8-2 斉次イデアルと射影零点集合

1　次数分解と斉次イデアル

体 $k$ 上の $S=k[X_0,\ldots,X_n]$ で、次数 $d$ の斉次多項式全体を $S_d$ とする。単項式を総次数ごとに集めると、各 $F\in S$ は一意に $F=\sum_{d\ge0}F_d$、$F_d\in S_d$ と書ける。異なる次数の単項式は $k$ 上一次独立であり、$S_dS_e\subseteq S_{d+e}$ である。これが $S=\bigoplus_{d\ge0}S_d$ という次数付けである。
イデアル $I\subseteq S$ を斉次と呼ぶのは、斉次多項式で生成されるときである。次の三条件は同値になる。

$I$ は斉次である。
$F\in I$ なら各斉次成分 $F_d$ も $I$ に入る。
$I=\bigoplus_{d\ge0}(I\cap S_d)$。
実際、斉次生成元 $G_\alpha$ による $F=\sum H_\alpha G_\alpha$ で $H_\alpha$ を次数分解し、同じ次数の積を集めれば1から2が従う。2から3は一意な次数分解、3から1は $I\cap S_d$ の全元を生成元に取ればよい。例えば $(X_0X_2-X_1^2,X_1X_3-X_2^2)$ は斉次だが、$(X_0+X_1^2)$ は斉次でない。後者が斉次なら $X_0$ もこの主イデアルに入る。しかし $X_0=-X_1^2$ とする商写像 $S\to k[X_1]$ で $X_0$ の像は $-X_1^2\ne0$ だから矛盾する。

2　射影零点集合と円錐

斉次イデアル $I$ の射影零点集合を
$$V_+(I)=\{[x]\in\mathbf P_k^n: F(x)=0\text{ for every homogeneous }F\in I\}$$
と定め、この形の集合を射影代数的集合と呼ぶ。斉次式の零点条件は代表元のスカラー倍に依存しない。生成元だけで判定しても同じである。斉次イデアルの族について
$$V_+\!\left(\sum_\alpha I_\alpha\right)=\bigcap_\alpha V_+(I_\alpha),\qquad V_+(IJ)=V_+(I\cap J)=V_+(I)\cup V_+(J).\tag{4}$$
第一式は全方程式を同時に満たす条件である。第二式で $p\notin V_+(I)$ なら $F\in I$ の斉次元で $F(p)\ne0$ を選べる。$p\in V_+(IJ)$ のとき任意の斉次 $G\in J$ について $F(p)G(p)=0$ なので $G(p)=0$。逆包含は積が消えることから従い、$IJ\subseteq I\cap J\subseteq I,J$ により交わりの式も従う。$V_+(0)=\mathbf P^n$、$V_+(S)=\varnothing$ であり、これらは射影Zariski位相の閉集合をなす。
射影集合 $X$ のアフィン円錐は $C(X)=\{0\}\cup\{x\ne0:[x]\in X\}$ である。$I\subsetneq S$ が斉次なら
$$C(V_+(I))=V_{\mathbf A^{n+1}}(I).\tag{5}$$
非零点では両方の条件が同じである。原点では、真の斉次イデアルは非零定数を含まず、正次数の斉次式はすべて消える。この「真」の仮定を落とすと $I=S$ で右辺が空になり式は崩れる。

3　無関係イデアルと空性

$S_+=(X_0,\ldots,X_n)$ を無関係イデアルという。アフィン零点は原点だけだが、$V_+(S_+)=\varnothing$ である。ここから先、零点定理を使う箇所では $k$ を代数閉体とする。真の斉次イデアル $I$ について次が同値である。
$$V_+(I)=\varnothing\quad\Longleftrightarrow\quad\sqrt I=S_+ \quad\Longleftrightarrow\quad S_+^N\subseteq I\text{ for some }N\ge1.\tag{6}$$
左から中央へは式 (5) でアフィン零点が原点だけとなり、アフィンHilbert零点定理を適用する。中央から右へは各 $X_i^{N_i}\in I$ を選び、$N=1+\sum_i(N_i-1)$ と置く。次数 $N$ の単項式には指数 $N_i$ 以上の変数が一つはあるから、$S_+^N$ の全生成単項式が $I$ に入る。右から左へは、射影点の非零座標 $x_i$ に対して $X_i^N(x)=0$ が成り立ちえない。

4　消滅イデアルと射影零点定理

$X\subseteq\mathbf P_k^n$ に対し、各次数で $X$ 上消える斉次式を集めて
$$I_+(X)=\bigoplus_{d\ge0}\{F\in S_d:F(p)=0\text{ for all }p\in X\}$$
と置く。各次数で和に閉じ、任意の多項式の各斉次成分を掛けても消えるので斉次イデアルとなる。$X=\varnothing$ なら $I_+(X)=S$ である。
斉次イデアル $I$ の根基 $\sqrt I$ も斉次である。$F\in\sqrt I$ の最低次数の非零成分を $F_d$ とすると、$F^r\in I$ の最低次数成分は $F_d^r$ だから $F_d\in\sqrt I$。$F-F_d$ に同じ議論を有限回適用すれば全成分が根基に入る。
$k$ が代数閉体で、$I\subsetneq S$ が斉次、かつ $V_+(I)\ne\varnothing$ なら
$$I_+(V_+(I))=\sqrt I.\tag{7}$$
証明する。式 (5) の円錐を $Y$ とすると、アフィン零点定理は $I_{\mathbf A^{n+1}}(Y)=\sqrt I$ を与える。射影零点上で消える斉次式は非零円錐上でも消え、正次数なら原点でも消える。零次数の場合も $V_+(I)\ne\varnothing$ だから消える定数は0だけである。よって左辺は $\sqrt I$ に含まれる。逆に $F\in\sqrt I$ が斉次なら $F^r\in I$ となる $r$ があり、各射影零点で $F^r=0$、したがって $F=0$。根基の斉次性から式 (7) が従う。空集合では左辺が $S$ となるため、この仮定は必要である。
射影集合 $X$ の斉次座標環は $S(X)=S/I_+(X)$ と定める。商にも次数付けが残る。次数 $d$ の元は代表元を $\lambda$ 倍すると値が $\lambda^d$ 倍されるため、一般に $X$ 上の通常のスカラー値関数ではない。

5　アフィン図での方程式

$U_i=\{X_i\ne0\}$ では代表元を $X_i=1$ に正規化できる。斉次式 $F$ の $X_i=1$ への代入を $F^{(i)}$ と書くと、$X=V_+(F_\alpha)$ の図 $U_i$ 内の部分はアフィン方程式 $F_\alpha^{(i)}=0$ で定まる。これは正規化した代表元へ代入した零点条件そのもので、両方向に成り立つ。
例えば $C=V_+(XZ-Y^2)\subseteq\mathbf P^2$ は $U_Z$ で $x-y^2=0$、$U_X$ で $z-y^2=0$ になる。$Z=0$ では唯一の点 $[1:0:0]$ を持ち、これは $U_X$ では $(y,z)=(0,0)$ である。代数閉体上では $(XZ-Y^2)$ は素イデアルだから、式 (7) により $S(C)=k[X,Y,Z]/(XZ-Y^2)$ である。

6　演習と解答

演習1。 $I=(X^2,XY,Y^2)\subseteq k[X,Y,Z]$ の射影零点を求めよ。
解答。 生成元が斉次なので $I$ は斉次。$X^2=Y^2=0$ から $X=Y=0$。従って $V_+(I)=\{[0:0:1]\}$。
演習2。 $F=X^2Y+YZ^2$ を三つの標準図で非斉次化せよ。
解答。 $F^{(X)}=Y(1+Z^2)$、$F^{(Y)}=X^2+Z^2$、$F^{(Z)}=Y(X^2+1)$。各式の変数は固定した座標以外である。
演習3。 $I,J$ が斉次なら $I+J,IJ,I\cap J$ も斉次であることを示せ。
解答。 前二者は斉次生成元の和・積で生成される。$F\in I\cap J$ の各斉次成分は両イデアルに入り、成分判定から交わりも斉次である。
演習4。 $r< n$ のとき $V_+(X_0,\ldots,X_r)\subseteq\mathbf P^n$ を同定せよ。
解答。 残りの $n-r$ 座標は同時に0でないので、射影空間 $\mathbf P^{n-r-1}$ と同一視できる。
演習5。 $I=(X^2,Y^3)\subseteq k[X,Y]$ で式 (6) の $N$ を一つ求めよ。
解答。 $N=1+(2-1)+(3-1)=4$ とできる。次数4の単項式はいずれも $X^2$ または $Y^3$ で割り切れ、$(X,Y)^4\subseteq I$。従って $V_+(I)=\varnothing$。