉点は有限個なので、それらを除いた $u$ の開近傍で $\operatorname{div}f=n[u]$ となる。したがって $\operatorname{div}$ は層の全射であり、余核 $\mathcal Div_X$ は $\bigoplus_xi_{x*}\mathbb Z$ と同一視される（$U$ の閉点は $X$ の閉点の上にあり、$u$ での位数はエタール射で保たれる）。

Galois コホモロジーは正の次数で捩れ群であり、$\mathbb Q$ 係数では $n$ 倍が全単射なので、$H^n(k,\mathbb Q)=0$（$n>0$）。長完全列から $n\ge2$ の同型を得る。$H^1(k,\mathbb Z)$ は射有限群から $\mathbb Z$ への連続準同型の群で、像は有限部分群、したがって $0$ である。

茎で調べる。生成点の上の幾何的点では、狭義 Hensel 化は $K$ の分離閉包であり、その上の正次数のコホモロジーは $0$ である。閉点 $x$ の上の幾何的点 $\bar x$ では、事実 (a) により
$$(R^ni_*\mathbb G_{m,\eta})_{\bar x}\cong H^n(K^{\mathrm{sh}}_x,\mathbb G_m),\qquad K^{\mathrm{sh}}_x=\operatorname{Frac}\mathcal O^{\mathrm{sh}}_{X,x}$$
である。$\mathcal O_{X,x}$ は正則で次元 1 なので $\mathcal O^{\mathrm{sh}}_{X,x}$ も正則で次元 1、すなわち狭義 Hensel 離散付値環であり、その剰余体は $\kappa(x)$ の分離閉包である。
2 は、本書 3-1 の狭義 Hensel 離散付値環の定理により、$\ell\ne\operatorname{char}\kappa(x)$ なら $H^n(K^{\mathrm{sh}}_x,\mathbb G_m)(\ell)=0$（$n\ge1$）であることから従う。
1 を示す。$\kappa(x)$ が完全なので、$V=\mathcal O^{\mathrm{sh}}_{X,x}$ の剰余体は代数閉である。$L$ を $K^{\mathrm{sh}}_x$ の有限次拡大とする。$V$ は Hensel なので、$V$ の付値は $L$ へ一意に延び、その値群は $[L:K^{\mathrm{sh}}_x]^{-1}\mathbb Z$ に含まれるので離散で階数 1 である。その付値環 $V_L$ は $V$ 上整な局所環なので Hensel であり、剰余体は代数閉体上代数的なので代数閉である。したがって $V_L$ は剰余体が代数閉な Hensel 離散付値環で、$L=\operatorname{Frac}V_L$ である。原論文の正誤表の主張（本書 3-1 の「excellent の仮定について」の注意。引用）により $\mathrm{Br}(L)=0$。よって $K^{\mathrm{sh}}_x$ は次元 1 以下であり、本書 3-1 の定理により $H^n(K^{\mathrm{sh}}_x,\mathbb G_m)=0$（$n\ne0$）。茎がすべて消えるので層も消える。

因子の列 の長完全列を考える。$i$ についての Leray スペクトル系列 $H^p(X,R^qi_*\mathbb G_m)\Rightarrow H^{p+q}(K,\mathbb G_m)$ は、 前の定理 により $q>0$ の行が消えるので、辺写像
$$e\colon H^n(X,\mathcal R_X^\times)\xrightarrow{\ \sim\ }H^n(K,\mathbb G_m)$$
は同型である。事実 (b) と $\mathcal Div_X\cong\bigoplus_xi_{x*}\mathbb Z$ により $H^n(X,\mathcal Div_X)=\bigoplus_xH^n(\kappa(x),\mathbb Z)$。これらを代入すると
$$\cdots\to H^n(X,\mathbb G_m)\to H^n(K,\mathbb G_m)\to\bigoplus_xH^n(\kappa(x),\mathbb Z)\to H^{n+1}(X,\mathbb G_m)\to\cdots$$
を得る。 整数係数の補題 により $H^1(\kappa(x),\mathbb Z)=0$ なので $n=1$ の項が消えて $H^2(X,\mathbb G_m)\to H^2(K,\mathbb G_m)$ が単射になり、$n\ge2$ では $\delta_{\kappa(x)}^{-1}$ により $H^n(\kappa(x),\mathbb Z)\cong H^{n-1}(\kappa(x),\mathbb Q/\mathbb Z)$ と書き換えられる。$\ell$ 準素部分についての主張は、同じ議論を、各項に $\otimes\mathbb Z_{(\ell)}$（完全な操作）を施して 前の定理 の 2 とともに行えばよい。$R^qi_*\mathbb G_m$（$q>0$）は $\ell$ と素な捩れ層なので、そのコホモロジーは $\otimes\mathbb Z_{(\ell)}$ で消える。また $n\ge2$ の各項は捩れ群なので（$X$ は正則なので $H^n(X,\mathbb G_m)$ も捩れ群である）、$\otimes\mathbb Z_{(\ell)}$ をとることは $\ell$ 準素部分をとることと同じである。長完全列の各項の $\ell$ 準素部分をとる操作そのものは一般には完全でないので、この言い換えを経由する。

剰余完全列に仮定 (H) の同型 $H^i(X,\mathbb G_m)\cong H^i(k,\mathbb G_m)$（$i\ge2$）を代入すると、長完全列
$$0\to H^2(k,\mathbb G_m)\to H^2(K,\mathbb G_m)\xrightarrow{\rho}H^1(k,\mathbb Q/\mathbb Z)\to H^3(k,\mathbb G_m)\to H^3(K,\mathbb G_m)\xrightarrow{\rho}H^2(k,\mathbb Q/\mathbb Z)\to\cdots$$
を得る。各 $i\ge2$ で $\rho$ の右逆写像（切断）$s$、すなわち $\rho\circ s=\mathrm{id}$ となる準同型を作れば、すべての $\rho$ が全射になり、長完全列は分裂する短完全列に分かれる。
$s$ の構成。 $c\colon H^{i-1}(X,\mathbb Q/\mathbb Z)\to H^{i-1}(k,\mathbb Q/\mathbb Z)$ を制限写像とする。$\mathbb Q/\mathbb Z$ は捩れ層なので、事実 (c) により $c$ は同型である。$\delta_X\colon H^{i-1}(X,\mathbb Q/\mathbb Z)\to H^i(X,\mathbb Z)$ を $0\to\mathbb Z\to\mathbb Q\to\mathbb Q/\mathbb Z\to0$ の連結準同型とし、$m_\pi\colon\mathbb Z_\eta\to\mathbb G_{m,\eta}$ を $1\mapsto\pi$ で定まる層の射とする。
$$s\colon H^{i-1}(k,\mathbb Q/\mathbb Z)\xrightarrow{c^{-1}}H^{i-1}(X,\mathbb Q/\mathbb Z)\xrightarrow{\delta_X}H^i(X,\mathbb Z)\xrightarrow{\text{制限}}H^i(K,\mathbb Z)\xrightarrow{m_\pi}H^i(K,\mathbb G_m).$$
$\rho\circ s=\mathrm{id}$ の証明。

1. 生成点への制限 $H^i(X,\mathbb Z)\to H^i(K,\mathbb Z)$ は、随伴の単位 $\mathbb Z_X\to i_*\mathbb Z_\eta$ が誘導する写像と、Leray の辺写像 $e_{\mathbb Z}\colon H^i(X,i_*\mathbb Z_\eta)\to H^i(K,\mathbb Z)$ の合成である。$e_{\mathbb Z}$ は同型とは限らない（下の「例と反例」）。
2. 辺写像の自然性（事実 (d)）により、$m_\pi\circ e_{\mathbb Z}=e\circ(i_*m_\pi)_*$ である。ここで $e\colon H^i(X,\mathcal R_X^\times)\to H^i(K,\mathbb G_m)$ は $\mathbb G_m$ 係数の辺写像で、こちらは同型である。したがって $e^{-1}\circ m_\pi\circ(\text{制限})$ は、層の射の合成 $\mathbb Z_X\to i_*\mathbb Z_\eta\to\mathcal R_X^\times$ が誘導する写像 $H^i(X,\mathbb Z)\to H^i(X,\mathcal R_X^\times)$ に等しい。
3. これに層の全射 $\mathcal R_X^\times\to\mathcal Div_X=i_{x*}\mathbb Z$ を合成した層の射 $\mathbb Z_X\to i_{x*}\mathbb Z$ を切断で計算する。エタールな $U\to X$ の上で $1$ は有理関数 $\pi$ に写り、その因子は $\sum_u\operatorname{ord}_u(\pi)[u]$（$u$ は $x$ の上の $U$ の点）である。$U\to X$ は不分岐なので $\operatorname{ord}_u(\pi)=1$。よってこの合成は随伴の単位 $\mathbb Z_X\to i_{x*}\mathbb Z$ に等しく、誘導される写像は制限 $r\colon H^i(X,\mathbb Z)\to H^i(k,\mathbb Z)$ である。
4. 以上から $\rho\circ s=\delta_k^{-1}\circ r\circ\delta_X\circ c^{-1}$。連結準同型は閉点への制限と可換なので $r\circ\delta_X=\delta_k\circ c$ であり、$\rho\circ s=\delta_k^{-1}\circ\delta_k\circ c\circ c^{-1}=\mathrm{id}$。
   $\ell$ 準素部分の主張は、同じ議論を剰余完全列の $\ell$ 部分について行えばよい。

本書 3-1 により $\mathrm{Br}(k)=0$。$\operatorname{Gal}(\bar k/k)\cong\hat{\mathbb Z}$（Frobenius 置換が位相的生成元）なので $H^1(k,\mathbb Q/\mathbb Z)=\operatorname{Hom}_{\mathrm{cont}}(\hat{\mathbb Z},\mathbb Q/\mathbb Z)\cong\mathbb Q/\mathbb Z$。 定理 の短完全列に代入すればよい。

$\mathbb C$ は代数閉なので中心斜体は $\mathbb C$ だけである。Frobenius の定理（$\mathbb R$ 上の有限次元斜体は $\mathbb R,\mathbb C,\mathbb H$ に限る。GS17 から引用する）により、$\mathbb R$ を中心とする斜体は $\mathbb R$ と $\mathbb H$ である。$\mathbb H\otimes_{\mathbb R}\mathbb H\cong M_4(\mathbb R)$ なので $[\mathbb H]$ は位数 2 である。

$X$ は正則な整スキーム、次元 1 で、閉点の剰余体は有限体なので完全である。 剰余完全列 により $H^2(X,\mathbb G_m)$ は $\rho$ の核、すなわち仮定 (R) によりすべての有限素点で不変量が $0$ の $\mathrm{Br}(K)$ の元の群である。 大域類体論 により、そのような元は無限素点での不変量の族 $(\varepsilon_v)$ で決まり、族は和が $0$ という条件だけを満たす。複素素点の成分は $0$、実素点の成分は $\frac12\mathbb Z/\mathbb Z$ に値をとるから、
$$H^2(X,\mathbb G_m)\cong\Bigl\{(\varepsilon_v)\in(\tfrac12\mathbb Z/\mathbb Z)^s:\ \textstyle\sum_v\varepsilon_v=0\Bigr\}.$$
これは $s=0$ なら $0$、$s\ge1$ なら $(\mathbb Z/2\mathbb Z)^{s-1}$ である。$\mathrm{Br}(X)$ は $H^2(X,\mathbb G_m)$ に単射で入る（本書 1-3）ので、$s\le1$ なら $\mathrm{Br}(X)=0$。$\mathbb Q$ は実素点をちょうど一つもつので $\mathrm{Br}(\mathbb Z)=0$。

連結成分ごとに計算すればよいので $X$ は連結、したがって整とする。$k'=H^0(X,\mathcal O_X)$ は有限体で、$X$ を $k'$ 上のスキームと見なおしてよいので、$k=H^0(X,\mathcal O_X)$ とする。$k$ は完全なので $X$ は $k$ 上滑らかであり、$H^0(X,\mathcal O_X)=k$ と合わせて $X$ は幾何的に整である。$\bar k$ を代数閉包、$\bar X=X\otimes_k\bar k$、$f\colon X\to\operatorname{Spec}k$ を構造射とする。
段 1：$R^qf_*\mathbb G_m=0$（$q\ge2$）。 幾何的点での茎は $H^q(\bar X,\mathbb G_m)$ である（$k$ は完全なので分離閉包は代数閉包。コホモロジーと極限の交換を使う）。$\bar X$ は正則な整曲線で、閉点の剰余体は $\bar k$ で完全である。 剰余完全列 において、$\bar X$ の関数体は代数閉体上の超越次数 1 の体なので本書 3-1 により $H^q(K(\bar X),\mathbb G_m)=0$（$q\ne0$）、剰余体の Galois コホモロジーは正次数で $0$ である。よって $H^q(\bar X,\mathbb G_m)=0$（$q\ge2$）。
段 2：Leray の完全列。 $f_*\mathbb G_m=\mathbb G_m$ であり、$R^1f_*\mathbb G_m$ は Galois 加群 $\mathrm{Pic}(\bar X)$ に対応する（Picard スキームの理論 FGA から引用する）。本書 3-1 により $H^p(k,\mathbb G_m)=0$（$p\ge1$）なので、2 行だけのスペクトル系列から
$$H^n(X,\mathbb G_m)\cong H^{n-1}(k,\mathrm{Pic}(\bar X))\quad(n\ge1).$$
段 3：$\mathrm{Pic}(\bar X)$ の Galois コホモロジー。 次数写像による完全列 $0\to\mathrm{Pic}^0(\bar X)\to\mathrm{Pic}(\bar X)\to\mathbb Z\to0$（Galois は $\mathbb Z$ に自明に作用）を使う。$\mathrm{Pic}^0_{X/k}$ は $k$ 上の連結な代数群であり（FGA）、Lang の定理 Lan56（有限体上の連結代数群の $H^1$ は $0$）により $H^1(k,\mathrm{Pic}^0(\bar X))=0$。また $\mathrm{Pic}^0(\bar X)$ の各元は有限体上の点なので $\mathrm{Pic}^0(\bar X)$ は捩れ群であり、$\operatorname{cd}(k)\le1$ から $H^i(k,\mathrm{Pic}^0(\bar X))=0$（$i\ge2$）。よって $H^i(k,\mathrm{Pic}(\bar X))\cong H^i(k,\mathbb Z)$（$i\ge1$）。
段 4。 整数係数の補題 と $\operatorname{Gal}(\bar k/k)\cong\hat{\mathbb Z}$、$\operatorname{cd}(k)\le1$ により、$H^1(k,\mathbb Z)=0$、$H^2(k,\mathbb Z)\cong H^1(k,\mathbb Q/\mathbb Z)\cong\mathbb Q/\mathbb Z$、$H^i(k,\mathbb Z)\cong H^{i-1}(k,\mathbb Q/\mathbb Z)=0$（$i\ge3$）。段 2 と合わせて $H^2(X,\mathbb G_m)=0$、$H^3(X,\mathbb G_m)\cong\mathbb Q/\mathbb Z$、$H^n(X,\mathbb G_m)=0$（$n\ge4$）。$\mathrm{Br}(X)\subset H^2(X,\mathbb G_m)=0$。
最後に、$X$ の閉点 $x$ の類は次数写像 $\mathrm{Pic}(X)\to\mathbb Z$ で $[\kappa(x):k]\ge1$ に写るので、$\mathrm{Pic}(X)\ne0$。